19/07/21 05:49:41.51 4k/Gtesi.net
>>177
π ≒ 355/113 (密率)
355 = 113π + 0.00003014435
|sin(355n)| < 0.00003014435･n
|cos(355n)| > 1 - (1/2)(0.00003014435･n)^2 = 1 - 4.5434102×10^(-10) nn
192:１３２人目の素数さん
19/07/21 06:49:52.30 4k/Gtesi.net
>>179
(2)
A = (a+b+c)/3,
Q = √{(aa+bb+cc)/3},
T = {(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3),
とおく。
T + (1/3)A
= (T+T+T+A)/3
≧ (4/3)(TTTA)^(1/4) (AM-GM)
≧ (4/3)Q, (コーシー)
(3)
(a/b+b/c+c/a)^2 = 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9 + (a/b-1)^2 + (b/c-1)^2 ＋ (c/a-1)^2
≧ 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9,
両辺に 36 をたす。
等号は a=b=c
193:１３２人目の素数さん
19/07/22 05:15:00.06 vDQA99OD.net
>>179
(1)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
(右辺) = (s-u)/2 ≦ 1 のときは明らか。
よって s > 2+u とする。
(左辺)^2 = 1 + ss -3t
= 1 + ss/4 + (3/4s)(F_1 - 9u)
≧ 1 + ss/4 - 27u/(4s)
≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + su/2 -uu/4 - 27u/(4s) (← sに関して単調増加)
≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + (2+u)u/2 -uu/4 -27u/[4(2+u)] (← s>2+u)
= {(s-u)/2}^2 + (8+u)(1-u)^2 /[4(2+u)]
≧ {(s-u)/2}^2,
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur-1)
194:１３２人目の素数さん
19/08/10 09:59:49.00 CKganLkz.net
a,bは固定された正の実数であり、数列x_1,…,x_nは0<a≦x_1≦…≦x_n≦bであるものとする。
このとき次の不等式が成立する
Σx_k*Σ1/x_k≦(a+b)^2/(4ab)*n^2
出典 1978年度ソ連数学オリンピック
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
195:１３２人目の素数さん
19/08/10 13:54:11.69 v2
196:NzGOZT.net
197:１３２人目の素数さん
19/08/10 15:56:05.98 oX3OQU5P.net
[Reverse triangle inequality]
If x,y,z >0 & y is between x and z, then
(x/y + y/x -2) + (y/z + z/y -2) ≦ (x/z + z/x -2),
(short proof)
(x-y)(y-z) ≧ 0,
RHS - LHS = (x-y)(y-z) (x+z)/(xyz) ≧ 0,
198:１３２人目の素数さん
19/08/11 23:03:44.95 GctloD3X.net
>>183
d(x,y) := x/y + y/x -2 ≧ 0,
とおくと、
LHS(n) = nn + Σ(i<j) d(x_i,x_j)
RHS(n) = nn + [nn/4] d(a,b),
また、a≦y≦b ならば
d(a,y) + d(y,b) ≦ d(a,b) >>185
(略証)
nについての帰納法による。
n=2 のとき
d(x_1, x_2) ≦ d(a,b).
ゆえ成立する。
n>2 のとき
m := [n/2]
とおく。メジアン y := x_{m+1} を除く n-1 変数に対しては、帰納法の仮定より
LHS(n-1) ≦ RHS(n-1) = (n-1)^2 + [(n-1)^2 /4] d(a,b).
また
LHS(n) - LHS(n-1) = (2n-1) + Σ(i=1,m) d(x_i,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,x_j)
≦ (2n-1) + Σ(i=1,m) d(a,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,b)
≦ (2n-1) + m (d(a,y) + d(y,b))
≦ (2n-1) + m d(a,b).
したがって
LHS(n) ≦ nn + ([(n-1)^2 /4] + [n/2])d(a,b) = nn + [nn/4]d(a,b) = RHS(n).
199:１３２人目の素数さん
19/08/12 16:47:05.09 uLwjs1DH.net
[ (n-1)^2 /4 ] + [ n/2 ] = [ nn/4 ]
(short proof)
δ = mod(n, 2)
δ = 0 (n：even)
δ = 1 (n：odd)
then
[ (n-1)^2 /4 ] = ((n-1)^2 -1+δ)/4,
[ n/2 ] = (n-δ)/2,
[ nn/4 ] = (nn-δ)/4,
200:１３２人目の素数さん
19/08/13 11:27:05.56 Tk2MgydX.net
任意の実数xに対して次の不等式が成立
sinx+sin(√2x)≦2-1/(100(1+xx))
出典 ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人でも解けない問題集代数編
201:１３２人目の素数さん
19/08/13 14:08:52.58 gccQR1zi.net
〔リウヴィルの定理〕
無理数αが整数係数のn次方程式の根（n次の代数的数）ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
p/q ∈ Q ⇒ |α - p/q| > c(α)/q^n.
(例)
|√2 - p/q| > c(√2) / q^2,
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.3431457505
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
202:１３２人目の素数さん
19/08/15 00:49:47.21 RxBWT0Y0.net
y = x - (π/2) - 2π[ (x+π/2) / 2π ],
とおくと
-π ≦ y < π,
1 - sin(x) = 1 - cos(y) ≧ 2(y/π)^2,
203:１３２人目の素数さん
19/08/16 01:59:00.40 oNtuWoss.net
1 - cos(y) ≧ (2y/π)^2 = 0.4052847 yy, (|y|≦π/2)
1 - cos(y) ≧ 1, (|y|≧π/2)
1 - cos(y) ≧ (1/2)(3y/π)^2 = 0.45594533 yy, (|y|≦π/3)
1 - cos(y) ≧ 1/2, (|y|≧π/3)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/6)}(6y/π)^2 = 0.4886807 yy, (|y|≦π/6)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/6) = (2-√3)/2 = 0.1339746, (|y|≧π/6)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/12)}(12y/π)^2 = 0.4971507 yy, (|y|≦π/12)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/12) = 1 - (1+√3)/(2√2) = 0.0340742 (|y|≧π/12)
204:１３２人目の素数さん
19/08/21 19:59:33.25 a2bL2fVn.net
△ABCの辺長 a,b,c、外接円、内接円、傍接円の半径 R, r, r[a], r[b], r[c] に対して、
1/(2R^3) ≦ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4) + ≦ 1/(16r^3).
205:１３２人目の素数さん
19/08/26 23:23:29.14 ywejxerG.net
>>192
Aに対する傍接円の中心をOとすると、
△ABC = △OAB + △OAC - △OBC.
∴ r[a] = 2S/(b+c-a).
示すべき不等式は a,b,c のみで表せるから、伝家の宝刀 "ぬるぽ変換"でなんとかなりそう。
※ ぬるぽ変換とは、x = (b+c-a)/2、y = (c+a-b)/2、z = (a+b-c)/2.
傍接円の半径なんて初めて求めたでござるよ。( ﾟ∀ﾟ) ｽﾘｽﾘ ｽﾘｯﾄｫ！
206:１３２人目の素数さん
19/08/27 21:03:14.32 VdE/ZoR/.net
右側は楽勝だが、左側が分からぬ…
207:１３２人目の素数さん
19/08/28 03:47:25.31 vPFzkVBn.net
C1552
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
C1532, B5017
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
208:１３２人目の素数さん
19/08/28 10:14:07.85 641rcCLM.net
B.5017.
Is there a function f：Ｒ→Ｒ with the following properties:
(1) if x1≠x2 then f(x1)≠f(x2),
(2) there exist appropriate constants a,b > 0 such that
f(xx) - {f(ax+b))}^2 > 1/4.
for all x∈Ｒ ?
C.1532
Show that if a,b,c are positive numbers and
a+b+c ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca,
then one of them is at least 1.
C.1552.
Show that if 0<a<1 and 0<b<1 then
log_a{2ab/(a+b)}･log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1.
209:１３２人目の素数さん
19/08/28 10:31:15.35 641rcCLM.net
B.5017.
a,b > 0 とする。
2次方程式 xx = ax+b は相異なる2実根 x_1≠x_2 をもつ。
f(x_i^2) = f(a･x_i+b) = y_i
とおくと、性質(2)から
y_i - (y_i)^2 ≧ 1/4.
∴ 0 ≧ (y_i - 1/2)^2
∴ y_i = 1/2,
∴ f(a･x_1+b) = 1/2 = f(a･x_2+b),
性質(1) (fは単射) から
a･x_1 + b = a･x_2 + b,
a>0 から
x1 = x2 (矛盾)
C.1532.
a+b+c ≧ 1/ab + 1/ca + 1/ab = (a+b+c)/abc,
a+b+c>0 で両辺を割ると
1 ≧ 1/abc,
abc ≧ 1.
C.1552.
log(a) < 0, log(b) < 0 より log(a)･log(b) > 0,
HM-GM より
2ab/(a+b) ≦ √(ab),
log(2ab/(a+b)) ≦ (1/2){log(a)+log(b)} < 0,
したがって
(左辺)･log(a)･log(b) = {log(2ab/(a+b))}^2
≧ (1/4){log(a)+log(b)}^2
≧ log(a)･log(b),
これを log(a)･log(b) >0 で割る。
210:１３２人目の素数さん
19/08/28 14:17:25.93 641rcCLM.net
>>194
同感でござる。
(右)は
aa ≧ aa - (b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c),
16SS = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c), … ヘロン
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
r[a]/aa = 2S/{(-a+b+c)aa} ≦ 2S/{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
= (a+b+c)/8S = 1/(4r),
∴ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≦ (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])/(4r)^2 = 1/{r(4r)^2},
211:１３２人目の素数さん
19/08/29 12:56:45.26 V/0HLVAJ.net
>>192 >>194
(左)は
a+b+c = 2S/r,
abc = ab･2R sin(C) = 4SR,
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
= (a+b+c)/abc = (2S/r)/(4RS) = 1/(2Rr),
∴ コーシーで
r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≧ (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2 / (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])
= r (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2
≧ r/(2Rr)^2
= 1/(4RRr),
212:１３２人目の素数さん
19/08/29 19:49:05.56 eU3p0wK7.net
うひょっ！ 自力では解ける気がしないなぁ…
213:１３２人目の素数さん
19/08/29 20:28:20.84 eU3p0wK7.net
絶対値がらみの不等式
x,y,z ∈R に対して、
(1) District Olympiad 1993,Ion Bursuc.
1 ≦ |x+y|/(|x|+|y|) + |y+z|/(|y|+|z|) + |z+x|/(|z|+|x|) ≦ 3.
(2) Gillis Olympiad 5778 (Israel National '17-'18).
2/3 ≦ (|x+y| + |y+z| + |z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2.
(1)(2)
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
214:１３２人目の素数さん
19/08/30 08:39:13.74 3MesnOrF.net
お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 200get していいの？😜
(分かスレ４５５-200)
215:１３２人目の素数さん
19/08/30 08:53:58.84 3MesnOrF.net
>>201
|x+y| ≦ |x|+|y| 等号成立は xy≧0 (同符号)
(1)
証：依題、x,y,z 中必有２↑同号
216:。 不妨設 x,y 同号, 則 |x+y|/(|x|+|y|) = 1. 又 0≦|y+z|/(|y|+|z|)≦1, 0≦|z+x|/(|z|+|x|)≦1, 故 ～～ (2) Let x,y & z are arbitrary real numbers (not all zero)． Prove that 2/3 ≦ (|x+y|+|y+z|+|z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2, (証) 題意より、x,y,z の中に必ず同符号の２つがある。 xy≧0 と置くことを妨げないから (分子) = |x+y| + |y+z| + |z+x| = |x| + |y| + (2Max{|y|,|z|} -|y| -|z|) + (2Max{|x|,|z|} -|z| -|x|) = 2 Max{|y|,|z|} + 2 Max{|x|,|z|} -2|z| = 2 Max{M,|z|} + 2(Max{m,|z|} -|z|) ≧ 2 Max{|x|,|y|,|z|} ≧ (2/3)(|x|+|y|+|z|), ここに M = Max{|x|,|y|}, m = min{|x|,|y|} とおいた。
217:１３２人目の素数さん
19/08/31 06:25:54.80 45aPYUp8.net
〔補題〕
|ｘ+z| + |ｘ-z| = 2 Max{|x|, |z|},
|y+z| + |y-z| = 2 Max{|y|, |z|},
…とやるより、場合分けした方が簡単かな。
218:１３２人目の素数さん
19/09/08 05:19:16.22 BBoFSmJW.net
ジュニア数檻から。
(1) x,y∈R に対して、(xy+x+y-1)^2 / {(x^2+1)(y^2+1)} の取りうる値の範囲。
(2) a,b,c,d∈R に対して、(aa+ac+cc)(bb+bd+dd) の取りうる値の範囲。
(3) a,b∈N に対して、min{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≦{√(4a+4b+5) - 1}/2
219:１３２人目の素数さん
19/09/08 15:16:47.18 NPxrtGxy.net
(1)
(x+i)(y+i) = (xy-1) + (x+y)i,
∴ {(xy-1) + (x+y)}^2 + {(xy-1) - (x+y)}^2 = 2{(xy-1)^2 + (x+y)^2}
= 2 |(xy-1) + (x+y)i|^2
= 2 |(x+i)(y+i)|^2
= 2 (xx+1)(yy+1),
より [0,2]
等号成立は (x-1)(y-1)=2 (直角双曲線)
(2)
aa+ac+cc = (3/4)(a+c)^2 + (1/4)(a-c)^2 ≧ 0,
bb+bd+dd = (3/4)(b+d)^2 + (1/4)(b-d)^2 ≧ 0,
より [0,∞)
等号成立は a=b=c=d=0
(3)
左辺をLとおく。
Max{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≧ L+1, (← 互いに素)
L(L+1) ≦ gcd((a+1)(b+1), ab) = gcd(a+b+1, ab) ≦ a+b+1,
220:１３２人目の素数さん
19/09/08 15:54:03.88 NPxrtGxy.net
訂正ｽﾏｿ
(2)
等号成立は a=c=0 または b=d=0,
(3)
gcd(a,b+1)･gcd(a+1,b) = gcd((a+1)(b+1), ab) を使った。
221:１３２人目の素数さん
19/09/10 18:20:55.90 qdVlLmKr.net
2016 IMO Shortliset, A1, A8
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
個人的には関数方程式も好物なんですがね。
222:１３２人目の素数さん
19/09/11 03:41:17.00 1IJ7FHVd.net
A1.
