15/03/27 15:18:16.06 hIe5JFek.net
>>674
数学的に正確な証明をここに書く訳がないだろw
>>673は大筋を書いた啓蒙書に似た文章だよ。
勿論、肝心な部分は伏せて書いているけどね。
726:１３２人目の素数さん
15/03/27 18:36:15.38 iBPn9q5A.net
>>675
禿藁
727:１３２人目の素数さん
15/03/27 18:43:35.30 FWFLu9l6.net
その日本語で書いた論文（）が日本人にも通じないに全部
728:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/27 22:31:16.46 03I7UyLR.net
どうも。スレ主です。
お久しぶりですね
知らないうちに盛り上がっていますね
良いことですね
729:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 06:11:13.69 XpA6GK50.net
>>647
パーチクリン連呼くんかね？ 最近声が小さいね
だれが見ても、一番分かっていないのは君だろう
>>517の問題は解けたか？ また、来週も君の泣き顔が見られそうだな（ >>584）だったが
解けたか（笑い）517の問題で１年くらい君を叩けそうだな（高笑）
一月で解けなければ、百年経っても解けまい（笑い）
517の問題再録
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
予備知識ほとんど不要。必要なのは数学的思考力のみ。証明は求めてはいない。君には無理だから
だが、何かを述べれば、君の数学レベルが丸わかりになるだろうな・・、低レベルが・・（高笑）
730:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 06:16:26.98 XpA6GK50.net
>>648
おっちゃん、どうも。スレ主です。
後藤おじさんと呼ばれているのかね？>>651
それはともかく、良い問題を出してくれたね。ありがとう
ちょっとひねったら、雑魚を叩くのに、良い問題が出来たよ>>679
731:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 06:22:35.19 XpA6GK50.net
>>641-645
この問題は面白いが、あまり長くやっても仕方ない
岡山大吉野雄二教授に登場願おう（下記）
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
吉野雄二ホームページ 岡山大学理学部数学科
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
２０１１年度前期｢代数基礎A演習」
演習問題 URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
演習問題・解答編（TAの青影一哉，飯間圭一郎の両君の作成による） ただし現在は利用不可です。
が、なぜか（解答編）下記が検索ヒットし、抜粋する
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
第1章群の基礎（解答編）
1.6 準同型定理
「準同型定理の基本形」
・ f : G → G' が群の全射準同型写像であるとき、H = Ker(f) と置くと、H はG の正規部分群で、fは自然な同型写像f~ : G/H → G' を導く。
（任意の[x] ∈ G/H に対して、f~([x]) = f(x) と定義される。）
問題1.6.1 「準同型定理の基本形」を証明せよ。
(証明) (1) H が正規部分群であることを証明する.
任意のa, b ∈ H に対して, f(ab) = f(a)f(b) = e' によりab ∈ H を充
732:たす. よってH はG の部分群である. 任意のx ∈ G とy ∈ H に対して, f(xyx^-1) = f(x)f(y)f(x)^-1 = f(x)e'f(x)^-1 = e' により, H はGの正規部分群である. (2) f~ : G/H → G' がwell-defined な写像であることを証明する. (以下略)
733:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 06:58:50.68 XpA6GK50.net
>>681 つづき
元の問題を再録しておく>>417 (1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
(引用おわり)
これは、吉野雄二教授 ２０１１年度前期｢代数基礎A演習」
”問題1.6.1 「準同型定理の基本形」を証明せよ。 ”の前半と同じだ
そして、解答編（TAの青影一哉，飯間圭一郎の両君の作成による）の(証明) (1) は
私が書いた>>436-443とほぼ同じだ
解答編の「任意のx ∈ G とy ∈ H に対して」の部分は、>>452-456で書いた
だから、解答編の証明と同じことは、>>436-456で尽くされている
が、>>640"俺(>>417出題者)の見解"、”残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明。 ”だと
ここは、吉野の解答編とはマッチしていない
が、それは是としよう。「”自明”とされることでも、きちんと証明すべき」が、大学の数学だから
（そこの疑問をつっこんでくるのは、レベルが高いと思うよ）
なので、>>641-642を示した
734:１３２人目の素数さん
15/03/28 09:52:00.73 oUv7+bkp.net
>>680
私の出題した問題をよいといってくれたか。
それは、よかったよかった。
>>677
当たり前。肝心なところを伏せて、啓蒙書の雰囲気を出して書いたのだ。
まあ、「リュービルの定理からζ(3)が代数的数なら」は
「ζ(3)が代数的数なら、リュービルの定理から」と書くべきだろうけどな。
735:１３２人目の素数さん
15/03/28 10:54:06.56 /kdxB2Uf.net
>>673
＞ζ(3)の無理数度は5より大きい
これを証明して下さい
736:１３２人目の素数さん
15/03/28 10:54:33.39 lzbB148z.net
>>681-682
>>681で引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」が使われている。
これは実は「gNg^(-1) = N (∀g∈G)」と同値。（自明ではない）
この知識を前提とすれば>>681の解答で十分となる。
>>440もこれを前提としていると勘違いして一旦良しとしたが、そうではないようだったので取り下げた。
（ここら辺の話は終わってからするつもりだった。）
ちなみに、>>681の上から２番目のリンク先の「群の基礎」にも（証明なしで）書いてある。
そして、他の方が言ってくれている通り、>>641-642では逆の包含の証明になっていない。
g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f) を証明するんだから、
「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「gng^(-1) ∈ Ker(f)である」を得るだけでいいのにどうして別のことをするのか。
737:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 10:58:56.92 XpA6GK50.net
>>682 つづき
それで、>>641でしめしたのは、「逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明」をちょっと変形した
