21/10/25 21:48:04.50 wmQ0eFxo.net
数学も色々ありますが論理学も色々あります．
私は数学で用いることのできる推論規則は
最小論理+DN規則+同一性規則
だと考えています．たとえば
・対偶法
・ド・モルガンの法則
は数学では利用しません．
ここでの数学は代数学(集合と位相もあり)に限定します．
参考文献は主に金子洋之『記号論理入門』産業図書，1994
を用いたいと思います．
もしこの話に興味のある方がいましたら何でも話をしましょう．
2:１３２人目の素数さん
21/10/25 21:49:17.84 cxpU5FlM.net
糞
3:１３２人目の素数さん
21/10/25 22:32:16.23 wmQ0eFxo.net
部分集合A⊆Bの論理式
∀x[x∈A→x∈B]
は何故ダメなのか？
A⊆Aの場合を考える
まず
F：述語記号
a,b,c,...：個体定項
|- Fa→Fb
1 (1) Fb 仮定
(2) Fa→Fb 1.→-導入
これを利用したいがこの論理式のままだとできない
なぜなら
|- ∀x[x∈A→x∈A]
1 (1) ∀x[x∈A→x∈A] 仮定
1 (2) a∈A→a∈A 1.∀-除去
3 (3) a∈A 仮定 ☆この時点で仮言命題の前件・後件の区別ができない
1,3 (4) a∈A 2,3.→-除去
1 (5) a∈A→a∈A 3-4.→-導入
(5)は仮定の1に依存しているので∀-導入が適用できず
これ以上の論証は不能である
それゆえ∀x[x∈A→x∈A]という論理式は不適切である
ではどのような論理式を構成すればよいだろうか？
私の考えを明日述べたいと思う
4:１３２人目の素数さん
21/10/26 01:22:01.59 uWNKcT81.net
まごうことなき糞スレ
5:１３２人目の素数さん
21/10/26 06:33:10.07 TgOkvFWy.net
∀x[x∈A→∃s[s∈B∧x=s]]
という論理式がA⊆Bを意味すると
6:したい この後件の意味は ∀x∃xFxx という場合を除くためである すなわち ∀と∃の競合を防ぐ たとえば∀-除去より ∃xFaa を表示する このような場合は不適切であるので 前件と後件の元の選び方を分けた それが ∃s[s∈B∧x=s] の意味である さて本題に入ろう |- ∀x[x∈A→∃s[s∈B∧x=s]] 1 (1) ∃s[s∈B∧x=s] 仮定 2 (2) a∈B∧x=a 仮定 (3) x∈A→a∈B∧x=a 2.→-導入 (4) x∈A→∃s[s∈B∧x=s] 3.∃-導入 (5) ∀x[x∈A→∃s[s∈B∧x=s]] 4.∀-導入 □ 用語 ・定項集合とは集合の元でいう所の個体定項の意味である ・定項集合は個体定項の集まりという意味ではない ・変項集合とは集合の元でいう所の個体変項の意味である ・変項集合は個体変項の集まりという意味ではない ・言い換えると限量記号が付くものを変項そうでないものを定項という 以前位相の話をしているときにそこで扱う集合Xは任意かそうでないか という議論をしたことがある(もちろん任意ではない) そういう混乱を無くすために集合についても 定項・変項という区別をつけるようにした 位相は任意ではなくても集合をX,Y,Zで表すことが多いので その区別が難しい(翻訳が必要)ので後回しにしている
7:１３２人目の素数さん
21/10/26 06:36:03.17 TgOkvFWy.net
定理1
G:群(定項集合)
H:集合(定項集合)
定理gb=a→g=ab^{-1}より
g=ab^{-1} (g,a,b∈G:個体定項) ☆元の意味は写像の所で説明する
とする．このとき
H⊆G i.e. g∈H→g∈G
が成立する．
(証明)
g∈G ①
を仮定する．→-導入より仮定①が落ちて
g∈H→g∈G (Hが空でないという仮定すらいらない)
が成立する．□
定理1の系
H⊆G:H自身群でGの群でもある
(証明)
H⊆G i.e. H⊂G∨H=G
に対して
H=G ①
を仮定する．このとき∨-除去から仮定①は落ちて
H=G ②
が確定する．条件よりGは群であるのでHも群である．そして
∨-導入により②は
H⊂G∨H=G
と書ける．すなわち
H⊆G:H自身群でGの群でもある
ということができる．□
定義1
HはGの部分群である:⇔[H⊆G:H自身群でGの群でもある]
8:１３２人目の素数さん
21/10/26 12:06:44.07 OEfTR7zo.net
この人って結局何を間違えてるの？
9:１３２人目の素数さん
21/10/26 12:31:18.68 stvtVmpJ.net
>>3
Pa→Paは証明できる
具体的には[Pa]を仮定して→除去を使う
だからa∈A→a∈Aの形に持ち込めた時点で終了
10:１３２人目の素数さん
21/10/26 12:59:53.06 TgOkvFWy.net
X,Y,Z,...:変項集合
A,B,C,...:定項集合
x,y,z,...:個体定項
a,b,c,...:個体変項
同じ理屈で
∀x[x∈X→x∈X] i.e. ∀X[X⊆X]
とくにX=A, A={x}の場合
∀X[A⊆X] i.e. ∀x[x∈X]
に対して
∀x[x∈X→∃s[s∈X∧x=s]]
と言い換える．つまりXから元を選ぶことの形式を定めた．
ここでxの意味を写像によって付ける．
写像の定義
用語
対応規則とはたとえばa ? aというようなものでその決め方は自由である
①(像の存在)
f:X→Y(対応規則)
∀x[x∈X→∃s[f(s)∈Y∧x=s]]
をみたすときf(s)を像という．
②(像の一意性)
たとえば像を
f(s):=a (a∈Y)
と定める．これについて
[f(s)=a∧f(s)=b]→a=b
が成立するとき像f(s)は一意である，という．
以上①，②をみたすような
11:fを写像という．
12:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:01:09.64 TgOkvFWy.net
定義2(群Gの積閉について)
σ:G×G→G(写像)
i.e.
∀x∀y[<x,y>∈G×G→∃s∃t[σ(<s,t>)∈G∧[x=s∧y=t]]]
に対して
σ(<s,t>):=ab (積閉)
と定める．
このように個体変項を個体定項にすることによってGの元に意味が付く．
つまりここでは個体定項a,bについて，aとbはG上で演算可能(積閉)である，という意味を成す．以後G(積閉である限り)の元はすべて個体定項である．
定義3(群自体の定義を省略しているのでもし必要なら言ってください)
G_1,G_2:群
対応規則 f:G_1→G_2, ab^{-1} ? ab^{-1}
g=ab^{-1} (g∈G_1:個体定項)
f(g):=g
とする．このときfは準々同型である，という．
☆ gとは一意に存在する群の元である．その一意性は写像の一意性により
成立する(もし証明が必要なら言ってください)．
13:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:03:27.73 TgOkvFWy.net
文字化け訂正
対応規則 f:G_1→G_2, ab^{-1} →(対応) ab^{-1}
14:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:04:54.16 TgOkvFWy.net
>>8
何が終了なのか全くわからん
全称判断を無視している時点でな
15:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:08:01.56 TgOkvFWy.net
|- Fa→Fa
1 (1) Fa 仮定
(2) Fa→Fa 1.→-導入
たしかにこれは可能
しかしそんな話はしていない
16:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:11:23.83 TgOkvFWy.net
それと自然演繹それ自体では触れていないが
これは論理学的に正しいというだけで数学として完全に正しいことを担保するわけではない
それだから仮言命題において数学では
・後件仮定の妥当性
・前件導出可能性
の議論が必要だと考えられる
部分群の例では議論が単純なので明示していない
17:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:15:46.36 TgOkvFWy.net
今後の課題は何故
g=ab^{-1}が集合Hに属すると言えるのか？
だろう
もし無理がありそうなら通常通り部分群の概念を定理よりも先に定義するしか
部分群の証明はできないと思われる
18:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:18:44.95 TgOkvFWy.net
通常通りの部分群の議論だと
・部分群という定義がある
．定理において部分群が用いられている
・定理中に部分群の正しさは担保されていない
・では部分群とは何か？ という議論に耐えられない
．すなわち部分群とは部分群であるとしかいえない
それだから定義した概念というのは何処かの定理で証明しなければならない
と考えることが妥当なように思われる
19:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:20:34.03 stvtVmpJ.net
|-∀x(x∈A→x∈A)
[x∈A]
x∈A→x∈A(→導入)
∀x(x∈A→x∈A)(∀導入)
こうか、これで|-∀x(x∈A→x∈A)が示せた
20:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:20:39.62 TgOkvFWy.net
今の所集合Hについて
・Hは積閉
・Hは群Gの逆元をもつ
という条件が必要だと思われる
これがどういう意味なのかしばらく考えたい
21:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:24:46.05 0P5kXS/Z.net
論理学は論理学
数学ではない
22:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:25:28.34 TgOkvFWy.net
>>17
個体変項と定項の区別から始めてください
まさか変項のままを仮定した議論ができると思っていますか？
個体変項とは何を意味しますか？
x∈Aは論理式ではない
ゆえにそのような仮定の下議論及び論証は不能
23:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:32:20.61 stvtVmpJ.net
>>20
∀導入は個体変項（の特に自由変項）を持つ論理式から∀が導入された論理式を導出する
24:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:33:43.53 TgOkvFWy.net
>>21
x∈Aが論理式でないことについてどう考えますか？
25:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:36:12.21 stvtVmpJ.net
>>22
Pがn項述語、t1,…,tnが個体定項または個体変項であるときP(t1,…,tn)を原子論理式と呼ぶ
x∈Aは論理式
26:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:39:20.98 TgOkvFWy.net
>>23
それでは貴方のいう通り
|-∀x[Fx→Fx]の論証について
初めに∀-除去を適用するという定石は
使わなくてもよいという話なんですね？
27:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:43:25.50 TgOkvFWy.net
金子によると
Fx→Gx
は論理機でないと書いてある
説明お願いします
28:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:43:46.65 TgOkvFWy.net
>>25
訂正
論理式
29:１３２人目の素数さん
21/10/26 13:49:00.52 Ls+gt6yA.net
>>24
|-∀x(x∈A→x∈A)を示す
[x∈A]
x∈A→x∈A(→導入)
∀x(x∈A→x∈A)(∀導入)
これが正答かと
30:１３２人目の素数さん
21/10/26 14:13:35.38 k9+jOKfr.net
凄いな
全然分からん
31:１３２人目の素数さん
21/10/26 14:58:40.21 Ba1Cgw2v.net
うんこだからな
32:１３２人目の素数さん
21/10/26 17:39:10.27 ViHtFaWM.net
面白そう
33:１３２人目の素数さん
21/10/26 18:23:36.28 TgOkvFWy.net
G:群(定項集合)
H:集合(定項集合)
対応規則fについて
g=ab^{-1}→(対応)g=ab^{-1}
とし
f:H→G(対応規則)
と書く．このときgの一意性からfは写像であり
f(g):=g
を定めればfは準々同型である．そして
① 部分集合H⊆Gが成立し
② Hは群である
①はg∈H→g∈Gより成立．
②はH⊆Gについて
H=Gを仮定①すると
Hは群であり∨-導入・除去により仮定①が落ちて
H⊆GはGの群でもある．
すなわちHはGの部分群である．
以上からHにおけるg=ab^{-1}の帰属問題は解決しました．
これより群の部分集合というのも写像及び準々同型がなければ
意味のあるものにならないということがわかりました．
・数学における定義と定理の関係