Let a,b,c be positive real numbers such that min(ab,bc,ca)≧1.
Prove that
{(aa+1)(bb+1)(cc+1)}^(1/3) ≦ {(a+b+c)/3}^2 ＋ 1.
A8.
Find the largest real constant a_n such that
for all positive real numbers x_1, x_2, ････, x_n satisfying 0 < x_1 < x_2 < ････ < x_n,
we have
Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ a_n･{Σ[k=0,n-1] k / x_(k+1) },
(x_0 = 0.)
答だけ書くと
a_1 = 1/2 = 0.5
a_2 = 12/25 = 0.48
a_3 = 0.4701514765959817784543884････
(190t^4 - 6561t^3 + 574t^2 + 329t + 391 = 0 の正根 )
a_4 = 0.4643963253583455727840309････
(489t^5 + 1965t^4 - 71t^3 + 602t^2 - 613t + 60 = 0 の正根 )
・・・・・・
a_n → 4/9 = 0.44444････ (n→∞)
223:１３２人目の素数さん
19/09/11 03:52:19.18 1IJ7FHVd.net
A8.
(略解)
3/{x_(j+1) - x_j} … 3個
j / x_j … j個
の(j+3)個で AM-HM すると
9/{x_(j+1) - x_j} + jj/x_j ≧ (j+3)^2 /x_(j+1)
9/{x_(j+1) - x_j} ≧ (j+3)^2 /x_(j+1) - jj/x_j,
j=0…n-1 でたして 9で割る。
Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ (4/9)Σ[k=0,n-1] (k+2) / x_(k+1),
A8. の右辺は (k＋２）/ x_(k+1) と訂正....orz >>209
224:１３２人目の素数さん
19/09/11 04:55:06.64 1IJ7FHVd.net
>>208-210
あちこちに在るからKoMaL
KoMaL N.189 (1998/Nov)
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
KoMaL A.709 (2017/Nov)
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
American Math. Monthly, Problem 11145 (2005)
225:１３２人目の素数さん
19/09/11 23:38:19.31 1IJ7FHVd.net
>>209
A1.
0≦k≦1,
a ' = (1-k)a + kb,
b ' = ka + (1-k)b,
とする。
(a 'a '+1)(b 'b '+1) - (aa+1)(bb+1)
= (D+ab)^2 + (-2D+aa+bb) +1 - (aa+1)(bb+1)
= D{D + 2(ab-1)}
≧ 0 (← ab≧1)
ここに D = k(1-k)(a-b)^2 とおいた。
∴ F(a,b,c) = (aa+1)(bb+1)(cc+1)
は (a,b,c) について上に凸。
F(a,b,c) ≦ F(a',b',c')
≦ ･････
≦ F((a+b+c)/3, (a+b+c)/3, (a+b+c)/3)
226:１３２人目の素数さん
19/09/12 00:38:37.35 q8BKz8lq.net
>>208
A4.
Find all functions f：(0,∞) → (0,∞) such that
for any x,y ∈ (0,∞),
x･f(xx)･f(f(y)) + f(y･f(x)) = f(xy)･{f(f(xx)) + f(f(yy))}.
A7.
Find all functions f：R→R such that f(0)≠0 and
for all x,y∈R,
f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + max{f(xx+yy), f(xx)+f(yy)}.
例 f(x) = -1, f(x) = x-1,
227:１３２人目の素数さん
19/09/12 01:07:17.91 q8BKz8lq.net
>>212 (補足)
0≦k≦1 より
D = k(1-k)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ a'b' = D + ab ≧ ab ≧ 1
〔別法〕
d = (a+b+c)/3 とおく。
(aa+1)(bb+1) ≦ {[(a+b)/2]^2 + 1}^2,
(cc+1)(dd+1) ≦ {[(c+d)/2]^2 + 1}^2,
辺々掛けて
(aa+1)(bb+1)(cc+1)(dd+1) ≦ {[(a+b+c+d)/4]^2 + 1}^4
= (dd+1)^4,
228:１３２人目の素数さん
19/09/15 09:13:16.60 V+m2Snsf.net
昔の入試問題
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
229:１３２人目の素数さん
19/09/16 01:34:11.70 FF+PWEgn.net
>>215
すべての実数xに対して定義された関数
f(x) = cos(x) + cos((√2)x)
について、
(1) f(x) = 2 を満たすxの値をすべて求めよ。
また、f(x) は周期関数ではないことを証明せよ。
(2) t = 6726π のとき、すべてのxに対して 不等式
| f(x+t) - f(x)| < 0.002
が成り立つことを証明せよ。
ただし、√2 = 1.41421356…… とする。
（1986 山梨医科大)
230:１３２人目の素数さん
19/09/16 01:44:55.63 FF+PWEgn.net
>>216
(1)
f(x) = 2 ⇔
cos(x) = cos((√2)x) = 1, ⇔
x = 2mπ, (√2)x = 2nπ, (m,n∈Z) ⇒
m√2 = n (m,n∈Z) ⇔
m = n = 0,
よって x=0 のみ。
f(x)=2 となるxは0以外にないから、周期関数ではない。
231:１３２人目の素数さん
19/09/16 02:00:54.51 FF+PWEgn.net
>>216
(2)
t は 2π の整数倍だから
cos(x+t) - cos(x) = 0,
また和積公式から
|cos((√2)(x+t) - cos((√2)x)| = 2|sin((√2)(x+t/2) sin(t/√2)|
≦ 2|sin(t/√2)|
= 0.001321107
232:１３２人目の素数さん
19/09/16 02:03:03.70 FF+PWEgn.net
>>189
p,q が自然数のとき |√2 - (p/q)| ≧ (6-4√2)/qq,
(略証)
・q=1 のとき
(左辺) ≧ √2 -1 = 0.41421356… > 0.34314575… = 6-4√2,
・q≧2, p/q ≧ 3/2 のとき
(左辺) ≧ 3/2 - √2 = (6-4√2)/4 ≧ (6-4√2)/qq,
・p/q < 3/2 のとき
1/qq ≦ |2qq - pp| = (√2 + p/q)|√2 - (p/q)| < (√2 + 3/2)|√2 - (p/q)|
(左辺) > (6-4√2)/qq,
ピーター・フランクルすれ-039
233:１３２人目の素数さん
19/09/16 16:29:27.78 FF+PWEgn.net
>>189
αは整数係数のn次方程式 f(x)=0 の根だから
f(α) = 0,
因数定理より
f(x) = f(x) - f(α) = (x-α)g(x,α)
p,q を整数(q≠0) とすれば
(q^n)f(p/q) は0でない整数。
1 ≦ |(q^n)f(p/q)| = |q|^n･|f(p/q)|
= |q|^n･|p/q - α| g(p/q,α)
≦ |q|^n･|p/q - α| / c(α),
234:１３２人目の素数さん
19/09/16 16:49:30.42 FF+PWEgn.net
>>189
・n=2 の例
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575 (3/2)
c(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.26794919 (2/1)
c(√5) = 4(√5 -2)^2 = 0.22291236 (9/4)
c(√6) = (√6 -2)^2 = 0.20204103 (5/2)
c(√7) = (3/2)(3-√7)^2 = 0.18823820 (8/3)
c(√8
235:) = (1/4)(√8 -2)^2 = 0.17157288 (3/1) c(√10) = 6(√10 -3)^2 = 0.15800423 (19/6) c(√11) = (3/2)(√11 -3)^2 = 0.15037689 (10/3) c(√12) = (1/2)(4-√12)^2 = 0.14359354 (7/2) c(√13) = 180(5√13 -18)^2 = 0.13867497 (649/180) c(√14) = 2(4-√14)^2 = 0.13348181 (15/4) c(√15) = (1/6)(√15 -3)^2 = 0.12701665 (4/1) c(√17) = 8(√17 -4)^2 = 0.12123996 (33/8) c(√18) = (4/9)(9-2√18)^2 = 0.117749006 (9/2) c(√19) = (39/2)(3√19 -13)^2 = 0.11470688 (170/39) c(√20) = (√20 -4)^2 = 0.11145618 (9/2) c(√50) = 14(√50 -7)^2 = 0.070708874 (99/14) c(√99) = (1/18)(√99 -9)^2 = 0.050125629 (10/1) c(√200) = (7/4)(√200 -14)^2 = 0.35354437 (99/7) c(√n) ≦ 1/(2√n),
236:１３２人目の素数さん
19/09/16 17:37:47.01 FF+PWEgn.net
>>220
ここに 1/c(α) は α-1≦x≦α+1 における |g(x,α)| の最大値。
（なお、 |(p/q) - α| >1 のときは明らか。)
237:１３２人目の素数さん
19/09/20 13:27:55.61 KyAOfC1j.net
2800
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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238:１３２人目の素数さん
19/09/23 12:07:10.78 8OPrFZ2d.net
[NKSΣ@nkswtr][2019/9/23 10:58:45]
x_kが全て正のとき、不等式がなりたつ
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
[Tweet URL: URLﾘﾝｸ(twitter.com) ]
(deleted an unsolicited ad)
239:１３２人目の素数さん
19/09/23 18:13:40.99 2PqEJji0.net
x_k >0, Σ[k=1,n] x_k = S のとき
(S/n)^S ≦ Π[k=1,n] (x^k)^(x_k),
(略証)
{x･log(x)}" = 1/x > 0, (下に凸)
Jensenより
S･log(S/n) ≦ Σ[k=1,n] (x_k)log(x_k),
等号成立は x_1=x_2=…=x_n
240:１３２人目の素数さん
19/09/24 06:33:10.11 CUDTSBu2.net
〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.
