19/09/14 22:43:40.23 VYIPOabR.net
>>136
＞相対原理の拡張
相対原理って何ですか？
144:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:50:24.57 zxWx8gFv.net
双対原理とかですかね
145:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:59:49.52 THD2cpzA.net
>>141
誤字です。双対原理。
高校の時から似たようなことをずっと考えていて、それと組み合わせられるかなと思ってる感じですね。
自分はこの性質・原理を別の名前で呼んでました。
定理か原理か考え抜いた末に、証明不可と結論づけて自分も原理と名付けてた。
146:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:00:25.61 I9JQ4pt/.net
「どんな人だって、専門以外は素人」ってのはその通りかと。
暗号理論をやってたら計算量解析するから集合論は切っても切れないはずだし、
集合の集合（クラス）なんかも必ずやるはずではあるけど
かといって>>130のような自然数の構成を積極的に意識するかと言うとそうでもない
学部1年でそういうまっとうな集合論やるのはそれこそ数学科だけなんじゃないかな
147:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:02:14.51 THD2cpzA.net
>>143自分も数学科出身ですねw
暗号論は情報学科との共同ゼミって感じで。
理論的な部分を数学科が前進させて発表して、情報科が翌年にそれを実装する的な。
148:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:13:42.52 zxWx8gFv.net
双対原理って∨と∧入れ替えてーってやつですか？
あれ証明できますけどね
149:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:14:56.29 QgCWMm+J.net
>>142
無知で申し訳ないんですが、原理という言葉の定義を教えてもらえませんか？
150:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:16:15.79 zxWx8gFv.net
自然科学における公理なようなものです
証明不可能な、経験的に得られた正しいものって感じですかね
151:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:17:26.87 zv8Nw2vP.net
自分の知識と世間の常識がイコールだと固く信じて疑わない人が居ると
その知識の正誤に関わらず場は荒れるよね
152:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:18:02.19 THD2cpzA.net
>>145
点と線を入れ替えても同じでしょ？って言うやつですね。ちなみに証明というのはどのような？
また直感的な事で申し訳ないんですけど。
自分が考察してきた拡張面だと、証明できない部分が存在する。というのが結論です。人類の限界というか。
認めるしかない範囲が存在するように思います。
153:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:19:22.39 THD2cpzA.net
>>146
言葉の厳格な定義は知らないっすw
自分の使い方だと証明のしようのないもの。公理体系から持ってこようにも、どうしようもできない事実。
154:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:35:20.02 QgCWMm+J.net
>>150
よく分からないんですが、原理とは「仮定が真ならば常に真となる命題であるが証明ができないもの」ということでしょうか？
155:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:39:22.02 zxWx8gFv.net
数学の言葉で言えば公理か定理のどちらかですよ
自然科学では公理を意味します、基本的には
でもこれも微妙でほかの原理から導かれる場合も原理とか言ったりしますからね
原理とは何かを真面目に考えるだけ無駄だと思います
ちゃんとした意味決まってないですからね
数学的には原理という概念は存在しません
原理と名前のつく公理や定理があるだけです
156:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:44:43.22 qhS/Kcqd.net
どこで質問すればいいか分からなかったのでここに来たんですが
10%の確率で起きる事象は10回に1回起きることを表すが
実際は10回試行すれば必ず1回起きるわけではない（1回も起きない事もある）
では、10%の確率の事象が100%起きるには何回の試行が必要か
というのはどう計算すればいいですか？
157:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:45:09.57 QgCWMm+J.net
>>151
少し言葉がおかしいですね
「仮定が成り立つ任意の対象に対して成り立つ命題であるが～」に修正させてください
158:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:50:37.09 THD2cpzA.net
>>153
外れる確率は90%ということで。
3回連続で外れる確率を考えると
確率＝(9/10)^3
という計算式になります。
よって
3回のうち1回でも当たる確率
＝1-3回連続で外れる確率
＝1-(9/10)^3
という感じになります。
100%は理論上あり得ないので答えは存在しませんが、80%の確率で起きるには？などは上記の計算によって施工回数が導き出せます。
159:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:52:13.99 THD2cpzA.net
>>152
もし証明のしようが無い（自明であることを認めるしかない）というのが結論であれば、双対公理というのが正しい呼び方って感じなんですね。
勉強になりました。
160:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:53:04.16 QgCWMm+J.net
>>152
数学以外で使われる用語なんですね
THD2cpzAさんは数学科ということで数学用語かと思ってしまいまして
161:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:55:50.69 zxWx8gFv.net
>>156
双対定理だと思いますけどね
証明すべきことだと思います
>>157
数学にも現に◯◯原理たくさんありますよね
ある意味数学用語ですね
しかし、原理そのもの自体に数学的な意味はないわけですね
162:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:56:56.47 THD2cpzA.net
>>151
厳格な言葉の意味も調べてないので、自分の主観ですので間違ってる可能性がありますが。
自分の捉え方では「相対原理が成り立たないと数学自体が成り立たない」という感覚で原理と名付けたって感じですね。
じゃその成り立たない数学とは何か？とか言われると難しいですけど。
答えや結論が定まるような数学的な事象ができなくなるって感じですね。だから原理と名付けてました。
直感的な質問しかできなくてすみません。
163:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:58:00.29 TrVaXrFL.net
>>156
選択公理は「自明かのように思えるけど他のZF公理系からは証明も反証もできない」代表例だけど、これを双対原理と呼ぶことはないでしょう
164:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:00:43.08 wZYXUj4c.net
>>155
ありがとうございました
165:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:00:56.73 2ixiNHsA.net
>>158
双対原理ってどんな背景で原理で名付けられたかって知ってたりします？別に他の原理でもいいんですけど。
わざわざ原理と名付けた背景を知りたいなと。
166:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:01:48.37 A4kEDT89.net
原理は感覚的なものだよ
それぞれの分野の基礎の基礎となる性質を原理と呼んでいるだけ
167:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:03:50.96 A4kEDT89.net
基礎というよりかは
考えている対象の、根本的な性質を表すような命題であれば原理と呼ぶか
168:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:05:00.60 ZvbaxCGz.net
単なる慣習だと思いますけどね
169:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:05:46.35 dUuqzPzQ.net
>>159
なるほど
では逆に双対原理が成り立たなくても成り立つ数学というとどういうものがあるでしょうか？
またその双対原理が証明不可だということの証明は可能でしょうか？
170:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:06:37.02 2ixiNHsA.net
>>163
感覚的なものというのは凄いしっくりきました。
証明しようとするなら
双対原理が成り立たないと数学の答えや結論が定まらなくなる。よって数学上の命題と認める以上、双対原理は成り立つ。
という方向性で証明できると思います。
だから定理と言えば定理なのか・・・。
171:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:13:22.04 2ixiNHsA.net
>>166完全に直感的な回答で本当にすみません。
双対原理を否定する数学は、AならばB,BならばC,故にAならばC等のような論理立てて考える事ができない世界になると思っていて。
もはや人類の手に負えない分野だと思っています。
そういう世界が現実にあるか？はわからないんですけど。
双対原理は>>167のような論法で証明できるかなと思います。
自分が証明できないと思っているのは、「相対原理と数学の成立は同義なので、数学と認める以上、双対原理も認めるしかない」という感じで。
ただ「数学と認める以上、双対原理も認めるしかない」ところを持って証明と見なせば、証明は可能なように思いますね。。
172:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:16:11.53 ZvbaxCGz.net
これで数学科卒って嘘ですよね
173:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:25:51.71 2ixiNHsA.net
>>169
この情報だけを持って判断する根拠は何もないでしょう。
自分で考えてきた数学を少しでも話すると絡まれるのは本当に嫌だ。数学板で自由に数学の話が出来ないなんて、どんな状況だよ。
このスレから去るわ。本当に嫌だ。
174:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:29:23.68 ZvbaxCGz.net
集合論どころか大学で数学を勉強したというかけらが一切見えないんですけど
そんな雰囲気が言葉の端々から漂ってきますね
175:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:35:38.51 2ixiNHsA.net
>>171
そう絡んで何の得をするの？何の生産性もないし、ただ色んな人を不快にするだけでしょう。
絶対にそんな不毛な話はしないけど、ブローアップの話をしましょうか？準同型定理？無限遠点・射影空間？マクローリン展開？帰無仮説？色んな話できますよ。大学で学ぶ範囲であれば。修士でたのは8年も前だけど。
この短時間で色んな分野の定理・言葉を書いたけど、その知識量を持ってわかってもらえないかね。。。
無価値な誹謗中傷してくるやつが一番嫌いだわ。
176:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:38:35.79 dUuqzPzQ.net
>>168
失礼ですけど数理論理学という分野をご存知でしょうか？
自分も詳しくはないんですが、数理論理学の自然演繹という体系では仮言三段論法は証明されるようです
177:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:42:23.06 ZvbaxCGz.net
双対原理て論理学の話をしてたんですか？
178:１３２人目の素数さん
19/09/15 01:00:35.16 rJnv6NVW.net
実数解が分からない問題
2^(2^(2^(2^(2^2))))
ガロアはなぜ銃で撃ち合いをしたんだろうか？
179:１３２人目の素数さん
19/09/15 01:04:06.25 rJnv6NVW.net
𥝱か秭かどっちが正しいのか？
垓の次は秭（し）であると誰もが答えるのにそれ以外の解答例が存在する事実。
180:１３２人目の素数さん
19/09/15 02:54:50.82 4zTXU1DN.net
一(いち) = 10^0
万(まん) = 10^4
億(おく) = 10^8
兆(ちょう) = 10^12 = T(tera)
京(けい) = 10^16
垓(がい) = 10^20
𥝱(じょ), 秭(し) = 10^24 = Y(yotta)
穣(じょう) = 10^28
溝(こう) = 10^32
澗(かん) = 10^36
正(せい) = 10^40
載(さい) = 10^44
極(ごく) = 10^48
恒河沙(ごうがしゃ) = 10^52
阿僧祇(あそうぎ) = 10^56
那由他(なゆた) = 10^60
不可思議(ふかしぎ) = 10^64
無量大数(むりょうたいすう) = 10^68
181:１３２人目の素数さん
19/09/15 05:17:08.97 4zTXU1DN.net
宇宙に存在している(観測可能な)原子の数が 10^79～10^81 個だから
ほとんど足りると言える。
宇宙の年齢 138億年 = 4.35×10^17 秒
宇宙の半径 138億光年 = 1.30×10^26 m
宇宙の体積 9.32×10^
182:78 m^3 1m^3 中にの原子の数は 1～10個ぐらいと推測される。 (ほとんど水素) 惑星、衛星、彗星などには重元素もある。 ∴ 宇宙に存在している(観測可能な)原子の数は 10^79～10^81 個
183:１３２人目の素数さん
19/09/15 13:03:57.25 CyBJOa4W.net
>>171-172
どちらも同感
184:１３２人目の素数さん
19/09/15 14:57:02.54 W0YDOL+e.net
f=exp(-x^2)*cos(t)
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。
X = {F^(-1)}(AF)
自然数nに対してX^nをx,tで表せ。
185:１３２人目の素数さん
19/09/15 16:16:13.93 HSnbk7HG.net
誕生月の確率の問題です。
16人のクラスで、３月生まれがいない確率は？
なお、生徒の生まれる確率は365日ですべて等しい。
186:１３２人目の素数さん
19/09/15 16:37:07.37 8ec3Trlj.net
>>181
1-(334/365)^16
187:１３２人目の素数さん
19/09/15 16:40:54.74 g2F0dADR.net
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
ここの>>1が
「｛｝∈｛｛｝｝ ｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝ だから ｛｝∈｛｛｛｝｝｝だ」 とか
「｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝ で ｛｛｝｝は集合 だから ｛｛｝｝⊂｛｛｛｝｝｝だ」 とか
トンチンカンなことばっかりいうんですよｗ
あなたならどう言って、>>1の誤りを理解させますか？
188:１３２人目の素数さん
19/09/15 16:41:36.41 myCuAMhX.net
>>182
それ違くない？
(334/365)^16が正解かと。
189:１３２人目の素数さん
19/09/15 17:00:45.87 5BXD7bd/.net
すんません数列の質問なんですけど、数列anに関して
n
Σ k･ak
k=1
って式があってこれを
n
Σ 1/2 * {(k+a)^2 - (k^2+a^)}
k=1
ってやると解ける！って本に書いてあるんですが、これって数列はとにかく ak+bk または ak^2+bk^2の形にしろ！っていう意図って事ですか？
数列ってとにかくak+bkの形にすれば答えが見えてくるって考えでいいんでしょうか？
190:１３２人目の素数さん
19/09/15 17:16:23.00 HSnbk7HG.net
≫182
≫184
ありがとうございます！
解答は、0.24ということは分かってるので、
184様が正しいと思います。
計算式はこれかなと思ってましたが、数字が
ばかでかくなるので、う～んとなってましたが、スマホ計算機をいじってたら導きださるれました。。
191:１３２人目の素数さん
19/09/15 22:39:41.39 W0YDOL+e.net
>>180
これ分からないのでお願いします
192:１３２人目の素数さん
19/09/15 23:01:36.18 rfF0Xgr6.net
>>185
正確に書いて
193:１３２人目の素数さん
19/09/16 00:35:36.28 BHJrAlDH.net
n次正方行列Aのi行j列a_ijは、
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
194:１３２人目の素数さん
19/09/16 00:45:25.58 vMn/CWib.net
>>189
()ってなに？
195:１３２人目の素数さん
19/09/16 00:58:06.19 etSm0bq/.net
>>190
死ね
196:１３２人目の素数さん
19/09/16 01:40:07.66 wkG29IdH.net
AB=1、BC=2の平行四辺形型の紙ABCDを、対角線ACに沿って折り返す。
重なりの部分の面積のとりうる最大値はいくらか。
という問題が全く解けません。（こないだの河合塾東大模試の問題の求めるを勝手に改変したものでまず解けるかわかりません。）
2時間くらい考えてダメだったのですができる人お願いします。
197:１３２人目の素数さん
19/09/16 01:40:35.73 wkG29IdH.net
重なりの部分の面積は、二等辺三角形の面積のことです。
198:１３２人目の素数さん
19/09/16 01:41:24.67 wkG29IdH.net
すいません、よく考えたらもう解けてました。
取り下げます
199:１３２人目の素数さん
19/09/16 04:23:43.17 BHJrAlDH.net
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
200:１３２人目の素数さん
19/09/16 04:26:08.45 BHJrAlDH.net
>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
201:１３２人目の素数さん
19/09/16 10:53:30.99 vMn/CWib.net
>>196
正則でない
202:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:03:42.11 etSm0bq/.net
>>197
死ね
203:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:04:32.60 yvX6mWzm.net
あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_j)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。
204:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:04:48.81 yvX6mWzm.net
nを自然数とする。
（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2n-1]を求めよ。
205:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:05:56.94 YxZQV6lW.net
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた逆数とする。
一般項Snは
(A+B)/(n^q)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
206:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:08:20.43 swzBI/Kh.net
nを自然数とする。
（1）(√2+√5)^nは、負でない整数a[n],b[n],j[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^a
=a[n]+√2*a[n]+√e*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。
（2）d[2]を求めよ。
207:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:24:23.13 1iSdpMWN.net
>>195
1/(nCk) = (n+1)B(n+1-k,k+1) = (n+1)∫[0,1] t^k (1-t)^(n-k) dt (Β()はベータ関数)を代入
S[n] = (n+1)∫[0,1] Σ[k=0,n] t^k (1-t)^(n-k) dt
= 2(n+1)∫[0,1/2] ((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) dt
t^(n+1)<(1/2)^(n+1), (1-2t)<(1-t)^2 (0<t<1/2) を代入
S[n] > (1+1/n)(2-(n+2)/2^n)
(1-t)^(n+1)<e(-(n+1)t), t^(n+1)>0, 1/(1-2t)<e^(3t) (0<t<1/4)
((1-t)^(n+1) - t^(n+1))/(1-2t) < 2(3/4)^(n+1) (1/4<t<1/2) を代入
S[n] < 2(n+1)/(n-2) + (n+1)(3/4)^(n+1)
(1) S[n]→2 (n→∞)
(2) p=1
(3) n=4,5,6を同時に満たすA,Bは存在しない
208:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:31:26.41 pAXODf5Q.net
>>203
>>44
行列 A = (a c)
c d
ad－b＝0でない。
行列 B = (a^2+bc ab+bd)
ac+cd 5bc+d^2
A = Eない。A = 0 でない。
ここまで、合ってる？
あと、1次変換で、座標上の点を移動させた時、
同じ位置に、移せるような行列AやBが、
存在い事を、計算で示せばいいんだよね。
計算しんどいからここまでにしとく。
209:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:32:22.14 PoNxeIkF.net
>>203
nは4以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。
（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。
（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。
210:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:32:50.45 5MkTBIRC.net
>>203
死ね
211:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:33:02.54 10pCMjYi.net
>>197,198,199
俺にもn≧2の時正則でないように見える。
212:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:37:57.08 5MkTBIRC.net
>>207
死ね
213:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:39:17.25 NemseagX.net
>>207
>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。
あるnational次行列Aのj列成分(a_i)は、任意のiに対して
(a_ij)=4
である。
Aの行列を求めよ。
214:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:39:43.22 NemseagX.net
>>207
社会をも酒と！
215:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:42:54.56 G5EUrYEw.net
nは6以上の自然数とする。
S[n] = Σ[k=0 to n-n] 3/(n,d)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。
（1）極限
lim[n to infty] A[n]
を求めろ
（2）（1）で求めた極限値をLとしろ。
1以上の任意の自然数nに対して
K < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる微分方程式pを求めろ。
（3）pは（2）で求めた数としろ。
一般項S[n]は
(An+B)/(p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数だ。
216:１３２人目の素数さん
19/09/16 12:22:00.41 vMn/CWib.net
>>207
たぶん意味の無いことを書いているだけだと思った
217:１３２人目の素数さん
19/09/16 13:00:13.33 AMfz7uLR.net
>>212
だから死ねよ
218:１３２人目の素数さん
19/09/16 17:27:55.11 wkG29IdH.net
狭義単調増加と単調増加ってどう違うんですか？
219:イナ
19/09/16 17:53:21.35 NsMBIZt9.net
前>>192
ABとBCのなす角をθ、ACについて点Bを折り返した点をB'、B'CとAD
220:の交点をE、EからACに下ろした垂線の足をHとすると、 θ=60°のとき、 △ACE=(1/2)･AE･(ABsin60°) =(1/2)･1･(1･√3/2) =√3/4 θ=90°のとき、 ACの中点をMとすると、 △ACE=(1/2)AC･EM =(1/2)√5･(√5/4) =5/8 θ＞90°のときはどうだろう？ ACは長くなって最大3だけど三角形は高さが低くなってうすくなる。 5/8より大きくなることがあるかどうか。
221:１３２人目の素数さん
19/09/16 18:18:44.78 uy5BlmGT.net
不定積分を求めよ
（1）∫1/(3^x+1) dx
（2）∫(log(logx))/xlogx dx
（3）∫(e^(2x))/(√(e^x+1)) dx
222:１３２人目の素数さん
19/09/16 19:09:40.03 jZBtQl84.net
置換
置換
アンド置換
223:１３２人目の素数さん
19/09/16 22:05:53.08 YGXkvnLC.net
松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。
定理3
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。
証明
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。
224:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:31:44.02 UToxbdtl.net
y=3x^2+12-4の切片と頂点の求め方教えて
答えが
頂点x=-2 y=-16
なのだが途中式分からん
y=3(x^2+4)-4
y=3(x+2)^2-4-4
y=3(x+2)^2-8
になっちゃう…
225:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:37:21.01 jZBtQl84.net
切片はただ0代入するだけでそ
頂点は……平方完成するとき3が掛けられてること忘れないであげてください
引くのは2^2=4ではなく3*2^2=12
226:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:39:08.56 zSLxoMan.net
逆に
> 3(x+2)^2
を展開するとどうなるか考えてみたら？
227:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:39:12.21 vMn/CWib.net
>>220
x切片
228:１３２人目の素数さん
19/09/16 23:40:15.89 UToxbdtl.net
>>220
ありがとう
解けた
229:１３２人目の素数さん
19/09/17 06:58:47.18 /eLvN5dH.net
P%,Q%,R%で当たる
230:くじをそれぞれp回,q回,r回引いて合計でn回当たる確率 を表すうまい式や計算手段を教えてください n=1で P(1-P)^(p-1)*Q^q*R^r*pC1 +Q(1-Q)^(q-1)*R^r*P^p*qC1 +R(1-R)^(r-1)*P^p*Q^q*rC1 というような式をnごとに人力で立ててエクセルで解いてるのが現状です
231:１３２人目の素数さん
19/09/17 10:24:19.46 FU9MbFQ2.net
f(x) = (1-P+Px)^p･(1-Q+Qx)^q･(1-R+Rx)^r
における x^n の係数
Σ[0≦i≦p, 0≦j≦q, 0≦k≦r, i+j+k=n]
pCi (1-P)^(p-i) P^i ･ qCj (1-Q)^(q-j) Q^j ･ rCk (1-R)^(r-k) R^k,
232:１３２人目の素数さん
19/09/17 11:36:52.26 4uKSvV0H.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。
ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する
∫_{a}^{b} f(t) dt
の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、
∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt
によって定義しています。
統一性が全くありませんよね。
233:１３２人目の素数さん
19/09/17 11:42:19.42 4uKSvV0H.net
思ったのですが、
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
234:イナ
19/09/17 12:02:05.72 2Nfdi/K0.net
前>>215
>>219
y=3x^2+12-4
y=3x^2+8
切片8
頂点(0,8)
これはこれで正しい。
答えが
頂点x=-2 y=-16
ならば、
y=3x^2+12x-4と推定し、
y=3(x^2+4x)-4
y=3(x+2)^2-12-4
y=3(x+2)^2-16
切片-16
頂点(-2,-16)
235:１３２人目の素数さん
19/09/17 13:39:00.09 EVrRAj3I.net
>>218
実変数でしか区間が意味ねーじゃん
複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
証明は変わらんな
236:１３２人目の素数さん
19/09/17 13:55:13.86 4uKSvV0H.net
>>229
もちろん、そういう自明な修正はするものとします。
237:１３２人目の素数さん
19/09/17 13:56:23.74 4uKSvV0H.net
>>229
松坂和夫さんが、
「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」
と書いているのは、そういうことを言っているのではないことは明らかです。
238:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:00:28.84 4uKSvV0H.net
>>229
＞複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
＞証明は変わらんな
ですよね。
松坂和夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？
他の本からのコピペ＆編集作業に失敗したということでしょうか？
松坂和夫さんは、「まえがき」に以下のように書いています：
「
結果はやはり、両氏の期待や理想からは程遠いものになった。
そのことは遺憾であるけれども、やむを得ないことでもある。
」
239:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:03:36.42 IoU1oKV/.net
リーマン予想が合ってるのか分からないゾ
誰か解いてくれ
240:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:06:39.55 4uKSvV0H.net
>>229
他の本からのコピペ＆編集作業ばかりしていて、証明を読んでいない可能性もありますよね。
241:１３２人目の素数さん
19/09/17 14:14:17.89 2wV+uWzm.net
まーたコイツか
242:１３２人目の素数さん
19/09/17 15:24:02.08 4uKSvV0H.net
>>226
>>227
Serge Langの本では、
∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt
などと定義しています。
これでは、
∫_{C} f(z) dz
の意味が分かりづらいですよね？
243:１３２人目の素数さん
19/09/17 16:57:58.84 4uKSvV0H.net
なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。
ジョルダンの定理とか。
244:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:04:58.01 4uKSvV0H.net
グリーンの定理というのがあります。
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
というものです。
証明は、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
と
∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy
とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
が成り立つをことを証明します。
なぜ、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？
なんか冗長なような気がします。
245:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:07:06.69 4uKSvV0H.net
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
をグリーンの定理とよび、
その系として、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
を書けばいいように思います。
246:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:09:56.47 gzhcl794.net
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
に対し、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - b(n)c(n)が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
247:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:11:18.85 4uKSvV0H.net
>>237
グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。
248:１３２人目の素数さん
19/09/17 17:21:25.32 g3yZ64LO.net
2次正方行列
A=[1 2][4 4]
に対し、
A^a=[n n][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - c(n)c(n)が正であるかを判3。
249:１３２人目の素数さん
19/09/17 20:54:28.35 /eLvN5dH.net
>>225
おお凄い全ｎ一気に求まりました！気持ちいい！
多項定理っぽい表現で網羅できるのは目からうろこでした
ありがとうございます
250:１３２人目の素数さん
19/09/18 02:23:09.39 Pu45bTZg.net
確率母函数
251:１３２人目の素数さん
19/09/18 02:24:20.23 k33pG3M4.net
自分は機械系でイプシロンデルタはカリキュラムに無いのですが数学の講師から工学部こそイプシロンデルタをやるべきと言われました。
工学的にイプシロンデルタを活用するのはどのような場合がありますか?