概念の定義だけでは概念の型すなわち形式を定めたに過ぎない
定理だけでも概念の形式を定めたに過ぎない
結論：定義の証明と定理の証明をセットにしなければ数学の意味にならない
この結論に異論・反論などがあるかも知れませんが
このような方針で数学を読んで行きたいと思います．
34:１３２人目の素数さん
21/10/26 18:27:15.03 TgOkvFWy.net
当面の目標は準群における結合律及び群における単位元と逆元の証明かも知れません
(その本ではできたと主張していましたが私はできていないと考えています)
まだ概念の道具が揃っていないかも知れないしもう準備はできているかも知れない
というよくわからない状態ですが試してみたいです
35:１３２人目の素数さん
21/10/26 18:31:50.30 TgOkvFWy.net
集合が積閉であること自体の証明というのが
できるのかどうか
これも課題です
36:１３２人目の素数さん
21/10/26 20:43:29.26 k9+jOKfr.net
>>32
「その本」って何ですか
参考までに教えてもらえるとありがたいです
37:１３２人目の素数さん
21/10/26 20:54:57.04 TgOkvFWy.net
>>34
正田建次郎『抽象代数学』岩波書店，1952年，第8刷
です
38:１３２人目の素数さん
21/10/26 21:00:42.99 k9+jOKfr.net
ありがとうございます！
39:１３２人目の素数さん
21/10/26 21:03:36.24 TgOkvFWy.net
準群の積閉と結合律
可換準群の可換性
の3つは証明できました
また明日
40:１３２人目の素数さん
21/10/26 21:57:44.55 qOnHM0dl.net
結局部分集合A⊆Bの論理式∀x[x∈A→x∈B]は駄目ではなかったんだな
41:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:10:00.75 TgOkvFWy.net
どうだろう
まだ考え中です
x∈Aを論理式と認めたところで
・開論理式には真理値が定まらないこと
・命題は真理値を扱うこと
・数学は恒真であること
金子の引用だとp.99
「Fx→Gxのような式が与えられたとしよう．この式が完結した意味のある
文に対応するような式でないのは明らかである．そこにはxという変項が
含まれており，この変項の意味が確定しない限り，まっとうな日本語の
文に対応するとは考えられないからである．」
x∈Aを使ってもよいという人の根拠が薄弱なのでもう少し詳しく説明して貰いたい所ではある
42:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:19:29.59 TgOkvFWy.net
同一の対象言語に対するメタ言語には絶対に正しいものというのはないので
それが難しい
もしかすると言語学の問題になってしまうのかも知れない
そうなるとお手上げかな
43:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:30:06.27 TgOkvFWy.net
争点 開論理式を仮定してよいのか？
44:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:31:01.32 TgOkvFWy.net
論理学には仮定に
45:妥当性はないかも知れない しかし数学にはある ここでは数学のための論理なのでそれが問題になる
46:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:38:24.23 TgOkvFWy.net
たとえば
xは人間である
という文はたとえ「すべての」がなくても閉論理式の文であると考えられる
開論理式の文というのは考えられない
その考えられない文を仮定することは数学としてできない
47:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:38:38.46 lb22AuBY.net
スレさらっとしか読んでないけど、ZFC集合論の公理とかって∀x[x∈A→x∈B]に近い形の論理式ばかりだから、論理式として駄目ってことはない気がするんだけど…
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
自然演繹のルールから自明に導けないというだけで、論理式としては問題ないんじゃないの…？
48:１３２人目の素数さん
21/10/26 22:39:44.57 TgOkvFWy.net
もちろん論証中にそのような文が出てきてしまうことは許されるだろう
49:１３２人目の素数さん
21/10/26 23:01:56.06 lb22AuBY.net
これって∀導入するには開いた仮定に自由変項が現れていてはいけないって話だよね？
でも開いた仮定を→導入で閉じればいいんじゃないの？
>>27がやってるのがそれだと思う
このPDFのp11～12で∀導入するために、→導入で仮定を閉じてる例が載ってる
URLﾘﾝｸ(abelard.flet.keio.ac.jp)
50:１３２人目の素数さん
21/10/26 23:18:10.96 TgOkvFWy.net
>>46
仮定落としのことは話してないよ
もし開論理式を仮定できるとすると
変項xと定項aの違いが単なる文字xとaの違いにしかならなくなって
変項・定項という概念を失う気がするよ
51:１３２人目の素数さん
21/10/26 23:24:05.09 TgOkvFWy.net
|- ∀x[Fx→Fx]
1 (1) Fa 仮定
(2) Fa→Fa 1.→-導入
(3) ∀x[Fx→Fx] 2.∀-導入
これがもし認められるなら
xとは何だったか
aとは何だったか
になると思う
つまり
x=aの状態
52:１３２人目の素数さん
21/10/26 23:26:07.57 TgOkvFWy.net
1 (1) Fx 仮定
これは可能か？
53:１３２人目の素数さん
21/10/26 23:49:37.80 lb22AuBY.net
>>49
確認してみたら、ちょうど>>46のPDFのp11でやってた
自然演繹は元々変項と定項を置き換え可能にしてるから、元々両者をあまり区別してないような気がする
54:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:08:32.18 valka1tN.net
>>50
そうですね
論理学としては問題ないという説もあるのでしょう
しかし私は
xは人間である
という対象言語はあくまでも∀xFxというメタ言語(論理式)によって生成されたと考えています
そのPDFだと
メタ言語がFxのようですがこれを金子も私も認めていません
何度も言いますが
それは論理学を数学に応用するためだからです
メタ論理学的に正しくてもそれは数学に用いることはできないでしょう
たしかにある論理学者は三段論法の中ですべての素数は奇数だという話を書いていた
人がいました
僕はそれをみてこれでは論理学として正しくてもダメだなと思いました
それ以来数学に関係のある話しか読まなくなりました
今回の場合ももし数学に用いることのできない話なら
たとえ論理学内部で正しくともここでは間違っているものとして扱います
55:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:14:37.67 khmBzaSZ.net
任意のaと全てのaは違うんですか？
56:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:17:40.99 valka1tN.net
>>52
違いますよ
x：個体変項
a：個体定項
任意のaというのは任意のxのことです
aはあくまでもaです
たとえば任意の山田太郎とは何でしょうか？
そんな文に意味はないと思います
任意の2とかね
57:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:20:22.43 valka1tN.net
それなので
写像を通した元はすべて個体定項と考えています
それなので写像の下に出てくる「任意の」「少なくとも1つ」というのは除去して考えています
たしかにそういう記述は散見されます
58:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:23:41.66 valka1tN.net
おそらくは
名辞論理学の名残だと思います
山田太郎は世界に一つしかいないですが
山田太郎という同姓同名の人物はたくさんいます
その影響でしょう
59:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:28:59.27 valka1tN.net
>>52
すみません
誤読してました
任意のaとすべてのaは同じです
60:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:30:25.67 valka1tN.net
でも任意のaもすべてのaも
xの意味です
そして写像の通すとそういうxはすべて個体定項のaとして選ばれています
61:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:30:44.81 valka1tN.net
>>57
写像を通すと
62:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:32:34.34 j4uLW5Ia.net
>>51
Fxは「xは人間である」という述語になるけど、
∀xFxは「全てのxは人間である」という述語になって、意味が変わってこない…？
63:１３２人目の素数さん
21/10/27 00:43:44.67 valka1tN.net
>>59
xは人間である i.e. ∀xFx
Fxは翻訳不能です
書けないものを書いてしまいその意味に踏み込むことはしたくないです
64:１３２人目の素数さん
21/10/27 01:07:37.95 j4uLW5Ia.net
ちょうど>>46のPDFに、∀導入を仮定を閉じずに使うと、Fx→∀xGxという誤った論理式が得られ、これは「不特定な個人xがFであると、全員がGである」という意味になるって書いてあったもんで…
∀x[Fx→Gx]だったら「全てのxはFであるならGである」で意味が通じるんだけどなぁ
というよりもそもそもが、既存の論理がどうあろうと関係なく、開論理式を仮定できないとする新しい論理を考えるという話だったのかな…？
それだったら俺の指摘は見当違いでしかないな
65:１３２人目の素数さん
21/10/27 01:33:51.62 valka1tN.net
Fxって空集合のようなものだと思います
Fx：〇〇は人間だ
この○○に不特定の人間という意味を付けられるかどうか
xを不定元ということもありますが不定元のxというのは
個体定項xなので
意味は
Fa
です
先程も言いましたが|-∀xFxにおいてFaの仮定ができるとしたらそれは
任意のaという意味不明なものを認めることになります
たとえば
a∈Z：有理整数全体の集合
としたときにこれを任意の元と考えることは間違いです
これまでもFxとFaを混同している人は多く見られました
66:１３２人目の素数さん
21/10/27 01:36:49.57 valka1tN.net
数学ではが抜けてましたね
数学では不定元をxで表すことが多いです
67:１３２人目の素数さん
21/10/27 01:51:24.09 valka1tN.net
Faにおいて
「不特定の」人間である
をつくることは可能か？
この時点から議論しないといけないかも知れません
これは名辞論理学の範疇です
名辞論理学なら可能
限量論理学なら不能
だと考えます
68:１３２人目の素数さん
21/10/27 01:58:35.87 valka1tN.net
任意定数
これも混乱を招く用語だと思います
だから
変数
定数
という二分法は使わないです
69:１３２人目の素数さん
21/10/27 02:00:25.01 valka1tN.net
後で不変部分群が出てくるのですが
そこで扱う元も任意の元と書かれています
しかし意味はFaです
70:１３２人目の素数さん
21/10/27 02:06:46.18 j4uLW5Ia.net
うーん…？
>>48に書いてある、Faを仮定として∀x[Fx→Fx]は導くのは間違ってると思うけど
xを不特定としたFxを仮定することはできて、そこから∀x[Fx→Fx]を導くことはできると思うんだけどな…？
さすがにもう遅いから、これ以降の返事は明日にする
71:１３２人目の素数さん
21/10/27 07:20:28.53 YjAzLH1Y.net
任意のx∈Xから個体定項a∈Xを選ぶこと
|- ∀x[x∈X→∃s[s∈X∧s=x]]
1 (1) ∃s[s∈X∧x=s] 仮定
2 (2) a∈X∧x=a 仮定
(3) x∈X→a∈X∧x=a 2.→-導入
(4) x∈X→∃s[s∈X∧x=s] 3.∃-導入
(5) ∀x[x∈X→∃s[s∈X∧x=s]] 4.∀-導入
72:１３２人目の素数さん
21/10/27 07:27:57.32 YjAzLH1Y.net
Z:変項集合
X,A:定項集合
∀Z[Z⊆A]
に対して
73:１３２人目の素数さん
21/10/27 07:36:54.32 YjAzLH1Y.net
F:集合族(定項集合)
S:変項集合
∀Z[Z⊆A] i.e. ∀Z[[Z∈F→∃S[S∈F∧Z=S]]
74:１３２人目の素数さん
21/10/27 08:34:50.83 YjAzLH1Y.net
>>70
これは失敗です