次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
i≠j ⇒ ｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,
IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
241:１３２人目の素数さん
19/09/24 06:37:31.33 CUDTSBu2.net
>>226
x_j = k { j √m - 1/2 }， k=1+2√m,
ここに m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）
242:１３２人目の素数さん
19/09/24 12:46:05.02 X/bhMtKR.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
昔どっかで拾ったやつ。パソコン内の画像ファイルを整理していて見つけた。詳細不明。
243:１３２人目の素数さん
19/09/25 16:48:12.69 rBwhMx0MX
>>228 Muirhead
244:１３２人目の素数さん
19/09/26 08:01:36.36 C1ckjksZ.net
〔問題〕
Prove that, for a,b,c,････ > 0,
Σ[cycl] (ab)^3 /c^5 ≧ Σ[cycl] ab/c,
コーシーで
(c+d+････+a+b)^2 (左辺) ≧ (右辺)^3,
は出るけど、
(右辺) ≧ (a+b+c+ ････)
は成り立つのかな？？
245:１３２人目の素数さん
19/09/26 23:50:54.84 C1ckjksZ.net
3文字のときはコーシーで簡単だが････
(右辺)^2 = (ab/c+bc/a+ca/b) (ca/b+ab/c+bc/a) ≧ (a+b+c)^2,
文献[8] 安藤(2012) p.124 例題3.1.3(1) および p.144 例題3.2.2(1)
・3文字の別解
ab/c + bc/a + ca/b ≧ √{3(aa+bb+cc)} を使う。
(右辺)^2 ≧ 3{(ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b)} = 3(aa+bb+cc),
アイルランドMO (2007)
文献[8] 安藤(2012) p.162 例題3.3.5(2)
文献[9] 佐藤(2013) p.56 演習問題 1.113
246:１３２人目の素数さん
19/09/27 00:00:31.56 ncViLEfF.net
>>224
東京工大 (1990) かな。
247:１３２人目の素数さん
19/09/27 17:30:14.59 ncViLEfF.net
>>230
4文字以上では不成立かな。
a,b,c,d >0
ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≧ a+b+c+d,
の凡例
a,b,cを固定する。
(左辺) - (右辺) = (ab/c -a-b-c) + (bc/d) + (c/a + a/b -1)d,
c/a + a/b <1 ならば d→∞ で負になる。
a=m, b=(m+1)m, c=1, d≧(m+1)m^3 のとき負。
248:１３２人目の素数さん
19/10/10 09:05:52.04 4MNDsrsX.net
>>227
i≠j とする。
|i-j| ≧ 1,
| {i√m} - {j√m} | < 1,
さて、
(i-j)√m - {i√m} + {j√m} = [ i√m ] - [ j√m ] = n,
の両辺を２乗して移行すれば
(i-j)^2･m - nn = ({i√m}-{j√m})(2|i-j|√m -{i√m} +{j√m})
m≠平方数 ゆえ、左辺は0でない整数。
1 ≦ |(i-j)^2･m - nn| ≦ |{i√m}-{j√m}|(1+2√m)|i-j| = |x_i-x_j||i-j|
249:１３２人目の素数さん
19/10/14 21:12:53 OfKxP42X.net
ここの住人は積分不等式とかは興味ないかな？
f,gを[0,1]上滑らか、かつ(f(0),g(0))=(f(1),g(1))となる関数としたとき
2π∫_0^1 {f(x)g’(x)-f’(x)g(x)}dx≦[∫_0^1 √{(f’(x))^2+(g’(x))^2} dx]^2
250:１３２人目の素数さん
19/10/15 00:45:39.69 eja156vF.net
(u, v) = (f(x), g(x)) とおく。
x∈[0,1] で (u, v) は閉曲線Cを描く。
∫[0,1] {f(x)g’(x)- f’(x)g(x)}dx = ∫_C (udv-vdu) = {Cの内部の有向面積(反時計周り→正)},
∫[0,1] √{(f’(x))^2 + (g’(x))^2}dx = ∫_C √{(du)^2 + (dv)^2} = (Cの長さ),
2π(面積) ≦ (長さ)^2
等号はCが円周 f(x)^2 + g(x)^2 = c^2 のとき。
251:１３２人目の素数さん
19/10/15 01:20:58.22 eja156vF.net
訂正
4π(面積) ≦ (長さ)^2
・参考書
数セミ増刊「数学100の問題」 日本評論社 (1984)
「等周問題」 p.176-177
香具師が変分法を作り、シャボン玉がコンパクト概念
を生んだ。 （森 毅）
252:１３２人目の素数さん
19/10/15 02:06:55.09 O93uxOk1.net
>>236
>>237
正解です
いわゆる等周不等式
想定していた解法はfとgをフーリエ級数展開する方法でした
253:
19/10/17 05:36:05 eT2GFlgw.net
>>237
参考書の方法の概要
長さが一定(L=2π)で面積Sが最大の閉曲線をCとする。
もしCが凹ならば、鏡映により凸に変更すればもっと広くなる。(矛盾)
∴ Cは凸閉曲線である。
Cの二等分点をA,Bとする。
Cの内部を線分ABによって分割し、面積をS1, S2とする。
もし S1>S2 ならば S1を２つ接いだ方が広くなる。(矛盾)
∴ S1=S2
よって S1を最大にすればよい。
C上に一点Pをとる。
APより外側の部分はAPに固定し、BPより外側の部分はBPに固定し、∠APBを変える。
ΔAPBの面積だけが変わり、∠APB=90ﾟのとき最大になる。
(A,B以外の) C上の任意の点Pについても同様だから、
CはABを�
254:ｼ径とする円周である。(S=π) (終)
255:１３２人目の素数さん
19/10/17 07:08:12.82 eT2GFlgw.net
>>239
シュタイナー (J. Steiner) の対称化
256:１３２人目の素数さん
19/10/17 21:33:31 MQ0StxZa.net
>>240
実は曲線が極座標表示可能だとしたらイェンゼン使えばすぐ分かります
曲線をr=r(θ) (0≦θ≦2π)とすれば
4π×面積=2π∫_0^(2π) r^2 dθ=4π^2(1/(2π)) ∫_0^(2π) r^2 dθ
≦ 4π^2{(1/(2π)) ∫_0^(2π) |r| dθ}^2 (∵イェンゼン)
≦ {∫_0^(2π) √(r^2+(r’)^2) dθ}^2
=周長^2
さらに等号成立はr’≡0からrは定数⇒曲線は円
ということもすぐにわかります
257:
19/10/18 08:22:53 nO1XpZx3.net
4π(面積) = 2π∫[0,2π] r^2 dθ
= ∫[0,2π] dθ ∫[0,2π] r^2 dθ
≧ {∫[0,2π] r dθ}^2 (←シュワルツ)
う～む。
258:１３２人目の素数さん
19/10/18 14:30:07.06 nO1XpZx3.net
(例) 辺の長さ L/4 の正方形
∫[0,2π] r dθ = 8∫[0, π/4] L/(8cosθ) dθ
= ∫[0, π/4] L/cosθ dθ
= ∫[0, π/4] L/(cosθ)^2 cosθdθ
= ∫[0, 1/√2] L/(1-ss) ds
= ∫[0, 1/√2] (L/2){1/(1+s) + 1/(1-s)} ds
= [ (L/2)log{(1+s)/(1-s)} ](s：0→1/√2)
= L log(1+√2)
= 0.881373587 L
よって
4π×(面積) = 4π(L/4)^2
= (π/4)L^2
= 0.785398163 L^2
> 0.77681940 L^2
= (0.881373587 L)^2
= (∫[0,2π] r dθ)^2
259:１３２人目の素数さん
19/10/18 15:04:58.66 48cliLMb.net
∫rdθが周長より長いならいいんだけど。
260:１３２人目の素数さん
19/10/19 01:59:47.67 j0qSwPAR.net
>>242 や >>243 を考えると、
{∫[0,2π] r dθ}^2 を経由するのは無理筋かも。
>>244 だと、ますます無理っぽい････
261:１３２人目の素数さん
19/10/26 07:51:32.79 S8xxgIdK.net
〔問題921〕
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[分かスレ４５６脇-921]
262:１３２人目の素数さん
19/10/26 09:07:33 S8xxgIdK.net
I_k = ∫[kπ,(k+1)π] {sin(x)/(1+x)}^2 dx
= ∫[0,π] {sin(t)/(1+kπ+t)}^2 dt とおく。
I = Σ[k=0,∞] I_k,
(下限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
> ∫[0,π] sin(t)^2 dt /(1+(k+1/2)π)^2
= 2π/(2+(2k+1)π)^2,
I_0 = 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 = 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
k≧2 のとき
I_k > 2π/(2+(2k+1)π)^2
> 2π/{(2+(2k+1)π)(2+(2k+3)π)}
= 1/(2+(2k+1)π) - 1/(2+(2k+3)π),
Σ[k=2,∞] I_k > 1/(2+5π) = 0.056471768
これらより、I > 0.342284922 > 1/3,
(上限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
< ∫[0,π] sin(t)^2 dt {1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}/2 dt
= (π/4){1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}
= π{1/(2+2kπ)^2 + 1/(2+(2k+2)π)^2},
∴ Σ[k=1,∞] I_k = π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/(2+2kπ)^2
< π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/{(2+(2k-1)π)(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + Σ[k=2,∞] {1/(2+(2k-1)π) - 1/(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + 1/(2+3π)
= 0.04578836 + 0.087529053
= 0.133317413
< 2/15,
0<x<π では sin(x) < (4/ππ)x(π-x),
I_0 < (2/π)^4 ∫[0,π] {x(π-x)/(1+x)}^2 dx
= (2/π)^4 ･ 1.8581544248371
= 0.30521248563
< 1/3,
∴ I < 7/15
なお、実際の値は
I_0 = 0.28136039736534
I_1 = 0.0496240021299
I = 0.3990209885942
263:１３２人目の素数さん
19/10/26 09:18:45.67 S8xxgIdK.net
>>247
I_0 ＞ 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 ＞ 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
∫{x(π-x)/(1+x)}^2 dx = (1/3)(1+x)^3 - (2+π)(1+x)^2 + (6+6π+π^2)(1+x) - (1+π)^2/(1+x) - 2(2+3π+π^2)log(1+x),
264:１３２人目の素数さん
19/10/28 13:09:51.57 M55VqgNP.net
>>247
|y| ≦ π/2 のとき
((√2)/π) |y| ≦ |sin(y/2)| ≦ |y/2|, ････ Jordanの不等式
1 - (1/2)yy ≦ cos(y) = 1- 2sin(y/2)^2 ≦ 1 - (2y/π)^2,
π/2 ずらすと
0≦x≦π のとき sin(x) ≦ (4/π^2)･x(π-x),
265:１３２人目の素数さん
19/11/11 01:05:02.45 RnIwgTT0.net
a,b,c>0 に対して、
1/a + 1/b + 1/c ≦ (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3 b^3 c^3).
IMO 1967 らしい
266:１３２人目の素数さん
19/11/11 23:31:55.51 uIUz6082.net
a^8 (2個), b^8 (3個), c^8 (3個) の8個で AM-GM する。
(2a^8 + 3b^8 + 3c^8) /8 ≧ a^2･b^3･c^3 = (abc)^3 /a,
循環的にたす。
267:１３２人目の素数さん
19/11/12 02:21:11 dGHte+xL.net
問題
x＞-2,y＞0として
ye^x＞log(yx+2y)
268:１３２人目の素数さん
19/11/12 03:42:47.71 ksIBXQAO.net
>>250
何年度かね？
URLﾘﾝｸ(web.archive.org)
269:１３２人目の素数さん
19/11/12 06:15:32.35 XcoIZ5AW.net
>>252
e^t >= 1+t, 1+t >= log(t+2)より
ye^x = e^{(log y) + x} >= log y + (x+1)
>= log y + log(x+2) = log(yx+2y)
二つの等号を同時に成立させるx, yはない。
270:１３２人目の素数さん
19/11/12 21:42:38.58 WvFYjXT5F
>>250 ただのMuirhead
271:１３２人目の素数さん
19/11/13 01:43:38.75 HL1mwdTs.net
>>252
題意より y(x+2) > 0,
(1/e)t ≧ log(t) より、
y e^x = (1/e)y (1/e)e^(x+2) ≧ (1/e)y(x+2) ≧ log{y(x+2)},
等号成立は x=-1, y=e のとき。
272:１３２人目の素数さん
19/11/15 10:38:04.46 co/VrloJ.net
Σ[n=1->∞](1/{(n+1)(n!)^2})^(1/n) < e
(オリジナル)
飛び道具を使わずに示したいんだけど、どうもうまくいかない。
273:１３２人目の素数さん
19/11/15 13:32:49.92 +e/x8O7I.net
というか、上の級数は1.93あたりに収束するっぽいんだけど、
明示的に極限を書けないかしら。
274:１３２人目の素数さん
19/11/16 04:10:15.50 iMDULalJ.net
>>257
たとえば
(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ･････ < (1+1/n)^n < e,
すなわち
2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {(n+1)/n}^n < e,
最右辺を除くn項を掛け合わせて
(n+1)^n /n! < e^n,
n! > {(n+1)/e}^n,
1/n! < {e/(n+1)}^n,
と評価する。
Σ[n=3,∞) (1/{(n+1)!(n!)})^(1/n) < Σ[n=3,∞] {e/(n+2)}{e/(n+1)}
= Σ[n=3,∞] ee{1/(n+1) - 1/(n+2)} = ee/4,
(左辺) < 1/2 + 1/√12 + ee/4 = 2.63593916 < e,
275:１３２人目の素数さん
19/11/16 05:33:37 cdgu8qg6.net
>>259
おお…ありがとう
ちなみに飛び道具とはcarlemanの不等式でした。
その証明にも(n+1)^n /n! < e^nが使われるという
276:１３２人目の素数さん
19/11/16 07:07:44.03 eGTgxrCn.net
むむむ…、震えてきた…
277:１３２人目の素数さん
19/11/18 15:47:33 W9Q6monY.net
〔補題〕
(1) (1 +1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
(2) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
(3) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,
(1)は一般化二項公式を使うらしい。
278:１３２人目の素数さん
19/11/23 20:40:03.04 md82QkH1.net
a,b,c>0
a^2 + b^2 + c^2 ≧ Σ[cyc] a*{ (b^4 + c^4)/2 }^(1/4)
279:１３２人目の素数さん
19/11/25 17:59:50 earBUlUp.net
A = a^4/(a^4+b^4+c^4),
B = b^4/(a^4+b^4+c^4),
C = c^4/(a^4+b^4+c^4),
とおくと
A+B+C = 1.
