16/11/05 12:05:24.37 O+MERBc0.net
うん。身近にこういう奴がいなくてよかったと思うｗ
130:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 12:20:38.36 DzICE8Th.net
>>122
プロ固定、ageるなって！（＾＾；
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 12:22:45.04 DzICE8Th.net
余談だが
Categories for the Working Mathematician Mac Lane, Saunders 2nd ed 1998
pdfが落ちていて、ダウンロードできた
著作権問題があるから、ＵＲＬはアップしないが・・・（＾＾；
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 12:26:24.04 DzICE8Th.net
手元にあると、圏論の歩き方とか、Awodeyを読むときに便利だね
133:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 12:28:03.37 DzICE8Th.net
Awodeyは確かに、日本語訳で分からないところがあって、原文読むと分かる場合が多い
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 12:43:33.98 DzICE8Th.net
>>83
> 6. \は元プロ研究者らしいからこいつにだけは媚売っとこうっと
媚売ってどうこうなる人でも無いだろ？
つーか、\さんは、いろんなことを深いところまで知っているし
ルネトムと話をしたとか
「トリビアですが、私は田崎氏のお父様から解析力学の単位を（無試験で）貰いました。」ガロア理論スレ23 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:600番)
とか
話は面白いし
まあ、住んでいる世界が私とは全く違ったんだねと思う（＾＾；
確率に関する知識も深いものがあるよね
そこらは、正直深すぎてついていけないところもあるが、興味深い
時枝記事の解法も、\さんもそのままじゃ成立しないと思っているだろうが
確率理論を拡張したらどうなるか？という
正直そこらは、当方は全く歯が立たないがね（＾＾；
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 13:32:37.12 DzICE8Th.net
前スレで層の質問をおっちゃんにした
「任意の前層が表現可能関手の余極限と同型である」は標語だと、どこかに書いてあったね
URLﾘﾝｸ(qiita.com)
【圏論メモ】任意の前層が表現可能関手の余極限と同型であることの証明 - Qiita amoO_Oが2016/03/25に投稿(2016/04/10に編集)
(抜粋)
定義
小さい圏
Ob(C),Hom(C)Ob(C),Hom(C) がともに集合であるような圏 CC を 小さい圏 と呼ぶ。
C上の前層
反変関手 P:C→SetP:C→Set を CC 上の前層 と呼ぶ。
※ 米田の補題の記事では関手と同じ FF で表現していたが、他の方の記事を読んでいるとどうも Presheaf（前層）の頭文字をとって PP を使うことが多いようなので、この記事もそれに従う。
→
136: （追記） 米田の補題の記事内、FF を PP に修正 表現可能関手 X∈Ob(C)X∈Ob(C) に対し 反変関手 HomC(?,X):C→Set HomC(?,X):C→Set 及び共変関手 HomC(X,?):C→Set HomC(X,?):C→Set を XX の表現可能関手と呼ぶ。ここでは反変関手の方のみ取り扱う。 米田の埋め込み定理より、 AA に HomC(?,A)HomC(?,A) を対応させる関手が元の圏 CC の構造を SetCopSetCop の中に埋め込む。このことを表現可能と言う（らしい。これの何が「表現可能」なのかは勉強不足でいまいちつかめていない。あとで補足するかもしれない。） 証明 どの空間での話なのかに注意する。特に、米田の補題 を使って自然変換 α:HomC(?,A)→Pα:HomC(?,A)→P と集合 PAPA の元 aa との同一視を多用する。 (引用終り)
137:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 13:40:35.36 DzICE8Th.net
米田函手はY:C→SetsCop
これは位相から前層への写像とみることができます。だと
URLﾘﾝｸ(myuon-myon.hatenablog.com)
PSh圏とcolimit - Just $ A sandbox 2013-05-30
位相空間Xに対して、X上の前層Fとは、Xの開集合から集合への写像
F(U)(U∈O(X))
(で、かつ制限写像というものが定められているものの)のことです(詳しくは層 (数学) - Wikipedia等を参照)。
ここで、O(X)
に包含関係で順序を入れてこれを順序集合の圏(Cと表記)とみなします。するとFは、
F:Cop→Sets
なる反変函手であって、この函手を対象、函手の間の自然変換を射とするような函手圏SetsCopが定義できます。
(余談ですが、SetsCopは米田の補題でもおなじみの圏です。米田函手はY:C→SetsCop
という函手だったので、これは位相から前層への写像とみることができます。)
こうしてできたXの上の前層の圏をPSh(X)
とかきます。
さらにX上の前層が層であるとは、Xの全ての開集合U
について、既約性条件と閉条件と呼ばれる2つの条件をみたすようなもののことです。これを圏の言葉で書くと、
対象F(U)と射F(U)→ΠiF(Ui)
が\prod_i F(U_i) \Rightarrow \prod_{(i_0,i_1) \in I \times I} F(U_{i0} \times U_{i1})のequalizerである*1といえます。
前層はただの反変函手に過ぎませんがよい性質を持っています。例として次の命題を挙げます。
Def: 函手F:Cop→Sets
が h_X:=\mathscr{C}(-,X) \quad : \quad \mathscr{C}^{op} \to Setsと自然同型であるとき、この函手を表現可能とよぶ。
Prop: 全ての前層は表現可能な前層のcolimitである。
とても面白い性質です！
前層がlimitを持てばequalizerも持つはずなので上のことから自然に層になります。
(またnLabによるとこのcolimitはcoendを使って書くとすっきり表現できるらしいのですが、まだそこまでは理解が追いついていないです。)
参考文献
Stacks Project ? Tag 006D 前層の定義
Stacks Project ? Tag 0071 層の定義
representable functor in nLab 表現可能函手の定義
presheaf in nLab 最後にあげた命題の証明ものってます
*1:ここで⇒は、2本の平行射を表します
138:１３２人目の素数さん
16/11/05 15:33:43.33 rB//53Un.net
>>117
> 可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ
出題者がz ＝ 3.14159265358979…2718281828459…を構成して出題したとしても
解答者は有限長の(例えば)3.1415926からはじめて一度だけ極限をとれば3.14159265358979…を得ることが
できるので新たに規定を加える必要はない
(実際には解答者は箱の中の数字を見るわけではなくて自然数と箱を対応させるわけだが)
解答者が上のzを得るためには3.1415926からはじめ�
139:ｽとすると極限をとって3.14159265358979…を得た後に 有限長の(例えば)271828を用いて3.14159265358979…271828を得て再度極限をとって z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…を得ることになる 極限を何度とるかは解答者が自由に決めることができる (そして解答者が極限を一度しかとらない場合は決定番号は必ず有限の値になる)
140:１３２人目の素数さん
16/11/05 15:42:33.34 wlZe4quV.net
X上の数列というのは一般的にはNからXへの関数のことです。時枝もそれだけを考えてます。
スレ主は2×NからXへの関数を考えてるので全然違うものです。
Nと2×Nは濃度としては同じですが集合として異なります。
141:１３２人目の素数さん
16/11/05 16:36:48.56 uEkBZ7nZ.net
出題された可算個の実数がどんなふうにあっても、解答者が並べなおせばいいだけだ
このことは以前にも誰かが指摘していたが、スレ主は理解していない
142:１３２人目の素数さん
16/11/05 19:19:37.86 l70uwVZ9.net
今になってR^Nが分かりませんとか悪夢だろw
143:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:36:25.76 DzICE8Th.net
>>131-133
はい、そういう主張があることは認めます
どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします
このスレでは、ここまでで良いでしょ
１．>>131 について：時枝記事では、>>114の２にあるように、事前に、可算無限個の数列のある番号から先のしっぽが一致する場合の同値類を類別します。
そして、事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
問題は、キマイラ数列をどう区別し排除するのか？ 時枝記事では、不純数列は排除します。不純数列は入らないようにしますというのですね。どうやって？
いま、ある数列Ａがあるとする。Ａは可算無限個の数列だ。しっぽの同値類分類をするという。Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか？
２．>>132 について：「Nと2×Nは濃度としては同じですが集合として異なります」は是として、では>>115の３にあるように、”閉じた箱を100列に並べる”という。これはN→100×Nでしょ？
では、ビデオの逆回しのように、100×N→Nも可能では？ N→100×Nと100×N→Nと両方可能だとします。この文脈で、ぞうぞ”濃度としては同じですが集合として異なります”を数学にしてください
３．>>133 について：意味がわからない。どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします
144:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:38:13.38 DzICE8Th.net
>>135 訂正
事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
↓
事前の同値類の類別と、１００列の数列を比較します。
145:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:42:47.55 DzICE8Th.net
「圏論の歩き方」第８章 座談会
”下鴨：・・圏自身を代数構造として研究しようという話ですよね。この方向でもっとできることがあるし、またやらなければならない・・・”という発言
これに関連して、∞カテゴリーとか、高次圏、quasi category などがある（下記）
圏論の拡張版だね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(infinitytopos.wordpress.com)
∞カテゴリー ? はじまりはKan拡張 2015年1月30日 投稿者: infinity_topos
以前の投稿でも書いたように，近年Jacob Lurieによる∞カテゴリー理論の進展が著しい．しかし，いまだにその理論の基礎を解説する日本語の文章は殆ど見受けられないように思われる．そこで，何回かに分けて，以下でその初歩の部分について解説をしてみようと思う．
●高次圏とは何か
まず，高次圏の理論について解説しよう．通常の圏は対象と射を持つが，高次圏とはそれに加え”高次の射”を持つ圏の事である．例えば，2-圏とは対象と射に加え「射の射」である2-射を持つもので，3-圏は「2-射の間の射」である3-射を持つものである．
このようにして，n-圏が定義される．そのようなものの最もシンプルな具体例としては，圏の圏Catが挙げられる．圏の圏Catは対象は圏，射は関手に加え，2-射として自然変換がある．
ここで大切なのが，多くの高次の射を考えるだけではなく，高次の射の同型を考えることだ．例えば，二つの圏が与えられたとき，それらが圏同型である事を要請することは少し強すぎる．通常では圏同値までしか考えない．
二つの圏が圏同値である事は，互いに与えられた関手の合成が恒等関手とならなくとも，恒等関手と自然同値であるという事である．つまり，2-射の同値を無視して同型ということになる．
