現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22at MATH

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22 - 暇つぶし2ch484:ﾀ際に行えるようになっているので、それらを実行してみて変なところがないか探してみる。代表系を構成的に作るには、代表元を循環節のみからなっている有理数の中で最小のものとすればよい。プレーヤー１（アリスとしよう）は、[0,1]内の有理数つまり可算集合から選ぶので、ちゃんと確率分布（ポアソン分布とか）を設定できる。（このことはちゃんと確率を計算できることを言っているだけで、パラドクスとは無関係。）プレーヤー２（ボブとしよう）が、箱を分けることも問題なく実行できる。しかし、次にボブが箱を開けて部分数字列を得たとき、それからその同値類を決定できるだろうか？通常の数学では、同値類の定義から（超越的に）決定できる（とする）。だが、実際（構成的）には、無限個を見渡すことができないのだから、決定はできない。頭の方から順に見ていって循環が始まったように見えても、それがいつ破れるかもしれないのだ。ここに、このパラドクスの源泉があると思われる。もし同値類を決定できるならば、決定番号を求めることなどは構成的にできるので、この後も戦略はうまくいって、確率 1-εで当てることができることが計算できる（はず）。面白いのは、アリスは部分数字列の同値類を構成的に決定できること。それは、もともとの有理数を知っているから、部分数字列の有理数を決定することができるからだ。つまり、正解を知っているアリスは戦略を実行でき、知らないボブは実行できない。なんとも皮肉であるが、常識的だといえる。 GAME1 でも、構成的にできることはほとんどなくなるが、やはり「数列の同値類が決定できるとするか否か」がポイントなのではないだろうか。

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