また
f(x) = √x - [x(1-x)/2]^(1/4),
とおくと
f '(x) = 1/(2√x) - ((1-2x)/8)[x(1-x)/2]^(-3/4),
f "(x) = -1/(4x√x) - (1/8)[x(1-x)/2]^(-3/4)
280: + (3/64)[x(1-x)/2]^(-7/4) > 0, ∴ y=f(x) は下に凸。 ∴ Jensen より (LHS - RHS) ～ f(A) + f(B) + f(C) ≧ 3f((A+B+C)/3) = 3f(1/3) = 0, 微分のことは微分でせよ？
281:１３２人目の素数さん
19/11/26 05:01:43.80 /rJkC9KX.net
>>239-240
・参考文献
J. Steiner: J. reine Angew. Math., ２４, p.93-152 (1842)
浦川 肇：「等周不等式」 数理科学(サイエンス社) No.386, p.20-24 (1995/Aug)
282:１３２人目の素数さん
19/11/26 06:19:29.69 /rJkC9KX.net
>>257-258
Σ[k=1→n] 1/{(n+1)(n!)^2}^(1/n) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
ぐらいかな。
283:１３２人目の素数さん
19/11/26 06:21:11.33 /rJkC9KX.net
>>257-258 訂正
Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
284:１３２人目の素数さん
19/11/26 12:13:55.79 GwDHuLDD.net
問題
1≦pとする
ある定数C=C(p)>0が存在し、
(0,1)上の任意のC^1級関数fに対して
∫_0^1 |f(x)-∫_0^1 f(y) dy|^p dx≦C∫_0^1 |f’(x)|^p dx
またこの不等式が成立する最小のC(p)を求めよ
285:１３２人目の素数さん
19/11/26 14:04:10.49 DW5yGutX.net
11月号の数蝉NOTEに、AM-GMの証明が載ってたみたいだけど、新証明？
286:１３２人目の素数さん
19/11/27 20:12:50.80 th7CPxH7.net
このスレで話題にならないということは、既出の証明だったんじゃね？（鼻ホジ）
JBMO2020らしい
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
287:１３２人目の素数さん
19/11/28 22:48:14.44 ghZZAPQ9.net
>>267 を改良
S_n = Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k)
≒ 1.99877613 - (ee/(n+2)){1 - (1/n)log(n)}
S_1 = 0.50
S_2 = 0.78867513459481
S_4 = 1.11596688482249
S_8 = 1.41825957672665
S_16 = 1.6498309820817
S_32 = 1.80276021419195
S_64 = 1.8936289850894
S_128 = 1.9439982730789
S_256 = 1.9707380873724
S_512 = 1.9845718842414
S_1024 = 1.99162226380515
S_2048 = 1.9951849538552
S_4096 = 1.9969766630793
S_8192 = 1.9978753488909
S = 1.99877613
288:１３２人目の素数さん
19/11/29 10:08:04.96 33TTA80m.net
このサイトにある不等式の証明が興味深い
URLﾘﾝｸ(www.jstor.org)
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
289:１３２人目の素数さん
19/11/29 11:04:39.65 gQn2pek9.net
めんどいから全然読んでないけど、重み付きAM-GM差分不等式っぽい（正式な名前は知らん）
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
290:１３２人目の素数さん
19/11/30 06:31:05.40 EU1tlCDO.net
>>272
〔定理〕
x_1 >0, x_2 >0, ･･････, x_n >0 のとき
(1/n)Σ[k=1,n] (x_1･x_2…x_k)^(1/k) ≦ {Π[k=1,n] (x_1+x_2+…+x_k)/k}^(1/n),
等号成立は x_1 = x_2 = ････ = x_n.
[前スレ.037(1)～044, 051-053, 097] の辺り
K．Kedlaya： Amer．Math．Monthly, Vol．101, No．4, p．355-357 (1994/Apr)
"Proof of a mixed Arithmetic-mean, Geometric-mean inequality"
291:１３２人目の素数さん
19/12/01 04:00:04 oC7hjXGF.net
右辺を変形してコーシーに持ち込みたいが････
G1 = a, G2 = √(ab), G3 =�
292:iabc)^(1/3), ････ とおく。 n=2 (a+a)(a+b) ≧ (G1+G2)^2, n=3 (a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c) ≧ (G1+G2+G3)^3, n=4 (a+a+a+a)(a+B1+B2+b)(a+B2+C+c)(a+b+c+d) ≧ (G1+G2+G3+G4)^4, B_1 = (aab)^(1/3) B_2 = (abb)^(1/3), B_k = {a^(n-1-k)･b^k}^(1/(n-1)) C = (bbc)^(1/3), n=5 (a+a+a+a+a)(a+B1+G2+B3+b)(a+G2+C'+C"+c)(a+B3+C"+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5, B_1 = (aaab)^(1/4), B_2 = √(ab) = G2, B_3 = (abbb)^(1/4), C ' = (ab^4･c)^(1/6), C " = √(bc), D ' = (cccd)^(1/4),
293:１３２人目の素数さん
19/12/01 16:15:48 oC7hjXGF.net
まづ AM-GM で右辺を
(x1 + x2 + ････ + xk)/k ≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
として、コーシーを使うのでござる。
ここに
e(i;j,k) = (n-j)! (j-1)! (n-k)! (k-1)! /{(n-1)! (i-1)! (j-i)! (k-i)! (n+i-j-k)!}
(i≦j≦n, i≦k≦n & j+k-i≦n)
= 0 (otherwise)
チト面倒でござるが････
294:１３２人目の素数さん
19/12/01 20:39:28.33 oC7hjXGF.net
(x_1+x_2+････+x_k)/k ≧ (1/ｎ)Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
でござった。
対称性
e(i;j,k) = e(i;k,j)
斉次性
Σ[i=1,k] e(i;j,k) = 1,
総和則
Σ[j=i,n] e(i;j,k) = n/k (1≦i≦k)
= 0, (k<i≦n)
Σ[k=i,n] e(i;j,k) = n/j (1≦i≦j)
= 0, (j<i≦n)
から出るか。
295:１３２人目の素数さん
19/12/02 19:46:04 a5zqFxLP.net
>>274
(略証)
AM-GM より
Σ[i=1,k] e(i;j,k) x_i
≧ {Σ[i=1,k] e^(i;j,k)}・{Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)}
= Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) (←i斉次性)
これを Σ[j=1,n] で加えると
(x_1+x_2+････ +x_k)/k
≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) (←j総和則)
次に Π[k=1,n] で掛け合わせ、コーシーを使う。
n乗の中の第j項は
Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=1,n] e(i;j,k)}
= Π[i=1,j] (x_i)^(n/j) (←k総和則)
= G_j, (終)
296:１３２人目の素数さん
19/12/03 08:05:57.48 tkRoCzDX.net
最後は
Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=i,n] e(i;j,k)}
= Π[i=1,j] (x_i)^(１/j) (←k総和則)
= G_j, (終)
297:１３２人目の素数さん
19/12/03 09:41:52 tkRoCzDX.net
e(i;j,k) = C[j-1,i-1] C[k-1,i-1] (n-j)! (n-k)! / {C[n-1,i-1] (n-i)! (n+i-j-k)!},
のように組合せを使って表わすのが 貞三流でござるか？ (山梨大)
298:１３２人目の素数さん
19/12/05 01:06:46.33 +ttUgWiw.net
>>273
〔例題４'〕
x_1≧1, x_2≧1, ････, x_n ≧1 のとき
A - G ≧ G/H - 1,
ここに
A = (x_1+x_2+････+x_n)/n,
G = (x1･x2････x_n)^(1/n),
H = n/(1/x_1+1/x_2+ ･･･ +1/x_n),
(略証)
G = (x_1･x_2････x_n)^(1/n) を固定して考える。
F(ｘ) = (左辺) - (右辺)
= (x_1+x_2+････+x_n)/n - G － (1/n)(1/x_1+1/x_2+････+1/x_n)G + 1,
とおく。
(x_1, x_2, ････, x_n) = (G, G, ････, G) ならば F(ｘ) = 0.
そうでないとき
x_i > G > x_j ≧ 1,
となる ｉ≠j がある。 (x_i･x_j > G･1)
それらを
ｘ_i’= G, x_j’=x_i･x_j/G,
に変更すると
x_i’+ x_j’- (x_i + x_j) = －(x_i -G)(G -x_j)/(n･G),
1/x_i’+ 1/x_j’- (1/x_i + 1/x_j) = (x_i -G)(G -x_j)/(n･x_i･x_j),
よって
F(ｘ’) － F(ｘ) = －{(x_i -G)(G -x_j)/(n･G)} {1 - G/(x_i･x_j)} < 0,
すなわち F(ｘ) は減少する。
上記の操作を行なうたびにGの個数が1つ増えるから、
n回以内に (G,G,････,G) となり、F=0 に至る。 (終)
299:１３２人目の素数さん
19/12/05 02:40:54.44 +ttUgWiw.net
〔系〕
x_1≦1, x_2≦1, ････, x_n≦1 のとき
A - G ≦ G/H - 1,
(略証)
x_i = 1/x’_i とおくと、
A = 1/H’ G = 1/G’ H = 1/A’
300:１３２人目の素数さん
19/12/09 04:36:54.15 3RsZZfph.net
>>274
nについての帰納法による。
A_k = (x_1+x_2+････+x_k)/k,
G_k = (x_1･x_2････x_k)^(1/k),
とおく。
n=1 は明らか。
あるnについて成立つとする。
(A_1･A_2････A_n)^(1/n) ≧ (G_1+G_2+････+G
301:_n)/n = (g_1+g_2+･････+g_{n+1})/(n+1), ここに g_k = [(k-1)G_{k-1} + (n+1-k)G_k]/n ≧ [G_{k-1}^(k-1)・(G_k)^(n+1-k)]^(1/n) (AM-GM) = {(G_k)^(n+1) / x_k}^(1/n), とおいた。また A_{n+1} = (x_1+x_2+････+x_{n+1})/(n+1), ここでコーシーを使う。 (g_k)^n・x_k ≧ (G_k)^(n+1), より (A_1･A_2･････A_{n+1})^{1/(n+1)} ≧ (G_1+G_2+････+G_{n+1})/(n+1) n+1 についても成り立つ。
302:１３２人目の素数さん
19/12/15 01:02:39.88 Nfo6ujPm.net
0<x<2n で f "(x) > 0 のとき、
f(x) は下に凸で
nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
[分かスレ４５６．720-722]
303:１３２人目の素数さん
19/12/15 20:33:15.25 9/kB6Zt6r
>>284
反例になるfをいくらでも作れる
例えば
f(0)=f(2)=-1
0<x<2のとき f(x)=x^2
304:１３２人目の素数さん
19/12/17 14:19:03.72 /04vhOiY.net
凸不等式より
{f(2k-2) + f(2k)}/2 > f(2k-1) ････ (1)
また 0<k<n に対して
{(n-k)f(0) + k･f(2n)} /n > f(2k),
{k・f(0) + (n-k)f(2n)} /n > f(2n-2k),
辺々たすと
f(0) + f(2n) > f(2k) + f(2n-2k) ････ (2)
これらにより
(左辺) - (右辺)
> nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1){f(0)+f(2n)}/2 - (n+1)Σ[k=1,n-1] f(2k)
= (n-1){f(0) + f(2n)}/2 - Σ[k=1,n-1] f(2k)
= (1/2)Σ[k=1,n-1] {f(0) + f(2n) - f(2k) - f(2n-2k)}
> 0,
305:１３２人目の素数さん
19/12/17 14:43:09.39 /04vhOiY.net
〔問題132〕
A = (x_1+x_2+･････+x_n)/n,
G = (x_1･x_2･････x_n)^(1/n),
L = (A_1･A_2･････A_n)^(1/n) ただし A_k = (x_1+x_2+･････+x_k)/k,
とおく。
(n+1)(G/A)^{1/(n+1)} ≦ n(L/A)^(1/n) + G/L ≦ n+1,
IMO-2004 short list A.7
Inequalitybot [132] ☆12
306:１３２人目の素数さん
19/12/17 14:58:04.88 /04vhOiY.net
(左) GM-AM で
(右)も GM-AM で
(L/A)^(1/n)
= {1^((n+1)/2n)} Π[k=2,n] {A_(k-1)/A_k}^((k-1)/nn)
≦ (n+1)/2n + (1/nn)Σ[k=1,n] (k-1)･A_(k-1)/A_k,
また
G/L = (Π[k=1,n] x_k/A_k)^(1/n) ≦ (1/n)Σ[k=1,n] x_k/A_k,
したがって
(中辺) ≦ (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] {(k-1)A_(k-1) + x_k}/A_k
= (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] k
= (n+1)/2 + (n+1)/2
= n+1,
307:１３２人目の素数さん
19/12/18 01:08:41.74 jR0GFFw7.net
a,b,c>0, ab+bc+ca≧1,
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≧ (√3)/(abc).
