18/02/09 17:05:40.56 +GSyCLQ+.net
>>26 つづき
これを纏めると
１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない、トリビアな主張
２）の場合については、一般には、（例えば性質Gが“ｆが連続”）とした場合、稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
（反例は、１例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。）
３）だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”」という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。
これを、もとの定理1.7について見るに、
性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”の補集合R－Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。
（>>25で述べたように、Gδ－Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。）
しかし、上記のような事情で、１）の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、２）の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R－Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
２）の場合を、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。
元の定理1.7では
２）の場合は、「P’∧Q’2（補集合が稠密）→P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」だ
だから、仮定命題がT（真）のとき、必ず結論命題がF（偽）になる。
命題全体が真になるためには、仮定命題がF（偽）で無ければならない。
そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
つづく
29:１３２人目の素数さん
18/02/09 17:10:04.54 +GSyCLQ+.net
>>27 つづき
あと、ここ
スレ50 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:602番)
602 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2018/02/08(木) 00:17:44.89 ID:c/0Ko5CH
(抜粋)
証明は既に終わっている。
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ
(引用終わり)
その論法は、証明論としては、おかしい。
定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件（仮定）命題は“真”だ。
その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
なお、命題「P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」は、数学の定理として証明できない。
これは、自明だと思うので、詳細は省略する。
つづく
30:１３２人目の素数さん
18/02/09 17:10:40.92 +GSyCLQ+.net
>>28 つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続性の分類
(抜粋)
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終り)
以上
31:１３２人目の素数さん
18/02/09 17:19:22.31 +GSyCLQ+.net
>>26 訂正
３）区間[0,1] などなど、いろいろ考えられる。）
↓
３）区間[0,1] のみがディリクレ関数で他の区間はｆ＝０、などなど、いろいろ考えられる。）
ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな～（＾＾；
32:１３２人目の素数さん
18/02/09 17:31:11.78 +GSyCLQ+.net
>
33:>28 訂正 「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本） ↓ 「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∪ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定命題全体が真で、定理1.7.2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本） ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな～（＾＾；
34:１３２人目の素数さん
18/02/09 17:51:03.40 +GSyCLQ+.net
>>30 訂正の訂正
ああ、これも考えると、区間[0,1] が全部不連続区間になるので、
”内点を持たない閉集合”に反するね
なので、面倒だから、３）の場合は取り下げます
ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな～（＾＾；
35:１３２人目の素数さん
18/02/09 17:51:12.26 BQNskNAA.net
ヨーイ、ドン！！
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36:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/09 19:46:32.94 cRIUi70d.net
ご苦労さまです。平昌の複合スキーですね（＾＾
37:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/09 20:29:40.55 cRIUi70d.net
>>32 補足
まあ、言いたかったことは・・
>>26で１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
ディリクレ関数の変形で、基本は無理数点でｆ＝０で、有理数の適当に好きな数を選んで、稠密にならないようにｆ＝１にして、他の有理数をｆ＝０にしておく。
選んだ数と数の隙間が、性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を満たす
（∵その隙間ではｆ≡０だから、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜≡０ < +∞ は、明白で証明の必要もない ）
逆に、「証明しました」というのも、おかしな話ということになる
上記の様に、人為的に任意の区間に不連続点を選べるから、言えるのは「不連続点と不連続点の隙間の区間が連続だ！」ということだけだし、それで尽くされている
と
38:１３２人目の素数さん
18/02/09 21:13:20.86 kBfmu0t4.net
>>21
>>>２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>>>つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
>>の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか？
>
>いいえ。なお、ここは後で詳しく説明します
P∧￢Q->Q
と
P->Q
は同値な命題でありここを飲み込めていないのなら後の分析にコメントを付けても仕方ありません
（同値であるのは背理法によると理解することが出来ます）
39:１３２人目の素数さん
18/02/09 22:29:53.44 vPbEwl4H.net
結論 スレ主は命題の何たるかから勉強し直せ
40:１３２人目の素数さん
18/02/09 23:51:09.18 qQ+Q+Iw0.net
まず、性質G とかいうゴミのような書き方について整理しておく。
＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
この2行から分かるように、「性質G」という言葉は「集合」を修飾する言葉になっている
(厳密には、R の部分集合を修飾する言葉になっている)。たとえば、
「 B_f は性質Gを持つ」「 R－B_f は性質Gを持たない」「ある開区間は性質Gを持つ」
などなど。従って、性質Gは R の部分集合 X を与えるごとに決まる命題だと考えるべきであり、
「性質G」ではなく「命題 G(X) 」という書き方をすべきである。すなわち、
「 G(B_f) は真である 」「 G(R－B_f) は偽である 」「ある開区間(a,b)に対してG((a,b))は真である」
といった書き方をすべきである。この場合、命題P',Q',Q は次のように書ける。
――――――――――――――――――――――
G(X)： R の部分集合 X に対して定義された、何らかの命題
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
P ＝ P'∧Q'
――――――――――――――――――――――
41:１３２人目の素数さん
18/02/09 23:52:33.75 qQ+Q+Iw0.net
では、命題 G(X) として何を採用すれば、定理1.7の正しい言い換えになるのか？既に見たように、
G(X)： f は X の上でリプシッツ連続である
とした場合、―あるいは、同じことだが、
G(X)：∃L＞0, ∀x,y∈X [ ｜f(x)－f(y)｜≦ L｜x－y｜]
とした場合、
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
は命題Qa(前スレ>>583)に一致する。しかし、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
がおかしなことになる。なぜなら、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、fはB_fの上でリプシッツ連続である」
となってしまうからだ。定理1.7では、このような仮定は置いていない。また、一般論としても、
fはB_fの上で必ずしもリプシッツ連続にはならない。従って、G(X) を上記のようにしてしまうと、
定理1.7 の言い換えにはならない。では、どんな G(X) にすれば、定理1.7 の正しい言い換えになるのか？
俺は知らないｗ
スレ主とかいうゴミクズが勝手に導入しただけだから、真相はスレ主のみが知っているｗ
42:１３２人目の素数さん
18/02/09 23:54:32.95 qQ+Q+Iw0.net
>>25
＞ここで、ある性質Gで： f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数ｆが連続とする
この部分を G(X) という書き方で書き直すと、次の2種類に解釈できる。
・ G(X)： Bf 上関数ｆが連続
・ G(X)： X 上関数ｆが連続
それぞれの場合において、
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
という命題は次のようになる。
・ 命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、Bf上関数ｆは連続である」
・ 命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、(a,b)上関数ｆは連続である」
どちらのケースの場合も、定理1.7 とは別物になっているので、
定理1.7 の正しい言い換えになっていないｗｗｗ
定理1.7 の言い換えをしたいわけではなく、単に G(X) の一例を出しただけであるようにも読めるが、
そんなことをするよりも前に、まずは定理1.7の正しい言い換えが得られるような正しい G(X) を提示せよ。
43:１３２人目の素数さん
18/02/09 23:55:50.60 qQ+Q+Iw0.net
>>25
ちなみに、
＞R－Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
この部分は間違っている。トマエ関数及びその類似品は、R－B_f が第一類集合になってないからだ。
俺の言いつけどおり、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を
1
44:つ挙げようとしている姿勢は認めてやるが、トマエ関数やその類似品では、 そのような f の具体例になってない。 ゆえに、お前のロジックは破綻したままである。
45:１３２人目の素数さん
18/02/09 23:57:26.73 qQ+Q+Iw0.net
>>25
＞一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
＞“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。
間違っている。確かに、R－B_f が R の中で稠密でないという性質からは
命題 Qa が導出できるが、その証明は全く自明ではなく、定理1.7 と
ほとんど同じことをしなければならないのである。お前は
「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。
＞２）の場合については、一般には、（例えば性質Gが“ｆが連続”）とした場合、
＞稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
＞（反例は、１例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。）
定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているｗ
46:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:00:49.75 63yzK8xX.net
>>25
＞３）だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”」
＞という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。
意味不明。命題が命題レベルで矛盾しているということと、その命題が