このように，n射を持つ圏でr射より高次の射が同型なものとなっているものを(n,r)-圏という．例えば，Catは圏，関手，自然同値によって(2,1)-圏とみなせる．ここで注意したいのが，Lurieの理論で用いられているのは(∞,1)-圏である．つまり，無限に高次の射を持つが，2-射以降はすべて同型であるようなものを構築しているという事である．
つづく
146:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:44:22.25 DzICE8Th.net
つづき
●enriched categoryによるアプローチ
さて，ここまで明確な定義を与えず高次圏の概念を説明してきたが，実は高次圏の問題はその定義にあった．というのも，多くの手法によって良い定義を与える努力が為されてきたが，あまり上手く行かなかったのである．例えば，古典的なものとしてはenriched category(豊穣圏)を用いた定式化があった．それを軽く説明しよう．
まず，enriched categoryとは，大雑把にいうとHom集合にある圏Vの対象の構造が入る圏である．例えば，通常の圏はSet-enriched categoryだと考えられる．また，圏の圏CatはHom集合に関手圏としての構造が入る．このことから，次のような定義が与えられた．
Definition.(strict n-category)
0-圏をSetとする．n-圏とは(n-1)Cat-enriched categoryの事である．
しかし，このような定義は技術的に非常に扱いずらい問題があった．その理由としては単純に射が多すぎるため，その可換性の条件などが非常に煩雑になるという訳だ．せいぜい2-圏が限界で，3-圏になるととても扱えたものではなかった．このように，多くの情報を扱う分「その情報をいかに簡略化し扱いやすくするか」という事は付随する大きな問題であった．
●∞カテゴリーの3つのモデル
さて，Lurieの理論に話をもどそう．Higher Topos Theoryにおいて，この”(∞,1)-圏”というアイデアを実現する対象として，ある意味において同値な次の3つのモデルを導入している．
topological category
simplicial category
quasi category
それぞれについて解説しよう．最初の二つはenriched categoryの枠組みを用いる．
Definition.(topological category)
topological categoryとは(コンパクト生成ハウスドルフな)位相空間の圏に関するenriched categoryである．
つづく
147:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:45:52.54 DzICE8Th.net
つづき
これは最も説明しやすい．つまり，Hom集合に”空間”の構造が入っているという事である．通常の圏は，離散位相によりtopological categoryとみなすことができ，逆にtopological categoryが与えられればその”Hom空間”のΠ_0をHom集合として取ることにより”ホモトピー圏”を得ることができる．
異なるtopological categoryでも，”Hom空間”がup to homotopicで同型であれば，同じホモトピー圏を与えることが出来るという事である．次のモデルも本質的には変わらない．
Definition.(simplicial category)
simplicial categoryとはsimplicial setの圏に関するenriched categoryである．
simplicial setについては何も説明していないが，実はこれはある意味で「位相空間と同値な空間概念」とみなすことが出来る．
例えば，位相空間の特異コホモロジーはDold-Kan対応によりsimplicial setのコホモロジー論の一部とみることが出来るし，特筆すべきことは位相空間の基本群，ホモトピー群と同値な理論をsimplicial set内で構成する事が出来る．
これらは，特異単体を取る関手と幾何的実現関手により同値にうつりあう．このことから，simplicial categoryがtopological categoryと「同値な枠組み」である事は感覚的に”納得”は出来るだろう．
以上のモデルは比較的その”意味”について納得しやすいものだろう．しかし，Higher Topos Theoryにおいて中心的に扱われるのは，これらではなく次のquasi categoryと呼ばれるものである．
Definition.(quasi category)
simplicial set Sがquasi categoryであるとはinner horn inclusion
\displaystyle \{ \Lamb
148:da^{n}_{k} \to \Delta^{n} | n\in \mathbb{N}, 0<k<n \} に対して(uniqueとは限らない)Extension Propertyを持つ事をいう． この定義は非常に突拍子のない定義のように思われる．まず，そもそも圏ではなく「ある条件を満たすsimplicial set」が∞カテゴリーだというのだ． また，なぜこの定義を採用する強みは何なのだろうか？さらに，これらのモデルの”同値性”とは何なのだろうか？これらを説明するにはまたもう少しの準備が必要となるため，次回以降の記事において解説しようと思う． (引用終り)
149:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:48:06.71 DzICE8Th.net
”「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”か。至言かも・・・
URLﾘﾝｸ(infinitytopos.wordpress.com)
∞カテゴリーIII 投稿日: 2015年2月10日 投稿者: infinity_topos
(抜粋)
前回の二回の投稿で∞カテゴリーの一つのモデルであるquasi categoryについて解説してきた．その話によると，位相空間（の特異単体）や圏はsimplicial setの中でそれぞれ特徴づけを持ち，それらの性質を合わせたものがquasi categoryなのであった．
では，なぜsimplicial setで考える事に意味があるのか，それにはどういった優位性があるのだろうか，と考えるのは自然な疑問だろう．今回はそれに対する一つの答えを与えようと思う．
●Simplicial setの圏論的性質
まずは，圏論的な性質から考察しよう．これに関しては，simplicial setは位相空間と比べ格段に「良い」性質を持つ事が知られている．というのも，位相空間の圏は性質が悪すぎるのだ．
例えば，位相空間の圏はカルテシアン閉ではない．つまり，\displaystyle Hom_{\mathsf{Top}}(X\times Y,Z)\cong Hom_{\mathsf{Top}}(X,Z^Y)は成立しない．また，2つのCW複体\displaystyle X,Yの直積空間\displaystyle X\times YにCW複体の構造が入るとは入らない．
これらの問題は，前者は\displaystyle Yが局所コンパクト，後者は片方の空間が局所コンパクトなら実は成立する．しかし，では局所コンパクト空間のみ考えればよいかといえば，今度は局所コンパクト空間の圏\displaystyle \mathsf{LocCpt}は余極限について閉じない．
このように，何かを求めれば何かを失うといったところで，圏論的にも扱いやすい位相空間のクラスを見つけるという事は半世紀ほど前の一つの問題であった．そこでSteenrodのA convenient category of topological spacesなどで提案されてきたのが，コンパクト生成空間だ．
詳細は述べないが，このクラスにおいては余極限は変わらないが，ケリー化と呼ばれる通常と少し異なる直積位相を用いる．実はそれにより，前の二つの問題はどちらとも解決される．topological categoryの定義でコンパクト生成ハウスドルフ空間を用いるのも，実はこのような圏論的な要請が関連している．
つづく
150:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:49:44.84 DzICE8Th.net
つづき
話をsimplicial setに戻そう．位相空間の圏と異なり，simplicial setの圏は非常に良い圏論的な性質を持つ．それは，この圏が関手圏\displaystyle \mathsf{Set}^{\Delta^{op}}に他ならないため，\displaystyle \mathsf{Set}から多くの良い性質を引き継げる事に多くを起因する．
例えば，\displaystyle \mathsf{Set}_{\Delta}は完備かつ余完備で，カルテシアン閉でもある．また，関手圏なので極限や余極限はsectionwiseに\displaystyle \mathsf{Set}内で求めればよい．更に，これは棚から牡丹餅とも言えるが，前層の圏なので特に(Grothendieck) toposになっている．
そこで，topos理論などの少々高等な圏論を用いる事も出来る．必ずしもこれら全ての性質を使うとは限らないが，なんといっても使える手が多いのだ．
●抽象化の力
しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう．
これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerv
151:eを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている． その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？それを説明するために，一つの例としてgroupoidを値に持つ(co)fibered categoryを挙げてみようと思う．古典的には，これには同値な二つの定義がある．（例えばSGA1を参照されたい．） Definition1.(cofibered category) \displaystyle D上のcofibered categoryとは2-関手\displaystyle \phi :D \to \mathsf{Grpd}の事である． 2-関手とは関手性がup to isomorphismでしか成立しないという事を意味する．もう一つの定義はいささか複雑になる． つづく
152:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:50:23.36 DzICE8Th.net
つづき
Definition2.(cofibered category)
\displaystyle D上のcofibered categoryとは関手\displaystyle F:C\to Dで
(1) すべての\displaystyle c\in ob(C)とすべての射\displaystyle \eta:F(c)\to dに対して，ある射\displaystyle \tilde{\eta}:c\to \tilde{d}が存在して\displaystyle F(\tilde{\eta})=\etaが成立する，
(2) すべての射\displaystyle (\eta:c\to c')\in Mor(C)と対象\displaystyle c''\in ob(C)に対して
\displaystyle Hom_{C}(c',c'')\to Hom_{C}(c,c'')\times_{Hom_{D}(F(c),F(c''))}Hom_{D}(F(c'),F(c''))は全単射，を満たすものをいう．
これらの同値性はGrothendieck構成によって得られる．
Theorem.(Grothendieck construction)
圏同値\displaystyle \int :\mathsf{Fun}(D,\mathsf{Grpd})\cong \mathsf{Cofib}^{\mathsf{Gprd}}(D)が存在する．
圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．
(引用終り)
153:１３２人目の素数さん
16/11/05 19:50:53.34 rB//53Un.net
>>135
> Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか
R^Nの元である通常の無限数列をN, N1, N2で表してキマイラ数列をN1(+)N2と表すとする
R^Nの元を用いて決定番号を求める
(1)決定番号が有限の値の場合
Aは通常の数列Nである
(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる
154:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:53:25.53 DzICE8Th.net
URLﾘﾝｸ(infinitytopos.wordpress.com)
∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日 投稿者: infinity_topos
(抜粋)
前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．
●米田、余完備、Kan拡張
さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
Theorem.