308:１３２人目の素数さん
19/12/19 13:28:01.97 8YaA1ba7.net
ab+bc+ca = t とする。
1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
= (a+b+c)/(abc)
≧ √(3t) /(abc),
∵ xx+yy+zz ≧ (1/3)(x+y+z)^2 ≧ xy+yz+zx,
309:１３２人目の素数さん
19/12/19 19:04:36.47 SuNljxVK.net
>>289-290
出典を貼るのを忘れていた。
香港科技大学 Mathematical Excalibur Vol.22-4
URLﾘﾝｸ(archives.ust.hk)
310:１３２人目の素数さん
19/12/20 02:20:08 yiLw1Jz8.net
2015
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
311:１３２人目の素数さん
19/12/27 20:33:34.64 E3VxHfur.net
ウホッ、懐かしい不等式
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
312:１３２人目の素数さん
19/12/27 21:05:30.72 SKZ2Atg2.net
>>293
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
締切：2020年1月6日※締切日必着
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
313:１３２人目の素数さん
19/12/29 03:42:26.63 ktrDgrgt.net
問
314: 題 任意の相異なる正の数 a,b に対し、不等式 √(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2 ･･･… (*) が成立することが知られている。 この不等式を相異なる3つの正の数 a,b,c に関する不等式に拡張したものを一つ見つけて、それを証明せよ。ただし、ここでの拡張した不等式とは (abc)^(1/3) < F(a,b,c) < (a+b+c)/3 ( F(a,b,c) は log(a), log(b), log(c) を含む a,b,c の対称式 ) であるとする。 なお、F(a,b,c)について上記以外の仮定は定めないが、できる限り(*)から自明に得られるものでない方が望ましいものとする。 (ただし、(*)からの変形が不可というわけではない。今回はかなり自由に考えてほしい。) 東進 数学コンクール
315:１３２人目の素数さん
19/12/30 09:31:01.33 BSp8AaON.net
(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(a+b+c+k-2)^2
k ≧ (1+sqrt(5))/2.
316:１３２人目の素数さん
19/12/30 23:36:43.27 q0w0AswJ.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
317:１３２人目の素数さん
19/12/31 02:29:47.93 CIMjjWYH.net
>>297
f(x) を [0,1] 上で非負の単調減少関数とするとき、
∫[0,1] x f(x)^2 dx /∫[0,1] x f(x) dx ≦ ∫[0,1] f(x)^2 dx /∫[0,1] f(x) dx,
を示せ。
(略証)
題意より
0 ≦ f(x),
0 ≦ f(y),
0 ≧ (x-y) {f(x)-f(y)},
よって
0 ≧ ∬(x-y){f(x)-f(y)}f(x)f(y) dxdy
= ∬{xf(x)^2 f(y) + yf(y)^2 f(x) - xf(x)f(y)^2 - yf(y)f(x)^2} dxdy
= 2∫xf(x)^2 dx･∫f(y) dy - 2∫f(x)^2 dx･∫yf(y) dy
∴ ∫xf(x)^2 dx /∫yf(y)dy ≦ ∫f(x)^2 dx /∫f(y)dy,
318:１３２人目の素数さん
20/01/01 03:51:45.32 F81QwpXb.net
∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
正の数 a，b，c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
>>23
>>27
319:１３２人目の素数さん
20/01/01 13:16:53.96 vZvCSbvi.net
exradii って傍接円の半径であってるかな？
共立の赤い辞書にも載ってないし、web検索でもhitしないけど…
320:１３２人目の素数さん
20/01/03 02:47:36.83 6pYHqa71.net
>>299 が解けたら教えよう。
正の数a,b,c･･･は今年は不要だった...orz
321:１３２人目の素数さん
20/01/03 15:24:16.70 Xx1MBzdP.net
去年の問題(>>23)も解けていないというのに、無理無駄無謀無茶無情！
322:１３２人目の素数さん
20/01/03 15:46:35.83 Xx1MBzdP.net
今勉強中なのが、カントロビチクソの不等式
323:１３２人目の素数さん
20/01/04 21:55:59.92 2AvOoxci.net
>>185
Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何か別の名前はついてないのかな
324:１３２人目の素数さん
20/01/04 22:10:26.67 1HNb63rL.net
>>304
> Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何を連想するん？
325:１３２人目の素数さん
20/01/05 16:43:59.29 M9rUjvu0.net
正の数a, b, cに対して
(a^1010-a+4)(b^1010-b+4)(c^1010-c+4)>(a+b+c)^3
が成り立つことを示す.
Σa/3=Mとおく.
M≧1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>9Σa^1009
≧27M^1009
≧27M^3
=(RHS)
M<1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>3^3
>28M^3
=(RHS)
326:１３２人目の素数さん
20/01/05 17:02:53.16 M9rUjvu0.net
>>183
Kantorovich
>>230 >>250
Muirhead
>>284
Karamata
細かいけど(0,2n)ではなく[0,2n]でf">0だと思う
>>305
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(proofwiki.org)
327:１３２人目の素数さん
20/01/05 18:28:42.28 PT3ra9AO.net
>>303
サノバビッチの不等式、糞ビッチの不等式、ぬるぽビッチの不等式…、いろいろあるなぁ… （錯乱）
328:１３２人目の素数さん
20/01/06 03:47:32.05 iay27LR5.net
>>306
正解です!!
(y^1010 +1) - (y^1009 + y)
= (y^1009 -1)(y-1)
≧ 0,
を使ったでござるか。さらに
y^1009 + 3 ≧ y^1006 + y^3 +2 ≧ y^3 +2,
とすれば、コーシーで
(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) ≧ (a+b+c)^3,
なお、最良係数は
y^1010 -y +4 ≧ 1.008619375112(y^3 +2),
等号は y = 0.994531163783 のとき
>>300
傍接円(excircle) の半径(radii) ですね。
329:１３２人目の素数さん
20/01/06 19:06:36.22 iay27LR5.net
>>306
(a+b+c)/3 = M とおく。
(a^1009 +3)(b^1009 +3)(c^1009 +3)
> 27{(a^1009 + b^1009 + c^1009)/3 + 1}
≧ 27(M^1009 + 1)
> 27max{M^1009, 1}
≧ 27(max{M, 1})^3
= max{3M, 3}^3
= max{a+b+c, 3}^3.
330:１３２人目の素数さん
20/01/07 04:35:19.28 dGX/W9Ay.net
Rheinboldt's inequality (*´Д｀) ﾊｧﾊｧ…
331:１３２人目の素数さん
20/01/14 21:02:29 QnAOHIy5.net
三角形の3辺に対して、
sqrt(aa+bb-4S) + sqrt(bb+cc-4S) ≧ sqrt(cc+aa-4S).
332:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:16:00 1crWIv5/.net
>>312
Sは三角形の面積だと勝手に解釈しました. 出典知りたいです.
a≧c≧bの場合を証明すればよい.
まず補題, a^2+b^2+c^2-4S≧(a+c-b)^2 を示す.
これは -1≧1/sinB-1/sinA-1/sinC と同値.
Bを固定する. f(C)=1/sinB-1/sin(π-B-C)-1/sinC とする.
g(X)=-cosX/(sinX)^2 とする. (定義域は(0,π))
g'>0 だからgは単調増加なので f'(C)=-g(π-B-C)+g(C)≦0 だからfは単調減少.
よって f(C)≦f(B)=-1/sin(π-2B)≦-1 なので補題は示された.
題意の不等式は a^2+b^2+c^2-4S=1 の場合を証明すればよい.
(0,1]を定義域とする h(x)=-sqrt(1-x^2) を考える. hは凸関数.
(a+c-b,b) は (a,c) をマジョライズするからKaramataの不等式より
h(a+c-b)+h(b)≧h(a)+h(c) なので h(b)≧h(a)+h(c)
よって sqrt(1-aa)+sqrt(1-cc)≧sqrt(1-bb)
題意の不等式は示された.
333:１３２人目の素数さん
20/01/17 16:03:09 8XEo1F0J.net
>>296
k ≧ (1+√5)/2 = φ = 1.618034･･･ より
kk-k-1 = (k-φ)(k+φ-1) ≧ 0,
より
(左辺) - (右辺) = (kk-k-1){(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
+ k{(ab-1)^2 + (bc-1)^2 + (ca-1)^2} + (abc-1)^2
+ 2(a-1)(b-1)(c-1),
う～む、場合分けでござるか････
k=2 の場合は
a,b,c>0 のとき (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2.
APMO-2004 A.5,
文献[9] 佐藤(訳) 問題3.85, 朝倉 (2013)
Inequalitybot [20]
[前スレ. 070[2]、084] [第８章.456、469]
334:１３２人目の素数さん
20/01/20 13:00:34 RONGOZUM.net
>>314
k ≧ φ ならば, どの文字に注目しても
f(a,b,c,k) = (aa+k)(bb+k)(cc+k) - (k+1)(a+b+c+k-2)^2
は下に凸の二次関数, さらに(1,1,1,φ)で極小値0.
>>296 のステートメントが適当すぎる.
335:１３２人目の素数さん
20/01/21 00:47:02 NlSt5Qji.net
〔問題〕
実数a,b,cが
a < b < c, a+b+c = 6, ab+bc+ca = 9
を満たしている。
0 < a < 1
336: < b < 3 < c < 4 を証明せよ。 高校数学問題bot (@7k_x) - - - - - - - - - - - - - - - 3a(4-a) = (c-b)^2 >0, 3c(4-c) = (b-a)^2 >0, (c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0, 3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0, らしい。
337:１３２人目の素数さん
20/01/31 12:39:42.63 fETwRHBA.net
2016年度春合宿の問題
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
338:１３２人目の素数さん
20/01/31 15:05:57 fETwRHBA.net
もう一つ
2017年度春合宿の問題
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
339:１３２人目の素数さん
20/02/01 04:59:30.88 7zqqjjoe.net
>>317
第７問
実数kは、任意の2以上の整数nと正の実数 a_0,a_1,････,a_n に対して
1/(a_0+a_1) + 1/(a_0+a_1+a_2) + ････ + 1/(a_0+a_1+････+a_n) < k (1/a_0 + 1/a_1 + ････ +1/a_n)
を満たす。このようなkとしてあり得る最小の値を求めよ。
>>318
第８問
正の整数からなる数列a1,a2,････があり、任意の正の整数nについて
a_n > (a_{n+1} + a_{n+2} + ････ + a_{2n}) / (n+2016)
を満たしている。このとき、ある正の実数Cが存在し、
任意の正の整数nについて a_n < C が成り立つことを示せ。
第１０問
3以上の正の整数nであり、次を満たすものをすべて求めよ。
|a_k| + |b_k| = 1 (k=1,2,････,n) を満たすような任意の2n個の実数 a_1,a_2,････,a_n, b_1,b_2,････,b_n に対して、
実数 x_1,x2,････,x_n を、次を満たすように選ぶことができる。
|x_k| = 1 (k=1,2,････,n),
|Σ[k=1,n] x_k･a_k | + |Σ[k=1,n] x_k･b_k | ≦ 1.