少し説明すると、集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として
641の２と３で、card(N')=card(Ker(f))(∵ gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える（なお、逆も同様）)を示した
これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
（有限群に限って分かり易く説明すれば、集合N'とKer(f)との要素の個数が同数で、g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) だから「N=gNg^-1」だと）
逆の包含を使うより、共役の性質（一対一対応）を強く使う方が本質だろうと思ったからだ
もう少し丁寧に書けば
写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）が単射（∵ n1＝n2→gn1g^-1＝gn2g^-1）が容易に言える
（なお、gの逆元を使う共役変換を考え、写像f^-1:g^-1(gng^-1)g→n とすれば分かり易いだろう）
また、g^-1(gng^-1)g→nの形から、n=g^-1(gng^-1)g つまり、g'=g^-1と書けば、n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けて
g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示しているから、g'^-1ng'∈Ker(f)
従って、n=g'(g'^-1ng')g'^-1∈N'として、逆の包含も直接示せる。が、かえって回りくどくて本質が見えないだろうと思った
738:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 11:20:22.29 XpA6GK50.net
>>685
どうも。スレ主です。
>>417の出題者だね。なかなか面白かった
君はレベルが高いね
>正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」が使われている。
>これは実は「gNg^(-1) = N (∀g∈G)」と同値。（自明ではない）
うん、その話は、wikipediaにもある（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換（英語版）によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng?1 が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。
・G の任意の元 g に対して gNg?1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg?1 = N が成り立つ。
・G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。
・G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する。
・N は G の共役類の和集合である。
・G 上定義された群準同型で N をその核に持つものが存在する。
最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体の内部的に分類する方法を与えている。
（引用おわり）
「（自明ではない）」が、>>686に書いたように共役変換の性質から従うのだろうね
739:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 11:39:11.82 XpA6GK50.net
>>685 つづき
>g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f) を証明するんだから、
>「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「gng^(-1) ∈ Ker(f)である」を得るだけでいいのにどうして別のことをするのか。
その理由は、>>686に書いた通りだ
"・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。"
の差ね。
さすがに、プロ（数学者）の卵だね。さすがに大学の数学だ（大学への数学ではなく）
実は、正規部分群ではなく、その下位の共役変換がいまいち深く理解できていなかったんだ
「gNg-1の形がなんだかなー」と。でも、今回の問題を解く過程で良く分かったよ
gNg-1だけ見ていても分からない。「(gag-1)*(gbg-1)＝g(a*b)g-1」と積の形を考えると、本質が見えてくる
gn1g^-1＝gn2g^-1→n1＝n2 も（またその逆。また不等号についても成り立つ）
なので、群の共役変換"gNg^(-1)"が、積の形を保存して、一対一対応（well defined 性）など、良い性質を持っている特別の形なんだーと
740:１３２人目の素数さん
15/03/28 11:56:12.88 lzbB148z.net
>>685は間違えた。
「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「n ∈ g・Ker(f)・g^(-1)である」を得る
だった。
>>686
集合A,Bに対して、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」が成り立つのは有限集合の場合のみ。
前半の説明では、有限群に対する証明にしかなっていない。
＞写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）
ここは well-defined 性の問題がある。
g,n とは別の g'∈G, n'∈Ker(f) に対して gng^-1 = g'n'g'^-1 である場合、
n と n'は必ずしも一致しない。
741:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:21:45.18 XpA6GK50.net
>>688 つづき
>群の共役変換"gNg^(-1)"が、積の形を保存して、一対一対応（well defined 性）など、良い性質を持っている特別の形なんだーと
共役変換と内部自己同型（英語版）って話もあって、なかなか深いね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自己同型群
群の自己同型は、群からそれ自身への群同型である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。
すべての群 G に対して、像は内部自己同型（英語版）(inner automorphism)の群 Inn(G) となり、核が G の中心となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。
従って、G が自明な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。[1]
内部自己同型と外部自己同型
ある種の圏、特に群、環、リー代数では、自己同型を「内部自己同型」