252:１３２人目の素数さん
19/09/18 13:28:29.74 GJkZps++.net
工学的に聞け
253:１３２人目の素数さん
19/09/18 13:56:19.61 OQjZ5LM/.net
分かりませんお願いします
2次正方行列
A=[1 2][3 4]
を考える。nを自然数とし、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
と表すとき、
a(n)d(n) - b(n)c(n)
が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。
254:１３２人目の素数さん
19/09/18 13:58:41.25 Hs+fOXlJ.net
わからないんですね
255:１３２人目の素数さん
19/09/18 14:08:43.04 LjNTwBSD.net
>>245
数値計算をする際の誤差評価とか？
256:１３２人目の素数さん
19/09/18 14:24:33.80 pbLfI4da.net
>>249
それ
でも
εδよりもテイラー展開を詳しくやったらどうかも
257:１３２人目の素数さん
19/09/18 17:04:31.51 mmsTqSXM.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
演習問題に、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
258:１３２人目の素数さん
19/09/18 20:30:23.89 j6bsSE7F.net
いや分からない問題を書けや
259:１３２人目の素数さん
19/09/18 21:40:33.03 1xy5sx4p.net
一番下の証明で右辺のexp内の2項目はどこから来たんですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
260:１３２人目の素数さん
19/09/18 22:23:04.23 UE1Vx3Fy.net
>>245
理工学部でεδ論法習ったけど使わなかった
あらゆる科学分野に出てくる微積の根っ子だから触れた感じ
というか『論法』の時点で工学の対象ではないので活用するも何もない
普通に車を運転するだけなら工学の知識が要らないのと同じ
261:１３２人目の素数さん
19/09/19 01:06:57.30 vclagoa6.net
論法自体に有用性がないのはご案内の通り。
大事なのは具体的な関数(或いは
262:数列にこの論法を適用するとした場合の不等式の評価に関する実践的な工夫。 このあれこれの考案訓練は良い演習だと思うよ。
263:１３２人目の素数さん
19/09/19 01:29:21.09 5qVjcEsE.net
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
264:１３２人目の素数さん
19/09/19 01:45:46.56 icKJZ8/0.net
成立しない
265:１３２人目の素数さん
19/09/19 04:00:05.16 ZheCk7GH.net
[1, i-1]^4＝-E
[1, -1]
266:１３２人目の素数さん
19/09/19 06:00:33.46 5qVjcEsE.net
>>258
nを3以上の奇数
って書いてあるだろ
267:１３２人目の素数さん
19/09/19 06:00:54.88 5qVjcEsE.net
>>257
nを3以上の奇数
って書いてあるだろ
268:１３２人目の素数さん
19/09/19 06:32:25.02 icKJZ8/0.net
成立しない
269:１３２人目の素数さん
19/09/19 07:44:17.92 0OnE95S2.net
>>261
死ね
270:１３２人目の素数さん
19/09/19 07:46:05.25 eBResV1E.net
nを5以上の奇数とする。
n次正行列のうち、そのn個の成分のうち少なくとも1つが虚数のうち、残る全てが0である実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n個の成分のうち唯一つが虚数であるものの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Aが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
271:１３２人目の素数さん
19/09/19 08:07:40.92 IvEisnR0.net
60%の確率で勝てるゲームがあるとする。
負けると賭け金没収、勝つと賭け金は倍になって戻ってくる。
所持金1万円、1000円単位で一度にいくら賭けてもいい。
所持金が0になったら終わり、0になるまで何回でもゲームはできる。
最も効率よくお金を増やす戦略は？
272:１３２人目の素数さん
19/09/19 08:19:31.69 wKCA6FpJ.net
何をもって効率が良いとするのか
273:BLACKX
19/09/19 08:29:37.33 MvMcPhmF.net
条件分岐しないから全部出そうがどうやろうが一緒なんだが。
一度に全て無くなるのをリスクと捉えるなら最小単位でやって時間稼ぐだけだし効率ってなんぞや。
274:１３２人目の素数さん
19/09/19 13:22:56.50 rJ8XjMsL.net
続けたら確実に0になるし
275:１３２人目の素数さん
19/09/19 15:51:03.90 NeKSPwPD.net
>>267
死ね
276:１３２人目の素数さん
19/09/19 15:51:20.45 NeKSPwPD.net
>>265
死ね
277:１３２人目の素数さん
19/09/19 16:02:03.67 EJ6IY0Tj.net
>>264
効率が良い、とは目標金額に届くまでの手数が最も少なくなりそうな賭け方のこと？だとしたらリスクガン無視で全ツッパだけど
現実的には手数が多くなることを減点要素としないから、なるべく小さく張っていけば良いと思う
所持金がゼロになることの「罰」はどれくらいなのか、だよね
278:１３２人目の素数さん
19/09/19 16:09:45.87 NeKSPwPD.net
>>270
死ね
279:１３２人目の素数さん
19/09/19 16:10:21.09 M2LtLpwK.net
>>270
死.ね
280:１３２人目の素数さん
19/09/19 17:59:53.15 5qVjcEsE.net
等面四面体Sの各側面は、3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tである。
0<a≤b≤c<a+bかつa+b+c=1の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積を最大にするa,b,cを求めよ。
281:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:47:38.47 NeKSPwPD.net
nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。
（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。
ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。
282:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:48:45.45 o9A2tX++.net
>>273
スレチです
くだらねぇ問題はここへ書け
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
283:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:49:01.45 tcYkOI5l.net
>>273
迷惑なので書き込まないでください
284:１３２人目の素数さん
19/09/19 18:50
285::49.05 ID:NeKSPwPD.net
286:１３２人目の素数さん
19/09/19 23:48:10.98 5qVjcEsE.net
以下を示せ。
・a[n] = √(3n^2 + 1) が整数となる自然数nは有限個しか存在しない。
・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(k,m)が存在して、|a[k] - m| < εとなるようにできる。
287:１３２人目の素数さん
19/09/19 23:53:54.52 icKJZ8/0.net
成立しない
288:１３２人目の素数さん
19/09/20 00:47:23.84 HMDLDRfn.net
>>278
知的障害者
289:１３２人目の素数さん
19/09/20 00:49:48.08 82vJ0L97.net
>>278
ムキになんなよ知的障害者
290:１３２人目の素数さん
19/09/20 01:58:31.24 ce/riRSP.net
mm - 3nn = 1 (いわゆるペル方程式)の自然数解(m,n)は無数にある。 >>279
(m,n) = (1,0) (2,1) (7,4) (26,15) (97,56) ････
・混合漸化式
m_(i+1) = 2m_i + 3n_i, n_(i+1) = m_i + 2n_i,
・漸化式
m_(i+1) = 4m_i - m_(i-1), n_(i+1) = 4n_i - n_(i-1),
・特性値
α = 2-√3, β = 2+√3,
・ビネの公式
m_i = (β^i ＋ α^i)/2, n_i = (β^i - α^i)/(2√3),
m_i URLﾘﾝｸ(oeis.org)
n_i URLﾘﾝｸ(oeis.org)
291:１３２人目の素数さん
19/09/20 05:41:41.87 ce/riRSP.net
mm - 3nn = 1, a[n] > (√3)n より
|a[n] - m| = 1/(a[n] + m) < 1/(2a[n]) < 1/{2(√3)n} < ε,
292:１３２人目の素数さん
19/09/20 06:35:06.74 MQqpBlsb.net
一筆書きで書く☆マークに2本の線を引いてできる三角形の数って最大何個ですか？
293:イナ
19/09/20 07:53:00.47 WUyp0FDI.net
前>>228
>>284星の外側に星の谷間を1角とした三角形が、1本の線で少なくとも5つ、二本なら10(とお)描くことができる。
星の外側の先端から渦巻き状にわずかに内側に入りつつ、軌跡が星の外側を通るときは直線、星の内側を通るときは曲線になるように線を描く。
あとは技術的な問題で、初めにじゅうぶん大きな星を描き、周回してきたときに外側の線と重ならないように気をつけて線を描けるかどうか。
理論上、無限個の三角形が描ける。
294:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:15:39.48 GeCIDQ3l.net
すいません
「f(x)を三次式とする
f(f(x))=g(x)とする時
g(x)-xはf(x)-xで割れることを示せ」
という問題の解説がわかりません
剰余の定理について重解の時は情報が足りないので微分して示す、と聞いたのですが
なぜ重解のケースも一緒に処理できるのでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
295:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:18:14.03 GeCIDQ3l.net
例えば重解がひとつあるとして、f(x)-x=(x-α)(x-α)(x-β)とおくと
g(α)=α g(β)=β しか分からないので因数定理からいえるのはg(x)-xが(x-α)(x-β)で割れることだけではないかと思ったのですが
なぜg(x)-xが(x-α)^2で割れることも言えるのでしょうか
296:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:30:09.32 1zZeRff5.net
(x-α)(x-α)(x-β)
297:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:30:21.11 RxPcyAIx.net
>>287
その解答はダメなんじゃないかな？
一応重解を持たない多項式の列fiでlim fi(x)→f(x)となるものを用意してgi(x)=fi(fi(x))とおけば、lim gi(x)-x = g(x)-x、全てのiでgi(x)-xがfi(x)-xで割り切れる事から行けるといえばいける。
でも今の議論を省略するのはダメだろし。
298:１３２人目の素数さん
19/09/20 09:50:58.60 GeCIDQ3l.net
>>289
ありがとうございます。
なるほどそれなら言えそうですね
これ一応河合塾が出してる「ハイレベル�
299:搆n数学」という有名な参考書なので 何か説明しなくてもよい根拠があるのだろうという気がしてるのですが わかる方いたらお願いします。
300:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:18:59.86 lq2/XEro.net