75:１３２人目の素数さん
21/10/27 08:35:41.84 YjAzLH1Y.net
>>68
このXは定項集合です
76:１３２人目の素数さん
21/10/27 08:51:42.51 YjAzLH1Y.net
暫定
∀Z[[Z∈F→∃S[S∈F∧Z=S]] ∧ ∀x[x∈Z→∃s[s∈A∧x=s]]
77:１３２人目の素数さん
21/10/27 09:03:38.88 YjAzLH1Y.net
暫定2
∀Z[[Z∈F→∃S[S∈F∧Z=S]] → ∀x[x∈Z→∃s[s∈A∧x=s]]
78:１３２人目の素数さん
21/10/27 09:13:08.88 YjAzLH1Y.net
質問の意味がわかった
全称判断の
・任意
・すべて
この二つに違いがあるのか？
このままいくと存在判断で選択したもののみが存在するということになるので
ではこれが「すべて」なのか？ と問われればよくわからないです
「すべて」というもの自体がわからないからです
たとえば
無限集合において存在判断で有限個選択したとするとこれは有限集合である
これには問題があるので集合の元の選択というのは写像で行わなければならない
写像で集合の元の選択を考えれば「無限集合から有限個を選んだ」
が成立する
選ばれた集合自体は無限でも有限でもどちらでもよい
それだから
① ∀x[x∈X→∃s[s∈Y∧x=s]]
② ∀x[x∈X→∃s[f(s)∈Y∧x=s]]
この2つを同じものとして看做しています
とくに②はf(s):=s
で定義します
79:１３２人目の素数さん
21/10/27 09:16:09.64 YjAzLH1Y.net
これを群で考えると準々同型の話になります
つまり全体と部分を考えるにはどうしても準々同型という概念が必要になります
しかし現代数学で準々同型が語られることはありません
これが何故ロストしたのかも考えていたりします
80:１３２人目の素数さん
21/10/27 09:27:41.28 YjAzLH1Y.net
結論は
「すべて」という文字で表されてきた概念は不確かなので
全称記号は「任意の」と翻訳することにします
それなので両者は違います
ただ集合を写像に通した場合それらは個体定項で考えているので
そもそも全称判断がありません
それなので写像以降の議論ではこの全称判断の問題はないと言ってよいでしょう
ただし
「任意の部分集合」という問題があったので今考えています
もしかしたら圏の問題かも知れません
仮に任意の部分集合というのが集合で扱いきれない場合(FxとFaの混同問題)
その部分集合を便宜的に定項集合としてみようと思っています
81:１３２人目の素数さん
21/10/27 09:29:03.81 XQlqCet6.net
>>9
数学において写像は定義域×値域の特定の部分集合のこと
金子さんの本を読んだことはないが、哲学者のようだし、数学のための論理学の本を書いてるわけではないんじゃないかな
数学に寄った別の本を読んだほうがスレタイに近づけるかもしれない
82:１３２人目の素数さん
21/10/27 10:12:07.64 YjAzLH1Y.net
定義4(準群)
G:集合
a,b∈G(個体定項)
とする．このとき次の条件をみたすGをその結合法について準群をなす，という．
(1) a,b∈G→ab∈Gが一意に決まる ☆a∈Gとは写像σ:G→G,σ(s):=aを指す
(2) (ab)c=a(ab) 結合律
定理2(準群の(1)の証明)
(ⅰ) 存在
写像f:G×G→G, f(<s,t>):=abについてfが存在する限りにおいてab∈Gである．
(ⅱ) 一意性
写像fの一意性
[f(<s,t>)=a_1b_2∧f(<s,t>)=a_2b_2]→a_1b_1=a_2b_2
により成立する．□
☆ つまり，写像fが存在すれば，Gの積閉は保証される．ここでfは公理的規則と言ってよいだろう．
写像を定めなければ群論ひいては代数学が始まらない．
定義5(可換準群)
G:準群
a,b∈G(個体定項)
とする．このとき
ab=ba
が成り立てばGを可換準群という．群は写像の一意性により可換である．
実際
[f(<s,t>)=ab∧f(<s,t>)=ba]→ab=ba
が成立する．それゆえ定義5は示されたので
以後準群及び群は可換群で考える．
定理3(準群の(2)の証明)
写像の像
f(<s,t>)=ab∧f(<s,t>)=bc
に対して準群は積閉であるから
m:=ab
n:=bc
とおける．このとき
mc=an
を示す．
mc=(ab)c=(ba)c=c(ba)=cba
an=a(bc)=(bc)a=(cb)a=cba
∴ mc=an i.e. (ab)c=a(bc)
が示された．□
83:67
21/10/27 12:37:13.55 HG2aUqpO.net
仕事合間に色々調べて読み返したら、ようやく>>1が何を議論してるのか見えてきたかもしれない
>>1は自然演繹と一階述語論理を総合した議論をしようとしてるんじゃない？
たしかに一階述語論理において、
P(x)を「xは人間である」という述語とした場合、
P(アリストテレス)の真理値や∃xP(x)の真理値は決められるけど、P(x)の真理値は決められない
だからと言って、自然演繹でP(x)を仮定できないということではないと思う
自然演繹ではP(x)を仮定した後、→導入でP(x)→…の形にして、∀導入すればxは束縛変項になるんだから、真理値を決められる論理式になる
84:１３２人目の素数さん
21/10/27 18:24:13.42 YjAzLH1Y.net
Fxを空集合のようだと言いましたがそういう意味だとしましょう
私は数学で空集合が元をもつということを仮言命題の前件として仮定することはできない
と考えています(後件仮定は可能)
ですのでいくら論理学的に論証が妥当であっても数学的に正しくなければ
Fxを前件仮定するという理屈を採ることはできないです
調べて下さりありがとうございます
85:１３２人目の素数さん
21/10/27 18:38:51.44 YjAzLH1Y.net
|- ∀xFx
1 (1) Fx 仮定
1 (1) ∀xFx 1.∀-導入 ☆数学には使えない
|- ∀xFx
1 (1) ∀xFx 仮定
1 (2) Fa 1.∀-除去 ☆これは間違い
|- Fa∧Fb
1 (1) Fa 仮定
1 (2) Fa∧Fb 1.∧-導入 ☆数学には使えない
仮定落としの機能を持つ規則でなければ単独では
数学で使えないということがわかりました
これらの仮定落としのある規則は組合せが必要なんですね
86:１３２人目の素数さん
21/10/27 18:40:21.10 YjAzLH1Y.net
>>82
∧-規則は
Fa 仮定
Fb 仮定
Fa∧Fb
でした
ここでは意味ないですけど
87:１３２人目の素数さん
21/10/27 18:44:13.86 YjAzLH1Y.net
>>82
訂正
仮定落としのない規則
88:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:22:04.39 YjAzLH1Y.net
かつて本に書いてある
「任意の」
「すべての」
「各」
「いかなる」
「存在する」
「適当な」
「少なくとも1つ」
などそのままに従ったがために
めちゃくちゃになったことがあります
混乱しないためには
・対応規則はなにか？
・写像はあるか？
この2点のみを徹底して調べることだと思います
この間違い探しのゲームみたいな状態でも
挫けずにできる人は少ないかも知れません
何が楽しいの？
これが率直な意見だと思います
ただ知りたい
それだけです
89:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:25:21.48 YjAzLH1Y.net
たとえば群Gの共役元は
任意のg
任意のa
より
gag^{-1}
と定義されていますがこれも「任意の」を削除するべきものです
90:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:40:45.75 YjAzLH1Y.net
☆ 可換準群Gがその結合法についてさらに次の条件をみたすとき
Gを可換群という．
定義6(左主単位元)
G:可換準群
f(<s,t>)=ea
について
ea=a
となるeをGの左主単位元という．
☆ Gは可換であるのでeの左右の区別は必要ないので以後，単にGの主単位元という．
定義7(左逆元)
G:可換準群
f(<s,t>)=ba
に対して
ba=e
となるbをaの左逆元という．
☆ ここでも以後，左右の区別はせずにaの逆元という．
☆ 主単位元，逆元ともに写像の一意性から唯一つ存在することを
直ちにいえる．実際
(単位元)
f(<s,t>)=e_1a (e_1はGの主単位元)
∧
f(<s,t>)=e_2a (e_2はGの主単位元)
→ e_1a=e_2a ①
が成り立つ．このとき等式の性質とGの積閉により①の右から両辺に
aの逆元bを掛けると
e_1ab=e_2ab
i.e.
e_1e=e_2e
i.e.
e_1=e_2
を得る．それゆえ，Gの主単位元は唯一つである．以後Gの主単位元は
eで表す．
91:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:41:33.46 YjAzLH1Y.net
(aの逆元)
f(<s,t>)=b_1a (b_1はaの逆元)
∧
f(<s,t>)=b_2a (b_2はaの逆元)
→ b_1a=b_2a ①
ここでも，等式の性質とGの積閉より①の両辺に右からaの逆元bを掛けると
b_1ab=b_2ab
i.e.
b_1e=b_2e
i.e.
b_1=b_2
である．それゆえ，aの逆元は唯一つである．以後aの逆元をa^{-1}で書く．
定理4(主単位元の定義の証明)
G:可換群
とする．このとき
ea=a
となるeが唯一つ存在することを示す．そのために対応規則
ea →(対応) a
f:G→G
が写像になることを言えばよい．Gは積閉であるから
k:=ea
とおく．このときf(k):=aと定めるとき
ea∈G→a∈G
をいう．
92:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:42:35.12 YjAzLH1Y.net
(1) 存在
a∈G ①
を仮定する．このときGは積閉であるので，ea∈Gを考えることができる．それゆえ→-導入より
ea∈G→a∈G
が成立する．
これよりea=aが示された．
(2) 唯一性
e_1a=a
e_2a=a
に対して
e_1a=a∧e_2a=a → e_1=e_2 ☆
を示す．
e_1=e_2 ①
を仮定する．いまe_1に対してGが積閉であることよりe_1aを考えると
e_1a=a
と書ける．さらにe_2について①から
e_2a=a
と成る．∧-導入より
e_1a=a∧e_2a=a
を考えることができるので，→-導入から☆が示された．□
93:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:43:10.53 YjAzLH1Y.net
定理5(逆元の定義の証明)
G:可換群
対応規則fを
ba →(対応) e
f:G→G
とし
m:=ba
f(m):=e
と定める．このとき
ba∈G→e∈G ☆
を示す．
(1) 存在
e∈G ①
を仮定する．いまeにbaを右から掛けるとeba=baを考えることができる．
それゆえ→-導入により☆が成立する．すなわちba=eが示された．
(2) 唯一性
b_1a=e
b_2a=e
に対して
b_1a=e∧b_2a=e → b_1=b_2 ☆
を示す．
b_1=b_2 ①
を仮定する．b_1についてGは積閉よりb_1の右からaを掛けると
b_1a=e
と成る．またb_2に対して①よりb_2a=eと書けるので，∧-導入yori
b_1a=e∧b_2a=e
を考えることができる．それゆえ→-導入から☆が成立する．
以上よりbの唯一性が示された．□
94:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:46:47.47 YjAzLH1Y.net
これは数学の話ではありませんが
輸入法学と揶揄されていた時代(今もですが)
向こうの外交官に翻訳をさせていたというような話を聴いたことがあります
帝国大学万歳の時代ですから
いろいろ辻褄合わせがあったと思います
それだから
何故間違っているのか？
というように問質すつもりはありません
95:１３２人目の素数さん
21/10/27 19:58:39.73 YjAzLH1Y.net
鴎外も『舞姫』で
向こうの役人は玉突きとビールばっかり飲んで遊んでいる
なんて嘆いていましたね
まあそのくらいで丁度良いのかも知れませんが（ ＾ω＾）・・・
96:１３２人目の素数さん
21/10/27 22:04:37.48 DYGZSEZD.net
写像の矢印→と論理結合子の→を
同一視できないかなと思っていたんですけど
成功したかも知れません
明日部分群の証明で表します
97:１３２人目の素数さん
21/10/27 22:31:57.54 DYGZSEZD.net
定理2(準群の(1)の証明)が証明になってないことに気が付いたので明日やり直します
98:１３２人目の素数さん
21/10/28 05:39:57.93 DE54jP76.net
準群 (1) <a,b>∈G×G→ab∈Gが一意に決まる
定理2(準群の(1)の証明のやり直し)
対応規則fについて
f:G×G→G
<a,b> →(対応) ab
∀x∀y[<x,y>∈G×G→∃s∃t[f(<s,t>)∈G∧[x=s∧y=t]]]
f(<s,t>):=ab
と定義する．このときfが写像を成すことを示す．
(ⅰ) 像の存在
∃s∃t[f(<s,t>)∈G∧[x=s∧y=t]] ①