742:と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。 群の場合、内部自己同型（英語版）(inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは Φ_a (g) = a g a^-1 （もしくは、a-1ga 、使い道により異なる）により与えられる作用 φa : G → G のことである。 a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群を成し、これを Inn(G) で表す。これをグルサの補題（英語版）(Goursat's lemma)という。 これ以外の自己同型を外部自己同型（英語版）(outer automorphism)と呼ぶ。商群 Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む剰余類である。
743:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:28:51.76 XpA6GK50.net
>>689
どうも。スレ主です。
>前半の説明では、有限群に対する証明にしかなっていない。
同意。だが、個人的にはまず有限群論で理解するのが先なので、とりあえずこれで。無限を扱うなら他の証明の筋を使うのが良いんだろうね
>ここは well-defined 性の問題がある。
ども。ちょっと考えてみるよ
744:１３２人目の素数さん
15/03/28 12:32:57.44 /kdxB2Uf.net
結局不正解じゃんｗ
745:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:36:44.58 XpA6GK50.net
>>690 つづき
内部自己同型と外部自己同型（英語版）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inner_automorphism
In abstract algebra an inner automorphism is a function which, informally, involves a certain operation being applied, then another operation (shown as x below) being performed, and then the initial operation being reversed.
Sometimes the initial action and its subsequent reversal change the overall result ("raise umbrella, walk through rain, lower umbrella" has a different result from just "walk through rain"),
and sometimes they do not ("take off left glove, take off right glove, put on left glove" has the same effect as "take off right glove only").
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Outer automorphism group
In mathematics, the outer automorphism group of a group G is the quotient Aut(G) / Inn(G), where Aut(G) is the automorphism group of G and Inn(G) is the subgroup consisting of inner automorphisms.
The outer automorphism group is usually denoted Out(G). If Out(G) is trivial and G has a trivial center, then G is said to be complete.
Out(G) for some finite groups の表が面白い
746:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:38:39.14 XpA6GK50.net
>>692
どうも。スレ主です。
君はレベルが低いね
一番分かっていないのは君だろうよ（笑い）
747:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:39:55.00 XpA6GK50.net
人の尻馬にしか乗れない低レベル（笑い）
自分の頭からっぽ（笑い）
748:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:41:20.02 XpA6GK50.net
なんか数学レベルを示すものを書いてみな
笑ってやるから（笑い）
749:１３２人目の素数さん
15/03/28 12:41:37.13 /kdxB2Uf.net
>>694
どうして不正解を不正解と言われるとキレるの？
750:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:46:11.59 XpA6GK50.net
>>692
そうそう、ID:/kdxB2Ufくんにも、>>517の問題を投げておくよ
>>679だ。君程度の雑魚レベルじゃ解けない問題だよ
751:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 12:49:10.52 XpA6GK50.net
>>697
>>686の最後を良く読んでみな
”逆の包含も直接示せる”と書いてあるだろ？
これの正否について述べよ
まあ、君には無理だろうが（笑い）
752:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 13:00:46.17 XpA6GK50.net
>>693 続き
外部自己同型
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Out(G) for some finite groups 表
Sn n ≠ 6 trivial 1
S6 Z2 (see below) 2
An n ≠ 6 Z2 2
A6 Z2 × Z2(see below) 4
The outer automorphisms of the symmetric and alternating groups
For more details on this topic, see Automorphisms of the symmetric and alternating groups.
The outer automorphism group of a finite simple group in some infinite family of finite simple groups can almost always be given by a uniform formula that works for all elements of the family.
There is just one exception to this:[1] the alternating group A6 has outer automorphism group of order 4, rather than 2 as do the other simple alternating groups (given by conjugation by an odd permutation).
Equivalently the symmetric group S6 is the only symmetric group with a non-trivial outer automorphism group.
