08/03/03 12:01:12
ε-δ法って↓の証明の事言うのか？
定理 f(x,y)=0のとき,f,f_yが連続関数でf(a,b)=0,f_y(a,b)≠0ならば,点(a,b)を通る一価連続関数y=φ(x)が点(a,b)の近傍で存在する.
更にf_xが連続関数ならば,そこでdy/dx=-{f_x(x,y)}/{f_y(x,y)}
f_y(a,b)＞0とする。f_yは連続であると仮定すると、十分小さいρ＞0に対し√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜ρである領域Kでf_y(x,y)＞0である。
この領域Kの点(a,y)に対しf_y(a,y)＞0であるから、f(a,y)はyの増加関数かつf(a,b)によってε＞0を任意に小さく与えて
f(a,b-ε)＜0,f(a,b+ε)＞0、fが連続であるからεに対しδ＞0を適当に小さくとり、|x[1]-a|＜δである任意のx[1]に対し、
f(x[1],b-ε)＜0,f(x[1],b+ε)＞0、f_y(x[1],y)＞0によって、f(x[1],y)はyの増加関数であるから、f(x[1],y[1])=0となるy[1]が|y[1]-b|＜εの
範囲に唯一定まる。すなわち、y=φ(x)、b=φ(a)なるx=aで連続な一価関数の存在が示される。
次にf,f_yに加えてf_xが連続であると仮定する。xの増分hに対するy=φ(x)の増分をkとするとf(x,y)=0、f(x+h,y+k)=0に
から平均値の定理の拡張により hf_x(x+θh,y+θk)+kf_y(x+θh,y+θk)=0 h→0、k→0ならば
k/h=-{f_x(x+θh,y+θk)}/{f_y(x+θh,y+θk)}は命題の式になるから命題は成り立つ。