任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．
証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
さて，実はこの定理から次の興味深い事実が成立する．
Theorem.(Adjoint principle)
\displaystyle C,Dを圏とし，関手\displaystyle f:C\to Dが与えられているとする．このとき，\displaystyle Dが余完備ならば，関手fの拡張\displaystyle F:\mathsf{Set}^{C^{op}}\to Dが存在する．また，Fには右随伴関手Gが存在すｂ驕D
これらF,Gはexplicitな構成を持つ．
\displaystyle F(P)=F(\varinjlim Hom(-,c_i)):=\varinjlim f(c_i)
\displaystyle G(d):=Hom_{D}(f(-),d)
これらが互いに随伴になることは容易に示される．実は\displaystyle C=\Deltaの場合に今までに出てきた随伴はこの具体例である。
(引用終り)
155:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:56:33.38 DzICE8Th.net
東京工業大学 藤田 知未ちゃん、卒業したんやろね
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
代数的トポロジー信州春の学校 第3回 (2014年度)
開催日: 2015年3月3日 (火)～6日 (金) (4日間)
場所: 信州大学理学部 (講義:第一講義室)
内容: ∞圏の基礎とそのいくつかの応用に関する講義とその準備のための勉強会の2本立て。
Higher category の構造とホモトピーの関係を理解し, ∞圏の定義にホモトピー論の言葉を用いることに納得すること。
3月4日以降の講義で用いられる単体的集合とモデル圏の言葉に慣れること。
これらの内容を7人の人で分担して話してもらいました。
3月3日
13:00～14:00 勉強会 (1) 単体的集合とそのホモトピー (埼玉大学 飛嶋健司)
14:20～15:20 勉強会 (2) Nerve functor について (中央大学 狩野 隼輔)
15:40～16:40 勉強会 (3) 単体的集合と位相空間 (名古屋大学 鈴木 直矢)
17:00～18:00 勉強会 (4) モデル圏の基本 (東京大学 佐藤 玄基)
3月4日
9:00～10:00 勉強会 (5) Cofibrantly generated model structures (東京大学 若月 駿)
10:20～11:20 勉強会 (6) Quillen による単体的集合の圏のモデル構造 (東京工業大学 藤田 知未)
11:40～12:40 勉強会 (7) Joyal による単体的集合の圏のモデル構造 (東京大学 吉田 純)
講義録: 北海道大学D2 (当時) の劉君が, 取ったノートを送ってくれました。ここからダウンロードできます。
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
156:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:56:47.99 DzICE8Th.net
URLﾘﾝｸ(surgery.matrix.jp)
Lurie's quasi category theory 変換群論シンポジュウム報告集. 南範彦. (名古屋工業大学) 2008
157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:57:56.36 DzICE8Th.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Quasi-category
It has been suggested that (∞,1)-category be merged into this article. (Discuss) Proposed since January 2016.
In mathematics, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory.
Quasi-categories were introduced by Boardman & Vogt (1973). Andre Joyal has much advanced the study of quasi-categories showing that most of the usual basic category theory and some of the advanced notions and theorems have their analogues for quasi-categories.
An elaborate treatise of the theory of quasi-categories has been expounded by Jacob Lurie (2009).
Quasi-categories are certain simplicial sets. Like ordinary categories, they contain objects (the 0-simplices of the simplicial set) and morphisms between these objects (1-simplices). But unlike categories, the composition of two morphisms need not be uniquely defined.
All the morphisms that can serve as composition of two given morphisms are related to each other by higher order invertible morphisms (2-simplices thought of as "homotopies"). These higher order morphisms can also be composed, but again the composition is well-defined only up to even higher order invertible morphisms, etc.
The idea of higher category theory (at least, higher category theory when higher morphisms are invertible) is that, as opposed to the standard notion of a category, there should be a mapping space (rather than a mapping set) between two objects.
This suggests that a higher category should simply be a topologically enriched category. The model of quasi-categories is, however, better suited to applications than that of topologically enriched categor
158:ies, though it has been proved by Lurie that the two have natural model structures that are Quillen equivalent.
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 19:59:07.06 DzICE8Th.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Simplicial set
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, a simplicial set is a construction in categorical homotopy theory that is a pure algebraic model of the notion of a "well-behaved" topological space.
Historically, this model arose from earlier work in combinatorial topology and in particular from the notion of simplicial complexes. Simplicial sets are used to define quasi-categories, a basic notion of higher category theory.
History and uses of simplicial sets
Simplicial sets were originally used to give precise and convenient descriptions of classifying spaces of groups. This idea was vastly extended by Grothendieck's idea of considering classifying spaces of categories, and in particular by Quillen's work of algebraic K-theory.
In this work, which earned him a Fields Medal, Quillen developed surprisingly efficient methods for manipulating infinite simplicial sets.
Later these methods were used in other areas on the border between algebraic geometry and topology. For instance, the Andre-Quillen homology of a ring is a "non-abelian homology", defined and studied in this way.
Both the algebraic K-theory and the Andre-Quillen homology are defined using algebraic data to write down a simplicial set, and then taking the homotopy groups of this simplicial set. Sometimes one simply defines the algebraic K {\displaystyle K} K-theory as the space.
In recent years, simplicial sets have been used in higher category theory and derived algebraic geometry. Quasi-categories can be thought of as categories in which the composition of morphisms is defined only up to homotopy, and information about the composition of higher homotopies is also retained.
Quasi-categories are defined as simplicial sets satisfying one additional condition, the weak Kan condition.
160:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 20:58:15.50 DzICE8Th.net
>>143
R^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
その定義と、無限定な時枝記事の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」>>114
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」>>115
との整合性が求められる
これは、>>135に書いたように、N→100×Nと100×N→Nと両方可能だろうと
この文脈でR^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
当然、Ｎは>>106引用の可算無限集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう。
(引用終り)
にあるとおり、Ｎは自然数全体の集合であり、可算無限集合そのもの
それは、>>116に引用したデデキント無限と考えれば、>>51に引用したヒルベルトの無限ホテルのパラドックスが成立するから、話はあう
では、決定番号の集合は？ 決定番号の集合をＫとしよう。
任意のｎ∈Ｎに対し、必ずｎ∈Ｋとできる。
∵ある無限数列、a=(a1,a2,・・・,an-1,an,a+1,*****)に対し、a'=(a1,a2,・・・,bn-1,an,a+1,*****) (つまりan-1≠bn-1で、 *****はしっぽの一致を表す)
aの同値類で、a'を代表とすれば、決定番号はｎで、 ｎ∈Ｋ
なので、Ｎ→Ｋの単射が存在するから、Ｎ⊆Ｋ
つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう
（そう言いたいのは分かるが、それと、N→100×Nとは両立しないよ）
161:１３２人目の素数さん
16/11/05 21:07:42.75 l70uwVZ9.net
>>149
> つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
>
> 決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう
スレ主の脳内：
決定番号の集合Kが上に有界でない→決定番号は有限値とは言えない
162: だせー間違いだなおいｗ
163:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 21:09:58.55 DzICE8Th.net
>>149 補足
>>149はそもそも>>143の(1)決定番号が有限の値の場合に対する批判だが
（つまり、（キマイラでない）通常の数列の場合でも、必ず有限とは言えない）
”(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる”
も意味わからん
164:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 21:12:01.95 DzICE8Th.net
>>150
ああ、そうだね
間違いだね
言い直そう
Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？
165:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 21:21:39.91 DzICE8Th.net
>>152 補足
コンパクト性定理があるから（下記）、超準自然数系を考えても良いが、いまはそれは仮定していないからね
普通の自然数に無限大自然数は含まれないね
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2005-12-07 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
(抜粋)
●コンパクト性定理
モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。
・Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。
論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。
・Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。
応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。
コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り)
166:１３２人目の素数さん
16/11/05 21:27:49.74 rB//53Un.net
>>149
>>151
100列じゃなくて2列で話をするが
自然数全体の集合 N=1, 2, 3, 4, 5, ... があって偶数と奇数の2つに分けた場合
奇数全体 1, 3, 5, 7, ... はNと順序同型
偶数全体 2, 4, 6, 8, ... はNと順序同型
(キマイラ数列) 1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6, 8, ... はNと順序同型でない (2の直前の項は存在しない)