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっているか」ということとは
全く違う話である。お前は当初、「命題レベルで矛盾している」と主張していたのである。
にも関わらず、今回は
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっていない」
などという印象論に終始している。印象論で定理1.7を批判したところで、
それは定理1.7が「命題として矛盾している」ことを意味しないので、
結局お前は、定理1.7について何も批判できてないことになる。
47:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:02:26.15 63yzK8xX.net
あるいは、次のように言ってもよい。
お前が定理1.7を「ふさわしくない」と思う理由は、R－B_f で場合分けしたときに、
(2)のケースが「 P∧ notQ → Q 」という形をしているからである。
そのことだけを理由に、定理1.7を「ふさわしくない」と言っているのである。
ならば、同じことを定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
前スレで導入した X_f を使って、R－X_f が R の中で稠密か否かで場合分けすると、
(1) f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
(2) f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
という2種類の命題に場合分けされる。しかし、R－X_f が R の中で稠密なら
f は原点で不連続なので、(2) は P∧ notQ → Q の形になってしまい、
まっとうな定理としての形になっていない。ゆえに、もともとの定理Cは
まっとうな数学の定理として、相応しくない。
――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。これは一体どういうことだね？
48:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:03:41.61 63yzK8xX.net
>>28
＞その論法は、証明論としては、おかしい。
＞定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件（仮定）命題は“真”だ。
＞その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
＞「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の
＞仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
間違っている。お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
定理C1：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
定理C2：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理C2 は、定理Cの場合分けした中の1つの場合だから、定理Cが真とすれば、
普通は条件（仮定）命題は“真”だ。 その場合分けの定理C2の仮定も真で無ければならない。
つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理Cの仮定 ＝定理C1の仮定 ∨ 定理C2仮定」 なのだから、定理Cの仮定が真で
定理C2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
――――――――――――――――――――
↑このように、お前にとっては、「定理C2の仮定が偽はありえない」という。
これは一体どういうことだね？
49:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:07:17.51 63yzK8xX.net
>>28
＞なお、命題「P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」は、
＞数学の定理として証明できない。これは、自明だと思うので、詳細は省略する。
間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。もしくは、
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:26番)-30
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:47番)-48
の方針でも証明可能である。
ちなみに、「仮定が偽であることを証明する」という方針の場合には、
どのように証明が進むのかというと、
「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
と書くだけ。これで証明が終わる。
50:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:34:14.04 63yzK8xX.net
きちんと読んでいなかったレスがあるので追記する。
>>27
＞これを、もとの定理1.7について見るに、
＞性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”の補集合R－Bfが、
＞（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。
＞（>>25で述べたように、Gδ－Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。）
お前がそこで言っていることは結局、
「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」
ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
ようやく取り下げたらしい。
51:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:38:39.88 63yzK8xX.net
>>27
＞しかし、上記のような事情で、１）の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、
＞２）の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R－Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、
＞あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
＞２）の場合を、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。
ヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るのであり、場合分けせずに
ダイレクトに証明すればいいだけの話である。そして、それを行っているのが定理1.7である。
あるいは、お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続かどうかで場合分けすると、
(1) f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で連続ならば、f は原点で連続である。
(2) f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である。
という2種類の命題に場合分けされる。(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、
(2)だけを取り上げて、「 f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続 」という
関数 f が存在しうるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を「 f は原点で連続である」という形で扱うべきではない。
すなわち、定理C は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。スレ主にとって、定理Cはまっとうではないらしいｗ
これは一体どういうことだね？
52:１３２人目の素数さん
18/02/10 00:49:37.98 63yzK8xX.net
>>27
＞元の定理1.7では
＞２）の場合は、「P’∧Q’2（補集合が稠密）→P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」だ
＞だから、仮定命題がT（真）のとき、必ず結論命題がF（偽）になる。
＞命題全体が真になるためには、仮定命題がF（偽）で無ければならない。
＞そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
お前がヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るだけ。
「 P → Q 」の形をした如何なる定理であっても、イジワルな場合分けをすることで、
(2)に相当する「まっとうでない命題」が出現できる。次のようにすればよい。
―――――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。「 Q が成り立つ場合」「 ￢Q が成り立つ場合」で
場合分けすると、次のようになる。
(1) P∧Q → Q
(2) P∧￢Q → Q
(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、(2)だけを取り上げて、
仮定の「 P∧￢Q 」が真になりえるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を "P∧￢Q → Q" という形で扱うべきではない。
すなわち、上記の定理「 P → Q 」は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
―――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。
スレ主によれば、如何なる「 P → Q 」も、まっとうな数学の命題ではないらしいｗ
これは一体どういうことだね？
53:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 07:30:58.68 N325TWRA.net
>>36
「ぷふ」さんですね
（引用）
「P∧￢Q->Q
と
P->Q
は同値な命題でありここを飲み込めていないのなら後の分析にコメントを付けても仕方ありません
（同値であるのは背理法によると理解することが出来ます）」
(引用終り)
>>18の「2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか？」は、それを言いたかったのか
その話は、P→Qという命題が成り立っているときに、外から￢Qを加えてP∧￢Q → Qとしても、元の命題P→Qを否定できないということなのでしょう？
それは分っていますよ
だが、いま問題にしているのは、
仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
（>>23より）
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
証明論における場合分けを否定されてもね
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね
以上
54:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 07:32:38.84 N325TWRA.net
>>37
ご苦労さん（＾＾
>>50をご参照
55:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 07:35:26.87 N325TWRA.net
>>38-49
一杯書いて、ご苦労さん（＾＾
時間がないので、個別レスは後で
言いたいことは、>>50に尽きる
「いま問題にしているのは、
仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
（>>23より）
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
証明論における場合分けを否定されてもね
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね」
ってこと
以上
56:１３２人目の素数さん
18/02/10 10:13:54.81 r+r4mis1.net
仮定命題って何？
57:１３２人目の素数さん
18/02/10 10:42:40.62 VcDtRhPJ.net
>>50
>その話は、P→Qという命題が成り立っているときに、外から￢Qを加えてP∧￢Q → Qとしても、元の命題P→Qを否定できないということなのでしょう？
>それは分っていますよ
それはよかった
ずっとそれを主張していて
証明を書いた人に指摘されていたのを理解していない風だったので
>だが、いま問題にしているのは、
>仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
また若干異なった主張になっていますが現在のあなたの主張は
``P2->￢Qが真であるときP1∨P2->Qは偽である''
ということでしょうか？
58:DJ学術
18/02/10 11:37:04.65 63PiesU1.net
ビドュアル 面で 、色覚変異、快走、回想する数学も楽しいよ。
59:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 20:33:12.45 N325TWRA.net
>>53
>仮定命題って何？
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
藤田 聡 広島大学
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
計算機基礎論のページ（2009年度版）
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
?いまp,qを命題とする
?p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
?pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)
60:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 20:33:44.07 N325TWRA.net
>>55
ご苦労さまです（＾＾
61:１３２人目の素数さん
18/02/10 20:42:33.50 r+r4mis1.net
>>56
俺が聞いてるのは「仮定」じゃなく「仮定命題」ね
62:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 21:02:57.63 N325TWRA.net
ああ、今見ると>>21～32のレスで、職場で書いたレスが、コテハンとトリップを付け忘れているね
失礼しました。これ、全部私
63:スレ主のです。 専用ブラウザで一度設定するとずっと入るが、新スレのときにしばしば最初忘れて書いていることがあるがご容赦
64:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 21:06:03.58 N325TWRA.net
>>58
私が言っているのは、「仮定命題」：＝「仮定」（藤田聡）
65:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 21:13:37.26 N325TWRA.net
>>54
「ぷふ」さんですね
>ずっとそれを主張していて
>証明を書いた人に指摘されていたのを理解していない風だったので
それは失礼しました。私は、自分としては、最初から、条件を付け加えるつもりは無く、あくまで場合分けを主張していたつもりです。
例えば、スレ49 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:19番) より下記
19 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/28(木) 07:49:07.81 ID:IsA0R4yK
(抜粋)
第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
場合分けが必要だろう？
補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
(引用終り)
つづく
66:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 21:14:14.40 N325TWRA.net
>>61 つづき
>>仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
>また若干異なった主張になっていますが現在のあなたの主張は
>``P2->￢Qが真であるときP1∨P2->Qは偽である''
>ということでしょうか？
そう難しく考えて貰う必要はないと思います。単純な証明論の場合分けですから
「仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
（>>23より）
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
なお、下記 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”ご参照
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り)
つづく
67:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 21:16:37.27 N325TWRA.net
>>62 つづき
>>22-23の記法に戻します
(抜粋)
定理1.7のさらに言い換え版2 (前スレ>>591)
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
ベールの第一類集合R－Bfについて、
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分できる。
１）の場合について、
命題Q’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
(引用終り)
２）の場合について、書き直すと
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
ここで、仮定命題のQ’2：”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
なので、「P’∧Q’2 → ￢Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。
以上
68:１３２人目の素数さん
18/02/10 21:38:31.78 /DEG9oIc.net
「：＝」
↑ネットで時々見かけるこの記号って何なんだろう？
69:１３２人目の素数さん
18/02/10 21:43:20.76 r+r4mis1.net
>>60
＞私が言っているのは、「仮定命題」：＝「仮定」（藤田聡）
「仮定命題」は「命題」や否や？
70:１３２人目の素数さん
18/02/10 21:55:51.52 63yzK8xX.net
>>61
＞第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
＞場合分けが必要だろう？
＞補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
その屁理屈は過去スレで既に論破しているので通用しない。本当にゴミクズだなお前。いい加減にしろや。
過去スレの繰り返しになるが、改めて指摘しよう。
お前の その屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続な場合と、そうでない場合とがある。
場合分けが必要だろ？
f が原点で不連続な場合を仮定として置きながら、結論で " f は連続 " を道部くのは、なんか変
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？
71:１３２人目の素数さん
18/02/10 21:57:29.74 63yzK8xX.net
>>61
あるいは、次のようにも言える。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
過去スレで導入した X_f を使ってみる。
R－X_f がR中で稠密なら、f は原点で不連続になることに注意せよ。
さて、R－X_f がR中で稠密な場合と、稠密でない場合とがある。
場合分けが必要だろう？
補集合 R－X_f が、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は原点で連続である”を導くのは、なんか変
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？
72:１３２人目の素数さん
18/02/10 21:59:47.10 63yzK8xX.net
>>63
＞ここで、仮定命題のQ’2：”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、
＞すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
＞なので、「P’∧Q’2 → ￢Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。
全く無理筋ではない。仮定が偽であることを証明すればいいだけ(>>46)。
あるいは、お前の屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続な場合と、そうでない場合とがある。場合分けが必要だろ？
しかし、f が原点で不連続な場合は、
「 fが原点で微分可能 ∧ f は原点で不連続 → fは原点で不連続 」
がもっとも素直な結論。逆に
「 fが原点で微分可能 ∧ f は原点で不連続 → fは原点で連続 」
を証明することは "無理筋" である。
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？
73:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:03:39.00 63yzK8xX.net
くどいようだが、スレ主の屁理屈を一般の「 P → Q 」に適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。
Q が成り立つ場合と、￢Q が成り立つ場合とがある。
場合分けが必要だろ？
しかし、￢Q が成り立つ場合を仮定として置きながら、結論で「 Q 」を導くのは、なんか変
ゆえに、上記の定理「 P → Q 」は、数学の命題としてふさわしい形ではない。
―――――――――――――――――
あるいは、次のようにもなる。
―――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。
Q が成り立つ場合と、￢Q が成り立つ場合とがある。
場合分けが必要だろ？
しかし、￢Q が成り立つ場合は、「 P∧￢Q → ￢Q 」がもっとも素直な結論。
逆に「 P∧￢Q → Q 」を証明することは "無理筋" である。
ゆえに、上記の定理「 P → Q 」は、数学の命題としてふさわしい形ではない。
―――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？
74:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:10:08.77 N325TWRA.net
>>64
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学記号の表
(抜粋)
記号論理の記号
：＝ 定義
(引用終り)
75:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:11:47.81 N325TWRA.net
>>65
「仮定命題」⊂「命題」
です
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:16:47.24 N325TWRA.net
>>38-41
ここは、>>61-63ご参照
つづく
77:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:18:14.29 r+r4mis1.net
>>71
＞「仮定命題」⊂「命題」
命題の定義を述べよ
78:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:18:27.26 N325TWRA.net
>>72 つづき
>>42
>定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているｗ
それは言えないだろう？
>>63 に書いたように、
”仮定命題のQ’2：”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
なので、「P’∧Q’2 → ￢Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。”
なお、仮定が偽な命題は、論理学としは成り立っても、それを教科書や論文に書いては、話がおかしい
前スレ >>562 桂田祐史先生 数理リテラシー 例1.6 ”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”などと書かれてもね～
「1 + 1 = 3 → 偽」なら数学としては分る。まあ、文学表現では「二人が力を合わせれば、1 + 1 = 3 だ」などというかもしれませんがね
なお、”空集合”について
前提を実数の範囲に限定しているなら、「x^2 = m で、x = ±√m 」は正しくない命題。（mの正負に応じ、場合分けすべき）
一方、「x^2 = m で m が負ならば、実数解は存在しない（空集合）」は、正しい命題。
なので、”空集合”を言いたいなら、場合分け命題できちんと証明すべき
＜参考＞
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
桂田祐史の講義のサポート・ページ
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
数理リテラシー (2017年度) 講義ノート「Part 1 論理」
(抜粋)
P11
例1.6 「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。
(引用終り)
つづく
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:19:10.99 N325TWRA.net
>>74 つづき
>>43-44
ここは、上記 桂田祐史先生 ”例1.6 「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真”をご参照
こんな命題を、それが真だからと、論文や教科書に載せる人はいない
つづく
80:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:19:47.00 N325TWRA.net
>>75 つづき
>>45 & >>67-68
その定理Cは、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り)
ってこと。定理Cは、場合分けとは違う
つづく
81:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:22:57.09 N325TWRA.net
>>76 つづき
>>46
>間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。
ここは、上記 >>74 ”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”ご参照
>「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
>と書くだけ。これで証明が終わる。
ここは、上記 >>76 場合分けご参照。
なお、証明の場合分けに対し、その論法は典型的な循環論法だろう
つづく
82:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:23:35.06 N325TWRA.net
>>77 つづき
>>47
>「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」
>ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
>ようやく取り下げたらしい。