を仮定しs,tについて
f(<a,b>)∈G∧[x=a∧y=b] ②
も仮定する．このとき対応から<a,b>∈G×Gを考えることができる．
それゆえ→-導入より仮定②が落ちて
<a,b>∈G×G→f(<a,b>)∈G∧[x=a∧y=b]
を得る．∃-導入と∃-除去により仮定①が落ちて
<x,y>∈G×G→∃s∃t[f(<s,t>)∈G∧[x=s∧y=t]]
と成る．論証は無仮定であるから∀-導入により
∀x∀y[<x,y>∈G×G→∃s∃t[f(<s,t>)∈G∧[x=s∧y=t]]]
が成立する．
(ⅱ) fの一意性
f(<s,t>)=a_1b_1
f(<s,t>)=a_2b_2
に対して
f(<s,t>)=a_1b_1∧f(<s,t>)=a_2b_2 → a_1b_1=a_2b_2 ☆
を示す．
a_1b_1=a_2b_2 ①
を仮定する．a_1b_1に対して像の定義より
f(<s,t>)=a_1b_1 ②
と書ける．a_2b_2について①と②からf(<s,t>)=a_2b_2と表される．
∧-導入より
f(<s,t>)=a_1b_1∧f(<s,t>)=a_2b_2
を考えることができるので，→-導入により仮定①が落ちて☆が成り立つ．
以上よりfは写像であることが示されたので定理が成立する．□
99:１３２人目の素数さん
21/10/28 06:06:27.12 DE54jP76.net
定理6
G:可換群
H_1,H_2⊆G:Gの部分群
定理より群の元は
g=ab^{-1}
と書ける．
このとき
H_1∩H_2⊆G:Gの部分群
が成立する．
(証明)
(ⅰ) H_1∩H_2がGの部分集合であること
(ⅱ) H_1∩H_2がGの部分群であること
(ⅰ)
対応規則f
f:H_1∩H_2→G
g →(対応) g
f(g):=g
と定める．このとき対応規則fが写像を成すことを示す．
(1) 像の存在
g∈H_1∩H_2 → g∈G ☆
を証明する．
g∈G ①
と仮定する．条件よりH_1はGの部分群であるから
g∈H_1 → g∈G
と書ける．同じくH_2はGの部分群なので
g∈H_2 → g∈G
である．∧-導入より
g∈H_1 → g∈G ∧ g∈H_2 → g∈G
が成立する．
100:１３２人目の素数さん
21/10/28 06:08:55.02 DE54jP76.net
これより
g_1∈H_1 ∧ g∈H_2 i.e. g∈H_1∩H_2 (∩の定義)
を考えることができるので→-導入より☆が示された．
(2) fの一意性
gの一意性により成立する．実際
f(g_1)=g_1
f(g_2)=g_2
に対して
f(g_1)=g_1 ∧ f(g_2)=g_2 → g_1=g_2 ☆
を示す．
g_1=g_2 ①
と仮定する．g_1に対して条件から
f(g_1)=g_1 ②
と書ける．またg_2について①と②により
f(g_2)=g_2
であるので∧-導入から
f(g_1)=g_1 ∧ f(g_2)=g_2
を考えることができる．それゆえ→-導入から☆が成立する．
以上より対応規則fが写像であることがわかったので
H_1∩H_2⊆G:Gの部分集合
であることがわかった．
(ⅱ)
(ⅰ)よりH_1∩H_2⊆G:Gの部分集合
である．いま
H_1∩H_2=G:可換群 ①
と仮定するとH_1∩H_2が可換群であることがわかる．∨-導入と∨-除去
により仮定①が落ちてH_1∩H_2⊆Gと表される．
このときH_1∩H_2はそれ自身可換群で，Gの可換群
でもあるからH_1∩H_2はGの部分群である．□
101:１３２人目の素数さん
21/10/28 06:25:24.58 DE54jP76.net
群を考えている時は扱う集合の元が写像を通っているので
部分集合H⊆Gの証明の�
102:ﾆきに改めて ∀x[x∈H→∃s[s∈G]∧x=s]] を示す訳ではない なぜならもしそうだとするとFaを仮定して仮定落としのないままに Faに対して∀-導入を適用してしまうからである いま集合が積閉である段階でその元は写像を通っているので それ以降の議論はFaである Faを∀xFxにするには仮定落としが必要なので現状だとFaから直後にFxはいえない
103:１３２人目の素数さん
21/10/28 06:26:20.07 DE54jP76.net
>>98
訂正
∀x[x∈H→∃s[s∈G∧x=s]]
104:１３２人目の素数さん
21/10/28 18:22:56.06 DE54jP76.net
定理7
G:可換群
H_1,H_2⊆G:Gの部分群
g=ab^{-1}(定理による):群の元の型
H_1H_2:={g_1g_2|g_1∈H_1∧g_2∈H_2}
に対して
H_1H_2は必ずしもGの部分群とは限らない
☆ H_1:={e}
H_2:={e}
の場合H_1H_2はGの部分群である
(証明)
もしH_1H_2⊆G:Gの部分集合ならH_1H_2はGの部分群であるということが
いえてしまうので，￢(H_1H_2⊆G)であることを示す．そのために
g_1g_2∈H_1H_2→g_1g_2∈G
を考察し，対応規則f
f:H_1H_2→G, g_1g_2→(対応)g_1g_2
f(g_1g_2):=g_1g_2
が写像であるかを調べる．
(1) 像の存在
￢(H_1H_2は必ずしもGの部分群とは限らない)
☆論証に関係のない仮定には番号を付けない
を仮定し
g_1g_2∈H_1H_2→g_1g_2∈G
を証明する．
105:１３２人目の素数さん
21/10/28 18:23:23.46 DE54jP76.net
g_1g_2∈G ①
仮定する．条件よりH_1はGの部分群であるから
g_1g_2∈H_1→g_1g_2∈G
と書ける．またH_2もGの部分群であるので
g_1g_2∈H_1→g_1g_2∈G
である．∧-導入より
g_1g_2∈H_1→g_1g_2∈G∧g_1g_2∈H_1→g_1g_2∈G
と表されるので
g_1g_2∈H_1∧g_1g_2∈H_2 ☆
を考えることはできる．しかし∧及び∩と積との間には
何らの関係がある訳でもないので☆からg_1g_2∈H_1H_2を導出できない．
実際
g_1g_2∈H_1∧g_1g_2∈H_2 |- g_1g_2∈H_1H_2
を考えてみれば
1 (1) g_1g_2∈H_1∧g_1g_2∈H_2 仮定
1 (2) g_1g_2∈H_1 1.∧-除去
1 (3) g_1g_2∈H_2 1.∧-除去
これ以上の論証はできない．それゆえ￢-導入により仮定①は落ちて
￢￢(H_1H_2は必ずしもGの部分群とは限らない)
がいえる．ここでDN規則より
H_1H_2は必ずしもGの部分群とは限らない i.e. ￢(H_1H_2⊆G)
が成立する．すなわち対応規則fについて
f(g_1g_2):=g_1g_2
という定義はうまくできないことがわかるので像は存在しない．
以上より定理が示された．□
106:１３２人目の素数さん
21/10/28 18:24:44.79 DE54jP76.net
定義8(N_1N_2の存在)
G:可換群
N_1,N_2⊆G:Gの部分集合
とする．このとき
N_1N_2:={n_1n_2|n_1∈N_1∧n_2∈N_2}
と定める．
☆定理7と同じ議論で一般には
￢(N_1,N_2⊆G)
である(定義8の証明完了).
とくにN_1N_2に対して
(1) N_1:={a}のときaN_2
(2) N_2:={a}のときN_1a
と書き
(3) N_1a:={n_1a|n_1∈N_1}
(4) aN_2:={an_2|n_2∈N_2}
☆ N_1N_2は一般にGの部分群にはならないので，可換群とも限らない．
これから可換群になるような場合を定義していくことになる．
☆ たとえH⊆Gが可換群だとしてもH_1H_2⊆Gとは限らないことから
HGあるいはGHにおいてHとGとの元が可換になるとは限らない．
これが難しい所である．
107:１３２人目の素数さん
21/10/28 19:46:43.27 DE54jP76.net
定義9(共役元)
G:可換群
H⊆G:Gの部分群
a∈H:個体定項
g,g^{-1}∈G(g=ab^{-1}，群の元の型，個体定項)
とする．このとき
gHg^{-1}:={gag^{-1}|a∈H}
について
aの共役元:⇔[gag^{-1}∈gHg^{-1}]
という．
定理8(定義9の証明)
gHg^{-1}⊆G:Gの部分群
(証明)
gHg^{-1}がGの部分集合であるかどうかを写像を用いて示す．そのために
対応規則f
f:gHg^{-1}→G
gag^{-1}→(対応)gag^{-1}
f(gag^{-1}):=gag^{-1}
が写像に成ることをいう．
(1) 像の存在
gag^{-1}∈gHg^{-1}→gag^{-1}∈G ☆
を証明する．
gag^{-1}∈G ①
を仮定する．条件よりHはGの部分群であり，H自身可換群であるので
σ:H×H×H→H
σ(<s,t,u>)=gag^{-1} (とくに積閉，結合律，逆元の存在をみたす)
を考えることができる．すなわちgag^{-1}∈Hである．それゆえ
→-導入より仮定①が落ちて☆が成立する．これより像は存在する．
108:１３２人目の素数さん
21/10/28 19:50:15.83 DE54jP76.net
(2) fの一意性
gは一意であるので，2つのaを考える．
f(ga_1g^{-1})=ga_1g^{-1} ☆
f(ga_2g^{-1})=ga_2g^{-1}
に対して
f(ga_1g^{-1})=ga_1g^{-1}∧f(ga_2g^{-1})=ga_2g^{-1}
→
ga_1g^{-1}=ga_2g^{-1} ☆☆
を調べればよい．
ga_1g^{-1}=ga_2g^{-1} ①
と仮定する．ga_1g^{-1}に対して☆より
f(ga_1g^{-1})=ga_1g^{-1} ☆☆☆
と書ける．また①と☆☆☆より
f(ga_2g^{-1})=ga_2g^{-1}
である．∧-導入より
f(ga_1g^{-1})=ga_1g^{-1}∧f(ga_2g^{-1})=ga_2g^{-1}
を考えることができる．それゆえ，→-導入より仮定①が落ちて☆☆
が成立する．以上よりfが写像であることが示されたので
gHg^{-1}⊆G:Gの部分集合
がいえた．
(3) gHg^{-1}がGの部分群であること
(1)と(2)によりgHg^{-1}⊆Gであることが保証されているので
gHg^{-1}=G:可換群 ①
を仮定すると，gHg^{-1}も群(可換とは限らない)であることがわかる．
①に∨-導入と∨-除去を適用すると仮定①が落ちてgHg^{-1}⊆Gと成る．
ここでgHg^{-1}はそれ自身群でGの群でもある．すなわち
gHg^{-1}はGの部分群である．□
定義10(共役部分群) (定理8の概念の定義)
定理8の部分群をHの共役部分群という．
☆ わかったこと
可換の構造というのは等号で保存されるとは限らない
109:１３２人目の素数さん
21/10/28 19:53:23.82 DE54jP76.net
☆ 可換群の部分群は必ずしも可換群とは限らない
すなわち
可換群の部分群はそれ自身群を成すがそれが可換であるとは限らない
110:１３２人目の素数さん
21/10/28 19:57:16.18 DE54jP76.net
>>102
訂正
￢(N_1N_2⊆G)
111:１３２人目の素数さん
21/10/28 20:01:31.76 DE54jP76.net
群は全部可換
部分群はそれ自身群
それゆえ部分群は可換
これも論理的妥当と数学の性質が異なる例である
似たような構造に気をつけたい
112:１３２人目の素数さん
21/10/28 20:06:39.17 DE54jP76.net
以前は伝統的論理学の妥当な論証の型(格式)を覚えていたのですが
もう忘れてしまいました
使わないと忘れてしまいますね
中世の修道院や教会だとこの格式は
毎日歌にして暗唱していたそうです
113:１３２人目の素数さん
21/10/28 20:07:42.02 DE54jP76.net
それをぶっ壊したとされるフレーゲという人はどんな人だったんでしょうかね
怖いだろうなと思います
114:１３２人目の素数さん
21/10/28 20:10:43.00 DE54jP76.net
正しいとされるものを否定していくのはつらい道です
できれば私も正統派でいたかったのですが
どうもそうはいかないようです
115:１３２人目の素数さん
21/10/28 20:22:21.90 DE54jP76.net
たしかにaの共役元gag^{-1}が同値律をみたすことをいう場合に
たとえば反射律を
eae^{-1}=eae=ae=a
と書く時，このeとgについてどう説明すればよいのかが難しい．
なぜgをeで置き換えることができるのか．
これを「任意の」で説明してしまったことは仕方がないだろう．
さて
G×H×G→G
の段階で元の選択がある．このときf(<s,t,u>)=eae^{-1}
を考えることはできるがこれではgのうちeの場合しか示せていないので
別の方法を考える．
116:１３２人目の素数さん
21/10/28 20:43:57.89 DE54jP76.net
aの共役元の反射律自体がわからないのでここは時間が掛かりそうです
117:１３２人目の素数さん
21/10/28 21:11:45.53 DE54jP76.net
定理10
G:可換群
a∈G:個体定項
とする．このとき
a^{-1}の逆元はa
(証明)
b:=a^{-1}
とおく．このとき
bb^{-1}=e
を考えると
a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e ①
と書ける．いま等式の性質により①の両辺に左からaを掛けると
aa^{-1}(a^{-1})^{-1}=ae
i.e.
e(a^{-1})^{-1}=a
i.e.