n≠ 6: Out(S_n) = 1
n≧ 3, n≠ 6: Out(A_n) = C_2
Out(S_6) = C_2
Out(A_6) = C_2 ｘ C_2
Note that, in the case of G = A6 = PSL(2,9), the sequence 1 -> G -> Aut(G) -> Out(G) -> 1 does not split. A similar result holds for any PSL(2,q^2), q odd.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Automorphisms of the symmetric and alternating groups
753:１３２人目の素数さん
15/03/28 13:09:14.43 lzbB148z.net
>>685で偉そうなこと言って間違えた責任をとって（そろそろめんどくさいから）自分で終わらせることにする。
証明するべきことは「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f) ∀g∈G」
n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
よって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □
754:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 13:22:03.10 XpA6GK50.net
>>701
どうも。スレ主です。
なかなかあざやかですな
レベル高いね。ID:/kdxB2Ufくんとはレベルの差を感じる
まあ、同じようなことは、>>686の最後に書いた
”また、g^-1(gng^-1)g→nの形から、n=g^-1(gng^-1)g つまり、g'=g^-1と書けば、n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けて
g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示しているから、g'^-1ng'∈Ker(f)
従って、n=g'(g'^-1ng')g'^-1∈N'として、逆の包含も直接示せる。”だ
だけど、>>686で書いたように、これは結局共役の性質を暗に使っていると思うんだ
もっと、共役の性質から直接示せると思ったんだよね。というか、そういう理解に到達したいと
数学でね、証明の筋を追えば、例えば１０段階あって、各段ごとは追える
が、１０段階通して、分かったかというと、それは別問題みたいな
これも、共役の性質から、もっと自然な理解が可能だろうと・・
まあ、うまく纏まっていないが・・
755:１３２人目の素数さん
15/03/28 13:50:40.99 /kdxB2Uf.net
>>702
n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けると何故g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) なのか？
756:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 17:55:15.04 XpA6GK50.net
群論電卓の話がヒットしたので、メモを貼ります
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
拡張Prologによる群論電卓の作成 情報処理学会 全国大会講演論文集 第49回平成6年後期(1), 97-98, 1994-09-20
抄録
飯高茂は1980年代後半より、Prologの持つバックトラッキングとパターンマッチの機能を利用して、数学の世界を組み立てることを行ってきた。
その中で群論電卓の作成が大きなテーマとして取り上げられている。
群論計算システムとして、CAYLEなどの大規模なシステムがよく知られている。
飯高の群論電卓は、これらのシステムとは異なり、群論電卓の作成を通して、群論を理解することに力点がある。
このような小規模なシステムでも新しい定理を発見するための具体例の計算にも使えることができる。
数学では、「ある構造をもつ数学的対象の間に、その構造を保つ写像を考えつつ議論を進めるのが基本である」と言われている。
飯高の群論電卓では、同時に複数の群を扱うことが出来ないので、この基本に沿った計算を実行することが出来ない。
本報告では、Prologにオブジェクト指向風の拡張を施し、それを利用して複数の群を扱うことの出来る群論電卓の概要を報告す
757:る。
758:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 17:59:28.47 XpA6GK50.net
これは、以前紹介したかも知れないが
URLﾘﾝｸ(www.nasuinfo.or.jp)
python sf による群論：群電卓 抜粋
python sf は、普段のメモ書き数式そのままを計算させてたくて作りました。その python sf は 群論での数式にも使えます。
例えば対称群 Sn(4) における S4(3,0,2,1) 要素の共役類を下のように、エディタでメモ書きする数式に近い python sf 式で計算できます。
半群
まず半群についての python sf を使った具体的な検討・考察例を見ていきましょう。
半群であるとは推移律： (x y) z == x (y z) が成り立つことです。これは部分的に演算を定めると、それが別の演算まで定めてしまうことを意味します。演算規則の定まり方に粘着性があることを意味します。
python の辞書データ型を使えば、この半群の性質を記述できます。実際に推移律演算を実行させられます。以下では具体的に a b c d 四文字の集合の半群構造を python の辞書を使って記述・実行していきます。
759:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 18:01:50.65 XpA6GK50.net
これは、GAPくんの出番かも
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
群論と対称性
第 2 回 GAP を使う - 電卓のように
Akihide Hanaki (Shinshu University)
760:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 18:08:32.76 XpA6GK50.net
これもヒットしたので、メモ
[PDF]数式処理の想い出 - Jssac
www.jssac.org/Editor/Suushiki/V07/No1/V7N1_102.pdf
数式処理J.JSSAC (1998)
Vol. 7, No. 1, pp. 2 - 5
一松信
Sin HITOTUMATU
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一松 信（ひとつまつ しん、1926年3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。
人物
「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介されるほどの俊才だったようで、その後も、多変数関数論の他、数値解析、計算機科学などでもリーダー的な研究者であった。
著作は多数に上り、良書とされるものが多い。また優れたエッセイ集もある。
著作は明解かつ詳細な記述が特徴で、構成が緻密であり、練習問題やその解答、索引や参考文献にも気が配ってあるものが多い。
761:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 18:13:40.75 XpA6GK50.net
これもメモしておく
URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp)
Sage for Number Theorists 横山俊一（九大数理）
概要
Pythonを基盤とする計算機システムSageの概説を主に数論研究者向けに行う.