違うよ。定理1.7は、数学の命題として、適切で無いという主張は取り下げていないよ
これと、”（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。”という主張とは別物だよ
（上述の通り）
つづく
83:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:25:03.41 N325TWRA.net
>>78 つづき
>>48-49 & >>69
その定理Cの例示は、証明論の場合分けを曲解しているだけのことだろ
上記>>62の命題論理 藤田聡 広島大学 ＜証明手法＞ P85 proof by cases をご参照
以上
84:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/10 22:28:11.64 N325TWRA.net
>>73
>＞「仮定命題」⊂「命題」
>命題の定義を述べよ
>>56より
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
いまp,qを命題とする
p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)
以上
85:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:28:37.86 63yzK8xX.net
>>72
＞それは言えないだろう？
言える。定理1.7 により、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R－B_f が第一類集合かつ R－B_f はRの中で稠密 」
という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。
無理筋でも何でもない。お前がバカなだけ。
>>76
＞定理Cは、場合分けとは違う
・ fが原点で連続である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
・ R－X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
前者のやり方で場合分けした場合、f が原点で不連続な場合に結論で "fは連続" を導くのは、なんか変。
後者のやり方で場合分けした場合、R－X_f がR中で稠密な場合に結論で "fは連続" を導くのは、なんか変。
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形をしていない。
これは一体どういうことだね？
86:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:31:59.64 63yzK8xX.net
>>77
＞>「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
＞>と書くだけ。これで証明が終わる。
＞ここは、上記 >>76 場合分けご参照。
＞なお、証明の場合分けに対し、その論法は典型的な循環論法だろう
それが循環論法に見えるのなら、お前にとって、
――――――――――――――――――
定理C2：
f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である
――――――――――――――――――
という定理は一体どうやって証明するつもりだね？
この定理C2 は、仮定が偽の命題であるから、仮定が偽であることを示せば証明が終わるわけだが、
そのためにお前は、いったいどのような論法を使って仮定が偽であることを示すつもりだね？
普通の人間は、「定理C により、仮定は偽である」と書けば終わりだが、お前にとってこれは循環論法なんだろ？
だったら、いったいどのような論法を使って仮定が偽であることを示すつもりだね？
87:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:33:55.50 63yzK8xX.net
>>79
＞その定理Cの例示は、証明論の場合分けを曲解しているだけのことだろ
・ 定理C について、fが原点で連続である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
・ 定理C について、R－X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
↑これが曲解に見えるのなら、お前が言うところの
・ 定理1.7 について、R－B_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
↑これは一体どうして曲解ではないのかね？書き並べてみようか？
・ 定理C について、R－X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
・ 定理1.7 について、R－B_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
↑両者の違いは一体どこにあるのだね？
スレ主によれば、定理C の場合は曲解なのに、定理1.7 の場合は曲解ではないという。バカじゃねーの。
88:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:50:09.86 r+r4mis1.net
>>80
零点
命題の定義を全く述べてないので
89:１３２人目の素数さん
18/02/10 22:53:08.04 r+r4mis1.net
結論 スレ主は命題の定義すら知らないアホでした
90:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:13:26.51 63yzK8xX.net
同じことの繰り返しになるが、追記する。
>>50
＞だが、いま問題にしているのは、
＞仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
定理C の場合にも、
――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
――――――――――――
と置けば、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話である。そして、
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
と言っているのがお前である。お前はここで「そのような場合分けは曲解である」などと批判しているが、
それは単なる印象論であり、「そのような場合分けは数学的に矛盾している」と言えているわけではないので、
何の批判にもなっていない。それとも、お前にとって P ＝ P1∨P2 は成り立たないのか？
つまり、お前にとって P ＝ P1∨P2 は数学的に矛盾しているのか？
91:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:16:22.25 VcDtRhPJ.net
>>62
>そう難しく考えて貰う必要はないと思います。単純な証明論の場合分けですから
いえ
別に難しく考えているわけではなく
あなたの主張のどこが間違いかを指摘するかに必要なことをお尋ねしているだけのことです
92:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:18:10.97 VcDtRhPJ.net
あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
正鵠を射る指摘しかしていませんよ
93:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:20:18.87 63yzK8xX.net
>>50
＞P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
＞P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
＞
＞証明論における場合分けを否定されてもね
＞それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね
お前のその言い分は、定理C にも完全に適用できるｗ
――――――――――――――
P1：f は原点で微分可能で、fは原点で連続である、とする
P2：f は原点で微分可能で、fは原点で連続でない、とする
――――――――――――――
お前は、このような場合分けを「曲解である」と言って否定しているが、
証明論における場合分けを否定されてもねｗ
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうねｗ
実際、上記のように作った P1, P2 に対して、P＝P1∨P2 は確実に成り立ってるからね。それを否定されてもねｗ
書き並べてみようか？
――――――――――――――――――――
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
P1：f は原点で微分可能で、fは原点で連続である、とする
P2：f は原点で微分可能で、fは原点で連続でない、とする
――――――――――――――――――――
どちらのケースでも、「仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です」
「証明論における場合分けを否定されてもね」
「それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね 」
94:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:35:41.57 /DEG9oIc.net
>>80は「仮定」や「結論」の定義ですらない。
95:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:45:51.34 VcDtRhPJ.net
>>61
>それは失礼しました。私は、自分としては、最初から、条件を付け加えるつもりは無く、あくまで場合分けを主張していたつもりです。
場合分けという手法も
単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです
P->Qの仮定にP∧￢Q->Qと条件を付け加えてもP->Qと同値であって
付け加える価値はないし付け加えても何の問題もないということを
件の証明を書いた人は再三指摘していたわけです
96:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:47:51.67 VcDtRhPJ.net
>>90
君は黙っていた方が他の人々同様に頭の悪いことを露見せずに済むと思いますよ
97:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:55:12.81 jPjDkYQd.net
>>92
尻馬
98:１３２人目の素数さん
18/02/10 23:57:41.49 jPjDkYQd.net
>>88
> あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
> 正鵠を射る指摘しかしていませんよ
ちなみにその人の意見は オマエ＝ぷ の結論『時枝記事の確率は0』に真っ向から対立してるよｗ
99:１３２人目の素数さん
18/02/11 00:22:30.80 pNRQvEC+.net
時枝不成立なんて未だに考えてるアホがいるんだなｗ
命題の定義すら知らないサル以外にもｗ
100:１３２人目の素数さん
18/02/11 04:16:16.50 iitriliU.net
>>92
>>80が定義しているのはp→q（不完全だが）
101:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:04:02.65 8wcq3017.net
>>96
>>56より
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
いまp,qを命題とする
p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)
命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである
102:１３２人目の素数さん
18/02/11 10:16:26.12 pNRQvEC+.net
>>97
＞命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである
零点
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:37:52.30 8wcq3017.net
>>98
ありがとう
命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである
PとQを、命題と呼ぶのは、歴史の産物でしかない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
命題
命題（めいだい、英語: proposition）とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの[1][2]。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと[3]。西周による訳語の一つ[4][5]。
厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった[6]。
現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で（真か偽のいずれであるかという）真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。
(引用終り)
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:39:43.14 8wcq3017.net
>>42 戻る
>＞一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
>＞“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。
>「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
>と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
>そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。
稠密集合：位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。（下記）