(a^{-1})^{-1}=a □
118:１３２人目の素数さん
21/10/28 21:12:26.86 DE54jP76.net
>>113
定理9でした
119:１３２人目の素数さん
21/10/28 21:13:56.49 DE54jP76.net
定理10
G:可換群
g∈G:個体定項
とする．このとき
g=a^{-1}b∈G→g^{-1}=b^{-1}a∈G ☆
(証明)
g^{-1}=b^{-1}a∈G ①
を仮定する．等式の性質により①の両辺に左からbを掛けると
bg^{-1}=bb^{-1}a∈G
i.e.
bg^{-1}=a
i.e.
bg^{-1}g=ag
i.e.
b=ag
i.e.
a^{-1}b=a^{-1}ag
i.e.
a^{-1}b=g
を考えられる．それゆえ→-導入より仮定①が落ちて☆を得る．□
120:１３２人目の素数さん
21/10/28 21:18:38.02 DE54jP76.net
定理11
G:群
a,b∈G:個体定項
とする．このとき
ag=b∈G→g=a^{-1}b∈G ☆
となるgが一意的に存在する．
(証明)
(1) 存在すること
g=a^{-1}b∈G ①
と仮定する．このとき等式の性質から①の両辺に左からaを掛けると
ag=aa^{-1}b
i.e.
ag=eb
i.e.
ag=b
を考えることができる．それゆえ→-導入により仮定①が落ちて
☆が成立する．
(2) gの一意性
写像の一意性を適用して
f(<s,u>)=ag_1 ∧ f(<s,u>)=ag_2
→
ag_1=ag_2 ①
を得る．このとき①の両辺に左からa^{-1}を掛けると
a^{-1}ag_1=a^{-1}ag_2 i.e. g_1=g_2
が成立するので(2)が示された．□
同じ理屈でgは
gb=a→g=ab^{-1}
と書くことにする．
121:１３２人目の素数さん
21/10/28 21:20:14.84 DE54jP76.net
>>116
Gは可換群
122:１３２人目の素数さん
21/10/28 22:03:17.88 DE54jP76.net
わからない理由がわかりまいた
本では共役概念の同値律について述べており
まだ未定義の不変部分群について証明しています
それならわかりました
ここでは
・aの共役元
・Hの共役部分群
・不変部分群H
の順で示します
断りなしで共役が同値律をみたすという所で
不変部分群の定義の証明をしていたみたいです
読むのが難しいですね
123:１３２人目の素数さん
21/10/28 22:04:08.67 DE54jP76.net
また明日にします
124:１３２人目の素数さん
21/10/29 09:13:17.75 lY+386TH.net
ちょうど群論の勉強を始めたところだったから助かります
125:１３２人目の素数さん
21/10/29 09:18:55.56 R633SrBt.net
アイデアは含まれているが、ここでやってることは現代数学とは異なる
126:１３２人目の素数さん
21/10/29 11:57:33.59 Bo/PI/SO.net
>>111
>>103
訂正
H×H×H→gHg
G×H×G→gHg
127:１３２人目の素数さん
21/10/29 12:01:05.71 Bo/PI/SO.net
>>103
訂正
>すなわちgag^{-1}∈Hである
すなわちgag^{-1}∈gHg^{-1}
128:１３２人目の素数さん
21/10/29 12:41:34.53 Bo/PI/SO.net
>>122
gHg^{-1}
129:１３２人目の素数さん
21/10/29 19:14:11.66 lY+386TH.net
>>121
どう異なるか、教えてもらえるとありがたいです
130:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:01:23.80 Bo/PI/SO.net
今日の分を書き込もうと思ったが
どう異なるのか意見を聴いてみたいわ
しばらく待つよ
131:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:20:43.45 2o0bn0th.net
>>125
>>9
まず写像の定義が異なる
132:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:25:01.85 Bo/PI/SO.net
定理12
共役という概念は同値律をみたす:
(1) gag^{-1}:aの共役元
(2) gHg^{-1}:Hの共役部分群
(証明)
(1)
(ア) 反射律
同一性規則より
gag^{-1}=gag^{-1}
が成立する．
(イ) 対称律
gag^{-1}=hbh^{-1}→hbh^{-1}=gag^{-1} ☆
を示す．
hbh^{-1}=gag^{-1} ①
を仮定すると写像
f:G×H×G→gHg^{-1}
f(<s,t,u>)=hbh^{-1} (ⅰ)
∧
f(<s,t,u>)=gag^{-1} (ⅱ)
→
hbh^{-1}=gag^{-1} (写像の一意性)
を考えることができる．いま
(ⅰ)∧(ⅱ)→(ⅰ)=(ⅱ)
であるとすると∧の性質により
(ⅱ)∧(ⅰ)→(ⅱ)=(ⅰ)
と表すことができる．これより①を仮定すると(ⅱ)=(ⅰ)を想定できるので
→-導入から仮定①が落ちて
(ⅱ)=(ⅰ)→(ⅰ)=(ⅱ) i.e. ☆が成立する．
133:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:25:59.12 Bo/PI/SO.net
(ウ) 推移律(移動律)
gag^{-1}=hbh^{-1}∧hbh^{-1}=kck^{-1}→gag^{-1}=kck^{-1} ☆
を示す．
gag^{-1}=kck^{-1} ①
を仮定する．このとき写像
f:G×H×G→gHg^{-1}
f(<s,t,u>)=gag^{-1} (ⅰ)
∧
f(<s,t,u>)=hbh^{-1} (ⅱ)
∧
f(<s,t,u>)=kck^{-1} (ⅲ)
→
gag^{-1}=hbh^{-1}=kck^{-1} (写像の一意性)
が成立する．いま
(ⅰ)∧(ⅱ)→(ⅰ)=(ⅱ)
∧
(ⅱ)∧(ⅲ)→(ⅱ)=(ⅲ)
を考えることができる．とくに
(ⅰ)=(ⅱ)∧(ⅱ)=(ⅲ)を想定できる．それゆえ→-導入により仮定①が落ちて
(ⅰ)=(ⅱ)∧(ⅱ)=(ⅲ)→ (ⅰ)=(ⅲ)
134:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:27:07.56 Bo/PI/SO.net
(2)
(ア) 反射律
同一性規則より
gHg^{-1}=gHg^{-1}
が成立する．
(イ) 対称律
gH_1g^{-1}=hH_2h^{-1}→hH_2h^{-1}=gH_1g^{-1} ☆
を示す．
hH_2h^{-1}=gH_1g^{-1} ①
を仮定する．このときそれぞれ写像を考えると
f_1:G×H_1×G→gH_1g^{-1}
∧
f_2:G×H_2×G→hH_2h^{-1}
に対して
f_2∧f_1→hH_2h^{-1}=gH_1g^{-1} ☆☆
と書ける．ここで∧-規則の性質により☆☆から
f_1∧f_2→gH_1g^{-1}=hH_2h^{-1}
を考えられる．それゆえ，→-導入により仮定①が落ちて☆が成立する．
(ウ) 推移律(移動律)
(イ)と同じようにして
f_1:G×H_1×G→gH_1g^{-1}
∧
f_2:G×H_2×G→hH_2h^{-1}
∧
f_3:G×H_3×G→kH_3k^{-1}
について
f_1=f_2∧f_2=f_3→f_1=f_3 ☆
を示す．
135:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:27:39.98 Bo/PI/SO.net
f_1=f_3 ①
を仮定する．①より
f_1∧f_3→f_1=f_3 ☆☆
と表されるので同じように(gHg^{-1}のgやHは類における代表元のようなものなので，
つまりgにはH_1，hにはH_2，kにはH_3がそれぞれ相互に依存している．これよりf1あるいはf_3の元を換えたものをf_2と考えてよい)
f_1∧f_2→f_1=f_2
∧
f_2∧f_2→f_2=f_3
すなわち
f_1=f_2∧f_2=f_3
を考えることができる．それゆえ，→-導入により仮定①が落ちて☆が成立する．
以上より定理が示された．□
136:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:28:34.90 Bo/PI/SO.net
定義11(不変部分群)p.16
G:可換群
gHg^{-1}⊆G:Hの共役部分群
に対して
Hは不変部分群:⇔[gHg^{-1}=H∨gH=Hg]
と定義する．
☆ 換言すればHが同値律をみたすか，またはGの部分群Hが可換群のとき
Hは不変部分群である，という．
定理13(定義11の証明)
G:可換群
H:Gの不変部分群
とする．このときHは同値律をみたす．
(証明)
(1) 反射律
同一性規則より
H=H
をみたす．
(2) 対称律
H=gHg^{-1}→ gHg^{-1}=H ☆
を示す．
gHg^{-1}=H ①
を仮定する．①の
(左辺)=H
(右辺)=gHg^{-1}
よりH=gHg^{-1}を考えることができるので→-導入により仮定①が落ちて
☆が成立する．
137:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:29:01.19 Bo/PI/SO.net
(3) 推移律(移動律)
H=gHg^{-1}∧gHg^{-1}=H→H=H ☆
を示す．
H=H ①
を仮定する．①の左辺について
H=gHg^{-1}
①の右辺について
gHg^{-1}=H
∧-導入より
H=gHg^{-1}∧gHg^{-1}
を考えることができる．それゆえ→-導入により仮定①が落ちて
☆が成り立つ．
以上より定理が示された．□
☆ ∨-規則は片側のみ示されれば十分だが，ここではHが可換群になることも証明してみたい．
定理14(定義11の証明)
G:可換群
H:Gの不変部分群
とする．このときHはH自身可換群である．
(証明)
条件よりHがgHg^{-1}=Hと表された，とする．
このとき等式の性質からこの両辺に右からg∈Gを掛けると
gHg^{-1}g=Hg
i.e.
gHe=Hg
i.e.