Nと順序同型ならば決定番号は有限の値をとり(説明は過去スレにある)
> 自然数全体の集合 N との間に全単射が存在する
数列の順序を変えないで固定してアタマから順番に自然数と対応付けていくと
1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6, 8, ... の場合はNと順序同型である奇数全体1, 3, 5, 7, ... のみ対応付けられる
(1, 1), (2, 3), (3, 5), ... , (n, 2n - 1), ... であるがこれは無限数列 an = 2n - 1であってキマイラ数列ではない
この無限数列an = 2n - 1の決定番号は有限の値をとる
167:１３２人目の素数さん
16/11/05 21:36:06.28 l70uwVZ9.net
>>152
> ああ、そうだね
> 間違いだね
> 言い直そう
>
> Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
> それで話は合うだろ？
合うだろ？って言われても何がなんだか。
結局何を言いたいの？
KはたしかにNと同じく可算無限だよ。それがどうした？
168:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 21:41:40.08 DzICE8Th.net
>>149-153
まあ、ここら時枝記事の>>114-116
けっこうはちゃめちゃなことをやっている
可算無限個の箱を、仮に１列にならべる
↓
可算無限個の箱を、仮に１００列にならべかえる
↓
可算無限個の数列を、しっぽで同値類分類
・
・
「しっぽで同値類分類」って、なにそれ？ という感じでね
まあ、puzzleとしては面白いよね
でもまあ、ここらで終わりでいいでしょ
169:１３２人目の素数さん
16/11/05 21:56:30.40 bYoSqjNE.net
はあ？コンパクト性は超フィルタが自然？
分かった風なこと言うなパーチクリン
被覆が自然なのが当たり前
170:
171:１３２人目の素数さん
16/11/05 22:05:09.73 l70uwVZ9.net
>>156
> けっこうはちゃめちゃなことをやっている
全然はちゃめちゃではない。
R^Nから100個のR^Nを作ることは構成的にできる。
記事の同値関係～も無矛盾。
> でもまあ、ここらで終わりでいいでしょ
俺もそう思う。お前は時枝問題を語るのをやめたほうがよい。
172:１３２人目の素数さん
16/11/05 22:51:17.53 wlZe4quV.net
>>135
ビデオの逆回しが可能だという主張は逆写像が存在するということしか述べておらず、集合としての同等を示しません
集合としての同等を示すには外延性公理からそれぞれの要素が等しいことを示し必要があります
ところが2×N、より正確にはω×2だけどこれはNではあるωとは異なります。
なぜならω∈ω×2ですが、ω∉ωだからです。
以上よりωとω×2は濃度としては同じですが集合としては異なります。
173:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 23:00:18.46 DzICE8Th.net
>>155
Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？
ここ（>>149）で言っていることは、決定番号の集合Ｋは数列の長さＮから影響を受けるということ
例えば、簡単にZ^Nで考えよう （Z^N⊂R^N。(本当は正整数で済むが、N^Nでは混乱するから）)
>>110でしたように、πを少数展開して、可算無限長の数列を考えよう。πから小数点を抜いた数列を作る。それをs(π)とする
s(π)∈Z^Nを認めるとしよう ∵πは超越数だから
>>110でしたように、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…だ
ここで、e＝ 2.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'’n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 27 が得られる。これから得られる数列をAとしよう
e＝ 1.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 17 が得られる。これから得られる数列をBとしよう
最後の数字７が一致しているから、同値で A～B。そこで、Aの同値類の代表をBと仮定する
100列のうちの一つの数列として、e＝ 3.7に変更したとして、同様にlim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37 が得られる。これから得られる数列をCとしよう
数列Cと代表Bの比較で、… 37と… 17とで、違いは、3と1のところだけ
とすると、決定番号がどうなるか？ πは超越数で無限桁だということを認めるとどうなる？
なにが言いたいかというと、Z^NにおけるＮの集合の性質が、決定番号の集合Ｋに反映されるということ
だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと
lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにしたい？
どうぞ、お願いします
lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにすれば、決定番号は大人しく有限で治まるでしょ
それが可能かも知れないということは否定しないよ
簡単ではない気がするけどね・・
私は面倒だから、逆らわないようにしますよ（＾＾；
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 23:01:36.11 DzICE8Th.net
>>157-159
はいはい、論文書いてね
１００年まっているよ（＾＾；
175:１３２人目の素数さん
16/11/05 23:03:53.79 rtb5aOQF.net
時枝は「普通の数列」でパラドクスが生じると言っている
「変な数列」を持ち込むまでもなくだ
時枝の戦略がうまくいかないことを言うには「変な数列」でなく「普通の数列」でなくてはいけない
スレ主は、そんなことも分かっていない
176:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 23:04:11.09 DzICE8Th.net
>>157
おいおい、ageるな！ このプロ固定やろう！
177:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/05 23:05:31.29 DzICE8Th.net
>>162
「普通の数列」と「変な数列」と
うまく定義できれば良いね
論文書いてね
１００年まっているよ（＾＾；
178:１３２人目の素数さん
16/11/05 23:07:28.38 wlZe4quV.net
決定番号が「何番か？」という問は順序的な性質であるにも関わらず
濃度レベルの同型を主張するスレ主は数学的な知識とセンスの両方が致命的に欠けている
179:１３２人目の素数さん
16/11/05 23:11:45.94 wlZe4quV.net
>>164
「普通の数列」とはωからRへの関数のことであり
「変な数列」とはωより大きな可算順序数からRへの関数のことである。
180:１３２人目の素数さん
16/11/05 23:25:05.04 l70uwVZ9.net
>>160
> だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと
>
> lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにしたい？
> どうぞ、お願いします
Z^Nにそういう数列は含まれない。なぜならZ^Nのindex
181:setはNだから。 "3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない。 だからこの数列はZ^Nの要素ではない。 つまるところ、スレ主はZ^NやR^Nの定義を再度確認しましょう、という話。 index set Nを勝手に拡大解釈してはいけません。
182:１３２人目の素数さん
16/11/06 01:51:14.08 hjVtC/th.net
スレ主以外みんなが分かり切ってることは論文にならない。新規性がないからね
むしろ、スレ主のトンデモなく新規性のある主張を論文にすべき
183:１３２人目の素数さん
16/11/06 02:21:40.55 HFEBVKW8.net
今日忙しくて全然読めてないんだけど、
＞つまるところ、スレ主はZ^NやR^Nの定義を再度確認しましょう、という話。
これが今日一日の結論？ なら読まなくて正解だった
184:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 08:03:46.04 ivLdkhn2.net
突然ですが、昨日「世界津波の日」。日本が提案したんだね
URLﾘﾝｸ(www.mofa.go.jp)
外務省: 「世界津波の日」の制定 2016年3月10日
(抜粋)
■「世界津波の日」制定を目指して
第3回国連防災世界会議で，我が国は，11月5日が日本の「津波防災の日」であることに触れ，世界中の防災意識の向上のため「世界津波の日」を制定することを提案しました。
「津波防災の日」とは，江戸時代後期，安政元年（1854年）11月5日に起こった安政南海地震に由来するものです。この大地震により紀伊半島に大津波が襲来した際，現在の和歌山県広川町で，村人が自ら収穫した稲わらに火を付け人々を高台に誘導したという「稲むらの火」という逸話に基づき定められました。
「世界津波の日」についても，過去に大きな被害が発生した日ではなく，早期警報と伝統的知識の活用によって人々の命が救われた成功例にちなんだ日であってほしいとの願いに基づき，「世界津波の日」の制定に向けての活動が始まり，日本が中心となって，各国間への支持要請が重ねられました。
また，日本国内においても有志国会議員が100か国を超える在京大使館を往訪し，働きかけるなど，本件への支持が確実に広がりました。
「稲むらの火」
稲むらの火 現在の和歌山県広川町の村民・梧陵（ごりょう）は，海水のひき方や井戸水の急激な減少により，大津波を予期。村民を避難させるため，自分の田んぼで収穫された稲わらに火を投じ，急を知らせ，村人を救ったとされる。
(引用終り)
185:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 08:30:40.13 ivLdkhn2.net
>>40 戻る
重箱の隅だけど、これπとeの少数展開で最後の桁間違っているね
誤
π＝3.14159265359…
ｅ＝2.71828182846…
正１（少数１５桁 >>6より）
π＝3.14159 26535 89793 ・・・
ｅ＝2.71828 18284 59045 ・・・
正２（少数１１桁に直すと）
π＝3.14159 26535 8…
ｅ＝2.71828 18284 5…
（注：…のない四捨五入の近似値としては、冒頭の数字が正しい。が、…つきの無限小数としての表記なら、上記であるべき）
186:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 08:37:20.43 ivLdkhn2.net
>>169
このくそプロ固定にも困ったものだ。稼ぎのためにすぐageたがる
187:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 09:20:53.69 ivLdkhn2.net
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>614 再録
数学セミナー201511月�
188:�P37 時枝記事に、次の一文がある 「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている. その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる. ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」 さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する 「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない. しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う. 現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ. だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう. 確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>176 より 再録 数学セミナー201511月号P37 時枝記事より 「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う. 確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…である. いったい無限を扱うには， (1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う， 二つの方針が可能である. 確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ. (独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.) しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう. n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって， その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら， 当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから. 勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる. ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 09:22:10.98 ivLdkhn2.net
>>173
補足
（引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
（引用終了）
これは、(1)無限を直接扱う を否定している。だから、残る選択肢は、(2)有限の極限として間接に扱う だ
ところが、上記で見たように、(2)有限の極限として間接に扱う と、無限数列のしっぽによる同値類分類は、相性がよくない
果たして、(2)有限の極限として間接に扱う で、無限数列のしっぽによる同値類分類が完遂できるのか？ 大きな問題だろう
190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 09:23:37.50 ivLdkhn2.net
>>160 もどる
自画自賛で悪いが
>>110のlim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…
これ自分で考えた装置だが、結構気に入った
eのところにいろんな数字を入れると、結構遊べる
例えば、e＝10/3=3.3333333…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 33333333…
例えば、e＝10/9=1.1111111…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 11111111…
例えば、e＝100/99=1.01010101010101…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 101010101010101…
100/99→1000/999とかいくらでも変えられる
そして、これらe＝ 2.718281828459…、10/3、10/9、100/99、・・・と変わると、しっぽが変わるから、同じ同値類には属さない
問題は、我々にこの差が見分けられるのか？だ
つまり、我々の日常のコーシー列では、これらe/10^nたちは、lim(n→∞) e/10^n→0。 つまりすべてゼロと見なして、問題ないから、無視できる存在なのだ
ところが、しっぽで同値を見るとなると、問題だ
191:本来のπ＝3.14159265358979… と、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n との区別がつくのかどうか？ 「式が違う」？ そうだ。式が違うから、式が分かっていれば、見分けがつく。しかし、数列しか見えないとしたら？ 上記e/10^nみたいなトリビアな存在が、しっぽにちょこっと付いている。それが見分けがつくのか？ そもそも、我々は、時枝がいうように、lim(n→∞)の極限を考えている 繰り返すが、>>110で示したように、コーシー列として扱うならこのようなトリビアな存在は問題ない。が、しっぽで同値を見るとなると、トリビアな存在が大きな問題になるのだった だから、無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないので困るよ