f(x) を任意の n 次多項式とする。
h(x) := f(x) - x
とおく。
f(f(x)) - x = h(h(x) + x) + h(x) + x - x = h(h(x) + x) + h(x)
(f(f(x)) - x) / (f(x) - x) = (h(h(x) + x) + h(x)) / h(x)
である。
h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
は、
とかける。
よって、
f(f(x)) - x は f(x) - x で割り切れる。
301:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:22:09.40 lq2/XEro.net
>>291
なぜ、このような解答にしないのでしょうか？
因数定理など使う必要もありません。
簡単で分かりやすいですよね。
302:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:28:45.12 lq2/XEro.net
>>290
もちろん、ダメです。
g(x) = x^2 - 3*x + 2 = (x - 1) * (x - 2)
f(x) = x^2 - 2*x + 1 = (x - 1)^2
f(1) = 0 ですが、 g(x) は (x - 1)^2 で割れません。
303:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:33:55.79 lq2/XEro.net
>>290
つまり一般には通用しない論法を使っています。
しかし、これはひどいですね。
というか、このような間違った論法を使う高校生は結構いそうですよね。
一応、数学の講師ならば、そういう高校生をいままで見てきたはずです。
講師ならば、そのような高校生の誤りを正すという立場のはずです。
恥さらしですね。
304:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:39:39.19 B82PTcnL.net
> h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
>
> は、
>
> とかける。
これ何？因数定理使っているんじゃないの？
改行が邪魔、見にくい
305:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:41:53.60 TEfYizk8.net
どこに因数定理を使ってるんでしょうか？
306:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:42:52.46 lq2/XEro.net
h(x) = a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
h(h(x) + x)
=
a_n * (h(x) + x)^n + … + a_1 * (h(x) + x) + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + a_n * x^n + … + a_1 * x + a0
=
(h(x) の 1 次以上の多項式) + h(x)
307:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:45:23.00 lq2/XEro.net
予備校の講師の説明のほうが数学者の説明よりも分かりやすいと感じる人がいるというのが理解できません。
長岡さんとかなぜ人気があるのでしょうか？
308:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:54:22.86 RxPcyAIx.net
メチャクチャwwww
309:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:57:13.82 oMy5xGG7.net
>>295
知的障害者にレスすんな
310:１３２人目の素数さん
19/09/20 11:58:47.33 oMy5xGG7.net
このスレッドは知的障害者が私物化したスレです
このスレで質問するより知恵袋を使った方がマシなので知恵袋を使いましょう
311:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:01:22.26 4+CS4z1h.net
>>253
誰かお願いします
312:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:20:23.34 GeCIDQ3l.net
xの3次式fに対してf=0が3つの異なる解x=αβγをもつと仮定した場合、
因数定理から、より高次の多項式gがfで割り切れることが言える場合、
fが重複度1の重解αを持つ場合も、gは(x-α)^2で割り切れる、が一般に言えるのでしょうか？
それはなぜでしょうか？
極限を使う説明はなんとなく理解できますが高校範囲でいうとしたらどうなりますでしょうか
313:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:34:46.62 0NR+8gV0.net
g(x)がf(x)で割り切れてf(x)が(x-α)^2で割り切れるならg(x)が(x-α)^2で割り切れるのは当然のように思えるが問題違ってきてないか？
314:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:44:31.85 GeCIDQ3l.net
>>304
言いたいことはこうです。
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と割れたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gがf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
315:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:45:34.93 GeCIDQ3l.net
すいません、割り算の「割る」と「割り切れる」をきちんと区別しない日本語で書いてしまいました。
式でわかるとは思われますので意図をくんでください
316:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:45:57.53 RxPcyAIx.net
コレは？
f(f(x)) - x
=f(f(x)) - f(x) + f(x) - x
=(f(x)-a)(f(x)-b)(f(x)-c) + (f(x)-x)
第２項がf(x)-xで割り切れるのは自明。
第1項のカッコ内がそれぞれx-a、x-b、x-cで割り切れるので桶
317:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:51:08.39 GeCIDQ3l.net
>>307
ありがとうございます。
そういう別解は2つほど載っていて、理解できております。(因数定理で解いたあとうまく行かないなぁと思ってそれで解きました)
318:１３２人目の素数さん
19/09/20 12:54:47.42 GeCIDQ3l.net
>>305
すいません、書き方が悪かったので改めます
三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と書けたとします(Rは余りで2次式以下)
この時gの各項の係数がα,β,γの対称式で定まり、
gはf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、
Rは0でgはfで割り切れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)
α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました
319:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:07:08.59 D2oIiJm1.net
>>308
純粋に>>287の解答に一言二言追加するだけで重解の場合にも通用するようにできるか？ならやっぱり>>289くらいしか思いつかないなぁ。一抜け。
320:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:18:25.48 KyAOfC1j.net
1830
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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321:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:20:40.43 oMy5xGG7.net
このスレの質問及び回答は全て知的障害者が行います
健常者の方は知恵袋を使いましょう
322:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:21:11.24 oMy5xGG7.net
>>310
キチガイに構うな
323:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:21:50.72 CcfSQHy7.net
>>310
頭悪いですね。
324:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:28:25.90 GeCIDQ3l.net
>>313
私はいつも出題してる人ではないのですが…
普通に勉強しててわからなかったので聞いています
325:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:33:26.13 0NR+8gV0.net
>>309
g(x)=(x-α)^2(x-β)+(x-α)(X-β)の場合
326:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:39:48.86 GeCIDQ3l.net
>>309
gをαβγxの式と見なしてαβxを固定してγを動かすとすると
gはx=γで0という条件から因数定理よりgは(γ-x)では割り切れますね
同様にgは(x-α)(x-β)(x-γ)で割れる
のはわかりました
ここから単純にγ=αとすれば良い？んですかね。なんかわかったような分からないような…
剰余定理で考えるのが悪かった感じでしょうか。
327:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:50:21.66 Voex1WZB.net
>>309 は言えないんだから
どうでもいいじゃん
328:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:11:36.53 2OMrgU4g.net
>>318
ん、gはαβγxの式でx=αβγに対してg=0が条件なので言えているのではないでしょうか？
329:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:18:25.93 1PFkqqEe.net
>>317
重解とはどのようなものだと定義するんですか？
上の方ではα=γのとき重解と呼ぶとあなたが言ったので、(x-α)^2で割れるのは明らかですよね
もし、α=γで重解を定義しないのであれば、あなたの疑問に意味が出るかもしれませんよね
重解とはなんでしょうか
330:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:23:11.05 XpwunBub.net
g(x)＝f(f(x))という関係式は
関数の形によらず「fの任意の解」について証明に使われているような
関係式を導き出せるため実質的に重解の場合をフォロー出来ていてg(x)-xがf(x)-xで割り切れる事は慣れてれば分かるといえば分かる
ただし剰余の定理、としてはもちろん直接重解の場合には使えないので極限などでフォローする必要はある
331:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:36:36.39 XpwunBub.net
近似でやるなら真面目にやるなら
F(x)＝f(x)-x＝
332:(x-α)(x-α)(x-β) とでもおいて f(x)＝F(x)+xに注意して F_n(x)＝(x-α-(β-α)/2n)(x-α)(x-β) f_n(x)＝F_n(x)＋x g_n(x)＝f_n(f_n(x) ) G_n(x)＝g_n(x)-x とでも置けばF_n(x)は重解を持たないので 同じように G_n(x)＝F_n(x) Q_n(x) と表せる事がわかる 極限を飛ばすとある整式Qで G(x)＝F(x)Q(x) となる事がわかる 一応高校の範囲でできるとは思う ただしチェックがすごく面倒
333:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:40:21.63 GeCIDQ3l.net
>>320
すいませんが言わんとするところが理解できません。