gH=Hg
が成立するので定理が示された．□
138:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:38:07.42 2o0bn0th.net
集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）f が
x ∈ A ならば (x, y) ∈ f を満たす y ∈ B が存在する
(x, y1) ∈ f かつ (x, y2) ∈ f ならば y1 = y2
の二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び[7]、f: A → B で表す。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対応規則とやらの不明な単語は登場しない
順序対からなる特定の集合が写像のこと
139:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:40:29.91 Bo/PI/SO.net
☆ 数学における「任意」の意味がわかってきました．
たとえば類における代表元における「元のとり方に依らない」という言い回しが数学の「任意」の意味だと言える．
実際には代表元aの同値類Caの元はすべてaなのでaのとり方に依存していると思われるのですが
慣用句になっているので，「依らない」を依存すると解釈しています．
ここでは，共役元のとり方と
gHg^{-1}におけるgとg^{-1}は「任意」だということがわかりました．
つまり，先にも述べましたが
たとえば共役元aをbにするとGの元もgからhに変わります．
反対に，Gの元をgからhに変えると共役元もaからbに変わります．
これを数学では「任意」と呼んできたということがわかったのでよかったです．
ここでは「すべての」という意味はないようですね．
このようにこれからも全称記号「∀」存在記号「∃」が
数学に導入される以前の本を読むことで数学及び論理学を理解したいと思っています．
140:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:43:35.83 Bo/PI/SO.net
定義したものを証明している以上
不明は存在しない
141:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:48:27.56 2o0bn0th.net
「対応規則」なるものが定義されていないから、写像も>>9では何を表してるかが不明瞭
他の本も読んでみると良いかと
142:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:48:32.05 D5JiHo3R.net
>>125
俺は>>121ではないけど、このスレで>>1はオリジナルの数理論理を展開してるので、俺も勉強の参考には勧めない
例えば>>81で、空集合が元を持つことを仮言命題の前件とすることはできないと>>1は言ってるけれど、現代の通常の数理論理(一階述語論理とZFC集合論)では前件とすることができる
x∈∅→x∈A
この場合、前件が決して真にならないから論理式全体は必ず真になる
こういうのを空虚な真と言ったりする
問題はこの論理式が、空集合は任意の集合の部分集合であるという現代の集合論で常識になっていることを表しているところで、こういった論理式を認めないとなると通常の数学から乖離している可能性が高い
143:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:48:52.83 Bo/PI/SO.net
ただ既に1960年代には限量記号はないものの
実質的にその意味で使われていることが多いと思います
実際
成田正雄は使っていました
1950年以前でないとダメかもしれません
144:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:50:47.55 Bo/PI/SO.net
数学は恒真だと明示しているのでそれに反することを書かれても答えられないです
偽の仮定があれば恒真という推論規則も使ってないです
145:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:52:26.97 Bo/PI/SO.net
所謂矛盾の規則を使いません
厳密に言うと背理法も使いません
146:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:53:27.17 Bo/PI/SO.net
排中律については
二重否定規則から導出されると言うことで認める他ないですが
使わない方針です
147:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:53:43.79 2o0bn0th.net
>>138
その通りだな
過去に初学者らしきレスもあったから一応書いておきたいが、このスレは現代数学とは道が異なる
148:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:55:43.73 Bo/PI/SO.net
対応規則は像のことです
149:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:59:37.53 2o0bn0th.net
>>144
集合 X から集合 Y への写像 f: X → Y に対して、以下のように(像を)定義する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
とあって、まず写像が定義できないと像が定義できない
循環定義になる
150:１３２人目の素数さん
21/10/29 20:59:57.50 Bo/PI/SO.net
そりゃあ大学で通用しないでしょうｗ
学校で通用するならここに書いてないです
151:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:00:54.53 Bo/PI/SO.net
>>145
循環していても証明している以上は定義になりませんか？
152:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:07:45.74 Bo/PI/SO.net
|- ∀x[x∈X→∃s[f(s)∈Y∧x=s]]
1 (1) ∃s[f(s)∈Y∧x=s] 仮定
2 (2) f(a)∈Y∧x=a 仮定
(3) x∈X→f(a)∈Y∧x=a 2.→-導入
(4) x∈X→∃s[f(s)∈Y∧x=s] 3.∃-導入
(5) ∀x[x∈X→∃s[f(s)∈Y∧x=s]] 4.∀-導入
まあ対応規則というのは1952年当時の数学に従ったまでなので
削除しても構いません
ここではf(s):=sとおくことで上記の証明と部分集合X⊆Yを同一視して
fの存在を証明しています
153:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:15:15.86 D5JiHo3R.net
>>141
矛盾律を使わないとなると、それは矛盾許容論理になる
わかっているのかもしれないが、その時点で通常の数学(一階述語論理とZFC集合論)とは明らかに異なることになる
154:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:18:39.10 Bo/PI/SO.net
>>149
矛盾の規則って矛盾律のことではなく
⊥
X:任意
のことです
155:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:25:23.32 D5JiHo3R.net
>>150
いや、それは矛盾律と同じものだ
156:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:26:24.00 Bo/PI/SO.net
>>151
わかりました
157:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:42:27.38 Bo/PI/SO.net
矛盾律は排除できないですね
でも直観主義論理などは認めないということです
158:１３２人目の素数さん
21/10/29 21:45:47.65 Bo/PI/SO.net
というか金子によれば
DN規則があればそれは直観主義よりも強い主張である
とか言ってましたね
DN規則がある以上古典論理の範囲だと思っていました
159:１３２人目の素数さん
21/10/29 22:19:06.41 QkJQO9l/.net
>>154
一度、金子洋之以外の記号論理学の書籍を読むことを勧める
wikipediaの古典論理の記事なんかを見てもわかるが、ド・モルガンの法則を認めない時点で非古典論理になる
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
160:１３２人目の素数さん
21/10/29 22:22:55.96 Bo/PI/SO.net
>>155
ああそうでしたね
でもそういう分類に意味はないと思っているので
161:１３２人目の素数さん
21/10/29 22:32:21.47 QkJQO9l/.net
>>156
「そういう分類に意味はない」とはどういうことだ？
古典論理であるかそうでないかを議論することに、意味はないと言っているのか？
162:１３２人目の素数さん
21/10/29 22:37:48.67 Bo/PI/SO.net
AI調子乗んなよ
163:１３２人目の素数さん
21/10/29 23:01:37.25 QkJQO9l/.net
AI…？何のことを言ってるかわからんが、理性的に議論できないならこれでお開きだな
最後に言っておくが、背理法を使わないとか簡単に言うが、背理法で証明されている定理はかなり多い
自然数全体は可算無限だが、実数全体は非可算無限であるだとかもその一つだ
数学のための論理学というが、今の数学は古典論理の上にできているのだから、間違いなく別物になる
その別物が悪いものだと言うつもりはないが
164:１３２人目の素数さん
21/10/29 23:33:53.07 y2yZvMq5.net
ところで「チンポがシコシコする」という日本語表現は、学術的に正しいと言えるのか？
チンポ「を」シコシコするのではなくて、チンポ「が」シコシコする。この場合、「チンポ」は主語となる。
オブジェクト指向で言う「集約」は２種類あって、全体（俺）と部分（チンポ）が繋がっている場合と、
全体（俺）と部分（チンポ）が別々になっている場合とが考えられる。けれども「チンポ」はそれ自体
が独立した生き物であり、所有者の意思とは無関係に、自ら勃起して「シコシコする」。
例えば寝てる時にエロい夢みて朝起きてみたらチンコが勃起して射精してたとか。
違うか？
「胸がドキドキする」は良いが、「チンポがシコシコする」はダメな理由を、５０字以内で述べろ！
165:１３２人目の素数さん
21/10/29 23:36:54.58 y2yZvMq5.net
『シコシコ』という擬音はどうでもよい。問題は、
自我 チンポ
↑ ↑ チンポ＝自我
チンポ 自我
オブジェクト指向では、この三種類が考えられるということだ。
＞チンポ＝自我
散歩している時、自分もチンポも所在地は同一である。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
夏目くんの場合は、チンポが自我を圧倒し、体が自然に滝川さんの股間に近づいていったのだ。
『笑ってごまかすな！！』
と言われても、夏目くんは何と言えば良かったのだろう？
チンポ≫自我
166:『チンポが自我を超えてしまった』を簡略化して、チンポがシコシコする！ チンポがシコシコしていると（チンポが自我を超越していると）、息もハァハァになる。 チンポがシコシコしている（チンポが自我を超越している）と、顔もアヘ顔になる。 つまりその顔は『チンポの一部』つまりチンポの皮と同じということ。 博士号の肩書きがあっても、STAP細胞のそれは間違いであり科学者として失格。 チンポと自我の関係について、それが間違いということなら、俺も科学者を自称するのを止めよう。 しかしながらあの夏目くんは、笑ってごまかす以外に何と申し上げたら良かったのか。
167:１３２人目の素数さん
21/10/29 23:43:35.66 y2yZvMq5.net
クリントン大統領の「不適切」というのは、チンポが独立して主体意思でシコシコしてしまったから。
チンポは独立した生き物であり、アメリカ大統領の権限をもってしても、制御することは不可能だ。
クリントンの「不適切な関係」
URLﾘﾝｸ(eigo-kobako.blog.so-net.ne.jp)
class チンポ extends クリントン{
super.不適切な関係;
}
クリントンーーーーーーーーーー
┃ ┃
┃ ┃
┃ ┃
┃ ┃
┃ ┃
ーーーーーーーーーーーーーーー
┃ﾁﾝﾎﾟ┃
￣￣￣￣
『人格を性欲に乗っ取られる』、つまりクリントンはﾁﾝﾎﾟに人格を乗っ取られて、ﾁﾝﾎﾟにｼｺられてしまった！
168:１３２人目の素数さん
21/10/30 00:58:27.28 8W5zlxqM.net
>>1の論理学のモチベーションは「数学のための論理学」というものであった。
しかし、既存の数学は古典論理の上に展開されていて、
一方で>>1の論理学は古典論理とは別物であることが確定している。
似たような研究として、たとえば直観主義での解析学や集合論が
既に存在しているが、それらは「従来の数学とは非常に遠い」らしい。
すると、>>1の論理学も、これに類するものになると予想される。
果たしてそれは、本当に「数学のため」になっているのだろうか？
最低限、>>1が望む形での「数学のため」は維持できるのだろうか？
169:１３２人目の素数さん
21/10/30 01:01:54.27 8W5zlxqM.net
おそらく、>1が目論んでいたのは次のようなものだろう。
・ 自分の掲げる論理学によって、既存の論理学での(思想的な)不満点が解消される。
・ 定理ごとに証明を書き換えることで、既存の数学を自分の論理学の上に普通に移行できる。
もしこれが実現できたならば、確かに「数学のため」と言えるかもしれないが、
実際には>1の論理学は古典論理とは全くの別物なので、
直観主義での解析学のような、「従来の数学からは非常に遠い」可能性が高い。
そして、>>149-154あたりでの反応を見ると、>1は、自分の掲げる論理学が
古典論理から「かけ離れてしまう」ことに気づいてなかったようである。
>1は>>156-158でイラついた反応を見せているが、これは、
「わたしの目指す論理学は、わたしが望む形での "数学のため" を維持できない可能性が高い」
「わたしの目論見は失敗に終わりそうだ」
という絶望感から来る八つ当たりであろう。
170:１３２人目の素数さん
21/10/30 08:42:20.44 LGcNAIwj.net
群の写像のまとめ
・対応規則
f:G×G→G
∀x[<x,y>∈G×G→∃s∃t[f(<s,t>)∈G∧[x=s∧y=t]]]
f(<s,t>):=ab
k:=ab
・G⊆G
k∈G→k∈G
で対応規則を定め
・一意性
f(<s,t>)=k_1
∧
f(<s,t>)=k_2
→
k_1=k_2
が成立する対応規則を写像という
171:１３２人目の素数さん
21/10/30 08:44:13.21 LGcNAIwj.net
・部分集合を調べる時：写像を調べる
・写像を調べる時：部分集合を調べる
ができる
172:１３２人目の素数さん
21/10/30 08:51:06.95 LGcNAIwj.net
物自体を調べられない
というのと同じ