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 09:27:37.28 ivLdkhn2.net
>>117 戻る
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記３つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
補足
１）は、おそらく根本的な問題で、解決できないだろう。（１００列で99/10は導けない）
２）は、なんとかなるかもしれないが、結構難しいと思う
３）も、結構致命的かな
なお、lim(n→∞)の極限を考えるという話は、上記時枝記事>>173-174にある通り
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 09:53:13.80 ivLdkhn2.net
>>165-156
言っていることが分からないが
>>175で作った
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 33333333…
とか
「普通の数列」でしょ？
だって、lim(n→∞)として、極限を考えただけだから
これがだめなら、そもそも
π＝3.14159 26535 8…から作られる数列 s(π)＝3 14159 26535 8… （>>160） も「普通の数列」でなくなるよ（＾＾；
194:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 10:04:05.72 ivLdkhn2.net
>>167
>"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない。
lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37
で、lim(n→∞)として、極限を考えただけだよ
"添え字はNでは表せない"→その数列は扱わない？
だったら、そう定義したら？
それなら、最初の時枝記事（>>114-115）に戻りなさいよ
箱が可算無限個ある→１列に並べる→100列に並べる だった
最初の”可算無限個”の定義に戻るべし。”可算無限個”の定義で、「"添え字はNでは表せない"→その数列は扱わない」としたらどう？
でも、それで、１列（可算無限）に並べる→100列（可算無限）に並べる が実現できるかどうか？ そこをよく考えてね
あと、>>177ご参照
195:１３２人目の素数さん
16/11/06 10:13:50.46 HFEBVKW8.net
>>110
"数列の連結"なるものが定義できるのか？という問いへの答えの中で、"数列の連結"があたかも定義済みかの如く使っている
馬鹿の極み
196:１３２人目の素数さん
16/11/06 10:40:02.75 nJxS0NAD.net
>>178
＞lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37
このようなおかしな数列を「扱うか扱わないか」という話題と、
このようなおかしな数列が「Z^N の中で扱えるか」という話題とが
ごっちゃになってるな。
「扱うか扱わないか」で言えば、数列の空間を適切に構成すれば扱うことは可能。
ただし、Z^Nという空間の中に構成することはできない(理由は>>167そのもの)。
一方で、>>167がZ^Nにこだわっている理由は、スレ主が
＞なにが言いたいかというと、Z^NにおけるＮの集合の性質が、決定番号の集合Ｋに反映されるということ
＞だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと
このような発言をしたからだ。この発言は明らかに間違っていて、
Z^Nという空間の中で議論する限りは、スレ主が提唱するおかしな数列は存在しえないのだ。
まとめると、次のようになる。
・ スレ主が提唱するおかしな数列は、数列の空間を適切に構成すれば扱うことは可能。
・ ただし、Z^N の上で議論するなら存在しえない。
・ スレ主は Z^N の上で議論しているので、結局、おかしな数列は扱えない(自滅しているｗｗ)。
・ おかしな数列を扱いたいなら、Z^N ではない、別の空間を適切に構成しなければならない。
・ どのような空間を構成すべきかは、スレ主が自分で考えるしか�
197:ﾈい。
198:１３２人目の素数さん
16/11/06 10:42:54.76 6UoZYVsS.net
>>177
通常0.a_1 a_2 a_3…は
lim[n→∞]Σ[k=1,n]a_k/10^k
として意味を持つ。
ところがスレ主の書いてる「3.14…333...」は”…”が二回来てるためまだ意味を持っていない。まずそれを定義しろ
またlim[n→∞](π+e/10^n)=π=3.14…であり、スレ主の謎の記号である3.14…333...は登場しない
さらに14…333...という文字列はω+ωから{0,1,…,9}への関数なので、通常の数列ではない
199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 10:49:49.60 ivLdkhn2.net
>>178 補足
式を詳しく書くと>>160
e＝ 3.7に変更したとして、同様にlim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37
後半は e＝ 3.7でe/10^n＝0.0・・・037 （ 3は少数第ｎ位で、7は少数第ｎ+1位）。ここで lim(n→∞) を考えるだけ
前半は πn=：a1. a2a3a4a5・・・an （πの少数第ｎ-1位までの近似値）。ここで lim(n→∞) を考えるだけ
πn=：a1. a2a3a4a5・・・anを説明すると
例えば、πに収束する級数で分かり易い ライプニッツの公式を採用して （URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)）
π＝4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1) として、少数第ｎ-1位までの近似値として、エクセルのround関数 を使うと＊）
πn＝round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) と書ける。ここで lim(n→∞) を考えるだけ
だから、もとの級数は
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n （単純な二つの式の和であることにご注意。ここにe＝ 3.7 ） ここで lim(n→∞) を考えるだけ
「"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない」から、その数列は扱わない？？
そう定義するならそれもあり
だが、その定義では、最初の時枝記事で、箱が可算無限個あるとされる数列の中で、いったいどんな数列が生き残るのか？
＊）
エクセルのround関数説明：URLﾘﾝｸ(kokoro.kir.jp) 切り上げ・切り捨て・四捨五入：ROUND系関数--Excel・エクセル
なお、いうまでもなく、エクセルのround関数は単なる例で、これに限らない
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 10:51:59.16 ivLdkhn2.net
>>179
ageるなって、このプロ固定やろう！ そんなに稼ぎが大事か
201:１３２人目の素数さん
16/11/06 10:54:12.14 0YhMgXeu.net
>>182
> いったいどんな数列が生き残るのか？
答え：全てのR^Nが生き残る
202:１３２人目の素数さん
16/11/06 10:55:48.19 nJxS0NAD.net
>>182
補足もクソもない。そのようなおかしな数列は、R^N の中にも Z^N の中にも存在しえない
(扱うこと自体は可能だが、R^N や Z^N の中では扱えない)。
よって、そのようなおかしな数列が扱えるような適切な空間を構成するのが先。
スレ主はそこをすっ飛ばしているのでポエムにしかなってない。
＞だが、その定義では、最初の時枝記事で、箱が可算無限個あるとされる数列の中で、いったいどんな数列が生き残るのか？
N の元を添え字とする実数列(すなわちR^Nの元)が生き残り、
スレ主が提唱するおかしな数列だけが消滅する。
もともとおかしな数列であって単なるゴミだから、消滅しても全く問題ない。
203:１３２人目の素数さん
16/11/06 10:55:51.01 HFEBVKW8.net
>>182
これは酷い
204:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 11:19:21.35 ivLdkhn2.net
>>179
>>110は別に難しいことはやってないよ
普通の代数和を使って、無限列は極限 lim(n→∞) で処理しただけ
それは、>>173-174 時枝記事 (2)有限の極限として間接に扱うの方針通り
別のやり方で、下記のような定義も可能だ
π＝ 3.14159 26535 8979… ＝a1. a2a3a4a5・・・an・・・
ｅ＝ 2.71828 18284 5904… ＝b1. b2b3b4b5・・・bn・・・
ここで、πとｅの少数第n-1位までの部分数列を定義する
πn＝ 3 14159 26535 8979・・・an ＝a1a2a3a4a5・・・an
ｅn＝ 2 71828 18284 5904・・・bn ＝b1b2b3b4b5・・・bn
有限のモノイドの文字の連接（演算記号＊とする）を借りると
πn＊ｅn＝a1a2a3a4a5・・・an b1b2b3b4b5・・・bn
可算無限を考えるなら極限 lim(n→∞) を考えて
lim(n→∞) πn＊ｅn＝a1a2a3a4a5・・・an… b1b2b3b4b5・・・bn…
前半がπを表現し、後半がｅを表現する
この極限 lim(n→∞) は、大学数学では頻出テクでしょ
頭から連番が付かないから困る？
２つ添え字ijを使う。大学数学では頻出テク（>>61）
前半を(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・
後半を(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・
とする。これで無問題
可付番で、可算無限
205:だから、時枝記事の数列の定義に合う
206:１３２人目の素数さん
16/11/06 11:31:52.18 0YhMgXeu.net
大前提：時枝やHart氏はR^ωの元を考えている
［R^ωの定義を理解できないスレ主の脳内］
→箱の個数は可算無限。当然ωの濃度も可算無限。
→3.14159...2.71828...も可算無限の箱に入れられるではないか！
→このような数列も考えなければいけないはずだ！
→決定番号は有限値にならない！時枝は間違っている！（したり顔）
［スレ主に対する全員の突っ込み］
・それはR^ωの元ではない。R^(ω2)の元です。
・ωとω2は濃度としては可算無限で等しいですが、集合としては異なるものです。
・R^(ω2）を考えたいの？どうぞ勝手にやってください（・・・こいつ馬鹿じゃねーの？）
207:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 11:37:30.42 ivLdkhn2.net
>>184
>答え：全てのR^Nが生き残る
lim(n→∞) で
πを表現する数列S(π)=3 14159265358979…は生き残る
e＝ 3.7 でe/10^n＝0.0・・・037 （ 3は少数第ｎ位で、7は少数第ｎ+1位）を表現する数列S(e/10^n)=0 0・・・037は生き残る
だから、二つの和
π＋e/10^n＝3 14159265358979…37 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37は生き残る
ＱＥＤ
208:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 11:38:08.28 ivLdkhn2.net
>>186
ageるなって、このプロ固定やろう！ そんなに稼ぎが大事か
209:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 11:42:24.68 ivLdkhn2.net
>>185
>もともとおかしな数列であって単なるゴミだから、消滅しても全く問題ない。
おお、消滅定理か！ 論文かけるぞ！ どうぞ
100年まってるよ
210:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 11:44:56.10 ivLdkhn2.net
>>188
>・それはR^ωの元ではない。R^(ω2)の元です。
>・ωとω2は濃度としては可算無限で等しいですが、集合としては異なるものです。
話は逆で、R^ωの元から、R^(ω100)の元を作るのが、時枝記事だよ
211:１３２人目の素数さん
16/11/06 11:46:24.21 nJxS0NAD.net
>>189,191
何いってるんだこいつ。そこは
＞「"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない」から、その数列は扱わない？？
＞そう定義するならそれもあり
＞だが、その定義では、最初の時枝記事で、箱が可算無限個あるとされる数列の中で、いったいどんな数列が生き残るのか？
これが話の前提であって、「スレ主が提唱するおかしな数列を扱わない場合には何が生き残るのか」
っていう話なんだから、生き残るのは R^N の数列だけだろ。
だって、そもそも扱わないという前提の話なんだから。
論文が何だって？お前、日本語が読めないのか？
212:１３２人目の素数さん
16/11/06 11:50:26.19 nJxS0NAD.net
「扱わない」という前提の話に対して「扱った場合」の結論を持ってくるアホｗ
何の反論にもなってないし、そもそも数学以前に日本語の問題ｗ
消滅定理が何だって？バカじゃねーの。
213:１３２人目の素数さん
16/11/06 11:57:28.29 HFEBVKW8.net
>>187
全く分かってないようなので具体的に教えてやろう
まず
3.14159265358979… 2718281828459…
なるものが未定義（これが定義できないというのがそもそもの問題）
にもかかわらずお前は
＞ここで、数列 2718281828459…をπ＝ xの後ろに連結すると
＞z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…
などと訳の分からないことを言っている
そして仮に
3.14159265358979… 2718281828459…
なる実数（≠π）が定義できたとして
lim[n→∞]π'n=π≠3.14159265358979… 2718281828459…
ゆえにお前は何重にも間違ってる。そもそも基礎が全くわかっていない。
214:１３２人目の素数さん
16/11/06 11:59:06.44 0YhMgXeu.net
>>192
> 話は逆で、R^ωの元から、R^(ω100)の元を作るのが、時枝記事だよ
あのさぁ。
［時枝の話］
R^ωの元から100個のR^ωを作り、その100個のR^ωを扱う。
［スレ主の話］
R^ωの元から1個のR^(ω100）を作り、1個のR^(ω100）を扱う。
この二つが違うことくらい分かるでしょう？
R^(ω100）の元だって"作る"ことは可能だよ？
だけど時枝の記事はそんな元を"扱わない"って言ってるんだよ。
215:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:04:40.16 6UoZYVsS.net
>>189
スレ主の使ってるSという関数は実数xに対してその10進数無限小数展開を対応させているものだ
nが自然数であるときπとe/10^nは実数として足すことができる。その演算結果を3.14 a_4 a_5 ...とすると
S(π+e/10^n)=3.14… a_4 a_5 …であって
3.14…37ではない
またスレ主はπの10進数小数展開において小数第n-1位で区切ったものをπ_nとしてS(π+e/10^n)=3.14…(n-3個の数字) 37とした。
これ自体は正しいがここから安易にlimというものを考えるには注意が必要となる
単なる10進表記として見る場合3.14…(n-3個の数字) 37のn→∞の極限は3.14…となりπそのものである
しかし3.14…(n-3個の数字) 37を単なる文字列として見た場合はそのn→∞の極限というのはまだ考えられていない
一つの解決策はn+2におけるnをωに取り替えてω+2と思うことだが、こうすると10進表記という元々の意味合いが失われる
スレ主が安易に極限操
216:作なるものが成立し、それが実数の中で保存されると思ったのが間違いである。
217:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:08:28.08 nJxS0NAD.net
>>189,191
もしかしてこのバカは、
・「扱わない」という前提のもとでも「扱える」ことが帰着される
とでも言いたいのだろうか？
だとしたら矛盾が生じるから、スレ主は自滅する。
もし「扱える」ことが帰着されるのなら、最初から R^N の中で考えればいいのであり、
R^N で考えても「扱える」ことが帰着されることになる。