なので、稠密でないケースでは、「X のある元 x に対し、x のある近傍で ”A の元を一つも含まないもの”が存在する」
その近傍内は、全てBf であり、性質G：＝“Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を満たす
この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
QED
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
稠密集合
(抜粋)
厳密な定義
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。
(引用終り)
105:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:41:11.25 8wcq3017.net
>>81
”言える。定理1.7 により、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R－B_f が第一類集合かつ R－B_f はRの中で稠密 」
という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。”
だから、それだったら、
１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
２）稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
ということですね
106:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:42:14.77 8wcq3017.net
>>82-83 & >>86 & >>89
>定理C2：
>f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である
その定理C2は、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学
107:のproof by cases（>>76） f が原点で微分可能の場合分けには、 「f が原点で不連続ならば」は存在しない
108:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:42:36.88 8wcq3017.net
>>87
「ぷふ」さん、ご苦労さまです
109:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:43:13.20 8wcq3017.net
>>88
>あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
>正鵠を射る指摘しかしていません
はい
回答は上記>>102 です
110:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:44:33.61 8wcq3017.net
>>91
>場合分けという手法も
>単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです
いいえ
R－Bf が R中で稠密か稠密でないかは、Bfが開区間を有するか否かに決定的に影響します
>>101 ご参照
以上
111:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 10:49:29.21 8wcq3017.net
>>101 訂正
２）稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
↓
２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
間違いが多いな。息をしたからかな（＾＾
112:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:14:19.86 pNRQvEC+.net
>>99
何が言いたいのか意味不明
命題の定義（だけ）を述べよ、余計な付け足しは減点対象となることを注意しておく
113:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:20:31.40 pNRQvEC+.net
スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
↑
コピペしてこのザマ
114:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:23:19.46 sJak3l1o.net
>>100
＞その近傍内は、全てBf であり、性質G：＝“Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を満たす
＞この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
＞QED
息をするように間違えるゴミクズ。問題外。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。
f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)－f(y)｜≦L｜z－y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。まず、(a,b)⊂Bf であるから、任意の x∈(a,b) に対して
Af(x)＜＋∞ は言えている。よって、Af(x)＜N を満たす正の実数 N を1つ取れば、y が x に十分近いところでは
｜f(y)－f(x)｜≦ N｜y－x｜
が成り立つことが言える。このことを、やや雑な書き方で表現すると、感覚的には
「 y が x に十分近ければ ｜f(y)－f(x)｜≦ Af(x)｜y－x｜が成り立つ 」
ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。
だから、お前のやり方では何も言えてない。ゴミ。
[続く]
115:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:25:05.68 sJak3l1o.net
[続き]
実際の証明法は、(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとき、B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M} と合わせて
(a,b) ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
ということになるので、ベールのカテゴリ定理の開区間版を使うことにより、ある B_{N,M} は内点を持つことになる。
特に、(c,d)⊂B_{N,M} なる開区間 (c,d) が取れる。必要なら(c,d)内の更に小さな区間に差し替えることで、
d－c＜1/M かつ(c,d)⊂B_{N,M} が成り立つとしてよい。このとき、f は (c,d) 上でリプシッツ連続になることが言える。
(a,b)⊂B_f のときと (c,d)⊂B_{N,M} とで何が違うのかというと、前者では x∈(a,b) ごとに Af(x) が
「有限値」であるに過ぎず、Af(x) が一様に有界かどうかが分からなかったのに対し、後者では
x∈(c,d) ごとに Af(x)≦N となっているので、Af(x) が一様に有界なのであり、それゆえに上手く行くのである。
このような事情をお前は全く理解しておらず、単に「 (a,b)⊂B_f 」とするだけで
リプシッツ連続の証明が終わると思い込んでいるバカがお前である。問題外。レベルが低すぎる。
ちなみに、上記の手法をより一般的な状況下で使ったのが定理1.7である。
116:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:33:09.67 sJak3l1o.net
>>102
＞ f が原点で微分可能の場合分けには、
＞「f が原点で不連続ならば」は存在しない
詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
――――――――――――
↑ほらね。「場合分け P2 」は存在してるだろ？ P2 は偽になっているだけであって、
場合分けとしては確実に「場合分け P2 」が存在してるだろ？
117:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:37:15.16 sJak3l1o.net
>>102
それとも、お前が定理Cを場合分けすると、次のようになるわけか？
――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P ＝ P1
――――――――――――
これ�
118:ﾌどこが「場合分け」なんだよｗ P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、 どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよｗ P2 が起こり得ないことを証明しなければ P ＝ P1 は示せないだろｗ なんで勝手に P2 が消滅して P1 だけになって P ＝ P1 になってるんだよｗ P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、 それゆえにスレ主が自分勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろｗ
119:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:40:52.85 sJak3l1o.net
>>112 のような芸当が許されるなら、俺だって次のようにするよｗ
――――――――――――――――
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
P1：f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続
P ＝ P1
――――――――――――――――
↑なぜこの "場合分け" で P2 に相当するケースが存在しないのかというと、
お前の屁理屈と同様に、P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに
定理1.7を適用することで、P2 に相当するケースを抹消したからであるｗ
これがお前のやっていることだよ。論理がメチャクチャ。
120:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:49:19.53 sJak3l1o.net
くどいようだが、もう一度言うよ。
――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
――――――――――――
このように、定理C での上記の場合分けにおいて、「 場合分け P2 」というケースは確実に存在している。
P2 という仮定が偽になっているだけであって、場合分けとしての「 場合分け P2 」は確実に存在している。
そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
しかし、これはお前にとって都合が悪いので、お前は次のような詭弁を使ったのだった。
「定理Cでは "場合分けP2" というケースそのものが存在しない」
121:１３２人目の素数さん
18/02/11 11:51:58.03 sJak3l1o.net
しかし、"場合分けP2" そのものが存在しないのであれば、
お前にとっての定理Cの場合分けは次のようになってしまう。
――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P ＝ P1
――――――――――――
これのどこが「場合分け」なんだよｗ
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよｗ
P ＝ P1 という等号にしたって、P2 が偽であることを証明しなければ P ＝ P1 は出て来ないだろｗ
なんで何もしてない段階で勝手に P2 が消滅して P1 だけになってるんだよｗ
P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろｗ
そんな芸当が許されるなら、俺だって定理1.7を適用することで次のようにするぞ。
――――――――――――――――
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
P1：f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続
P ＝ P1
(P2 に相当するケースは存在しない)
――――――――――――――――
…というように、スレ主とかいうゴミクズは論理が滅茶苦茶である。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
122:１３２人目の素数さん
18/02/11 12:13:43.23 sJak3l1o.net
少し戻るが、>>109 について1つ補足しておこう。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)－f(y)｜≦L｜z－y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。つまり、我々のここでの目標は、
「 (a,b)⊂Bf という条件のもとで、(1)を示したい 」
ということである。
――――――――――――――――
ここで、もし(1)が成り立つなら何が起きるのかを、「先に」考えてみよう。
もし(1)が成り立つなら、簡単な考察により、
∀x∈(a.b) [ A_f(x)≦L ]
が成り立つことが分かる。すなわち、Af(x) は (a,b) 上で
一様に L で抑えられることになる。
――――――――――――――――
従って、(a,b)⊂Bf という条件のもとで(1)が証明できた暁には、
「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」
ことが自動的に証明できることになる。従って、我々は少なくとも、Af(x) が (a,b) 上で
一様に有界であるような (a,b) を B_f の中から選ばなければならないことになる。
しかし、出発点である (a,b)⊂Bf という条件では、任意の x∈(a,b) に対して Af(x) が「有限値」であることが
分かっているだけであって、Af(x) が (a,b) 上で一様に有界であるかどうかは分からない。(a,b) の幅を