本稿は2011年8月に開催された研究集会「計算機代数システムの進展」にて筆者が行った講演内容に従っている.
なお,本稿で使用されている幾つかのイラストはSage development teamより許可を得て使用させて頂いた.
使用許諾を快く与えて下さったWilliam Stein氏（Washington大学）およびMartin Albrecht氏（Universite Pierre et Marie
Curie）に感謝御礼申し上げたい.
1 Sageとは？
Sage
762:とはSystem for Algebra and Geometry Experimentationの略称であり「セージ」と発音する. その名の通り,ハーブ類の一種の名称とのダブルミーニングである. 開発目的としてMagma,Maple, Mathematica, Matlabといった多種多様な有償計算機システムの代替となる「フリー」なソ フトウェアを作成し,広く提供することが挙げられている. 以下略
763:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 18:19:54.18 XpA6GK50.net
これもメモ
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
このページは阿原一志と逆井卓也の共著『パズルゲームで楽しむ写像類群入門』 (日本評論社, 2013 年 9 月発刊) のサポートページです.
本の内容
目次と補足資料
第1章 パズルゲームてるあき
第2章「写像」・「類」・「群」
第3章 曲面と曲線
第4章 曲面の写像類群
第5章 デーン-リコリッシュの定理
命題 5.5 の証明については正誤表をご覧下さい.
第6章 1次元ホモロジー群
第7章 曲面の1次元ホモロジー群
第8章 トーラスの写像類群
第9章 リコリッシュの定理とその証明
9.8 節の内容については正誤表をご覧下さい.
補題 9.9, 9.10 について
第10章 リコリッシュの定理でてるあきを解く
第11章 リコリッシュの生成元と組み紐
第12章 シンプレクティック表現とトレリ群
第13章 基本群
第14章 デーン-ニールセンの定理
第15章 写像類群とトポロジー
764:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 19:01:15.55 XpA6GK50.net
>>703
まあ、自分で考えてみな
>>699に書いたように、「”逆の包含も直接示せる”と書いてあるだろ？これの正否について述べよ」と
ノーヒントでは無理だろうが、幸い出題者が>>701でヒントを与えてくれた
701と686を比べてみな
そうすれば、なにか感じるところがあるだろう
765:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 19:11:43.69 XpA6GK50.net
>>685 補足
>>681の解答をもう一度読んでみた
結論は、「任意のx ∈ G とy ∈ H に対して, f(xyx^-1) = f(x)f(y)f(x)^-1 = f(x)e'f(x)^-1 = e' 」ここまでが
H = Ker(f) を本質的に使った部分だ
正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」か「gNg^(-1) = N (∀g∈G)」かは、H = Ker(f) とは直接関係ない
どちらを使っても、ほとんど同じ（そこは、>>702に書いたように、共役の性質を使えば、どちらでも可だと）
だから、>>681ではこれで終わっているんだと
確かに、「gNg^(-1) = N (∀g∈G)」を使えば、包含関係とか気になるんだろう
それはそれで悪くないし、こちらはあまり気付いていなかった部分だがね
766:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 19:17:26.72 XpA6GK50.net
>>689
>＞写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）
>ここは well-defined 性の問題がある。
>g,n とは別の g'∈G, n'∈Ker(f) に対して gng^-1 = g'n'g'^-1 である場合、
>n と n'は必ずしも一致しない。
ここに戻る。共役変換を押さえておこう
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
平木研究室 平木 彰 大阪教育大学／柏原キャンパス／教養学科／数理科学講座
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
質問箱
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
（問題） 群 G の部分群 H,K と a ∈ G に対して、 次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) H と aHa-1 は同型である。
(2) H と K が同型ならば K = bHb-1 となる b ∈ G が存在する。
（考察）
群の内部自己同型と外部自己同型を考えましょう。
群 G の元 x に対して、x による共役写像 fx を
fx : G → G ( a → xax-1 )
と定義すれば G から G 自身への同型写像になります。 （確認）
このような自己同型写像を内部自己同型といいます。
それに対して、内部自己同型ではない自己同型写像を外部自己同型といいます。
(1) 部分群 H の共役部分群 aHa-1 とは まさに内部自己同型 fa による 像ですから、同型になります。
(2) の問題は、「同型な二つの部分群は内部自己同型であるか？」 ということです。 外部自己同型
767:が存在する群を考えてみましょう。 例えば、可換群（アーベル群）を考えてみます。 可換群においては、内部自己同型は全て恒等写像になります。 一方、「アーベル群の基本定理」によれば、 「全てのアーベル群は巡回群の直積に同型であり、不変系がただ一つ定まる。」 ので、不変系が同じなら同型です。 したがって、同じ不変系の部分群を２つ以上含むような アーベル群 を考えれば反例が見つかります。
768:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 19:19:20.20 XpA6GK50.net
>>712 つづき
（解答例）
(1) a による内部自己同型 (a による共役写像)
fa : H → aHa-1 ( h → aha-1 )