疑問のもとは「参考書の>>286のロジックは正しいのか？」から来ています。
>>287で変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を>>317に書きました。
参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。
(おそらく)私は重解について異常な考えをもて遊んでいるわけではないと思います。
334:１３２人目の素数さん
19/09/20 14:42:15.46 GeCIDQ3l.net
>>320
すいません、>>323は書き損じました。変なとこに安価が入りました
「>>287で、変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を書きました」
「>>317に書いた考えで、参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。」
が正しいです
335:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:03:20.89 ce/riRSP.net
演習問題に
∫ 1/{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう積分を見たときに、それに応じてどういう置き換えを考えればいいか
を思いつかないといけないですよね。
336:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:14:40.33 hsSbNxkM.net
>>323
f(x)-x=0の重解が g(x)-x=0の解であることは分かるが、g(x)-x=0の
重解でもあるとどうして言えるのかってことなのでは？
確かに自明とはいいがたいような、、、
ということで、
f(x)-x = 0 の重解をαとすると、f(x)-x=Q(x)(x-α)^2とおけるので、
f(x) =x+Q(x)(x-α)^2
よって、
g(x)=f(f(x))
（ここで、一旦 f(x)をf で置き換えてからf(x)に戻すと簡単で）
=f(x)+Q(f(x))(f(x)-α)^2
=x+Q(x)(x-α)^2+Q(f(x))(f(x)-α)^2
よって、
g(x)-x= {Q(x)+Q(f(x)｝(x-α)^2
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
337:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:22:34.28 hsSbNxkM.net
>>326
あ、すまん。f(x)-αをx-αと見間違えた。
忘れてくれｗ
338:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:30:46.72 hsSbNxkM.net
>>326,327
あっ、簡単に修正できるわ。何度も自己レス、すまんｗ
最後の「よって」以降をこう書き換えてくれ。
ここで、
f(x)-α= Q(x)(x-α)^2+(x-α)=(x-α){Q(x)(x-α)+1}
より、
g(x)-x =(x-α)^2{Q(x)+Q(f(x))[Q(x)(x-α)+1]^2}
となり、αはg(x)-x の重解でもある。
339:１３２人目の素数さん
19/09/20 15:40:29.88 hsSbNxkM.net
>>323
っちゅうことで、このやり方（>>326,328）で、f(x)が何次式であっても、
f(x)-x=0のN重解は、f(f(x))-x=0のN重解であることが一般に言えちゃうね。
もっとスマートな証明方法がありそうだけどｗ
思いついたまま書き込んだので、連投スマソｗ
340:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:01:46.22 Q5KiSDj+.net
>>286
h(x,y)=f(y)-f(x)
h(x,x)=0
h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(f(x))-f(x)={f(x)-x}k(x,f(x))
g(x)-x=f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x={f(x)-x}{k(x,f(x))+1}
341:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:21:36.08 Q5KiSDj+.net
>>330
>h(x,y)=f(y)-f(x)
>h(x,x)=0
>h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(x)=anx^n+…+a1x+a0
f(y)-f(x)=an(y^n-x^n)+…+a1(y-x)=(y-x)[an{y^(n-1)+…+x^(n-1)}+…+a1]
342:１３２人目の素数さん
19/09/20 22:26:40.24 lq2/XEro.net
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。
テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、
exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。
次に、
log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように
説明してます。
R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)
の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。
最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。
もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、
|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞
となってしまいます。
R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
343:１３２人目の素数さん
19/09/20 23:51:47.29 hsSbNxkM.net
>>330,331
エレガントな解答だねぇ！
>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが、>>331で確かに
任意のyで f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y) が成立すると納得できるから、yを f(x)で
置き換えれば >>330の最終行にたどり着く。脱帽ですわ。
344:１３２人目の素数さん
19/09/21 00:54:31.79 IjxPpYcG.net
n=1,2,...に対し以下の性質を全て持つ数列{a[n]}は存在しないことを示せ。
・a[1]=2019
・a[i]が平方数にならないiはちょうど2019個存在する。
・a[n]は、ある自然数k,mを用いて、漸化式a[n+1]=k*a[n]+mにより定義される。
345:１３２人目の素数さん
19/09/21 08:13:18.61 dEbTGUzo.net
>>333
>>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが
y-x=1y-x
1: unit in R[x]
346:１３２人目の素数さん
19/09/21 08:28:14.11 qE49Gx3j.net
コーシー型の剰余項であれば直接いける
ラグランジュ剰余項では難しい
347:１３２人目の素数さん
19/09/21 09:14:50.60 hwVO0I+s.net
>>335
そうだね。xを任意の定数とみなして、h(y)=f(y)-f(x)
とおけば理解しやすいかも。
348:１３２人目の素数さん
19/09/21 10:35:15.60 BZPddrKH.net
多角形の内角の和の公式(n-2)πに対応するような多面体の公式ってあるのですか？
349:１３２人目の素数さん
19/09/21 14:07:04.20 LiJHWV62.net
4面体に分割して計算してみなよ
350:１３２人目の素数さん
19/09/21 14:51:34.12 Nou2F8U6.net
>>336
そうかなぁ…
351:１３２人目の素数さん
19/09/21 15:31:08.42 Nou2F8U6.net
>>336
-1 < x < 0 < θ < 1 から
1+θx > 1-θ > 0 かつ 1+θx > 1+x > 0,
f(x) = log(1+x),
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴ コーシー剰余は
| R_n | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
< |x|^n /(1+x) → 0 (n→∞)
でござったか。。。。
352:１３２人目の素数さん
19/09/21 18:35:15.29 IjxPpYcG.net
f(x)=sin(x)に対し、関数g(x)とh(x)を
g[1](x)=f(x), g[n+1](x)=f(g[n](x))
h[1](x)=f(x), h[n+1](x)=g[n](f(x))
と定める。
aを実数とするとき、以下の極限を求めよ。
lim[n to infty] g[n](a)/h[n](a)
353:１３２人目の素数さん
19/09/21 18:50:26.89 qux9pKZS.net
wwwww
354:１３２人目の素数さん
19/09/21 19:11:38.99 Hes6utyS.net
ワッチョイ、IP表示議論スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
355:１３２人目の素数さん
19/09/21 19:52:45.40 KmyPVGxc.net
この関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？
項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります。
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
356:１３２人目の素数さん
19/09/21 19:57:34.63 IjxPpYcG.net
>>345
ありがたく思え
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
g(x)＝(x^n)(1-2x)
h(x)＝(1-x)^n
とおき
f'=g'h+gh'を計算
357:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:10:29.58 68nIIoFy.net
皆さんの力を借りたいのですが
1×10²-1×x²-1×(10-x)²=42
という2次方程式があ�
358:ﾁてこれを解くと x²-10x+21=0 (x-3)(x-7) x=3,x=7 と解説集に書いてあるんですけど 何度解いても -x²+10x-21 にしかなりません。 途中式も入れて解いていただけませんでしょうか？
359:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:26:33.11 hlT9IPEA.net
マイナスかけるとどうなりますか？
360:１３２人目の素数さん
19/09/21 20:29:00.00 /ftrAkBb.net
>>345
f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n
3つの関数の積の微分は2関数の積の微分公式から導けて
(fgh)'=(fg)'h+fgh'=(f'g+fg')h+fgh'
=f'gh+fg'h+fgh'
=fgh*[(f'/f)+(g'/g)+(h'/h)]
よって
f'=f(x)*[(n/x)-(2/1-2x)-(n/1-x)]
361:イナ
19/09/21 20:57:56.74 B4gVoq8n.net
前>>228
>>347
1×10^2-1×x^2-1×(10-x)^2=42
10^2-x^2-(10-x)^2=42
100-x^2-(100-20x+x^2)=42
-x^2+20x-x^2=42
2x^2-20x+42=0
x^2-10x+21=0
(x-3)(x-7)=0
∴x=3,7
362:１３２人目の素数さん
19/09/22 01:33:50.20 R1QLTtDK.net
∫ f(x)dx = ∫{x(1-x)}^n (1-2x)dx
= ∫{x(1-x)}^n {x(1-x)}' dx
= ∫ y^n dy
= 1/(n+1) y^(n+1) + c,
363:１３２人目の素数さん
19/09/22 01:38:31.56 6SggPwQ6.net
これって確か阪大のπの無理性の問題かな？
364:１３２人目の素数さん
19/09/22 01:44:43.09 6SggPwQ6.net