さらに狭くした(a',b')の上でも、Af(x) が(a',b')上で一様に有界であるかどうかはわからない。
なぜなら、B_f という集合は、その各点 x で Af(x) が「有限値」と言っているに過ぎないからだ。
123:１３２人目の素数さん
18/02/11 12:21:20.54 sJak3l1o.net
実際には、>>110 の手法によって、Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れるし、
f はその開区間の上でリプシッツ連続になる。しかし、まさにその
「 Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れる 」
ということを言うための手順が全く自明ではなく、そのやり方は >>110 で既に見たとおりであり、
B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
という包含を使う必要があるし、さらにベールのカテゴリ定理(の開区間版)も必要である。
つまり、スレ主が思っているほど簡単には済まないのである。
もし>>110の手法を使わずに、「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」 という性質を満たす
(a,b)が B_f の中から簡単に選べると思うなら、その方法をここに書いてみたまえゴミクズ君。
124:１３２人目の素数さん
18/02/11 16:10:52.71 lsbQUPFq.net
>>105
>>101,106の
>１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
自明ではありません
なぜならBf内に開区間が存在するだけでは証明にならず
Bfが可算個のB_N,Mで被覆されていること
および
開区間をそのうちのどれかのB_N,Mの中に取れるからこそ証明になる
125:からです 件の証明を書いた人の解説を読みましょう >２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない） 定理の仮定は ``R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる'' ですが あなたの主張は ``R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない'' ということですか？
126:１３２人目の素数さん
18/02/11 17:09:11.51 ZmsN8ZUF.net
人生苦しい
つらい
悲しい
きつい
死にたい
もう疲れた
もう耐えきれない
寂しい
こんなに数学を懸命にやれるのに
なんでまじめにがんばって生きてるほうが馬鹿やらかして生きてる奴らに幸せを搾り取られないといけないんだ
彼女を返せ
彼女を返せ馬鹿野郎
体が究極におかしくなってきた
冷たい
しんどい
めんどくさい
人生つらい
人生悲しい
死にたい
俺は障害者だ
子に病気を負わせて過剰に苦労させるくらいなら
死にたい
永遠の夢をみたい
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 10:16:48.39 jJmJQjLM.net
>>119
本気なのかどうか不明だが
下記でも電話したらどうだ？ 声の可愛い女性が相談に乗ってくれるだろう
URLﾘﾝｸ(www.inochinodenwa.org)
あなたがつらいときそばにいます 日本いのちの電話連盟
・いのちの電話では、メールによる相談活動を行っております。URLﾘﾝｸ(www.inochinodenwa.org)
・ナビダイヤル 0570-783(なやみ)-556（こころ）
・フリーダイヤル 0120-783(なやみ)-556（こころ）
(引用終り)
128:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 10:23:39.20 jJmJQjLM.net
>>107-108
ご苦労さん
私スレ主は、命題の定義を自分でするつもりは全く無く、必要もない
ただ、いまの瞬間の議論の範囲で使える定義をどこからか、もってくればそれで十分でね。命題の定義の吟味はその方面の趣味の人に任せるよ（＾＾
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
命題(めいだい)とは - コトバンク
デジタル大辞泉の解説
めい‐だい【命題】
１ 題号をつけること。また、その題。名題。
２ 論理学で、判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。→判断
３ 数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題。
出典 小学館デジタル大辞泉
(引用終り)
129:１３２人目の素数さん
18/02/12 11:41:07.06 X1pATS5E.net
>>121
零点
余計な付け足しは減点すると警告した
スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
追試3回目 零点
↑
コピペ（カンニング）してこのザマ
130:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 11:45:59.88 jJmJQjLM.net
採点と評価ありがとう
「落第生に落第」と言って貰えると、気が楽だい
131:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 11:47:11.42 jJmJQjLM.net
>>109-110 & >>116-117
ご苦労さん
>ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
>x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
>ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
>リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。
「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
それで終りでしょ？
132:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 11:48:01.12 jJmJQjLM.net
>>111-115
>＞ f が原点で微分可能の場合分けには、
>＞「f が原点で不連続ならば」は存在しない
>詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
やれやれ
こんな下のレベルから、争うわけ？
あなたは>>68
「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
仮定P： f：R → R が原点で微分可能
これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
微分可能の場合分けとしては、例えば、微分可能性のクラス（下記）とかはあるけどね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分可能性のクラス
関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。
より一般的に、k-階までの導関数 f'(x), f''(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。
すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる。
(引用終り)
133:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 11:49:18.77 jJmJQjLM.net
>>118
「ぷふ」さんですね
>>１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
>自明ではありません
これについては、上記>>124 ご参照
つづく
134:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 11:51:51.89 jJmJQjLM.net
>>126 つづき
>>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
>定理の仮定は
>''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
>ですが
>あなたの主張は
>''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
>ということですか？
いいえ違います。
なお、補足すると
１）Rの部分集合で、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''例として、自然数N、整数Z、有理数Qや代数的数Aがあります
２）一方、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''に反する例として、無理数P*や超越数Tがあります
（*注：Pはあまり使われないが、なにも記号がないのも寂しいのでPでも。P,Q,Rという並びです。iRとして2文字もかったるいしね）
さらに補足
１）の例示は、全て無限集合ですが、これ以外に有限離散点から成る有限集合も可能です。
１）の例示では、a)稠密な場合と、b)そうで無い場合に、二分できます。例示中のQとAがR中稠密で、それ以外の例示はR中稠密ではありません。
つづく
135:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 11:54:17.62 jJmJQjLM.net
>>127 つづき
なお、QとZの組み合わせのキメラのような集合も考えられます。
例えば、区間[0,2]では整数Zを選び、それ以外の区間では整数Qを選んだ集合。
これは、区間[0,2]が稠密でなく、それ以外の区間では稠密です。が、全体としては、R中稠密とは言えません。
この場合、定理1.7の開区間は、(0,1)と(1,2)との二つの区間内で可能です。が、区間[0,2]の外では、R中稠密なので、定理1.7の開区間は取れません。
そして、区間[0,2]のような稠密でない区間が存在しない、つまりR全体の区間にわたって、整数Qを選んだ場合、区間R中のどこにも定理1.7の開区間は取れません
つづく
136:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 12:04:28.35 jJmJQjLM.net
>>128 つづき
さて、ついでに下記を書いておきます
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これを書き直すと
仮定P： f : R → R とする．Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }と置く。
R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
で、上記>>127-128 で見たように
a)稠密な場合は、定理1.7の集合Bf内に、開区間は取れません
以前に述べたように、定理1.7で、”a)稠密な場合”には、１）反例となるか、２）仮定Pが偽（空集合）（＝このような場合が存在しない）か、どちらかということです。
１）の反例となる場合は、定理1.7不成立
２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
なので、系1.8の証明は成立していません
以上
137:１３２人目の素数さん
18/02/12 12:06:06.08 IoO/5qAd.net
>>124
最大値があるとは言えませんよ
138:１３２人目の素数さん
18/02/12 12:08:57.27 IoO/5qAd.net
>>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか？
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？
139:１３２人目の素数さん
18/02/12 13:04:24.81 X1pATS5E.net
＞最大値があるとは言えませんよ
スレ主のファンタジー数学ではスレ主が「ある」と言えばあるのです。
140:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:01:34.31 xN3w9Uzw.net
数日ぶりにレスをする、おっちゃんです。
土日(金曜の夜を含む)と休日、祝日の振り替えとの合計日間で大体100レス進んだのかな。
ということは、土日だと一日当たり大体30～40近くレスが書き込まれるということか。
スレ主は相変わらず頑固に屈さないな。
数学はディベートというか討論とは違うんだけどな。スレ主は討論会だと負けないだろうね。
141:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:25:52.76 xN3w9Uzw.net
p を仮定、qを結論とする。命題 p⇒q の真偽について、
p、q が両方共に真のとき、 p⇒q は真、
p が真、q が偽のとき、 p⇒q は偽、
p が偽、q が真のとき、 p⇒q は真、
p、q が両方共に偽のとき、 p⇒q は真。
これは基本。
あと、命題 p∧q → q については、仮定の p∧q で結論のqが仮定されていることになるから、p∧q → q は必ず成り立ち真になる。
逆に、命題 q → p∧q については、qが真かつpが偽のとき p∧q が偽になって反例になるから、必ずしも真になるとは限らない。
142:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:49:04.89 xN3w9Uzw.net
>>127
>無理数P*や超越数Tがあります
普通、無理数全体の集合は R＼Q 、超越数全体の集合は C＼CL(Q) (CL(Q) は有理数体Q上の代数的閉包を表すとする) で表す。
但し、線型代数が出来れば、任意の超越数は実超越数と実代数的数とから構成出来て、
実超越数全体の集合を R＼( CL(Q) ) で表すことと同じになることが分かる。
143:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:54:47.68 xN3w9Uzw.net
で、今スレ主が反論のネタにしているのは ε-δ の関数の連続性や微分可能性のことだから、
言葉で反論している限り、無理数や超越数なんて関係ない。
144:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:07:55.73 caXk6IEJ.net
>>125
＞「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
＞仮定P： f：R → R が原点で微分可能
＞これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
＞だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
それでは定理Cの証明にならない。
このことを丁寧に書くと、まずお前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――
定理C:
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理Cを証明しよう。f は原点で微分可能とする。f は原点で連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続
しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、f が原点で微分可能としたときの
場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない。
―――――――――――――――――
↑これがお前の言っている屁理屈である。この屁理屈の何が間違いなのかと言うと、
今は定理Cを証明しようとしている段階なのに、
＞しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
このように書いてしまったら、「先に定理Cを適用している」ことになって循環論法なのである。
つまり、これでは定理Cの証明にならないのである。
145:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:10:18.84 caXk6IEJ.net
あるいは、次のように言ってもよい。もし >>137 の論法が許されるなら、俺も次のような論法を使わせてもらう。
―――――――――――――――――――
定理1.7:
R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
俺：
定理1.7を証明しよう。R－B_f は第一類集合とする。
f はある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) R－B_f は R の中で稠密ではない (2) R－B_f は R の中で稠密である
しかし、R－B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、R－B_f が第一類集合としたのきの場合分けには、
「 R－B_f は R の中で稠密である 」は存在しない。
―――――――――――――――――――
↑お前が言っているのは、こういうバカげた主張なのである。
＞しかし、R－B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
↑このように、証明の中で先に該当の定理を使ってしまったら、起こり得ない場合分けが先に排除できるのは
当たり前である。でも、それじゃあ循環論法であって、定理の証明にならないのである。
しかし、そのような芸当を定理Cの証明に対しては平気で使っているのがスレ主である。キチガイ。
146:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:12:13.96 caXk6IEJ.net
さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした
147:場合には、 "場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り ――――――――――――――――――――――― P： f は原点で微分可能 Q： f は原点で連続 P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続 P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続 P ＝ P1∨P2 ――――――――――――――――――――――― という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。 「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」 これは一体どういうことだね？
148:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:13:39.58 caXk6IEJ.net
>>124
＞「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
＞最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
＞それで終りでしょ？
ぜんぜん終わらない。息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
x∈(a,b) を動かすごとに Af(x) が「有限値」であっても、
max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値で存在するとは限らないだろバカタレ。
――――――――――――――――――
具体例：
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、f は任意の点で微分可能なので、特に B_f ＝ R が成り立つ。
従って、(a.b)⊂B_f なる開区間は取り放題である。
特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。このとき、
max_{x∈(－1,1)} Af(x)
は有限値として存在しない。このことを、グラフを書いて確かめてみよ。
原点の近傍にいくらでも傾きが大きい点が存在するので、(－1,1) 上では
有限値としての max は存在しない。にも関わらず、各点で Af(x) は有限値である。
――――――――――――――――――
149:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:22:11.65 caXk6IEJ.net
もちろん、>>140 の場合は、(2, 3)⊂B_f とでもすれば max_{x∈(2,3)} Af(x) が
有限値として存在する。しかし、スレ主風に言えば、次のような疑問が生じることになる。
―――――――――――――――――――
f の原点での振る舞いが、原点のみならず R 上で稠密に分布するような
別の関数 g であって、しかも B_g ＝ R が保たれたままであるような上手い g が
もし存在したとすると、(a,b)⊂B_g なる開区間は取り放題であるにも関わらず、
max_{x∈(a,b)} Ag(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないことになるし、
この g はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
―――――――――――――――――――
このように考えると、B_f が開区間を含んでいるという条件下でも、
f がリプシッツ連続になる開区間が取れることは全く自明ではないことが分かるだろう。
あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
むろん、実際には、上記のようなヘンな関数は存在しない。すなわち、(a,b)⊂B_f なる開区間が取れるなら、
ある開区間の上で max Af(x) が有限値で存在するし、f はある開区間の上でリプシッツ連続になる。
ただし、そのことを証明するための方法は>>110なのであって、スレ主とかいうゴミクズが
考えているような単純な状況には決してなっていない。
150:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:25:12.74 caXk6IEJ.net
>>129
＞２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
間違っている。スレ主とかいうゴミクズは目的と手段をはき違えている。
・ 目的：「 P → Q 」という命題全体が真であることを証明したい。
・ 手段： P という仮定のもとで結論Qを導けばよい。
お前はここで、次のように勘違いしているのである。
「 P → Q が真であることを証明するには、P という仮定のもとで Q を導くしか方法がない 」
明らかに目的と手段をはき違えている。目的はあくまでも、「 P → Q 」という命題全体が真であることを
証明することである。もし仮定 P が偽であることが示せたなら、その時点で「 P → Q 」という命題全体が
真であることが確定するので、既に目的は達成されている。すなわち、この場合には Q を導く必要が無いのである。
Q を導くという方針は、あくまでも1つの手段に過ぎないのであり、「 Q を導くことが絶対に必要である」
ということにはならない。すなわち、次のようにすればいいのである。
―――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(～～何らかの議論～～)
ゆえに、￢P が成り立つ。すなわち、P ∧ ￢P が成り立つ。
従って、実は P は偽だったということになる。
よって、「 P → Q 」という命題全体は真であることが確定する。
―――――――――――――――
↑このように、P が偽であることが判明した場合、もはや Q を導く必要がないのである。
目的と手段をはき違えて、「 Q を絶対に導かなければならない」と思い込んでいるバカタレがスレ主である。
151:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:27:05.58 caXk6IEJ.net
ちなみに、P が偽であることが判明した場合、議論をそこでやめずに Q を導くことも
実際には可能である。次のようにすればよい。
――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(～～何らかの議論～～)
ゆえに、￢P が成り立つ。すなわち、P ∧ ￢P が成り立つ。
これは「矛盾」である。矛盾した命題からは無条件に任意の命題を導出してよいので、
特に「 Q 」を導出してよい。よって、Q が成り立つ。
以上より、P が成り立つという仮定のもとで Q が導出できたので、P → Q は真である。
――――――――――――――――
152:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:35
153::06.00 ID:caXk6IEJ.net
154:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:40:51.60 caXk6IEJ.net
>>129
＞これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
＞上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
＞f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
＞なので、系1.8の証明は成立していません
お前のその屁理屈を、以下の正しい議論に適用してみよう。
――――――――――――――――
定理C3：
原点で微分可能かつ原点で不連続であるような関数は存在しない。
定理C3 の証明：
そのような関数 f が存在したと仮定する。…(*)
このとき、f は原点で微分可能だから、ご存知の「 定理C 」が適用できて、
f は原点で連続である。一方で、f の仮定から、f は原点で不連続なのだった。
これは矛盾。よって、(*)の仮定は間違っていたことになる。
すなわち、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――
[続く]
155:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:49:15.23 caXk6IEJ.net
[続き]
上記の正しい議論に対して、お前は次のように言うのである。
―――――――――――――
スレ主：
定理C3 の証明の中では、f は原点で不連続ですから、「 f は原点で連続 」は、
言えないことになります。なので、定理Cは適用できず、定理C3 の証明は成立していません。
―――――――――――――
実際には、「原点で微分可能かつ原点で不連続」という性質は矛盾しているので、そのような仮定を置いた時点で、
矛盾した命題から出発していることになり、そして矛盾した命題からは何でも導出できるがゆえに、
「 f は原点で連続」が導出できても何らおかしくはないのである。
つまり、f が原点で不連続という仮定があっても、その他の条件とのセットで仮定が矛盾していた場合には、
「 f が原点で連続」は言えるのである。今回の場合は、「fは原点で微分可能」という条件とのセットで
矛盾した状態から出発するので、「 f が原点で連続」は言えるのである。ただし、証明者の視点では、
仮定を置いた時点で既にその仮定が矛盾していることが分かるのではなく、不条理を導いた時点で初めて
「仮定が矛盾していた」ことが判明するのである(背理法)。ここで、なぜかスレ主は、不条理を導くことを
完全放棄し、「 f は原点で不連続 」という仮定に縛られて、
「 f は原点で微分可能 」
という条件があるにも関わらず定理Cを適用しようとせず、「 f は原点で連続、は決して言えない」と考え、
「定理Cは適用できない。定理C3 の証明は成立していない。」とほざくのである。証明者の視点から見ると、
スレ主のこのような行為は、背理法によって不条理を導くことを放棄しているだけの単なる愚行でしかない。
つまり、スレ主とかいうゴミクズは、背理法が全く理解できていないのである。キチガイ。
156:１３２人目の素数さん
18/02/12 18:07:37.14 k93HhadU.net
「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。
157:１３２人目の素数さん
18/02/12 18:19:31.73 MGrwckru.net
>>147
今の議論にそういう頭を捻るような例は出てませんよ
158:１３２人目の素数さん
18/02/12 20:50:26.58 X1pATS5E.net