しかし、既に述べたように、R^N の中では「扱えない」ので矛盾する。
スレ主のおかしな数列を扱うには、スレ主自身が>>187で書いているように、
２つ添え字ijを使うなどして、R^Nから はみ出した別の空間を用意しなければならない。
結局、>>189,191 が何を言いたいのか全く意味不明。
「扱わない」という前提の話に対して「扱った場合」の結論を持ってくる、日本語の読めないアホ
としか言いようがない。
218:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:18:47.90 0YhMgXeu.net
>>82で言ったとおり、
・自覚がないが悪意もない馬鹿（＝誤答おじさん）はマシ。
・非誠実で悪意のある馬鹿（＝スレ主）は最悪。
このスレ主の場合、単なる馬鹿ではなく、
スレを伸ばすために役者を演っている可能性もある。
いずれにせよ数学板で論理を解さない人間がデカイ顔をすると
どうにも始末に負えないという典型例。
関わった人間全員が時間を浪費。
儲かるのはad業者とプロ固定のみ。
219:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:32:00.17 ivLdkhn2.net
>>192 追加
>>188
>・それはR^ωの元ではない。R^(ω2)の元です。
そうそう、>>160と>>189に書いたが、e＝ 2.718281828459…の桁数を落として、２桁にした
だから、このモデルではR^(ω2)の元ではない。R^ωの元になるよ
lim(n→∞) で >>160のように
π＋e/10^n＝3 14159265358979…37 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37
これは、明らかにR^ωの元 （エクセルのround関数による定義は>>182で説明の通り）
e＝ 1.7に変更とすると
π＋e/10^n＝3 14159265358979…17 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…17
これも、明らかにR^ωの元 （上記に同じ）
なお、エクセルのround関数による定義は>>182の通り
これで、R^ωの元 だということは、ご納得頂けるだろう
そこで、>>160にも書いているが、
lim(n→∞) で、数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…17 を代表として、S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37 を100列のうちの一つの数列とする
決定番号や如何に？ 二つの比較で、… 17と… 37とで、違いは、1と3のところだけ
とすると、決定番号がどうなるか？ πは超越数で無限桁だということを認めるとどうなる？
決定番号が決められない？ だから、この数列は排除？
これ、R^ωの元だよ。排除して、何が残る？
220:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:33:33.74 ivLdkhn2.net
>>195
上げるなって、プロ固定！
221:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:37:34.77 ivLdkhn2.net
>>195
混乱している
普通に我々が実数をコーシー列で考えている場合は、自然にユークリッド距離が入る
ユークリッド距離を前提として
3.14159265358979… 2718281828459…はπに収束するよ
222:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:38:15.78 nJxS0NAD.net
>>200
＞π＋e/10^n＝3 14159265358979…17 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…17
＞これも、明らかにR^ωの元 （上記に同じ）
eの方を2桁にしても無駄。これはR^ωの元にならないよ。
なぜなら、「3 14159265358979…17」における末尾の「17」は、
"無限桁目" とでも表現すべき桁にしか出現しえないから。
そのようなシロモノはR^ωの元にならない。
223:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:39:09.42 ivLdkhn2.net
>>196
じゃ、>>200はどうだ
すべて、R^ωの中だ
224:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:42:13.36 ivLdkhn2.net
>>203
それは、極限lim(n→∞) を考えないという意味？
意味不明だね
円周率πを表現する数列は？
極限lim(n→∞) を考えない？
極限lim(n→∞) を考えないで
円周率πを表現する数列に関する同値類分類をどうやって実現するんだ？
225:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:42:28.09 nJxS0NAD.net
>>204
＞すべて、R^ωの中だ
間違っている。「3 14159265358979…17」における末尾の「17」は、
"無限桁目" とでも表現すべき桁にしか出現しえないので、
R^ωの元にならない。
226:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:45:16.97 ivLdkhn2.net
>>198
いみ分からん
話が哲学すぎて
論文書いてきくれ
100年待っている
追伸
>>200で、すべてR^Nに収まるモデルを作ったよ
なお>>205も見てね
227:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:45:27.32 nJxS0NAD.net
>>205
バーーカ。
普通の10進法展開で普通にπを無限小数展開すると
π＝3 14159265358979…
となり、これに対応する R^N の中の数列を x とすると、これは
x_1
228:＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, … などとなり、R^N の中で扱える。一方で、お前が考える 「3 14159265358979…17」を R^N の中の数列として表現しようとすると、 それを y とでも置けば y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, … などとなり、末尾の「17」を表現する y_i が i∈N の範囲では存在しない。 だから、お前の考える 「3 14159265358979…17」は R^N の中では存在し得ない。
229:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:46:00.36 ivLdkhn2.net
>>206
つー、>>205
230:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:51:58.82 ivLdkhn2.net
>>208
ふーん、>>182で書いた、エクセルのround関数を使った式がわからんと？
lim(n→∞)
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n （単純な二つの式の和であることにご注意。ここにe＝ 3.7 ） >>182
πがR^N の中で扱える
その通り
同じ理由で、3 14159265358979…17 もR^N の中で扱える
だって、lim(n→∞) しか使ってないから
231:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:54:11.70 nJxS0NAD.net
>>210
だからさあ、「3 14159265358979…17」という数列が R^N の元だと
言い張るのなら、具体的にこれを y∈R^N の表記で記述してみろよ。
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
こうなるしかないんだから、末尾の「17」を表現する y_i が i∈N の範囲では存在しないだろ。
お前の考える 「3 14159265358979…17」は R^N の中では存在し得ないんだよ。
もしかしてお前、
・ π ∈ R
・ (πの10進法展開に対応する数列) ∈ R^N
の2種類を混同してるんじゃないだろうな？
とにかく、お前の考える 「3 14159265358979…17」は
R^N の中では存在し得ないことは明白だぞ。
232:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:56:55.30 ivLdkhn2.net
>>197
＞一つの解決策はn+2におけるnをωに取り替えてω+2と思うことだが、こうすると10進表記という元々の意味合いが失われる
>>182を見てね
エクセルのround関数を使った式で
lim(n→∞)
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n （単純な二つの式の和であることにご注意。ここにe＝ 3.7 ） >>182
とした
だから、ω+2不要だよ
233:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:57:51.99 nJxS0NAD.net
>>210
＞πがR^N の中で扱える
＞その通り
＞同じ理由で、3 14159265358979…17 もR^N の中で扱える
＞だって、lim(n→∞) しか使ってないから
やっぱりお前、
R における極限値の意味での π ∈ R と、
(πの10進法展開に対応する数列) ∈ R^N とを
混同してるんじゃないのか？
ある数列が R^N の元であるか否かは、N から R への写像によって
その数列が表現できるかどうかで決まるんだぞ。
「3 14159265358979…17」という数列が R^N の元だと言い張るのなら、
具体的にこれを y∈R^N の表記で記述してみろよ。
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
こうなるしかないんだから、末尾の「17」を表現する y_i が i∈N の範囲では存在しないだろ。
お前の考える 「3 14159265358979…17」は R^N の中では存在し得ないんだよ。
234:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:57:56.66 ivLdkhn2.net
>>211
それは決定番号が決められないから、都合悪い
そういう主張と同じだよ
235:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 12:58:49.64 ivLdkhn2.net
>>213
つー、>>214
236:１３２人目の素数さん
16/11/06 12:59:22.33 6UoZYVsS.net
>>210
とりあえず極限操作をしたいのであれば位相を入れることから始めよう
通常のユークリッド位相であれば
3.14…(n-3個の数字) 37 →3.14…
となり末尾の37は消え失せる
数列空間にどんな位相を入れ
3.14…(n-3個の数字) 37 →3.14…(ω個の数字)37
を導いたのか、それをまず定義する必要がある
237:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:02:19.96 nJxS0NAD.net
>>214-215
何いってるんだこいつ。
都合が悪いんじゃなくて、R^N の定義に照らし合わせると
3 14159265358979…17 ∈ R^N
が「成 り 立 た な い」と言ってるんだよ。もし
3 14159265358979…17 ∈ R^N
が成り立つと言い張るのなら、末尾の「17」を表現する y_i の「i」は
一体いくつなんだよ。i＝∞ とでも表現するしかないだろ。
そのような i は i∈N を満たしてないんだから、
3 14159265358979…17 ∈ R^N は成り立たないだろ。
このような現象は、都合がいいとか悪いとかじゃないだろ。
お前がいうところの
3 14159265358979…17 ∈ R^N
という主張が「間違っている」という話だろ。バーーカ。
238:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:02:21.39 ivLdkhn2.net
>>193
つー、>>200
239:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:03:12.37 6UoZYVsS.net
>>212
答えになってない
通常ユークリッド位相の極限としてみると末尾の37は消えるから、その意味でR^ωで閉じてる
しかしスレ主は末尾の37を残してしまったがために、よく分からない位相を考えさらにω+2を用意せざるをえなくなった
240:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:05:23.09 ivLdkhn2.net
>>217
その理屈だと、無限小数πを表現する無限数列について
同値類ができなくなる
時枝問題は
無限小数πを表現する無限数列の同値類分類との両立が求められている
241:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:06:46.91 0YhMgXeu.net
>>204
> じゃ、>>200はどうだ
> すべて、R^ωの中だ
>>200
> π＋e/10^n＝3 14159265358979…37 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37
> これは、明らかにR^ωの元 （エクセルのround関数による定義は>>182で説明の通り）
スレ主の間違い。314159265358979…37はR^ωの元ではない。
これはR^(ω+2)の元であり、R^ωの元ではない。
ここでindex set ω,ω+2はそれぞれ
・ω＝N＝{1,2,3,...}
・ω+2＝{1,2,3,...,ω,ω+1}である。
314159265358979…37の"3","7"のindexはそれぞれ"ω","ω+1"である。
242:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:09:27.36 ivLdkhn2.net
>>219
>通常ユークリッド位相の極限としてみると末尾の37は消えるから、その意味でR^ωで閉じてる
Yes
>しかしスレ主は末尾の37を残してしまったがために、よく分からない位相を考えさらにω+2を用意せざるをえなくなった
おれは、別に位相や距離は考えていないが
”よく分からない”という批判は時枝のしっぽの同値類分類にこそある
本来、ユークリッド位相の極限としてみると消えるべき末尾で同値類分類をするというのだから
批判はそっくり時枝記事に行くよ
243:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:09:36.08 nJxS0NAD.net
>>220
同値類は R^N の中で普通に定義可能だろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
過去スレに何度も「～」という記号で具体的な定義つきで貼られてただろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
お前も最初はヘンな数列を持ち出さずに R^N の中で普通に議論してただろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
244:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:13:24.19 ivLdkhn2.net
>>221
その批判は成り立たないよ
>>182の式をよく見てね
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n >>182
これと
π'n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1)
は数式としては、その性質において差はないよ
だから、後者がωなら前者もωだよ
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:14:07.92 ivLdkhn2.net
>>223
どうぞ論文を
100年まってますよ
246:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:18:38.00 6UoZYVsS.net
>>222
しっぽの同値類はx,y∈R^ωに対して
x~y⇔(def)∃n∈ω,∀m>n,π_m(x)=π_m(y) ただしπ_m:R^ω→Rはm番目の標準射影
としてR^ωの中で完結している
消えるべき末尾での同値類なんて時枝は取っていない
247:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:19:56.55 nJxS0NAD.net
>>225
以下の3行は、過去スレから拾ってきたものである。
＞実数列の集合 R^Nを考える.