340:１３２人目の素数さん
20/02/01 07:31:35.29 7zqqjjoe.net
第7問
k = 1/3
(a_0 = a_1 = 1, a_k = 2^(k-1), n→∞ のとき)
第10問
ｖ_k = (a_k,b_k) は正方形 |X| + |Y| = 1 の辺上にある。
Σ[k=1,n] (±ｖ_k) が正方形の内側に落ちる (ように各符号x_kを選ぶ)
341:１３２人目の素数さん
20/02/01 13:53:11 0aCfjAcc.net
第8問だけど上に有界なら極限値は何になるのかも気になる
342:１３２人目の素数さん
20/02/05 07:10:07 AQM1KB8L.net
>>317 >>320
第７問
S_j = a_0 + a_1 + ････ + a_j,
とおくと HM-AM で
4/S_j = 4/{S_(j-1) + a_j} ≦ 1/S_(j-1) + 1/a_j,
4/S_j - 1/S_(j-1) ≦ 1/a_j,
j=1～n の和をとる。
3Σ[j=1,n] 1/S_j + 1/S_n ≦ Σ[j=0,n] 1/a_j,
Σ[j=1,n] 1/S_j < (1/3)Σ[j=0,n] 1/a_j,
343:１３２人目の素数さん
20/02/09 20:15:04 drHYoHKW.net
私的メモ、Hadamardの不等式
344:１３２人目の素数さん
20/02/11 23:26:49 Q2MCulxJ.net
関数不等式が出ました
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
345:１３２人目の素数さん
20/02/11 23:32:00 l6EiwKBu.net
>>324
ウホッ！いい関数不等式
346:１３２人目の素数さん
20/02/12 07:39:21.58 uWBQqkSN.net
2020年 日本数学オリンピック 本選
(C)(公財) 数学オリンピック財団
問 題^1
2020年2月11日 試験時間4時間 5題
1. (n^2 +1)/(2m) と √{2^(n-1) + m + 4} がともに整数となるような正の整数の組 (m,n) をすべて求めよ。
(m,n) = (1,3) (61,11) ？
2. BC < AB, BC < AC なる三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり、BD=CE=BC を満たしている。
直線BEと直線CDの交点をPとする。
三角形ABEの外接円と三角形ACDの外接円の交点のうちAでない方をQとしたとき、直線PQと直線BCは垂直に交わることを示せ。
ただし、XYで線分XYの長さを表わすものとする。
3. 正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数ｆであって、任意の正の整数m,nに対して
m^2 + f(n)^2 + (m-f(n))^2 ≧ f(m)^2 + n^2,
を満たすものをすべて求めよ。
347:１３２人目の素数さん
20/02/12 08:06:10 uWBQqkSN.net
4. nを2以上の整数とする。
円周上に相異なる3n個の点があり、これらを特別な点とよぶことにする。
A君とB君が以下の操作をn回行なう。
まず、A君が線分で直接結ばれていない2つの特別な点を結んで線分で結ぶ。
次に、B君が駒の置かれていない特別な点を1つ選んで駒を置く。
A君はB君の駒の置き方にかかわらず、n回の操作が終わったときに駒の置かれている特別な点と駒の置かれていない特別な点を結ぶ線分の数を (n-1)/6 以上にできることを示せ。
5. ある正の実数cに対して以下が成立するような、正の整数からなる数列 a_1, a_2, ････ をすべて求めよ。
任意の正の整数m,nに対して gcd(a_m + n, a_n + m) > c (m+n) となる。
ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数を gcd(x,y) で表わす。
以 上
348:１３２人目の素数さん
20/02/13 08:18:39 8bKSb4oB.net
〔問題〕
f(x) = Σ[k=0,n] c_k x^k (c_k ≧0) のとき、次は成り立つか？
(1) {u f '(x)/f(x)} ' ≧ 0,
(2) log{f(e^x)} は下に凸
(3) f(x)f(y) ≧ f(√(xy))^2.
分かスレ４５８.054-063
349:１３２人目の素数さん
20/02/16 01:35:24.83 N9QZtxQk.net
>>316
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 +9x -abc
とおく。
(4-abc) - f(x) = (4-x)(1-x)^2,
から x=1 で極大 f(1) = 4-abc = f(4),
f(x) + abc =x(x-3)^2,
より x=3 で極小 f(3) = -abc = f(0),
または 微分して増減表を書けばx=1で極大値 4-abc，x=3で極小値 -abc をとる。
題意により、f(x)=0 は 3実根a<b<cをもつから
-abc < 0 < 4-abc
∴ 0<a<1<b<3<c<4
(tenさん)
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
350:１３２人目の素数さん
20/02/19 13:19:05 WOZU/4dA.net
n>1 に対して
ζ(n) = 1 + 1/(2^n) + 1/(3^n) + ････
とおく。このとき
ζ(n) > e^{1/(2^n)} > 1 + 1/(2^n)
か？
351:１３２人目の素数さん
20/02/20 08:57:27 ZWVgPXIY.net
ζ(n) = Σ[k=1,∞] 1/(k^n)
> Σ[j=0,∞] 1/(2^j)^n
= Σ[j=0,∞] 1/N^j
= 1/(1 - 1/N),
ここに、N=2^n とおいた。
1/N^j > 1/(j!･N^j) より
ζ(n) > 1/(1 - 1/N) > exp(1/N) > 1 + 1/N,
352:１３２人目の素数さん
20/02/25 17:15:37 Bxdn7zCJ.net
2020年度東大理系第一問
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
353:１３２人目の素数さん
20/02/27 03:16:30 6SmBw6gg.net
>>332
第 １ 問
a,b,c,p を実数とする。不等式
ax^2 + bx + c > 0
bx^2 + cx + a > 0
cx^2 + ax + b > 0
をすべて満たす実数xの集合と、x>p を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) a,b,c はすべて0以上であることを示せ。
(2) a,b,c のうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) p=0 であることを示せ。
354:１３２人目の素数さん
20/02/27 04:06:30.88 6SmBw6gg.net
>>333
(1) 背理法による。
a<0 と仮定すると f(x) = ax^2 +bx +c は上に凸な放物線。
f(x)>0 を満たすxの範囲は (もし有っても) 有限の範囲内。
これは題意の「x>p ⇒ 3式すべてを満たす」に反する。
b,cについても同様。
(2) 背理法による。
a>0 と仮定すると f(x) = ax^2+bx+c は下に凸な放物線。
|x| > 2|b/a| + √|2c/a| ⇒ f(x) >0 を満たす。
-x がじゅうぶん大きいときにも f(x) >0 を満たす。
a,b,c>0 と仮定すると、
-x がじゅうぶん大きいときにも 3式すべてを満たす。
これは題意の「3式すべてを満たす ⇒ x>p」に反する。
∴ abc=0.
355:１３２人目の素数さん
20/02/28 16:07:45 b8YXVJTs.net
>>333
(3)
a>0, b≧0, c=0 のとき
(ax+b)x >0 ････ x>0 または ax+b<0
bxx+a > 0 ････ すべての実数
ax+b > 0 ････ (x>0を含む)
このすべてを満たす実数xは x>0.
a=b=c=0 のとき
3式を満たす実数xはない。(不適)
以上により p=0.
356:１３２人目の素数さん
20/02/28 16:57:20 b8YXVJTs.net
・分
357:野・テーマ ２次関数、集合と命題、極限 ・設問内容 係数に対称性のある３つの２次以下の不等式をすべて満たす実数の集合の形から、不等式の係数についての条件や、不等式の解を決定する問題である。 ・解答のポイント 結論は直感的には明らかであるが、それをきちんと証明するのは難しい。 (1) グラフの概形をイメージすることが大きな手掛かりとなる。 十分大きなxについて考えると良い。 (2) (1)と同様に極限を考えると良いが、ここが難所である。 (3) 前問が示せていなくても、取り組みたい。 係数すべてが0となることはなく、1つは0であるから、この条件の下で３つの不等式を解くことで解決する。 http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/tokyo/1313355_5408.html http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1582861742/
358:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:24:18.22 3u+TSzyD.net
難易度10(満点)らしい
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
359:１３２人目の素数さん
20/03/09 23:24:26 V6IMEB5h.net
〔問題332〕
0以上1以下の実数p,q,r,sにおいて、
√(p^2 + r^2) + √{p^2 + (r-1)^2} + √{(1-q)^2 + s^2} + √{(1-q)^2+(1-s)^2} + √{(p-q)^2 + (r-s)^2}
の最小値を求めよ。
-------------------------------------------------------------
O(0,0) A(0,1) B(1,1) C(1,0) P(p,r) Q(q,s)
とおくと与式は
OP + AP + CQ + BQ + PQ
P は △OCQ のフェルマー点
Q は △ABP のフェルマー点
360:１３２人目の素数さん
20/03/10 09:32:03.67 Ct1vj+NA.net
∠AQB = 120ﾟ より 点Qは円周
{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。
∴ P,Q は y=1/2 上に有る。r=s=1/2,
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2) Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)
与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
= 4/√3 + (1 - 1/√3)
= 1 + √3.
361:１３２人目の素数さん
20/03/10 09:37:26.87 Ct1vj+NA.net
修正･･･
∠OPC = 120ﾟ より 点Pは円周
{x + 1/(2√3)}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠OPC の二等分線は (-1/√3, 1/2) を通る。
∠AQB = 120ﾟ より 点Qは円周
{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。
上記のことから、点P, Q は直線 y=1/2 上に有る。
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2) Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)
与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
= 4/√3 + (1 - 1/√3)
= 1 + √3.
362:１３２人目の素数さん
20/03/10 10:03:31.24 Ct1vj+NA.net
また間違えた････
∴ ∠OPC の二等分線は (-(√3)/2, 1/2) を通る。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+(√3)/2, 1/2) を通る。
イナに改名しようかな････
363:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:08:40 bNXGbbJ+.net
今年の入試問題
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
364:１３２人目の素数さん
20/03/13 16:13:22 HFBlyies.net
>>342
問１を判別式を使って答えようとすると、問２を先に解答しなくちゃならなく
あれっ？ってなって、それが問３のヒントになるのか
うまく作ってあるね
365:１３２人目の素数さん
20/03/13 19:09:48 l20VjRfO.net
2020年 大阪市立大
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
a,b,c, x,y,z を実数とする。次の問いに答えよ。
問1 a^2 - b^2 > 0 のとき、tについての2次方程式
(at+x)^2 - (bt+y)^2 = 0
は実数解をもつことを示せ。
問2 a^2 - b^2 > 0 のとき、
(ax-by)^2 ≧ (a^2 -b^2)(x^2 -y^2)
が成り立つことを示せ。
問3 a^2 - b^2 - c^2 > 0 のとき、
(ax-by-cz)^2 ≧ (a^2 -b^2 -c^2)(x^2 -y^2 -z^2)
が成り立つことを示せ。
366:１３２人目の素数さん
20/03/13 23:26:59 l20VjRfO.net
問１
f(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2
= (aa-bb)tt + 2(ax-by)t + (xx-yy)
とおく。
aa-bb>0 だから 下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき f(t)>0,
一方、|a|>|b|≧0, a≠0
f(-x/a) = - {b(-x/a)+y}^2 ≦ 0,
中間値の定理より f(t)=0 は実数解をもつ。
t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b)
問２
aa-bb > 0 のとき、
(判別式) = (ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) ≧ 0,
(別解) ラグランジュの恒等式から
(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0
問３
g(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2 - (ct+z)^2
= (aa-bb-cc)tt -2(ax-by-cz)t + (xx-yy-zz)
とおく。
aa-bb-cc > 0 だから 下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき g(t) >0,
|a|> |b|,|c| ≧0 より a≠0,
g(-x/a) = - {(-b/a)t +y}^2 - {(-c/a)t +z}^2 ≦ 0,
中間値の定理より g(t)=0 は実数解をもつ。
(判別式) = (ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz) ≧ 0.
367:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:34:57 iH59lf4s.net
このスレの解答は････
問１
(at+x)^2 - (bt+y)^2 = {(a+b)t + (x+y)}{(a-b)t + (x-y)} = 0,
ところで (a+b)(a-b) = aa-bb ≠ 0,
∴ t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b),
問２
(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0 (*)
この場合は aa-bb>0 は不要
問３
xで平方完成する。
(ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz)
= {(bb+cc)xx -2ax(by+cz) + aa(yy+zz)} - (bz-cy)^2 (*)
= {[(bb+cc)x -a(by+cz)]^2 + (aa-bb-cc)(bz-cy)^2}/(bb+cc)
≧ 0,
等号成立は x/a = y/b = z/c のとき。
b=c=0 のときは明らか。
*) ラグランジュの恒等式
(yy+zz) = {(by+cz)^2 + (bz-by)^2}/(bb+cc) を使った。
368:１３２人目の素数さん
20/03/16 13:55:03 bNeBdUF1.net
〔問題669〕
x>0, y>0 のとき
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,
(略証)
log は単調増加だから
(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
(x/y)^(x-y) ≧ 1,
(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
= (x^x - y^y)^2
≧ 0,
[分かスレ４５８．669]
369:１３２人目の素数さん
20/03/16 16:52:52.52 bNeBdUF1.net
〔補題〕
x>0, y>0 とする。
(1) x^x - x^y - y^x + y^y ≧ 0,
(2) x^(2x) - x^(2y) - y^(2x) + y^(2y) ≧ 0,
(3) 0<a≦e のとき、
x^(ax) - x^(ay) - y^(ax) + y^(ay) ≧ 0,
等号成立は x=y のとき。
370:１３２人目の素数さん
20/03/16 19:37:14 n1EjKc3E.net
次のように関数f,gを定義する
f(x)=1/x+1/(x-2)+…+1/(x-2018)
g(x)=1/(x-1)+1/(x-3)+…+1/(x-2017)
このとき0<x<2018の範囲に存在する任意の実数xに対して、|f(x)-g(x)|>2が成立することを示せ
2018年度APMO第2問
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
371:１３２人目の素数さん
20/03/16 19:42:11 n1EjKc3E.net
>>349
xが整数でない実数という条件が抜けていた
372:１３２人目の素数さん
20/03/16 19:46:00 n1EjKc3E.net
もうひとつ2012年度APMOから
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
373:１３２人目の素数さん
20/03/17 05:32:50.08 CmDsCyUw.net
>>351
〔問題５〕
nを2以上の整数とする。
実数 a_1, a_2, ････, a_n が (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n を満たすなら
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
が成り立つことを示せ。
Problem 5.