は H から aHa-1 への同型写像ですから H と aHa-1 は同型です。（正しい）
(2) G = { (x,y) | x,y ∈ {1,-1} } を考えます。(演算は成分ごとの積）
これは、Z2 + Z2 と同型な 不変系 (2,2) の可換群です。 その部分群 H,K を
H = { (x,1) | x ∈ {1,-1} }, K = { (1,y) | y ∈ {1,-1} }
とすれば、H,K はともに、位数２の巡回群なので同型です。
しかし、G は可換群なので bHb-1 = H ≠ K (∀b ∈ G ) です。 （正しくない） 不変系 (p,p) の可換群の中に全く同じ反例が見つけられますね。
ちなみに上の (2) においては g : G → G ( (x,y) → (y,x) ) が H を K に移す外部自己同型です。
（引用おわり）
769:１３２人目の素数さん
15/03/28 19:32:33.25 /kdxB2Uf.net
>>686
＞少し説明すると、集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として
＞641の２と３で、card(N')=card(Ker(f))(∵ gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える（なお、逆も同様）)を示した
gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2 だと何故 card(N')=card(Ker(f)) が言えるの？
＞これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
card(N')=card(Ker(f)) と g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から何故 N=gNg^-1 が言えるの？
（実際には card(N')=card(Ker(f)) すら言えてないわけだが）
770:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 19:44:17.98 XpA6GK50.net
>>713
「H と aHa-1 は同型である」を使えば、良いと思うんだ
>>439>>443でKer(f) が 群を成すことは、先に証明しているから（>>681に同じ）
なので、同型から全単射の存在が言える
それは、gやg'毎に考えるべきで、そうすれば、全てのg毎に全単射の存在が言える（gとg'とを混在させるとまずいが）
それで今回の問題には十分だろう
771:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 20:11:33.55 XpA6GK50.net
>>714
ども
丁寧に書くと
集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として 写像F：N'→Ker(f) （gng^-1→n）が単射を言いたい
（686では、Fをf^-1と書いたが、簡単化した）
で、単射
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定義
集合 A 上で定義され、集合 B を終域とする写像 f: A → B が条件
(∀ a_1, a_2 ∈ A)[a_1 ≠ a_2 → f(a_1) ≠ f(a_2)]
を満たすとき、 f を単射 (injection) とよぶ。あるいは f は（写像として）単射である (injective) という。
対偶をとれば、f が単射である条件は
(∀ a_1, a_2 ∈ A)[ f(a_1) ＝ f(a_2) → a_1 ＝ a_2 ]
とも述べられる。
（引用おわり）
から、 gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2を示す（その逆も）ことで、gng^-1とnとが一対一対応すると
もっと強く、>>712(平木研)にあるように、同型も言える
それは、gng^-1という共役変換という形から従う
だから、card(N')=card(Ker(f))が言える
なお、686では細かく証明を書くのではなく、あらすじだけを書いた（このスレではその方が良いと思ったからね）
それがかえって、数学科の人には分かり難いのかも知れないが・・
772:１３２人目の素数さん
15/03/28 20:13:43.48 nK6CSiqo.net
何学科の人だとわかりやすいの？
773:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 20:16:19.25 XpA6GK50.net
>>714 つづき
>＞これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
>card(N')=card(Ker(f)) と g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から何故 N=gNg^-1 が言えるの？
>（実際には card(N')=card(Ker(f)) すら言えてないわけだが）
ここは、出題者の解答>>701
"n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
よって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □"と比べてごらん
774:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 20:24:17.94 XpA6GK50.net
>>717
何学科の人だとわかりやすいというのは、ないだろう
ただ、数学科の人は、上級になればなるほど、普段使っている記号になれているだろうから、この板みたくアスキーしか使えないところは、つらいだろうし
プロ同士の会話になれていると、このスレでの会話も合わないだろうとは思うよ
だから、あまり証明は書く気はない。（必要があれば別
775:だが） 主に、ホームページやPDFの紹介を主にしようと思っている（その方が読みやすいだろうし）
776:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 21:52:31.47 XpA6GK50.net
これもメモしておく
URLﾘﾝｸ(www.uec.tottori-u.ac.jp)
橋本隆司 鳥取大
URLﾘﾝｸ(www.uec.tottori-u.ac.jp)
対称性の数理 I