＞s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう
＞(いわばコーシーのべったり版).
ほらね、R^N の中だけで普通に同値類が定義できてるじゃん。
これでスレ主は完全に論破された。
・ R^N の中だけで普通に同値類は定義できる。
・ 3 14159265358979…17 ∈ R^N は成り立たない。どの理屈を採用するかではなく、これは完全に成り立たない。
248:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:20:12.72 ivLdkhn2.net
>>216
その批判こそ、時枝の>>114-115
に当てはまる
>>114-115で位相は定義されていないよ
そして、無限数列のしっぽで同値類分類をするという
そこから、決定番号を導くところで破綻していると思うよ
249:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:20:42.26 ivLdkhn2.net
>>227
つー>>228
250:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:22:00.90 6UoZYVsS.net
>>228
時枝は>>114-115でlimなんて持ち出していないから当然位相なんて考える必要ない
しかしスレ主は反例構成においてlimを使ってるのでそのlimは何かと聞いている
251:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:23:00.64 0YhMgXeu.net
>>224
> π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n >>182
> これと
> π'n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1)
>
> は数式としては、その性質において差はないよ
>
> だから、後者がωなら前者もωだよ
ほう。
じゃあ自分自身で導いた矛盾を自分自身で何とかしたまえよ。
前者でR^ωの元314159265358979…37が生じるというなら、
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみなさい。
252:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:27:38.37 nJxS0NAD.net
>>228
「 R^N の中だけで普通に同値類が定義できる」という話をしているのに、
「そこでは位相が定義されていない」という返答では意味が通らない。
まさか、同値類を定義するのに位相が不可欠だと勘違いしているのか？
同値類を定義するのに位相は全く必要ないよ。
だから、お前のレスは何の反論にもなってない。
253:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:30:50.10 ivLdkhn2.net
再録＆修正>>176
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記３つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来
254:の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ 補足 １）は、おそらく根本的な問題で、解決できないだろう。（１００列で99/10は導けない） ２）は、なんとかなるかもしれないが、結構難しいと思う ３）も、結構致命的かな。同値類を分類と決定番号の有限が両立しないように思う なお、lim(n→∞)の極限を考えるという話は、上記時枝記事>>173-174にある通り
255:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:31:54.00 ivLdkhn2.net
>>233
上記２）と３）ばかり議論されているようだが、１）の問題もあるわけで。
結局、時枝記事の解法は成立しないと思う
256:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:34:55.81 ivLdkhn2.net
>>232
>>216の文脈で回答しているよ
位相の話も相手から出た話だよ
257:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:36:21.53 ivLdkhn2.net
>>231
それは自己都合の論理だよ
その質問はこちらがする問いだよ
代表番号で困るだろ
258:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:38:12.07 HFEBVKW8.net
>>202
＞3.14159265358979… 2718281828459…はπに収束するよ
お前わざとボケてるだろｗ
3.14159265358979… 2718281828459… が未定義、すなわち「存在しないモノ」だと言ってるんだよ
存在しないモノが収束もへったくれもあるかボケ！
反論があるなら先ず 3.14159265358979… 2718281828459… なるモノを定義しなさい
話はそれからだ
259:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:40:15.96 HFEBVKW8.net
先に言っておくが
lim[n→∞]π'n=πだから
3.14159265358979… 2718281828459…:=lim[n→∞]π'n
などという定義は無意味だぞ？
260:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:42:48.70 ivLdkhn2.net
>>230
時枝は、>>173-174で、無限を(2)有限の極限として間接に扱う と言っている
そして、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる” （注 (1)無限を直接扱う）
だから、” (1)無限を直接扱う”は否定されているのだから
可算無限個の箱の扱いは、必然(2)有限の極限として間接に扱うとならざるを得ないよ
そして暗に使っているだろ
”いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.”
とある
二つしか方針はないのだから
261:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:42:57.10 nJxS0NAD.net
>>235
お前は >>229 において、>>227 に対しても同一の >>228 を押してきただろ。
しかし、>228 は >227 に対する反論になってない、と言っているのだ。
なぜなら、>227 は「 R^N の中だけで普通に同値類が定義できる」という話であり、
一方で >228 は「そこでは位相が定義されていない」という返答だからだ。
これでは意味が通らない。
もう一度言うが、同値類を定義するのに位相は全く必要ない。
そして、>>227 において、R^N の中だけで普通に同値類が定義できている。
この明確な事実に対して、お前は何にも反論できてない。
262:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:43:48.61 0YhMgXeu.net
>>236
> >>231
> それは自己都合の論理だよ
> その質問はこちらがする問いだよ
> 代表番号で困るだろ
意味不明。俺は代表番号など話題してない。
>>224
> π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n >>182
> これと
> π'n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1)
>
> は数式としては、その性質において差はないよ
>
> だから、後者がωなら前者もωだよ
と言ったお前に対して、自分自身で導いた矛盾を
自分自身で何とかしたまえ、と言っている。
前者でR^ωの元314159265358979…37が生じるというなら、
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみなさい。
263:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:44:59.59 ivLdkhn2.net
>>237
定義は終わっているだろ
それが２ωだとか言いたいんじゃないの？
で、>>200だよ
264:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:47:57.86 nJxS0NAD.net
>>233
＞３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
＞ lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
従来から存在する普通の数学である。
また、R^N の中に lim(n→∞) の話は出てこない。
スレ主は、10進法展開 0.x_1x_2x_3…∈R を数列(x_1,x_2,x_3,…)∈R^N に対応させるところで
R と R^N を混同している。10進法展開 0.x_1x_2x_3… には R の位相が必要だが、
数列(x_1,x_2,x_3,…) に R^N の位相は全く必要ないのだ。
にも関わらず、なぜかスレ主は「 R^N にも位相が必要で、位相がなければ同値類すら定義できない」
と勘違いしている。
265:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:49:43.68 nJxS0NAD.net
>>242
＞で、>>200だよ
その >>200 には間違った主張が含まれている。>>200 では
3 14159265358979…17 ∈ R^N が成り立つ
と言っているが、これは成り立たない。
どの理屈を採用するかではなく、これは完全に成り立たない。
都合がいいとか悪いとかではなく、数学的な事実として、
これは成り立たない。スレ主が間違えている。
266:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:49:47.01 0RehzJJ1.net
>>199
おっちゃんです。
私とスレ主との比較はしないでくれ。
確か、一番はじめに時枝問題の初等的な解法を見つけたのは私だった筈だ。
何で確率の話がモノイドの話になっているんだよ。
私がよく分からないというか自信が持てないのは、無限集合への排中律の使い方だ。
267:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:50:16.28 ivLdkhn2.net
>>241
矛盾でもなんでもないだろ？
"3"と"7"の添え字が具体的数字で示せないから、数列が存在しない？
そんな理屈では、πが有限小数になったりしちゃうだろ？
無限小数わかります？
1/3って、何桁の数？
1/3って、Ｒ＾ωの元じゃないのか？
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:51:21.54 ivLdkhn2.net
>>244
論文にしてね
100年待っているよ
269:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/06 13:52:37.40 ivLdkhn2.net
>>245
おっちゃん、どうも。スレ主です。
時枝問題の初等的な解法って・・・
それで終わりなら、数セミの記事にならんよ
270:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:53:07.69 6UoZYVsS.net
>>239
時枝は無限個の確率変数の独立性に極限を用いただけで、同値類においては用いていない
271:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:54:21.83 nJxS0NAD.net
>>233
＞２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
＞ （可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
R^N の中で考えれば全く困らない。
なぜなら、R^N の中にキマイラ数列は全く存在しないからだ。
もちろん、R^N の中で同値類を定義することは普通に可能だし、
そのときに位相は全く必要ない。時枝の記事は R^N の中で
普通に完結している話であり、キマイラ数列などという
ゴミを持ち出す必要性がない。