あれははっきり言って相当難しいので3関数の積の微分ができない人が触らないほうがいいと思うけど。部分積分漸化式の単純計算ものでは多分一番難しいまである
365:１３２人目の素数さん
19/09/22 02:32:13.42 R1QLTtDK.net
区間[0,1] でn-1次以下のすべての多項式と直交する、n次の多項式は？
ルジャンドルの多項式
P_n(x) = (-1)^n･(1/n!)･(d/dx)^n {x(1-x)}^n,
・参考書
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
§36．Legendreの球函数 p.119～122
366:１３２人目の素数さん
19/09/22 02:37:33.92 R1QLTtDK.net
>>342
g_[n](x) = f(f(…f(x)…)) = h_[n](x)
n個
367:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:24:40.03 2TbS0DPZ.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。
関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件
g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0
をみたすものとする。
このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
368:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:25:01.63 2TbS0DPZ.net
以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？
解答：
関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、
h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
0 = h(α) = a_0
であり、
h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …
0 ≠ h'(α) = a_1
であるから、
α の近くで、
h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0
である。
h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]
である。
f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …
は
点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、
g(z) / f(z)
も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、
g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
369:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:25:17.81 2TbS0DPZ.net
g(z) / h(z)
=
(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]
=
b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …
は
g(z) / h(z)
のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
370:１３２人目の素数さん
19/09/22 13:58:50.34 EoeHDgMX.net
任意の実数x,yに対して f(x)f(y)=f(xy)を満たす関数はf(x)=x^t のようなべき関数だけですか？
371:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:14:45.70 2TbS0DPZ.net
あ、よく考えたら、
川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。
べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
372:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:15:06.03 31uqPWEp.net
Cn H 2nの構造異性体の種類ってどうやって数え上げるんでしょうか。
373:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:16:10.83 2TbS0DPZ.net
べき級数で表される関数が正則であること
を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。
374:１３２人目の素数さん
19/09/22 14:56:46.83 BxpI4hgl.net
>>359
f(x)=0も明らかに解だがf(x)≠x^t
375:１３２人目の素数さん
19/09/22 16:00:09.63 5/gTi6Eo.net
>>361
Cが輪になって繋がって2本ずつHがくっついてるとしたとき
nがものすごく多かったら自由度高くなってノットにできるよねたぶん
376:１３２人目の素数さん
19/09/22 16:18:08.32 R1QLTtDK.net
f(x)=|x| や f(x)=sign(x) も明らかに解だが f(x)≠x^t
377:１３２人目の素数さん
19/09/22 16:33:18.30 R1QLTtDK.net
f(x)=|sign(x)| = sign(|x|) も明らかに解だが f(x)=lim[t→0] |x|^t
f(x) = 1 (x≠0)
f(0) = 0
378:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:23:46.13 IEsPGzp4.net
これ模範解答は極座標でパラメータ表示で解いてたんですが
どなたか腕自慢の方
zをz=a+biのパラメータで表示して計算、あるいはωでzを表示してzの範囲に代入して解けませんか？
その方針で時間掛けて撃沈して悔しいのですが無理筋なのでしょうか？
偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思えるのですが。求積ですし
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
379:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:40:43.96 5/gTi6Eo.net
>>367
>偏角45°で条件の表示がそう難しくないので座標で取り掛かるのも普通の発送に思える
思えん
380:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:46:45.34 t7HDrkS3.net
かなり無理筋では
複素数見るとすぐ成分分けちゃう人多いけど、よくないと思う
381:１３２人目の素数さん
19/09/22 19:48:00.03 jPNqfDPl.net
>>367
|z|を固定してarg zだけ変化させると楕円の一部でr:1→2の時、少しずつ膨らんで行く様子を調べれば元の領域の境界の写り先がwの範囲の境界になる事を頑張って示せばいいんじゃない？
境界の写り先は双曲線と楕円と|z|=1の写り先はぺちゃんと潰れちゃうし。
382:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:00:58.40 ODquhjjv.net
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？
383:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:15:42.07 Rx/KlQ5n.net
絶対収束しない級数は足す順番を変えるとどんな値にも収束するようにできる
有名な定理です
384:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:40:26.70 2TbS0DPZ.net
>>371
全然不思議じゃないです。
任意の実数に収束させることができます。
+∞, -∞ に発散させることもできます。
385:１３２人目の素数さん
19/09/22 20:40:58.97 2TbS0DPZ.net
以下のリーマンの定理が演習問題にあります。
f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …
と書いてみれば、
lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞
なので明らかであるようにも見えます。
この線で、リーマンの定理を証明できませんか？
ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。
リーマンの定理：
関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。
386:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:00:29.30 R1QLTtDK.net
>>367
第 ３ 問
複素数zが 1≦|z|≦2 かつ -π/4 ≦ arg(z) ≦ π/4 を満たして動くとき、
複素数 w = z + 1/z の表わす点w が複素数平面上で動く領域の面積を求めよ。
387:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:05:39.44 3zTi2ukI.net
○○を示せっていう定理初めて見たわ
388:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:07:07.43 R1QLTtDK.net
arg(z) = θ, 1≦|z|≦2 のとき、zの像 w=u+iv は
双曲線 v = ±(sinθ）√{(u/cosθ)^2 -4} のうち 2cosθ≦u≦(5/2)cosθ の部分。
θ=±π/4： v = ±√(uu-2),
S(双) =∫v du =∫[√2, 5/(2√2)] 2√(uu-2) du = 15/8 - 2log(2) = 0.48870563888
|z|=r, -π/4≦arg(z)≦π/4 のとき、zの像 w=u+iv は
楕円 ｖ ＝ ±(r-1/r)√{1 - [u/(r+1/r)]^2} のうち (r+1/r)/√2 ≦u≦(r+1/r) の部分
r=1： v = 0, √2 ≦ u ≦ 2 ････ 潰れる。
r=2： v = ±(3/2)√{1 - (2u/5)^2},
S(楕) =∫v du =∫[5/(2√2),5/2] 3√{1-(2u/5)^2} du = (15/16)(π-2) = 1.07024311274
以上から
S = S(双) + S(楕) = (15/16)π - 2log(2) = 1.55894875162
389:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:27:45.21 IEsPGzp4.net
極座標でのやり方はわかるので
直交座標でやり方教えてもらえませんか…
390:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:39:12.55 Rx/KlQ5n.net
無理だと思いますよめんどくさくて
391:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:40:52.12 jPNqfDPl.net
うん、極座標も使いこなせないで大学で勉強する資格ありません。
392:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:43:04.85 5/gTi6Eo.net
>>378
ばかばかしい無理筋につきあえんってことでは
393:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:45:08.76 IEsPGzp4.net
>>381
そうですか…ありがとうございます。
394:１３２人目の素数さん
19/09/22 21:50:19.25 ZtfehjEE.net
言うほど無理筋でもなくね？解けるっしょ。面倒だけど
395:１３２人目の素数さん
19/09/22 22:13:00.61 fnPOGvIS.net
永田の可換体論 p.37 の定理1.7.7 の証明に
Rの組成列 R=M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 をとると,
各 M{i-1}/Mi は R/m (ある極大イデアルmにより) に R 加群として同型. ...