Let n be an integer greater than or equal to 2.
Prove that if the real numbers a_1, a_2, ････, a_n satisfy (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n, then
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
must hold.
APMO-2012
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca) → 2012
Inequalitybot [87] ☆10
374:１３２人目の素数さん
20/03/17 06:34:23.26 CmDsCyUw.net
>>352
HM-AM より
2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),
x=a_i, y=a_j とおく。
Σ[x≠y] xy/(n-xy) ≦ Σ[x≠y] yy/(n-xx)
= Σ[i=1,n] Σ[j≠i] (a_j)^2 /{n-(a_i)^2}
= Σ[i=1,n] 1
= n,
両辺に n(n-1) をたすと
Σ[1≦i≠j≦n] n/(n－a_i･a_j) ≦ nn,
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
375:１３２人目の素数さん
20/03/17 12:40:52 Rjx45xEY.net
putnumから不等式問題を拾ってきた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
376:１３２人目の素数さん
20/03/17 15:21:04.67 CmDsCyUw.net
(上)
f(x)は、区間[0,1]で定義された連続な実数値関数とする。次を示せ。
∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.
Let f(x) be a continuous real-valued func
377:tion defined on the interval [0,1]. Show that ∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.
378:１３２人目の素数さん
20/03/17 15:43:05.43 CmDsCyUw.net
(下)
a_1, a_2, ････ は実数とする。
すべてのnについて
∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
となる定数Aがあるとする。
すべてのnについて
Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
となる定数B >0 があることを示せ。
Let a_1, a_2, ････, be real numbers.
Suppose there is a constant A such that for all n,
∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
Prove there is a constant B > 0 such that for all n,
Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
379:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:14:44 CmDsCyUw.net
>>356
∫[-∞,∞] 1/{1+(x-a)^2}･1/{1+(x-b)^2} dx = 2π/{4+(a-b)^2},
380:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:25:15 CmDsCyUw.net
>>353
2xy ≦ (1/2)(x+y)^2 ≦ xx+yy, (GM-AM)
より
2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{2(n-xy)}
≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy), (←コーシー)
x=a_i, y=a_j とおき、1≦i<j≦n でたす。
381:１３２人目の素数さん
20/03/17 18:07:30 CmDsCyUw.net
>>356
>>357
ついでに･･･
∫ 1/{1+(x-a)^2}*1/{1+(x-b)^2} dx
= {(1/(a-b))log((1+(x-b)^2)/(1+(x-a)^2)) + arctan(x-a) + arctan(x-b)}/{4+(a-b)^2},
ローレンツ形関数の畳み込み･･･
382:１３２人目の素数さん
20/03/17 19:23:46 CmDsCyUw.net
>>349
>>350
・2n-1<x<2n のとき
f(x+2) - f(x) = 1/(x+2) + 1/(2018-x),
g(x+2) - g(x) = 1/(x+1) + 1/(2017-x),
∴ g(x+2) - f(x+2) > g(x) - f(x) > ････
∴ 1<x<2 について示せば十分。
g(x) - f(x)
= - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x) + Σ[i=2,1008] {1/(2i-x) - 1/(2i+1-x)} + 1/(2018-x)
> - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x)
= 1/{(2-x)(x-1)} - 3/{x(3-x)}
> 4 - 3/2
= 5/2.
∵ 1/4 - (2-x)(x-1) = (3/2 -x)^2 ≧ 0,
x(3-x) - 2 = (2-x)(x-1) > 0,
・2n<x<2n+1 のとき
f(x-1009), g(x-1009) は 奇関数。
f(x) = - f(2018-x),
g(x) = - g(2018-x),
ところで、2n<x<2n+1 ゆえ
2(1009-n) -1 < 2018-x < 2(1009-n),
∴上記により
f(x) - g(x) = - f(2018-x) + g(2018-x) > 5/2,
APMO-2018
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca) → 2018
383:１３２人目の素数さん
20/03/17 20:11:27 Rjx45xEY.net
良さげな不等式問題を拾ってきたので貼る
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
384:１３２人目の素数さん
20/03/18 05:54:49 LbXnfiiv.net
(上)
a,b,c は負でない実数とする。次を示せ。
a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.
Let a,b,c be non-negative real numbers.
Prove that
a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.
Wenyu Cao
USA.ELMO-2009 day1-Q3
Inequalitybot [111] ☆5
安藤哲哉「不等式」数学書房 (2012) の p.55, 例題2.2.12(3)
S_3 + 2S_{2,1} ≧ 3S_{1,2}
385:１３２人目の素数さん
20/03/18 06:09:44 LbXnfiiv.net
(下)
a,b,c は正の実数で
a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7)
を満たすとする。
(a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1
を証明せよ。
Let a,b,c be positive reals satisfying
a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7).
Prove that (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1.
(Evan Chen)
386:１３２人目の素数さん
20/03/18 06:25:25 LbXnfiiv.net
>>362
min{a,b,c} = m,
{a,b,c} = {m,m+x,m+y} とする。(x≧0, y≧0)
(与式) = 2m(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ 0.
387:１３２人目の素数さん
20/03/18 06:36:15 LbXnfiiv.net
>>357
>>359
対角項 (a=bの場合) は
∫[-∞,∞] 1/(1+(x-a)^2)^2 dx = ∫[-∞,∞] 1/(1+xx)^2 dx = π/2,
∵∫ 1/(1+xx)^2 dx
= (1/2)∫ {(1-xx)/(1+xx)^2 + 1/(1+xx)} dx
= x/(2(1+xx)) + (1/2)arctan(x),
388:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:09:23 mXsnD9nM.net
>>348 (1)
(x-1)log(x) ≧ 0 より
x^x - x ≧ 0, y^y - y ≧ 0, ････ (A)
・x≧1 のとき
x^x -x^y -y^x +y^y
= {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) + {(x^x)(y^y) - (x^y)(y^x)}/(x^y)
≧ {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) (>>347 より)
≧ 0.
・(x-1)(y-1)≦0 のとき
x^y ≦ x, y^x ≦ y,
これと (A) から出る。
・0 < y ≦ x ≦1 のとき
d = (x-y)/2 ≧ 0, とおく。
x^x -x^y -y^x +y^y
= - x^((x+y)/2) {x^(-d) - x^d} + y^((x+y)/2) {y^(-d) - y^d},
(sinhθ)/θ は |θ| について単調増加ゆえ
{y^(-d) - y^d}/(-log(y)) ≧ {x^(-d) - x^d}/(-log(x)) ≧ 0,
また
y^((x+y)/2)(-log(y)) ≧ x^((x+y)/2)(-log(x)) ≧ 0,
辺々掛ける。
389:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:26:22 mXsnD9nM.net
>>355
区間[0,1] を
P = { x∈[0,1] | f(x)≧0 }
N = { x∈[0,1] | f(x)<0 }
に分ける。
I_P = ∫_P |f(x)| dx,
I_N = ∫_N |f(x)| dx,
p = ∫_P dx,
n = ∫_N dx,
とすると
p + n = 1,
で
(左辺) = ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫PN ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
+ ∫NP ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
= ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ |∫PN (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
+ |∫NP (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
= 2p･I_P + 2n･I_N + 2|n･I_P - p･I_N|
≧ 2p･I_P + 2n･I_N + (n-p)(I_P - I_N) (*)
= (p+n)(I_P + I_N)
= I_P + I_N
= ∫[0,1] |f(x)| dx,
(*)
(n-p)(I_P-I_N) ≦ 0 のときは明らか。
n≧p, I_P≧I_N のとき
n･I_P - p･I_N = (n-p)I_N + n(I_P-I_N) ≧ (n-p)(I_P-I_N),
p≧n, I_N≧I_P のとき
p･I_N - n･I_P = (p-n)I_P + p(I_N-I_P) ≧ (n-p)(I_P-I_N).
390:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:08:25 TLP5gz64.net
ルーマニア数学オリンピックから不等式の問題を色々拾ってきたので貼る
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
391:１３２人目の素数さん
20/03/19 20:17:08 TLP5gz64.net
そしてこれはルーマニア数オリ代表選抜の問題から
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
392:１３２人目の素数さん
20/03/19 22:27:58 J+ez4IFc.net
(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ
393:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:31:37 lC3HBZ24.net
>>368
[1]
すべての自然数nについて
sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),
sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n), ∀n∈N
[2]
自然数 n≧2 と n個の正の実数 a_1, a_2, ････, a_n が
次の不等式を満たすとする。
Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1}, ∀i∈{1,2,････,n-1}
このとき
Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.
を証明せよ。
Let be a natural number n≧2 and n positive real numbers
a_1, a_2, ････, a_n that satisfy the inequalities
Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1}, ∀i∈{1,2,････,n-1}
Prove that
Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.
[3]
1/2 ≦ a,b,c ≦ 1 とする。
2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
を証明せよ。
Let a,b,c ∈ [1/2,1].
Prove that
2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
(selected by Mircea Lascu)
[4]
n∈Nﾟ とし、
ｖ1, ｖ2, ････, ｖn は平面内ヴェクトルで、長さは１以下とする。
このとき
|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
となるような ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} が存在することを示せ。
Let n∈Nﾟ and ｖ1, ｖ2, ････, ｖn be vectors in the plane
with lengths less than or equal to 1.
Prove that there exists ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} such that
|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
394:１３２人目の素数さん
20/03/20 04:13:12 lC3HBZ24.net
[1]
〔ジョルダンの不等式〕
sinθは上に凸だから
sin(aθ) ≧ a･sinθ, (0≦a≦1、0≦θ≦1.43π)
文献[3] 大関(1987)、p.38 例題2
[3]
(左)
s = a+b+c とおくと
(与式) = (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b)
= (1+a+b+c){1/(1+c) + 1/(1+a) + 1/(1+b)} - 3
≧ (1+s)･9/(3+s) - 3 (AM-HM)
= 6 - 18/(3+s)
≧ 6 - 4 (s≧3/2)
= 2,
(右)
(与式) = {(a+b)(1+a)(1+b) + (b+c)(1+b)(1+c) + (c+a)(1+c)(1+a)}／{(1+c)(1+a)(1+b)}
= 3 - {3(1+c)(1+a)(1+b) - (a+b)(1+a)(1+b) - (b+c)(1+b)(1+c) - (c+a)(1+c)(1+a)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
= 3 - {(1-a)[4a+(b-c)^2] +(1-b)[4b+(c-a)^2] +(1-c)[4c+(a-b)^2] +3(1-a)(1-b)(1-c)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
≦ 3 (0≦a,b,c≦1)
395:１３２人目の素数さん
20/03/20 16:48:31 lC3HBZ24.net
>>369
[5]
n≧2 は自然数, a_i,b_i (1≦i≦n) は実数で、
Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
のとき
(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
を証明せよ。
For n∈N, n≧2, a_i,b_i∈R, 1≦i≦n, such that
Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
Prove that
(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
[6]
a_1, a_2, a_3, a_4 を
396:任意の4角形の辺とし、周長を 2s とする。 Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}. を証明せよ。 等号が成立つのはいつか？ Let a_1, a_2, a_3, a_4 be the sides of an arbitrary quadrilateral of perimeter 2s. Prove that Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}. When does the equality hold ? [7] n≧2 を整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を実数とする。 任意の空でない部分集合S ⊂ {1,2,････,n} について (Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2. を証明せよ。 Let n≧2 be an integer and let a_1, a_2, ････, a_n be real numbers. Prove that for any non-empty subset S ⊂ {1,2,････,n} we have (Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2. (Gabriel Dospinescu)
397:１３２人目の素数さん
20/03/21 01:09:55 a/9U1hEf.net
[5]
n次元空間で考える。
n個のヴェクトル {ａ,ｂ,ｃ, ････ } が規格化直交系をなす、とする。
ｔ = ａ(ａ･ｔ) + ｂ(ｂ･ｔ) + ｃ(ｃ･ｔ) + ････,
(ｔ･ｔ) = (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2 + (ｃ･ｔ)^2 + ････
≧ (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2.