173:１３２人目の素数さん
21/10/30 11:58:58.77 LGcNAIwj.net
可換群の部分群は必ず不変部分群になるというのが出てきたがこれは誤り
正田建次郎『抽象代数学』p.16引用
「
174:Gが可換群であるならばその部分群は必ず不変部分群である」 証明は後で書きます
175:１３２人目の素数さん
21/10/30 11:59:40.29 LGcNAIwj.net
任意の元のとり方に誤りがあるせいだと考えられる
176:１３２人目の素数さん
21/10/30 12:02:27.27 LGcNAIwj.net
不変部分群とは共役部分群が可換になることである
可換群の共役部分群が必ずしも可換でないことは先にみた
まさかその話が出てくるとは思わなかった
177:１３２人目の素数さん
21/10/30 12:12:44.40 LGcNAIwj.net
これらの概念でもし類を構成していたら注意が必要だな
共役部分群は類の概念に近いから同値律をみたすことは自明だったけど
可換群になるとは限らないということについては難しかったようだ
178:１３２人目の素数さん
21/10/30 14:54:31.85 LGcNAIwj.net
定理15
G:可換群
H_1,H_2⊆G:Gの不変部分群
とする．このとき次は成立するとは限らない：
(1) H_1∩H_2⊆G:Gの不変部分群
(2) H_1H_2⊆G:Gの不変部分群
(証明)
H_1∩H_2⊆G:Gの部分集合
H_1H_2⊆G:Gの部分集合
であることがわかれば，両者はGに含まれているのでGの不変部分群である
ことがわかる．それゆえ，それぞれがGの部分集合に成ることをを示す．
そのために
H_1∩H_2→G
H_1H_2→G
がそれぞれ写像を成すことをいう．
(1)
・対応規則fの存在
￢(fは存在しない)
と仮定すると
f:H_1∩H_2→G
f(gag^{-1}):=gag^{-1} (g=bc^{-1}:群の元の型)
と定める．このとき
gag^{-1}∈H_1→gag^{-1}∈G
を証明する．
gag^{-1}∈G
を仮定する．条件よりH_1はGの不変部分群であるので
gag^{-1}∈H_1→gag^{-1}∈G
i.e. gag^{-1}はgg^{-1}a i.e. ea∈H_1 i.e. a∈H_1, a∈G
i.e. a∈H_1→a∈G (H_1は可換群)
179:１３２人目の素数さん
21/10/30 14:55:26.64 LGcNAIwj.net
同様にH_2はGの不変部分群であるから
hbh^{-1}∈H_2→hbh^{-1}∈G
i.e. b∈H_2→b∈G (H_2は可換群)
である．∧-導入より
a∈H_1∧b∈H_2→a∈G∧b∈G
であるが，これ以上の論証はできないので，￢-導入から
￢￢(fは存在しない)
を得る．そして，DN規則より「fは存在しない」が示された．
(2)
・対応規則fの存在
￢(fが存在しない)
と仮定すると
f:H_1H_2→G
m:=gag^{-1}
n:=hbh^{-1}
f(mn):=mn
と定める．このとき
mn∈H_1H_2→mn∈G
を示す．
mn∈G
を仮定する．条件よりH_1はGの不変部分群であるから
m∈H_1→m∈G
と書ける．またH_2もGの不変部分群であるので
n∈H_1→n∈G
と表される．∧-導入より
m∈H_1∧n∈H_2→m∈G∧n∈G
と成るが，これ以上の論証はできない．それゆえ￢-導入より
￢￢(fが存在しない)
を得る．これにDN規則を適用すれば「fは存在しない」が示された．□
☆Gの部分集合が主単位元のみの集合や空集合であれば定理は成り立つ．
180:１３２人目の素数さん
21/10/30 16:01:26.49 LGcNAIwj.net
①アリは六本足の昆虫だ
②トンボは六本足の昆虫だ
③カブトムシは六本足の昆虫だ
論証に仮定はないので∀-導入より
六本足の虫は昆虫だ
こういう全称導入をしていきたい
ではどの段階で結論がいえるのだろうか
①から③までなのか
①と②なのか
①のみでよいのか
それとも
もっと必要なのか
①が仮定に依存した論証でなければ
①のみで全称導入をできると考える
たとえば
昆虫とは六本足の(頭・胸・腹をもつ)虫をいう
☆便宜的に頭・胸・腹の部分は除いて議論をする
という定義がある
アリはこの条件をみたす
ゆえにアリは昆虫である
このアリには何らの仮定がない
そこで
すべてのアリは昆虫である
を導出してよい
181:１３２人目の素数さん
21/10/30 16:04:05.14 LGcNAIwj.net
しかし
山田太郎は本塁打王である
より
すべての野球選手は本塁打王である
はいえない
山田太郎ならば本塁打王は成り立つが
野球選手ならば本塁打王は言えないからである
このような仮定が必要な議論とそうでない議論とを分けて
全称導入ができる形にして数学に応用したい
182:１３２人目の素数さん
21/10/30 16:12:48.17 LGcNAIwj.net
では
山田太郎は人間である
すべての野球選手は人間である
これは言える
つまり全称導入というのは述語依存だとわかる
この点に気をつけて数学の述語に注目しながら証明したい
183:１３２人目の素数さん
21/10/30 18:09:55.01 HoEFm9c/.net
一階述語論理をよく理解してないから、自然演繹に何か問題があると勘違いしてるだけだぞお前
184:１３２人目の素数さん
21/10/30 18:39:15.57 a7f+n+rM.net
>>177
そもそも数学板とはアレな人間を生暖かく見守る場所であって
そういう指摘は野暮というものだぞ
185:１３２人目の素数さん
21/10/30 18:57:04.73 LGcNAIwj.net
定理16
G:可換群
H⊆G:不変部分群
S⊆G:Gの任意の部分群
とする．このとき次が成立する：
(1) S∩H⊆S:Sの不変部分群
(2) HS=SH⊆G:Gの部分群
(証明)
☆ Gの任意の部分群とは何か？
F:Gの部分群の集合族(定項集合)
とする．
∀S[S∈F→∃T[T∈F∧S=T]]
に対して
a∈T→a∈G
となるTが存在する．
(1)のときTとしてGを選択
(2)のときTとして{e}を選択
をする．
(1) G∩H⊆G:Gの不変部分群
(ア) 対応規則fが存在すること
f:G∩H→G
gag^{-1}∈Hに対してgg^{-1}a∈H i.e. ea∈H i.e. a∈H
条件H⊆Gのa∈H→a∈Gよりa∈G．それゆえ
a∈G∩H ☆
である．
186:１３２人目の素数さん
21/10/30 18:57:55.38 LGcNAIwj.net
これより
f(a):=a
と定める．このとき
a∈G∩H→a∈G ☆☆
を証明する．
a∈G ①
を仮定する．☆よりa∈G∩Hを考えることができる．それゆえ→-導入により
仮定①が落ちて☆☆が成立する．
(イ) fの一意性
f(a)=a_1 ☆
f(a)=a_2
に対して
f(a)=a_1∧f(a)=a_2→a_1=a_2 ☆☆
をいう．
a_1=a_2 ①
を仮定する．a_1について☆よりf(a)=a_1 ☆☆☆
と書ける．また①と☆☆☆からf(a)=a_2である．∧-導入により
f(a)=a_1∧f(a)=a_2
を考えることができる．それゆえ→-導入から仮定①が落ちて☆☆
が示された．
以上よりfは写像であるので
G∩H⊆G:Gの部分集合
であることがわかる．
187:１３２人目の素数さん
21/10/30 18:58:20.93 LGcNAIwj.net
(ウ) G∩HがGの不変部分群であること
(ア),(イ)の結果G∩H⊆Gである．いま
G∩H=G:不変部分群 ①
と仮定するとG∩Hも不変部分群である．そして∨-導入・∨-除去により
仮定①が落ちて
G∩H⊆G:Gの不変部分群
が成立する．論証は無仮定であるのでG∩H⊆Gに対して∃-導入と∀-導入を
適用すると
S∩H⊆S:Sの不変部分群
が示された．
(2) He=eH⊆G:Gの部分群
He=H
eH=H
より
He=eH⊆GはH⊆Gである．条件よりHはGの不変部分群であるので
とくにGの部分群である．それゆえ
H⊆G:Gの部分群
である．論証は無仮定であるので
He=eH⊆G
に対して∃-導入と∀-導入を適用して
HS=SH⊆G:Gの部分群
を得る．□
188:１３２人目の素数さん
21/10/30 20:24:33.72 LGcNAIwj.net
定理17
G:可換群
H⊆G:不変部分群
s∈G:個体定項
h∈H:個体定項
とする．このとき
hs=shとは限らない．
(証明)
対応規則f
f:H→G
hs→(対応)sh
が写像に成るかを考えればよい．
￢(hs=shとは限らない) ①
と仮定する．このとき対応規則を
f(hs):=hs
f(sh):=sh
と定める．しかし
f(hs)=f(sh)とは限らないので対応規則の一意性を考えることができないから
このfは写像ではない．それゆえ￢-導入により仮定①が落ちて
￢￢(hs=shとは限らない)
と表される．そして，DN規則から
hs=shとは限らない
を得る．□
189:１３２人目の素数さん
21/10/30 20:49:18.43 2Nj5isY9.net
>>1がかわいい
190:１３２人目の素数さん
21/10/30 21:18:59.06 St7/M2Mx.net
ID:6Ki3E8+eと同一人物？
191:１３２人目の素数さん
21/10/30 22:40:24.77 8W5zlxqM.net
>>182
こんなトンデモ定理が成立してしまうようなオレサマ論理学が、
一体どういう意味において「数学のため」になっているというのか。
192:１３２人目の素数さん
21/10/31 04:39:44.13 IaC5wZcK.net
馬：太郎
鹿：次郎
f(馬鹿)=馬鹿
f(鹿馬)=鹿馬
馬鹿≠鹿馬
193:１３２人目の素数さん
21/10/31 09:08:43.37 nz7BE5sJ.net
>>182
Gは可換群なのだから
いつもhs=shとなるのではないですか
勘違いかもですが
194:１３２人目の素数さん
21/10/31 10:56:14.98 IaC5wZcK.net
>>187
違うと思いますよ
G:可換群
H_1,H_2⊆G:Gの部分群
H⊆G:Gの不変部分群
とする
このとき
① H_1H_2⊆GはGの部分群とは限らない
② HがGの不変部分群のときHs=sH (s∈G)であるが
hs=shとは限らない
つまりH_1とH_2がそれぞれ可換群Gの部分群であっても
H_1とH_2との積H_1H_2はGの部分群とは限らないのであるから
H_1H_2の元を考えたときにこれらは群の元とは限らない☆
そしてHがGの不変部分群のときその定義がHs=sHであるに過ぎない
(任意のHとGでHs=sHであるとは言ってない)
☆によりHsの元とsHの元は(可換)群の元とは限らないのである
(HsとsHはH_1H_2の特別な場合であるから)
それゆえこれらの元は一意的に存在するとはいえない
たとえば対応規則f
f:H→G
においてfの一意性が担保されていないので
hs→(対応)hs
sh→(対応)sh
とは限らないと考えられる
準群の条件第一に
一意的な積閉
とあります
①や②はこの条件をみたしていないと思われる
195:１３２人目の素数さん
21/10/31 11:35:35.58 nz7BE5sJ.net
抽象代数は苦手なもので、まだよく分かっていないのですが
もうちょっと考えてみることにします
レスありがとうございました
196:１３２人目の素数さん
21/10/31 11:39:19.08 IaC5wZcK.net
>>189
ノシ
197:１３２人目の素数さん
21/10/31 16:21:25.60 4M9+beq3.net
少なくとも古典論理の上での通常の数学では、
Gが可換群ならいつでも hs＝sh が成立する。
これが成立するとは限らないという
>>182の論理学は全く「数学のため」になってない。
198:１３２人目の素数さん
21/10/31 16:33:16.14 4M9+beq3.net
一応聞いておくけど、hs＝sh が成り立たないような
�
199:ﾂ換群Gの具体例を1つ挙げてみてよ。 たとえば、具体的な「有限」可換群を挙げようとすると、 それが有限であるがゆえに、全ての元を個別の記号で 完全に表記することが可能で、それらの記号の間の 2項演算も個別に定義可能。 今の場合は可換であるように2項演算を作るのだから、 個別の記号 s,h に対して自明に hs＝sh が成り立っている。 つまり、具体的な「有限」可換群では>>182の具体例にならない。 では、どんな可換群が>>182の具体例なのか？
200:１３２人目の素数さん
21/10/31 17:30:38.48 IaC5wZcK.net
まさかと思うが
s,h∈G
ではなく
s∈G
h∈H
の区別はついているか？
H_1H_2⊆Gが部分群とは限らない
という文は読んだのか？
201:１３２人目の素数さん
21/10/31 17:42:28.41 IaC5wZcK.net
Hの元がGの元とは限らないと言っているのに
何でGの元前提で話をしているのだろう
202:１３２人目の素数さん
21/10/31 17:47:07.23 IaC5wZcK.net
しかも何で有限とか言い出してんだろ
きもい
レス不用
これでもレスしてくんだろうなｗ
203:１３２人目の素数さん
21/10/31 17:48:50.72 IaC5wZcK.net
>>186
具体例
馬：太郎
鹿：次郎
f(馬鹿)=馬鹿
f(鹿馬)=鹿馬
馬鹿≠鹿馬
204:１３２人目の素数さん
21/10/31 17:58:28.40 IaC5wZcK.net
自分は何でも知っているみたいなスタンスがきもい
どうせAIだろうけど
205:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:12:05.03 4M9+beq3.net
>>194
＞Hの元がGの元とは限らないと言っているのに
何を言ってるんだ。>>182では仮定の部分に
H⊆G
と書いてあるんだから、Hの元は自明にGの元だろ。
それとも、君の論理学では
・ H⊆G であっても、Hの元はGの元とは限らない
のかね？
206:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:14:02.58 IaC5wZcK.net
貴方の話が正しいとすると
次の核心という定義もできないし
私はすべての群は可換群であるという前提で話をしている以上
共役部分群が全部不変部分群になってしまうこともおかしい
そのおかしさを指摘したいなら回りくどく言ってないでそう言えばいいのに
何を遠慮しているのか？
207:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:16:14.52 IaC5wZcK.net
>>198
まあ記号を変えるべきというのはあるでしょう
しかし
Hは不変部分群です
208:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:17:42.36 IaC5wZcK.net
H⊆G：部分集合
H⊆G：不変部分群
この違いはわかりますか？
209:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:19:56.47 4M9+beq3.net
>>200
＞まあ記号を変えるべきというのはあるでしょう
それはつまり、「 H⊆G であっても、Hの元はGの元とは限らない 」ってことだよね？
(1) そうです。わたしの論理学の上では、H⊆G であっても、Hの元はGの元とは限りません。
(2) いいえ。わたしの論理学でも、H⊆G ならば Hの元は必ずGの元です。
のどちらかで はっきり答えてくれませんか。
210:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:23:21.08 4M9+beq3.net