勘違いのないように補足しておくと、キマイラ数列が存在しない、
といっているのではなく、キマイラ数列というゴミを持ち出す必要性がない、と言っている。
それでも敢えてキマイラ数列を持ち出すことは不可能ではないが、
そんなのスレ主だけが勝手に吠えていればいい、という話。
そんな中でスレ主は、
「いや、キマイラ数列は R~N の中にも存在しているのだ」
という明らかなウソをついているから話がこじれているのだ。
272:１３２人目の素数さん
16/11/06 13:56:43.44 nJxS0NAD.net
>>247
3 14159265358979…17 ∈ R^N が成り立つと仮定する。
具体的に y∈R^N による表記で記述してみる。とりあえずは
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
と記述できる。では、末尾の「17」は、一体どの y_i で出現するのか？
明らかに、i∈N の範囲では「17」は出現しない。
しかし、y の添え字は N の元のみである。
よって、この y は
y ＝ 3 14159265358979…
しか表現できておらず、末尾の「17」を表現する手段が存在しない。よって、
3 14159265358979…17 ∈ R^N
は成り立たない。以上により、スレ主は論破された。
273:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:00:08.83 HFEBVKW8.net
>>242
いつ定義したんだ？レス番号教えて？
274:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:05:49.78 0YhMgXeu.net
>>246
> そんな理屈では、πが有限小数になったりしちゃうだろ？
は？ならないよ。
> 無限小数わかります？
>
> 1/3って、何桁の数？
>
> 1/3って、Ｒ＾ωの元じゃないのか？
R^ωの元とみなせるよ。
お前はいつまで目をそむけ続けるの？
314159265358979…37がR^ωの元だというなら
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみろよ。
お前以外の全員はそれがR^ωの元ではないことを知っている。
R^ωの元だと仮定すれば、"3"のindexはNの元kで表される。
Nの元はすべて有限値なので、kも有限値。
このとき314159265358979…の桁数は有限個となり矛盾が導かれる。
それともお前は314159265358979…を有限個のつもりで書いているのか？ｗ
275:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:09:12.04 HFEBVKW8.net
ここ二か月くらい堂々巡りだなｗ
二か月かかって何の進歩も無いスレ主ｗ
276:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:14:17.76 nJxS0NAD.net
結局スレ主は、時枝の記事が R^N の中だけで完結されてしまうと困るんだろうな。
なぜなら、R^N の中には "キマイラ数列" が存在せず、スレ主が提唱するキマイラ数列の
出番がなくなるからだ。
我々の認識としては、
・ 時枝の記事は R^N の中だけで完結している。
・ キマイラ数列を提唱して時枝の記事を再考察したいなら勝手にどうぞ(バカじゃねーの)
という感じだ
277:が、これだとスレ主としては、 ハシゴを外された形になって気に食わないのだろう。だから、 ・ R^N の中にもキマイラ数列は存在しており、キマイラ数列は時枝の記事に不可欠だ ということにして存在感をかもし出したいのであろう。 もちろん実際には、R^N の中にキマイラ数列は全く存在しないわけだが。
278:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:17:05.16 0YhMgXeu.net
>>254
とにかくスレが伸びることが重要なんだろうよ。
馬鹿レスで人間を釣るのがこいつの仕事。
度重なる長文コピペの目的を考えてもみろ。
2chは俺のメモ帳だ、とか見え透いてるだろｗ
いずれ埋もれて参照できなくなる2chより
自分の手元のメモ帳のほうがいいに決まってるｗ
とにかくさっさと500kB超えして、
時枝氏でもHart氏でも何でも利用できるものは利用して
スレを伸ばしに伸ばしまくる。それがスレ主の土日の副業。
279:１３２人目の素数さん
16/11/06 14:37:50.31 hjVtC/th.net
>>233
> １）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
何度も言うが「決定番号の確率分布」なんてもの、時枝の戦略とは何の関係もない
何の関係もないものがどうなっていようが、全く時枝の戦略の成否と関係ない
スレ主は「決定番号の確率分布」が時枝の戦略に関係することを示さなければならないのに、それができないでいる >>74
280:１３２人目の素数さん
16/11/06 15:01:16.34 HFEBVKW8.net
>>256
だな、逆にガチなら相当ヤバいｗ
281:１３２人目の素数さん
16/11/06 15:13:13.99 knf0VEs3.net
決定番号ってどう決まるんだっけ
代表元を選んでおいて同値類からひとつ取り出したときにそのふたつを見比べて決まるんだっけか
282:１３２人目の素数さん
16/11/07 17:26:37.58 pQP5HMiI.net
URLﾘﾝｸ(this.kiji.is)
夜中になると…看護師がわしのチンポしごうきよる。。。
わしは！両手両足拘束されてから、チンポは立ちっぱなしじゃあああ！
そのまま、朝の看護師さんが回って来る。ワシちゃう！ちゃうよ？
拘束されたまま、新しい一日がはじまる。
283:１３２人目の素数さん
16/11/08 10:49:27.30 ZPMSEH3Y.net
おっちゃんです。
論理のゲーデルの完全性定理や不完全性定理とかについて書かれている
啓蒙書っぽいモノを読んで少しは分かった。
>>91の
＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
の部分は取り消しで、やはりはじめからやり直し。
個別の対象に対して背理法を用いるときは、その対象に依存した性質
を用いないといけないことは分かった。
>>94の
>＞ディオファンタス近似の理論が正しい以上は、
>＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
>の部分は変わりがない訳だが。ディオファンタス近似の理論の有名な定理に、
>与えられた有理数xに対して |x－p/q|＜1/p^2 となる
>既約分数p/qは高々有限個しか存在しない、
>というのがあるが、よく考えると、有理数の稠密性を認める限りは、
>この定理が偽であることが構成的に証明出来る。
の話も取り消しで、これはトンデモだった。
やはりあの背理法の論法が正しかった。逆に、ディオファンタス近似
の理論で、何か直観に反する結果が得られたことになる。
だけど、啓蒙書っぽいモノには、数学を学ぶ人は誰でもゲーデルの完全性定理を知っている云々
と書かれていたが、果たしてそんなモノなのかい？ その証明まで分かるのか？
284:１３２人目の素数さん
16/11/08 22:46:06.09 sDGdw7XG.net
>>261
俺は知らないよ
周りのやつらも知ってるようには見えない
285:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:10:04.99 CRbt3jrT.net
レベル合わせをしておこう
現代数学は、無限を扱うことができる
１）無限について
URLﾘﾝｸ(c-faculty.chuo-u.ac.jp)
西岡國雄の頁 中央大
URLﾘﾝｸ(c-faculty.chuo-u.ac.jp)
「数学入門」の「無限」西岡國雄 中央大 2015
”現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う点にあるが, 例題1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱うには特別の注意が必要である.”
”可算無限(アレフゼロ) と呼ぶ( 「N の濃度はアレフゼロ」)”
”1.3 有理数から実数へ “有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質(1.7) を備えたものの極限全体を考え, それを実数R とよぶ.”（いわゆるコーシー列）
２）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) より
２'）∞は無限を示す記号である。数字の8を90度回転したような記号である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
３）公理的集合論：現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理と選択公理
４）極限 ”無限遠点における挙動 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) と表す。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
５）超限帰納法 ”数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
つづく
286:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:10:25.56 CRbt3jrT.net
>>263 つづき
６）なので、例えば有限集合について定義された２項演算＊を、無限の要素を含む２項演算に拡張することはよく行われる。数学的帰納法や極限を使って
７）集合の和（合併）∪なども、普段意識しないが、その類い。
８）順序集合ならば、合併は連接と見ることもできる。
９）文字集合を台集合とする有限のモノイドについて定義された２項演算＊連接を、無限の要素を含む２項演算に拡張することは、数学的帰納法を使えば容易だろう
287:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:11:07.85 CRbt3jrT.net
>>264 つづき
さて、
１）数列とくれば収束という条件反射が、みなさんにも形成されているだろう いわゆるコーシー列
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 数列
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) コーシー列
２）>>200や>>233で示したのは、コーシー列との比較で、時枝のしっぽによる無限数列の同値類を考えてみたのだった
３）数列のしっぽによる同値類。数列のしっぽとは、極限すれば最後の数。有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない
４）これを、時枝記事で見ると、>>114「箱が可算無限個ある」から、�
288:ｱれは先のレベル合わせでいう、可算無限(アレフゼロ) 。無限大記号∞。ここはしっかり押さえておこう。定義だから ５）可算無限個の箱を、>>115「100列に並べる」。そして、各列のしっぽによる同値を決める。>>114 ”「決定番号」を決める”という つづく
289:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/11/12 07:11:45.49 CRbt3jrT.net
>>265 つづき
６）あきらかに、可算無限における”ヒルベルトの無限ホテル”>>51や”デデキント無限”>>116 の性質を使っている
７）さて、数列のしっぽによる同値類で、有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない。極限 lim n→ ∞ を考えれば、可算無限数列に拡張できる
８）時枝記事の可算無限個ある箱から、先に３つ取っておく。名前を付ける。X,Y,Zと。
９）数列の先頭に、X 後ろにYZを置く。その間に順次残りの箱を入れて行く（数学的帰納法）。X ・・・YZという数列ができる。
１０）Y→Y'に変えて、別にX ・・・Y'Zという数列を考えよう。YとY'には別の数が入っているとする。X とZには同じ数。”・・・”の部分は同じとする。”・・・”の部分は、可算無限。
この場合、X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、同じ同値類に属する。決定番号は、Y（ あるいはY'）の部分で決まる。つまり、 ∞ 。
１１）この二つの数列X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、あきらかにR^N の中
おわり