2014年度講義ノートはこちら(4/14/14) URLﾘﾝｸ(www.uec.tottori-u.ac.jp)
はじめに
この講義ノートは，鳥取大学大学院工学研究科情報エレクトロニクス専攻および機械宇
宙工学専攻の博士前期課程1 年生を対象に行われた講義「組合せ論」および「対称性の数
理I」の講義ノートを加筆・修正して作成された．
講義では対称群の表現論への入門的な解説を行うことを目標とし，第1 章では対称群の
構造について簡単におさらいした後，線形代数の復習を行い，多重線形代数，すなわち，
ベクトル空間のテンソル積，外積代数，対称代数について説明した．ついで第2 章におい
ては有限群の表現論および指標について解説した後，対称群の表現を組合せ論的に構成す
るSpecht 加群についての解説を行った．線形代数が縦横に駆使される様子を目の当たり
にすることができるかと思う．
777:１３２人目の素数さん
15/03/28 22:36:32.41 lzbB148z.net
いや、>>702で気づいた。
>>701は論証が足りなかった、すまない。
これじゃ恥の上塗りだ・・・
n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1
ここで、f(g^-1・n・g) = f(g)^-1・e'・f(g) = e' より g^-1・n・g ∈ Ker(f) （すでに示されている g^-1・Ker(f)・g ⊂ Ker(f) を用いてもよい）
よって n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
したがって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □
778:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/28 22:45:48.19 XpA6GK50.net
>>721
どうもありがとう
ID:/kdxB2Ufくん（>>714）、分かったかな？
779:１３２人目の素数さん
15/03/28 22:48:54.08 lzbB148z.net
さらに間違えた
>>702で気づいた。→>>703で気づいた。
780:１３２人目の素数さん
15/03/28 23:21:33.92 lzbB148z.net
ということで、>>701を後ろ盾にした発言は取り下げてくれスレ主よ
781:１３２人目の素数さん
15/03/28 23:43:12.32 /kdxB2Uf.net
では参考までに私の解答を載せておこう。
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
まず ker(f) が G の部分群であることを示す。
ker(f)⊂G は明らかなので、G の 演算によって ker(f) が群の公理を満たすことを示せばよい。
g,h,i∈G、a,b,c∈ker(f) とする。
f(ab)=f(a)f(b)=e'e'=e' だから、ab∈ker(f)【演算が閉じている】
f(g)=f(ge)=f(g)f(e) だから、f(e)=e' よって、e∈ker(f)【単位元の存在】
e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1) だから f(g^-1)=f(g)^-1
f(a^-1)=f(a)^-1=e'^-1=e' だから、a^-1∈ker(f)【逆元の存在】
f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc))=f((ab)c)=f(ab)f(c)=(f(a)f(b))f(c)【結合則】
さらに ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1■
782:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/29 04:55:48.60 VMbS5KbH.net
どうも。スレ主です。
>>724 了解
>>725 ID:/kdxB2Ufくん（>>714）に分かるように丁寧に書いてくれたんだね
最後のところは、下記にすれば２行省略できるね
記
さらに ker(f) の正規性を示す。(正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」*)を使う>>685)
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)■
*)正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」と「gNg^(-1) = N (∀g∈G)」とは同値。
自明ではないが、共役変換の性質 「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）を知識
783:として使えば、同値であることは容易に分かる。 つまり、gNg^(-1) とNとが同型だから、gNg^(-1) ⊂ N→gNg^(-1) = Nが成り立つ。逆は、当然。 追伸 出題と解答ありがとう ぼんやりとしか理解できていなかった共役変換が、深く理解できました。（>>688に書いた通り）
784:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/29 09:41:48.82 VMbS5KbH.net
>>684
どうも。スレ主です。
証明は、おっちゃんにゆずるが、下記が参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アペリーの定理（アペリーのていり、Apery's theorem）とは、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(3) が無理数である、という定理である。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 英語版 （和文は英語版の訳と思われるが、引用文献が和１４英１２と異なっている。英がリバイズされたか）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無理数度
有理数の無理数度は 1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は 2, リウヴィル数の無理数度は ∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度は全て 2 以上である。e の無理数度は 2 であることが知られている。
ルベーグ測度に関してほとんど全ての数の無理数度は 2 である。
