15/08/15 13:39:55.83 rgWBYea6.net
>>142
fは上に非有界としないとE_∞が空になって意味がないから書き直そう。
E_{n,k}、n≧1,k≧0は可算集合になって、特性関数χ_{n,k}、n≧1,k≧0が取る値は0に限るから、
g_n(x)≦f(x)≦h_n(x) for all n≧1,x∈X の部分が nχ_∞(x)≦f(x)≦∞χ_∞(x) for all n≧1,x∈X と書ける。
以下、可測関数f：X→[0,+∞]が「上に非有界、E_∞は非可算」として話を進める。
「E_∞」の特性関数χ_∞について或るx∈「E_∞」に対してχ_∞(x)＝1とすると、
n→+∞のときnχ_∞(x)→+∞になり矛盾が生じるので、任意のx∈「E_∞」に対してχ_∞(x)＝0になる。
なので、「E_∞が可算集合」となるようなfを考えていることになって、nχ_∞(x)≦f(x)≦∞χ_∞(x) for all n≧1,x∈X
の部分はf(x)＝0 for all x∈Xになる。そんな訳で、少なくともE_∞が非可算となるような
非可算な可測集合X上で定義される上に非有界な可測関数f：X→[0,+∞]のときを考えていないことになる。
それにしても、E_∞を導入した意味が分からんな。何れにしても、
fが非可算な可測集合Xで定義される上に有界な可測関数のときは考えていないと思われる。