ここで ｔ = (1,1,････,1) とおく。
398:１３２人目の素数さん
20/03/21 04:24:54 a/9U1hEf.net
>>364 を改良
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ (K-5/2)|?|,
ここに
? = (a-b)(b-c)(c-a) = xy(x-y),
K = √(13/4 + 4√2) = 2.984435331765856875
(略証)
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 - (K-5/2)xy(x-y)
= x^3 - (K+1/2)x^2･y + (K-1/2)xy^2 + y^3
= (x+0.2819716800612y)(x-1.8832････y)^2,
≧ 0,
(x/y)｡ = {1 +√2 +√(2√2 -1)}/2
= 1.8832035059135
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 + (K+5/2)xy(x-y)
= x^3 + (K-1/2)x^2･y - (K+1/2)xy^2 + y^3
= (x+3.546455444685y)(x-0.53101････y)^2
≧ 0,
(x/y)｡ = {1 +√2 -√(2√2 -1)}/2
= 0.531010056459569
399:１３２人目の素数さん
20/03/21 21:07:57 lmCUfcwV.net
ネットで拾った数オリ代表が作った不等式問題
おそらく海陽中等教育学校の神田秀峰と思われる
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
400:１３２人目の素数さん
20/03/22 07:12:46.54 fYa2zo9P.net
９．神田
nを1以上の整数とする。
2n個の正の実数 x1,x2,････,xn, y1,y2,････,yn は
x1 + x2 + ････ + xn = 1,
をみたす。 1以上n以下の任意の整数の組(i,j)に対し
x1 + ････ + x_{i-1} ≧ y_j または 2 - x1 - ････ - x_j ≧ y_i
となるとき
x1･y1 + x2･y2 + ････ + xn･yn ≦ 1
を示せ。
401:１３２人目の素数さん
20/03/26 01:44:21 zUlAmjt2.net
>>306
x = max{a,b,c} で場合分けする方法もある････
(i) 0≦x≦1 のとき
a^2020 - a^2 +4 ≧ a^2018 + 3 > 3, etc.
∴ (左辺) > 27 ≧ (3xx)^3 ≧ (aa+bb+cc)^3.
(ii) x>1 のとき
x^2020 - x^2 +4 > x^26 - x^2 +4 > x^24 +1 +1 +1 > 4 x^6,
∴ (左辺) ≧ 36 x^6 = (4/3)(3xx)^3 ≧ (4/3)(aa+bb+cc)^3.
URLﾘﾝｸ(suseum.jp) (クロニャンコさん-改)
402:１３２人目の素数さん
20/03/26 07:13:41.66 IoPO15gu.net
うむ
403:１３２人目の素数さん
20/03/27 05:53:57.81 GzR1OrPK.net
>>329
問2
c - a > 3 を示せ。
-----------------------------------------------------------------
f(x) > 4x - abc (0<x<1) ⇒ a < abc/4,
f(x) < 4x -12 -abc (3<x<4) ⇒ c > 3 + abc/4,
もあるが････
404:１３２人目の素数さん
20/04/01 10:30:00 3A39oS9Q.net
>>75
ベルトラン予想（チェビシェフの定理）によらないでも
初等的な論法によって証明できる。 (神戸市・公文氏)
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988)
●107
405:１３２人目の素数さん
20/04/01 10:41:11 QzKcUG7e.net
>>381
その本には、初等的な論法による証明は紹介されているのでせうか？
406:１３２人目の素数さん
20/04/03 00:14:12 mgebV0rK.net
●107
(3) 自然数nは、n^(1/3) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
(4) 自然数nは、n^(1/4) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
(5) 自然数nは、n^(1/5) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
407:１３２人目の素数さん
20/04/03 00:33:15 mgebV0rK.net
(3) n = 420 = GCD{1,･･･,7} [n^(1/3)] = 7.4888724
(4) n = 27720 = GCD{1,･･･,12} [n^(1/4)] = 12.903226
(5) n = 720720 = GCD{1,･･･,16} [n^(1/5)] = 14.844081
408:１３２人目の素数さん
20/04/03 00:36:13 mgebV0rK.net
まちがえた...orz
(3) n = 420 = LCM{1,･･･,7} n^(1/3) = 7.4888724
(4) n = 27720 = LCM{1,･･･,12} n^(1/4) = 12.903226
(5) n = 720720 = LCM{1,･･･,16} n^(1/5) = 14.844081
409:１３２人目の素数さん
20/04/08 11:23:03 pDfrzDrp.net
(1) x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0,
(2) x^4 + x^3 - 2x + 6/7 > 0,
高校数学の質問スレPart404．051～068
410:１３２人目の素数さん
20/04/08 11:39:19 7I0d5fbg.net
>>386
(1)は見た瞬間にグラフの概形が頭に描かれたわ。
訓練された不等式ヲタとは、そういうものだ。
411:１３２人目の素数さん
20/04/08 11:46:58 pDfrzDrp.net
(1) の方は
(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 +x -1)^2,
だが・・・・
412:１３２人目の素数さん
20/04/08 11:57:16 7I0d5fbg.net
>>388
平方完成は瞬時にはできんかったわい。
3流不等式ヲタでスマン。
413:１３２人目の素数さん
20/04/08 13:59:31 7I0d5fbg.net
x,y>0に対して、
(x^x)*(y^y)*(Γ((x+y)/2))^2 ≦ Γ(x)*Γ(y)*((x+y)/2)^(x+y).
ここで、Γはガンマ関数
414:１３２人目の素数さん
20/04/08 23:51:37 pDfrzDrp.net
>>390
f(x) = log{Γ(x)} - x･log(x),
f '(x) = ψ(x) - log(x) - 1,
f "(x) = ψ ' (x) - 1/x > 0,
ここに ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x) ････ digamma関数。
∴ f(x) は下に凸。
415:１３２人目の素数さん
20/04/08 23:57:56 pDfrzDrp.net
>>386
(2)
まず、高次の項を見て
(左辺）=（xx +x/2 -c)^2 +（2c-1/4)xx -(2-c)x + (6/7-cc),
とする。cは定数。
左辺は x = 0.607 の辺りで最小になるので |xx +x/2 -c| も小さいはず。
→ x=0.6 で xx +x/2 -c = 0 となるように c=0.66 とする。
(左辺）=（xx +x/2 -0.66)^2 + 1.07xx - 1.34x + 0.421542857
=｛(x-0.6)(x+1.1)}^2 + 1.07(x-67/107)^2 + 0.002010
≧ 0.002010
416:１３２人目の素数さん
20/04/10 03:26:14 IAsBrfBV.net
>>390
・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion"，Hamburg （1931)
･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章 §68. ガンマ函数
・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
p.126 2200円 上野健爾 [訳･解説]
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
417:１３２人目の素数さん
20/04/10 12:07:36.86 HQzXTvXu.net
三角形の辺長 a,b,c および面積 S に対して、
√(aa+bb-4S) + √(aa+cc-4S) ≧ √(bb+cc-4S).
418:１３２人目の素数さん
20/04/11 14:55:32 jVXfLHUH.net
BC = a, CA = b, AB = c としよう。
頂点Aから対辺BCに下した垂線(の延長線)上に、
AD = BC = a
となる点Dをとると
CD = √(aa+bb-2ab･sinC) = √(aa+bb-4S),
BD = √(aa+cc-2ac･sinB) = √(aa+cc-4S),
で、どうする？
419:１３２人目の素数さん
20/04/18 20:45:04 /wfIVimW.net
ツイッ
420:ターのとあるユーザーから出題 https://i.imgur.com/rLS41sF.jpg
421:１３２人目の素数さん
20/04/18 22:43:06 Mmg17QlQ.net
>>396
うむ、不等式信者が増えているようで何より。
422:１３２人目の素数さん
20/04/19 05:23:49.74 Cq2k8yf8.net
>>396
Tenma Inequality Contest
次を示せ。
1. x,y,z≧0、x+y+z=1 のとき
7/9 ≦ (xyz+1)/(xy+yz+zx+1) ≦ 1,
2. x,y,z≧0、 xyz=1 のとき
(y/x + z/y + x/z) + (x/y + y/z + z/x) ≧ (x+y+z) + (1/x + 1/y + 1/z) ≧ 6,
3. x,y,z>0, x+y+z=1 のとき
1/{x(y+z)} + 1/{y(z+x)} + 1/{z(x+y)} ≧ 27/2 ≧ 1/(x^4 + y^4 + z^4 + xyz),
4. x,y,z≧0 のとき
3(x^3+y^3+z^3 +1) + 4(xy+yz+zx) ≧ 9xyz + 4(x+y+z),
423:１３２人目の素数さん
20/04/19 05:49:57 Cq2k8yf8.net
>>398
１．
s = x+y+z
t = xy+yz+zx
u = xyz
とおく。
左)
u + 1 - (7/9)(t+1) = u + s^3 - (7/9)s(t+ss)
= (2s^3 -7st+9u)/9
≧ {(s^3 -4st+9u) + s(ss-3t)} ≧ 0,
等号成立は x=y=z=1/3,
右)
(分母) - (分子) = (xy+yz+zx) - xyz
= (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz
= (x+y)(x+z)(z+x)
≧ 0,
等号成立は {x,y,z} = {0,0,1}
424:１３２人目の素数さん
20/04/19 06:02:04.63 Cq2k8yf8.net
>>398
２.
xyz = G^3 とすると AM-GMで
x+y+z ≧ 3G, 1/x+1/y+1/z ≧ 3/G,
(左辺) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -3
≧ 3(x+y+z)/G + 3G(1/x+1/y+1/z) -12
≧ (x+y+z)/G + G(1/x+1/y+1/z),
なお、対称式でなくても AM-GMで
(1/3)(x/y+x/y+y/z) ≧ x/G, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)/G,
同様にして
(1/3)(x/y+y/z+y/z) ≧ G/z, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (1/x+1/y+1/z)G,
は出る。
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.26 演習問題1.75
425:１３２人目の素数さん
20/04/19 06:22:15.43 Cq2k8yf8.net
>>398
３.
1/(x(y+z)）= 1/(x(s-x)）=｛1/x + 1/(s-x)}/s,
(左辺）≧｛1/x + 1/y + 1/z + 1/(s-x）+ 1/(s-y）+ 1/(s-z)}/s
≧｛9/(x+y+z)｝+ 9/(3s-x-y-z)}/s (← AM-HM)
= 9/(ss）+ 9/(2ss)
= 27/(2ss),
x^4 +y^4 +z^4 + xyz
≧（x+y+z)(x^3+y^3+z^3)/3 + xyz
= s(s^3 -3st +3u)/3 + u
=（s^3 -3st +6u)/3 (s=1)
=（2/9)(s^3 -4st +9u）+（1/27)s(ss-3t）+（2/27)s^3
≧（2/27)s^3,
∴（右辺）≦ 27/(2s^3),
426:１３２人目の素数さん
20/04/19 10:07:36.72 Cq2k8yf8.net
>>398
４.
(左辺）-（右辺）= 3s(ss-3t）+4t -4s +3
=｛(3s^3 -4s +3)(ss-3t) + t(2s-3)^2}/ss
≧ 0,
3s^3 -4s +3 = 3(s+4/3)(s-2/3)^2 + 11/9 ≧ 11/9.
427:１３２人目の素数さん
20/04/21 07:08:39 VEDuEVHa.net
駿台の過去問らしい
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
428:１３２人目の素数さん
20/04/21 08:05:27 6SMLYdGW.net
>>403
〔問題５〕
nを2以上の整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を正の整数とする。
このとき、次の3つの条件をみたす正の整数 b_1, b_2, ････, b_n が存在することを示せ。
(A) i = 1,2,････,n に対して a_i≦b_i である。
(B) b_1, b_2, ････, b_n をnで割った余りはすべて異なる。
(C) 不等式
b_1 + b_2 + ････+ b_n ≦ n（(n-1)/2 +［(a_1+a_2+････+a_n)/n]).
が成り立つ。
ただし、実数xに対してxを超えない最大の整数を［x］で表わす。
>>397
そうかなぁ？
429:１３２人目の素数さん
20/04/28 06:57:59 A7QrgcmB.net
R^3上の(可測)集合A,Bに対して、
A+B:={x+y | x∈A,y∈B}とする.
このとき、
(A+Bの体積)^(1/3)≧(Aの体積)^(1/3)+(Bの体積)^(1/3)
を証明せよ.
430:１３２人目の素数さん
20/04/28 07:02:02 A7QrgcmB.net
>>405
ちなみに、A,Bを2次元平面上の図形として、
(A+Bの面積)^(1/2)≧(Aの面積)^(1/2)+(Bの面積)^(1/2)
となることは比較的簡単に証明出来ます
431:１３２人目の素数さん
20/05/03 10:38:33 u2nPgxPR.net
a,b,c>0, λ≧0
(a/b + b/c + c/a){a/(a+λb) + b/(b+λc) + c/(c+λa)} ≧ 9/(λ+1).
RMMかどこかで昔拾ったものだったか?
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ﾉヽﾉ) =3 'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
432:１３２人目の素数さん
20/05/04 16:31:00 jDRWX2Ph.net
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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