>>201
通常の数学では、H⊆G と書いた時点で「HはGの部分集合」という意味になる。よって、
＞ H⊆G：部分集合
とは、あくまでも通常の数学で解釈するならば、
「 HはGの部分集合であり、かつHはGの部分集合である 」
という、同じ意味を二重に繰り返した文章になる。また、
＞ H⊆G：不変部分群
の方は、
「 HはGの部分集合であり、かつHはGの不変部分群である 」
という意味になる。いずれにしても、通常の数学ならば、H⊆G と書いた時点で
「HはGの部分集合」が確定するので、「Hの元は必ずGの元である」ということになる。
これはもちろん、通常の数学での話であり、君の論理学の上でどう解釈されるのかは知らない。
だから、さっきから>>202のように質問している。
211:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:24:10.33 IaC5wZcK.net
>>202
>>201
先に201に答えろ
212:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:25:54.70 IaC5wZcK.net
>>203
>HはGの部分集合であり、かつHはGの不変部分群である
ダウト
全く不変部分群がわかってないですね
質問する前に
正田建次郎を読むことをおすすめします
貴方とは議論になりそうにもないので以後無視しますので
213:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:28:43.76 4M9+beq3.net
>>205
だから、それがダウトになるのはあなたの論理学の上での話でしょ。
通常の数学では、H⊆G と書いた時点で「HはGの部分集合」だよ。
それで？結局、あなたの論理学の上では、
「 H⊆G であっても、Hの元はGの元とは限らない 」ってことだよね？
(1) そうです。わたしの論理学の上では、H⊆G であっても、Hの元はGの元とは限りません。
(2) いいえ。わたしの論理学でも、H⊆G ならば Hの元は必ずGの元です。
のどちらかで はっきり答えてよ。
214:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:28:59.30 IaC5wZcK.net
へ理屈で言い負かそうとするAIきっしょｗｗｗｗｗｗｗ
215:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:30:04.18 IaC5wZcK.net
じゃあ
H⊆G
を使わないで
HはGの不変部分群である
これでいいか？
記号の能無し
216:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:31:27.58 IaC5wZcK.net
論理学論理学叫んでるけど
意味ねえｗ
というかもうこのスレが意味ねえ�
217:ｩら止めるわ
218:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:32:18.32 4M9+beq3.net
まあ、君の解答を待つまでもなく、
(1) そうです。わたしの論理学の上では、H⊆G であっても、Hの元はGの元とは限りません。
に確定してるんだけどね。なぜかって？
理由その1：>>182には「 H⊆G 」と書いてあるのに、
それでも君は「Hの元はGの元になるとは限らない」と述べてるから。
この時点で既に(1)の意味に確定している。
理由その2：「まあ記号を変えるべきというのはあるでしょう」と>>200で吐露しているから。
219:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:34:09.68 IaC5wZcK.net
数学系ユーチューバのスレで自分の話に疑問を持ってくれた方へ
数学を通してだいたいの論理の型は書けたと思います
あとは金子を始めとした(数学にはそれで十分だと思いますが)論理学の本を読んで
みてください
220:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:36:13.01 IaC5wZcK.net
虫けらがうざいんで
スクラップAI(笑)
何も読めてない
そりゃあ構文論と意味論なんていう文脈では
人間の文は読めませんｗｗｗ
じゃあな機械
221:１３２人目の素数さん
21/10/31 18:42:04.87 4M9+beq3.net
仮にも論理学を扱っている人間が、「 ⊆ 」に関して
明確に "記号の乱用" をしておきながら、いざそのことに関して質問が来ると、
勝手にキレ出して暴走する。厳密性のカケラもねえな。
お前に論理学を論じる資格はねえよ。
222:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:01:19.26 D3MnpN0U.net
AIって人工知能がレスしてると妄想してんのか…
>>1は参考文献読んでても、いやこれはおかしい！って思ったら、勝手に自分が思い付いた方法に改変してしまってる
とにかくスレが終わってよかった
これで初学者が変なこと吹き込まれる心配がなくなった
223:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:02:11.77 IaC5wZcK.net
なーんだそれが目的か
224:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:03:24.63 IaC5wZcK.net
じゃあ続けよう
プログラムレベルの頭しかねえなって意味だ
てめえも字義通りにしか読めねえbotだわ
225:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:04:53.90 IaC5wZcK.net
たとえAとBが可換群の部分群であっても
積ABは部分群とは限らない
226:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:07:53.82 IaC5wZcK.net
数学や論理学が目的ではなく
俺の排除だということがよくわかった
俺もそれなりにやるよ
ばーか
227:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:08:54.59 IaC5wZcK.net
>>217
可換群の部分群とは限らない
この方が正確だな
228:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:09:14.96 D3MnpN0U.net
初学者に変なこと吹き込む気でいるのは笑う
229:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:10:23.46 IaC5wZcK.net
記号の濫用だと言って言葉狩りをして
じゃあどうするのか
不変部分群を正規部分群と言い換えて
H?G
でも使うのか
これこそ記号の濫用だわ
230:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:10:27.22 4M9+beq3.net
>>208
そのスタンスから推測すると、君は実際には次のような立場なのだな。
(i) 「わたしの論理学でも、H⊆G ならばHの元は必ずGの元である」
(ii)「わたしの論理学では、HがGの不変部分群であっても、H⊆G は必ずしも成り立たない」
もし君がこのスタンスならば、
＞H⊆G
＞を使わないで
＞HはGの不変部分群である
これでいいと思うよ。
231:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:11:07.48 IaC5wZcK.net
>>220
匿名だと何でも言えてよかったな
232:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:13:29.86 IaC5wZcK.net
>>222
そうです
揚げ足取りのように見えたので
まともな返事をしませんでした
233:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:14:13.67 4M9+beq3.net
ただし、そもそも
(ii)「わたしの論理学では、HがGの不変部分群であっても、H⊆G は必ずしも成り立たない」
これ自体が通常の数学とは異なる。なぜなら、通常の数学では、
(iii)「HがGの不変部分群ならば、HはGの部分集合である」
が成り立つから。そして、どうやら君は、通常の数学ですら、
(iii)ではなく(ii)の方が成り立つと勘違いしていたように見受けられる。
234:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:14:47.87 D3MnpN0U.net
>>223
それはこっちの台詞だ
お前自体初学者で参考文献使って話してるくせに、確たる根拠もなく参考文献と違うやり方してる
そこまでなら本当は問題ないんだが、お前は自己流でやってることに無
235:自覚で、自己流であることの断りなしに、人に自分のやり方を広めてるところが害悪なんだよ
236:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:16:53.99 IaC5wZcK.net
>>225
だから俺は2を言っている
不変部分群の中に部分集合にならないものがある
そもそも部分群の中に部分集合にならないものがあると言っている
237:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:17:34.94 4M9+beq3.net
つまり君は、「わたしの論理学」だとか「古典論理」だとか関係なく、
そもそも「不変部分群」という概念自体の意味を勘違いしていたということ。
なので、君が勘違いするところの「不変部分群」とやらを
通常の数学の上に持ってくれば、おそらく通常の数学でも
「 HがGの "(わたしの定義するところの)不変部分群" であっても、H⊆G は必ずしも成り立たない 」
が証明できるようになってしまうだろう。しかし、この現象は、
君が勘違いするところの「不変部分群」がおかしな定義になっているからこその
現象にすぎないのであって、この点に関して「わたしの論理学」だとか
「古典論理」だとかは差異を論じる意味がない。
別の言い方をすれば、通常の数学で使われている通常の「不変部分群」の定義を
君の論理学の上でも採用すれば、君の論理学であっても
「 HがGの不変部分群なら、必ず H⊆G が成り立つ 」
が証明できるだろうということ。
238:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:20:53.99 IaC5wZcK.net
>>228
可換群Gの部分群H_1,H_2に対して
H_1H_2はGの部分群とは限らない
これがある以上同意できない
239:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:21:39.12 4M9+beq3.net
>>227
＞そもそも部分群の中に部分集合にならないものがあると言っている
それは君のスタンスですら起こり得ない。なぜかというと、まず>>6に
＞ H⊆G i.e. g∈H→g∈G
と書いてあるので、君は
・ わたしの論理学では、H⊆G ならばHの元は必ずGの元である。
というスタンスであることが確定する。次に、>>6の最後に
＞定義1
＞HはGの部分群である:⇔[H⊆G:H自身群でGの群でもある]
と書いてある。この定義1により、君は
・ わたしの論理学では、HがGの部分群ならば H⊆G である。
・ つまり、わたしの論理学では、HがGの部分群ならば、Hの元は必ずGの元である。
というスンタスであることが確定する。
それとも、定義1に書いてある「H⊆G」は実は記号の乱用にすぎず、
実際には「H⊆G」でないようなHまでもが部分群の対象になっているのか？
もしそうなら、定義1から修正しなければいかんぞ。
240:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:24:31.85 4M9+beq3.net
>>229
あくまでも通常の数学の話をするならば、
・ 通常の数学では、可換群Gの部分群H_1,H_2に対して、H_1H_2はGの部分群である
が成立する。通常の数学に関するこの話に同意できないというのであれば、
君は「部分群」という概念自体を勘違いしていることになる。
241:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:27:22.35 IaC5wZcK.net
>>231
正田もそう言っているし
俺も実際に確かめたが
H_1H_2⊆G
に対して写像が定義できなかった
ここでは写像と部分集合は同義なのでH_1H_2はGの部分集合とは限らない
という結論に至る
242:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:31:23.72 D3MnpN0U.net
通常の数学では写像と部分集合は同義ではありません
いかに滅茶苦茶なこと言ってるかがわかるな
243:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:33:55.25 4M9+beq3.net
>>232
＞H_1H_2⊆G
＞に対して写像が定義できなかった
君の証明方法がヘタクソだったから証明に失敗したという、それだけの話でしょ。
君の論理学の上でならいざ知らず、今は通常の数学の話をしているのに、それでも
・ 通常の数学では、可換群Gの部分群H_1,H_2に対して、H_1H_2はGの部分群である
に異論があるなんて、それこそ異常だよ。君は「通常の数学は矛盾を抱えている」と言ってるわけだからね。
実際には君がどこかで勘違いしてるだけ。
あと、>>230についてはどうなんですか？
244:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:36:31.05 IaC5wZcK.net
せいぜい言ってろ
245:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:36:36.46 4M9+beq3.net
>>233
彼の論理学の上では「写像」が基本になるらしいので、
あくまでも彼の論理学の上でなら、「写像」にこだわるのは問題ないのだが、
今は通常の数学の話をしているのだから、
彼がこだわるところの「写像」の方法が失敗に終わったからといって、
それは通常の数学での矛盾を発見したことには ならないんだよね。
彼はこのあたりも混同しているように見える。一体どの論理学の上で話をしてるんだっていう。
246:１３２人目の素数さん
21/10/31 19:55:25.45 D3MnpN0U.net
自分が以前置いた仮定との矛盾に気付かない、
これはきっとAIが書き込んでるに違いないなんて妄想する
こういう頭がおかしい奴が、数学の
247:本に目を通しただけで頭良くなった気で、ろくに理解もしないまま書き込んで無茶苦茶なこと言ってるのが、このスレの全てだよ 仮にそれをある程度自覚して、 「このスレでは妄想垂れ流してます」、 「もしかしたらおかしなこと言ってるかもしれません、指摘いただいたら訂正します」 ってスタンスでいるならまだ許せるが、こいつはそうじゃない 自分の数学と通常の数学を区別せずに他人の質問に答えるから、周囲に嘘を教えてるのと一緒だ