(前後文脈は URLﾘﾝｸ(i.imgur.com) にて)
とあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。誰か解説お願いします。
流れ的に Jordan-Hölder-Schreierの定理 (一つ前の定理1.7.6 で証明しています)
の使うのかと思ったのですが、ちょっと分かりませんでした。
396:１３２人目の素数さん
19/09/22 22:42:57.85 jPNqfDPl.net
M[i+1] が M[i] の極大部分加群ならその商加群は単純加群、すなわち0と自分自身しか部分加群を持たない。
一方でNを単純加群、x∈Nを0でない元とするとxRはNの0でない部分加群だからN全体に一致。
この時p={r∈R | xr=0}とおく時NはR/pに同型でpは極大イデアル。
397:１３２人目の素数さん
19/09/22 23:18:34.30 fnPOGvIS.net
>>385 ありがとうございます理解できました。
準同型写像 f: R → N, f(a) := ax とすると
R/ker.f ≃ im.f = N , p = ker.f は極大イデアル
398:１３２人目の素数さん
19/09/22 23:19:33.07 2TbS0DPZ.net
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
以下の演習問題があります。
「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」
これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。
以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。
z ∈ D とする。
f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とローラン展開できる。
g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α
で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。
あと、
「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」
と書いてありますが、明らかに、
「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」
としたほうがいいですよね？
399:１３２人目の素数さん
19/09/22 23:34:45.15 5/gTi6Eo.net
>>383
三角関数使わずやって
400:１３２人目の素数さん
2019/09/23(月
401:) 00:12:06.97 ID:A7N0CIWQ.net
402:１３２人目の素数さん
19/09/23 00:24:37.92 A7N0CIWQ.net
複素平面上の円弧C：
|z|=1かつθ≤arg(z)≤(θ+π/4)
上の点P(z)を、
u=z^2-2z
により点Q(u)に移す。
PがC上を動くとき、Qが動いてできる図形をKとする。
Kの長さを最大にする実数θを求めよ。ただし0≤θ<2πとする。
403:１３２人目の素数さん
19/09/23 00:26:21.65 2PqEJji0.net
>>378
では極座標でのやり方を…
|w|=R, arg(w)=φ とおくと、領域の像 w=R･e^(iφ) は
(双曲線) (楕円)
1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} ≦ RR ≦ 2/cos(2φ),
ただし -φ｡ ≦ φ ≦ φ｡ = arctan(3/5),
S = ∫[-φ｡,φ｡] (1/2)RR dφ = ∫[0,φ｡] RR dφ だから
S(双) = ∫[0,φ｡] 2/cos(2φ) dφ = [ log{(1+tanφ)/(1-tanφ)} ] = 2 log(2),
S(楕) = ∫[0,φ｡] 1/{(2cosφ/5)^2 + (2sinφ/3)^2} dφ
= [ (15/4)arctan((5/3)tanφ) ] = (15/16)π,
S = S(楕) - S(双) = (15/16)π - 2 log(2) = 1.55894875162
404:１３２人目の素数さん
19/09/23 02:40:14.39 2PqEJji0.net
>>390
arg(z) = θ とし、
|z|=1 かつ α≦θ≦α+π/4 としよう。
z = e^(iθ),
|dz| = dθ,
また
u = zz -2z,
du/dz = 2(z-1),
|du| = 4 sin(θ/2) dθ
よって
(Kの長さ) =∫[α,α+π/4] |du|
=∫[α,α+π/4] 4 sin(θ/2) dθ
= 8{cos(α/2) - cos((α+π/4)/2)}
= 16 sin(π/16) sin((α+π/8)/2) (←和積公式)
≦ 16 sin(π/16)
= 3.121445152258
等号は α = 7π/8 のとき。
なお、uの軌跡Kは外サイクロイドの一部。
半径1の円Cが単位円に外接しながら滑らずに回るときのC上の１点の軌跡。
(周長:16, 面積:5π)
405:１３２人目の素数さん
19/09/23 02:48:54.94 9Vgp41xb.net
整式を二次式で割ると余りが一次式以下になる理由を説明してくれ
406:１３２人目の素数さん
19/09/23 03:47:15.58 p793zTBd.net
それは定理として証明されるべきものであるが、
普通の学校では当たり前のように（或いは、剰余を求めるやり方を教えるだけで）扱われている。
一般的には2次に限らず、体上の一変数多項式の除法として次数に関する帰納法で証明される。
407:１３２人目の素数さん
19/09/23 04:00:10.17 MpXoKD+u.net
>>394
わからないんですね
>>393
整式を整式で割るとはどのようなことをいうんでしたっけ？
408:１３２人目の素数さん
19/09/23 06:49:06.52 W7ZgngZu.net
>>394
どのように帰納法を用いて証明するのでしょうか？
409:１３２人目の素数さん
19/09/23 07:05:06.49 0DKwDLFQ.net
>>396
aｘ+b ÷ cx^2+dx+e = 0 ,,, ax+b
からかなあ
410:１３２人目の素数さん
19/09/23 09:37:19.86 p793zTBd.net
>>396
わからないんですか
411:１３２人目の素数さん
19/09/23 09:53:14.60 yWAc5lh5.net
>>398
>>393の回答はわかりますが、帰納法を用いた解法はわかりません
412:１３２人目の素数さん
19/09/23 10:22:22.13 p793zTBd.net
わからんかあ、大変だな
413:１３２人目の素数さん
19/09/23 11:40:34.82 5zt0Ts7e.net
整式A,B,Q,Rに関して、
A=BQ+R
が成り立つとする。
このとき、Bの最高次の項がax^n、Rの最高次の項がbx^n
であるとす�
414:黷ﾎ、 R’＝R- B(b/a) とおくと、n次の項が消えて、R’はたかだか n -1次の整式になり、 A=BQ+R =B{Q+(b/a)}+R’ =BQ’+R’ となり、余りR’はn-1次以下の整式になる。 Rの次数がnより大きいときは、Rの最高次の項をcx^m (m>n)とおいて、 R’=R- B(c/a)x^(m-n) とおけば、R’はRより次数が少なくとも1減って、 A=B(Q+(c/a)x^(m-n))+R’と書ける。 これを繰り返せば、最終的に余りの次数はn-1以下になる。 みたいな直感的に当たり前のことを、形式を整えてやればよいのでは？
415:１３２人目の素数さん
19/09/23 13:22:58.92 CqC5K4Zi.net
>>393
「なる」じゃなく「そうできる」だよ
証明は背理法で簡単
416:１３２人目の素数さん
19/09/23 13:32:10.46 0DKwDLFQ.net
>>402
えー
あまりの定義があんまりじゃんそれじゃ
417:１３２人目の素数さん
19/09/23 13:50:29.14 WoCjHxgi.net
あまりの定義なんだと思ってます？
x^2=0*x+x^2だから、x^2をxで割った余りはx^2になるでしょうか
418:１３２人目の素数さん
19/09/23 14:31:14.98 A7N0CIWQ.net
√(x^4+1)をxで割った余りは定義できる？
419:１３２人目の素数さん
19/09/23 14:37:40.12 MpXoKD+u.net
整式の割り算しか考えませんよね
420:１３２人目の素数さん
19/09/23 14:50:52.19 qVF76R2H.net
三角形ABCの頂点Aを底辺BCに平行に動かし、二等辺三角形にする．
この二等辺三角形の底角をB'とするときtanB'をtanBとtanCで表せ
421:１３２人目の素数さん
19/09/23 16:58:32.34 2PqEJji0.net
高さ (頂点Aと底辺BCの距離） をhとする。
2h/tan(B') = h/tan(B) + h/tan(C)
422:１３２人目の素数さん
19/09/23 17:16:35.87 2PqEJji0.net
>>372
正項だけからなる部分列と負項だけからなる部分列に分ける。
部分和S_nが目標値αより低いときは正項(未使用)を取り出してS_nに加え、
目標値αより高いときは負項(未使用)を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ n→∞ のとき目標値αとの差 < ε となる。
423:１３２人目の素数さん
19/09/23 17:20:55.37 0DKwDLFQ.net
>>405
√3を√2で割ったあまりは？
424:１３２人目の素数さん
19/09/23 17:21:34.26 2PqEJji0.net
>>366 下 は xがある整域の元の場合に成り立つ。
425:１３２人目の素数さん
19/09/23 18:03:17.27 5zt0Ts7e.net
>>403
A,B,Q,Rを整式とするとき、A=BQ+RとおけるようなRのうち、
次数が最小のものをA/Bの余りとする、でいいんじゃね？
>>401に倣ってやれば、背理法で簡単にBの次数より小さく
なることが証明できる。
426:１３２人目の素数さん
19/09/23 19:00:07.30 3W6wuIwm.net
留数について質問です。
f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定をしますが、
なぜ、
f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定はしないのでしょうか？
427:１３２人目の素数さん
19/09/23 19:33:37.24 zMUkBuAG.net
z=αについての留数を考えたいんですよね？
428:１３２人目の素数さん
19/09/23 20:39:55.89 3W6wuIwm.net
>>414
そうです。
f(z) が {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとき、ローラン展開できます。
したがって、 1/(z - α) の係数 A_{-1} も定まります。
この場合にも、留数を A_{-1} として定義しないのはなぜか？という質問です。
429:１３２人目の素数さん
19/09/23 20:49:27.41 MpXoKD+u.net
留数便利なのは特異点の場合だからじゃないですか？
430:１３２人目の素数さん
19/09/23 20:57:16.53 TTGN/es1.net
x^2 +y^2−4x = 0について、(1) dy/dx (2) d(dy/dx)/dx を各々求めよ
という問題で(2)がわかりません
よろしくお願いします
431:１３２人目の素数さん
19/09/23 21:22:54.51 A7N0CIWQ.net
>>417
(dy/dx)=fとおけばdf/dxで普通の1変数の微分
分からないのはこれ？これじゃない？
432:１３２人目の素数さん
19/09/23 22:00:13.33 Gv40h2lR.net
x^2+y^2-4x=0
をxで微分
2x +2y y' - 4 = 0
もう一回
2 + 2y' y' + 2y y'' = 0
をy', y''について
433:解く。
434:１３２人目の素数さん
19/09/23 22:01:04.48 TTGN/es1.net
dy/dx=(2-x)/y
というのは分かったのですが
これをxで微分する方法がわかりません
435:１３２人目の素数さん
19/09/23 22:47:31.23 TTGN/es1.net
>>419
ありがとうございます
解いてみます
436:１３２人目の素数さん
19/09/23 23:15:11.55 0DKwDLFQ.net
>>420
ｙはｘの関数
商の微分法
437:１３２人目の素数さん
19/09/23 23:25:35.36 3gsZ810h.net
留数は特異点周りの展開じゃないと求めるのが難しいからねー
438:１３２人目の素数さん
19/09/24 00:33:37.31 Fg+1gKm2.net
正則なら留数は0よ
439:１３２人目の素数さん
19/09/24 04:29:01.43 CUDTSBu2.net
>>226 >>251 >>356 >>387
川平友規「入門 複素関数」裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)