背理法が理解できないなら高校一年生に教えてもらえばいい
数学板に来るのは時期尚早
159:１３２人目の素数さん
18/02/12 21:55:58.73 k93HhadU.net
背理法の場合はp→qのpが真でqが偽になるぞｗ
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:32:32.19 kLyhoiu6.net
>>130
>最大値があるとは言えませんよ
まあ、じゃ下記で
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
161:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:33:58.40 kLyhoiu6.net
あとの細かい話はのちほど
162:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:35:50.24 kLyhoiu6.net
>>133
<
163:br> おっちゃん、どうも、スレ主です。 お元気そうでなによりです（＾＾
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:37:41.34 kLyhoiu6.net
話題散らしのために、これ面白かったから貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
類体論 田口雄一郎先生 「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) 初日の講義ノート。
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
田口雄一郎先生関連
March, 1988 : Graduated from University of Tokyo
June, 1993 : Degree of Doctor (University of Tokyo)
September, 1993 -- August, 1995: Member of the Institute for Advanced Study
April, 1998 -- March, 2001: Associate Professor of Mathematics, Hokkaido University
April, 2001 -- February 15, 2016: Associate Professor of Mathematics, Kyushu University
February 16, 2016 --: Professor of Mathematics, Tokyo Institute of Technology
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
数学関係の文章
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(coe.math.sci.hokudai.ac.jp)
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 )
165:１３２人目の素数さん
18/02/13 20:31:35.15 cZFEnVOE.net
>>151
まあって
上限があるとも限りませんよ
166:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 20:50:40.48 kLyhoiu6.net
>>151 再訂正
すまん
これ、lim supの使い方間違っているな。院試だったら、大減点だな。
なので、
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
とします
（余談だが、こういう基本的な用語を間違うと、採点官の心象が悪くなる。
要は、院試なんて、基礎的な勉強をしているか否かと基礎力を測るものだから、基本の標準用語の定義などは、間違わないことだ。
”数学は定義だ”などというが、基本的用語について、自分勝手な定義は（こいつ勉強不足だろうと）心象悪いだろう。
頭良すぎて、試験の現場で新定義作って「ホームラン答案」を狙うのは（頭良すぎる東大生にいそうだが）、（採点基準外の）大外しの可能性があるだろう）
URLﾘﾝｸ(web.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
解析学の基礎 卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏) 山口大
(抜粋)
P37
最大値, 最小値はいつでも存在するとは限らないので, 条件(i) を
みたすかどうかは問題にしないことにして(ii) をみたす数をE の上界(upper bound) と呼ぶことにしよう.
P39
定義2.3.10 E が上に有界とする. このとき上界の最小値
b0 = minU(E)(= min{b 2 R : b はE の上界})
が存在すればb0 をE の最小上界(least upper bound), または上限(supremum)
といいsupE と表す.
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(web.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏)
URLﾘﾝｸ(web.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
Hiroshi Yanagihara (柳原 宏) Department of Applied Science Faculty of Engineering Yamaguchi University
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
上極限と下極限
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
本質的上限と本質的下限
(抜粋)
性質
inf f <= lim inf f <= ess inf f <= ess sup f <= lim sup f <= sup f
(引用終り)
167:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:08:06.88 kLyhoiu6.net
>>140
あなたのそういう具体例を作る力は認めるけれども、例示は論点を外していると思う
>具体例：
>f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
>特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
重箱の隅を突いても仕方ないので、簡単に
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”という主張だから、(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)と二つに分ければいいだけのこと（どちらか一つで定理の主張を満たす）
(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)とは、どちらも、”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を満たしている。
ここに、δは「 1> δ >0 」の適当な実数とする
以上
168:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:20:13.40 kLyhoiu6.net
>>155
これは、「ぷふ」さんだね
>>156と>>157とをご参照
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
を満たすある開区間(a,b)が存在するとして
その区間内どこも「リプシッツ連続ではない」と言えるんですかね？ はて？
まあ、また例によって、定理1.7を証明した人が、新しい例を示してくれるかも知れないが
169:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:45:05.98 kLyhoiu6.net
>>137-139
>間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
>証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
>それでは定理Cの証明にならない。
意味わからん
私スレ主が言っている”場合分け”は、普通に 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”のこと
特別のことをいうつもりはない。”場合分け”は、多分古典論理学内で、古代ギリシャからあると思う
（>>157）定理1.7
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件下で、
一つの典型例が、系1.8の「有理数＝R－Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R－Bf」はR中で稠密だ。だから、その補集合たる「無理数＝Bf」内には、開区間は取れない
もう一つが、「整数＝R－Bf」で、稠密でないから、「Bf」内に、開区間が取れる
ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”をご参照
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り)
170:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:56:20.35 kLyhoiu6.net
>>141
これなんか、へんなことを書いていると思った
引用
「あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。」
(引用終り)
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
この「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」は、過去スレで指摘したように、この条件はディニ微分可だったよね？
だが、上記で
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
だから、B_fは空集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディニ微分
以上
171:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:59:04.10 kLyhoiu6.net
>>160 訂正
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
また、間違えてしまった。息をしたからか・・（＾＾
172:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:27:42.93 cZFEnVOE.net
>>156
>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
どう書いても存在するとは限りません
173:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 22:27:47.82 kLyhoiu6.net
>>144-146
>背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
>そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。
違うよ。
場合分けを曲解していることによる誤解だな
定理1.7を場合分けして、その場合分けのR-Bfが稠密で、
系1.8の「有理数＝R－Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R－Bf」はR中で稠密だ（>>159より）
この場合、Bf内に開区間など取れない。
稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
174:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:36:35.06 cZFEnVOE.net
>>158
あるいはBfの中に開区間(a,b)が存在する場合
その区間内にリプシッツ連続である区間が存在することを証明する必要があります
はて？というのはむしろあなたを批判している人が持つ疑問であり
あなたは上記を主張しているのですからそれを証明する必要があるわけです
しかもあなたは自明だとも言っているのですから
相当に単純な証明が示されて然るべきと期待しますよ
なお
件の証明を書いた人はそれを証明しています
175:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:40:24.75 cZFEnVOE.net
>>163
>場合分けを曲解していることによる誤解だな
というより
場合分けすることなく証明できているのに
なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 22:44:15.05 kLyhoiu6.net
>>162
>>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
>どう書いても存在するとは限りません
それでも結構だが
定理1.7の条件「 Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」で、これを満たすある開区間（a,b)が存在するとして
その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
それでも、開区間（a,b）の中に、リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる？
取れるというのが、定理1.7の主張ですよね？
余談だけれど、定理の証明というのは、一番成立し難い場合にも、その前提条件を付加してきちんと証明できないと、その証明は信用されませんよ
上記の定理1.7の補集合が稠密な場合とか、いまの場合の「その区間内全ての点で「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？ あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？」場合とかを
易しい場合だけ証明して、「ＱＥＤ！」はないですよ