785:１３２人目の素数さん
15/03/29 12:04:44.83 G8tCtmBr.net
>>726
理解できたと言ってるところ申し訳ないが、まだ問題があるように見える。
＞gNg^(-1) ⊂ N→gNg^(-1) = Nが成り立つ
この→は「ならば」のことだろうか。だとすると、これでは証明になっていない。
例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。
786:１３２人目の素数さん
15/03/29 12:09:01.57 5FNRcFzF.net
2Z⊂2Z で、当然ながら2Z=2Zだよ
787:１３２人目の素数さん
15/03/29 12:23:05.19 G8tCtmBr.net
群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。
包含写像 H→H' と同型写像 H→H' が一致するなら H=H' だけど、
スレ主の gNg^(-1) と N の場合はそれも成り立ってない。
788:１３２人目の素数さん
15/03/29 12:30:14.47 Akp98M0a.net
未だ問題があると言うより根本的に駄目だね。
スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに不満を抱き、それでも正解と示そうとしたが
逆に無知を晒してしまった。
789:１３２人目の素数さん
15/03/29 12:49:26.97 giyBvreh.net
>>684
>>727
おいおい、>>673の「ζ(3)の無理数度は5より大きい」という部分は
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
を参考にして書いたんだよ。現時点でζ(3)の無理数度の値は「5.5…」となっている。
数学的には、ζ(3)の無理数度は2まで引き下げられるよ。そうでないと矛盾が生じる。
本来は、現時点での無理数度の値を見たら、任意の実数の無理数度は1か2か+∞になると予想するべきなのだ。
これは、eという無理数度2の超越数の具体例がある訳で、もっともらしい。
790:１３２人目の素数さん
15/03/29 12:55:46.36 Akp98M0a.net
>>732
upper bound の意味を知らんのか？
791:１３２人目の素数さん
15/03/29 13:16:38.07 giyBvreh.net
>>733
上界だが。
792:１３２人目の素数さん
15/03/29 13:29:36.55 giyBvreh.net
>>733
あ～、「upper bound 」は上に界がある値で意味は上限か。だが、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
は正しいだろうな。実数αについて、
|α－q/p|＜1/p^5なる分数q/pが可算無限個あって
|α－q/p|＜1/p^4なる分数q/pが有限個なんていうことあり得ない。
793:１３２人目の素数さん
15/03/29 13:35:53.65 giyBvreh.net
>>733
あ～、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
が間違いだったのか。実数αについて、
|α－q/p|＜1/p^5なる分数q/pが有限個あって
|α－q/p|＜1/p^4なる分数q/pが有限個あることはあり得る現象か。
794:１３２人目の素数さん
15/03/29 13:45:33.37 giyBvreh.net
>>684
まあ、それでも、>>673の「ζ(3)の無理数度は5より大きい」という部分
は「ζ(3)の無理数度は1より大きい」�
795:ﾓ味する訳で、 ζ(3)の場合、証明にはこれさえあればいいのだ。
796:１３２人目の素数さん
15/03/29 14:02:02.02 giyBvreh.net
いや、本を改めて見直したら無理数度は下限として定義されていて、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
は正しいように見える。下限として定義した以上、無理数度は引き下げられて行く値なのだ。
ということは、>>673では「ζ(3)の無理数度は6より小さい」と書くべきだったのか。
797:１３２人目の素数さん
15/03/29 15:38:53.85 giyBvreh.net
upper boundの訳は上界だがinfimumは下限で無理数度の定義が下限だから、
>>732に挙げたサイトのデータの値は更新されている筈。
参考にしたのが2001年では少し古いだろう。
下限の上界の範囲が狭められて行くということか。
798:１３２人目の素数さん
15/03/29 23:32:26.10 ul+L4Deq.net
スレ主は「無知睾丸」
799:１３２人目の素数さん
15/03/30 21:42:41.83 oO1nmDC/.net
スレ主の言い訳予想
私は有限群しか興味無いので有限群限定で考えた
⇒それなら問題(1)をマトモに解く気は無かったはずなのに、ID:/kdxB2Ufへの上から目線は一体何だったのか？ｗ
800:１３２人目の素数さん
15/03/31 01:48:13.88 PYljh/Cs.net
確かに、有限群なら>>726は問題ないな。
有限群で成り立つから一般の場合にも成り立つと思った
に一票
801:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 13:02:12.63 6oRaj5nX.net
>>728-731
どうも。スレ主です。
>>728が正解だな
説明しよう
１）自明だが、「g*h1=g*h2←→h1=h2」 & 「g*h1≠g*h2←→h1≠h2」
２）だからこれも自明だろう。「g*h1*g^(-1) =g*h2*g^(-1) ←→h1=h2」 & 「g*h1*g^(-1) ≠g*h2*g^(-1) ←→h1≠h2」
３）上記を念頭に、gNg^(-1) と Nとの対応を考えてみなさい。言いたいことは自明だろう。これが、共役変換の性質 「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）>>726だ
４）ID:G8tCtmBrさんは、ここをもう一度考えてみたらどうかね。おっと、ID:G8tCtmBrさんもだよ
５）なお、「スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに不満を抱き」→「スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに違和感を抱き」だよ
802:１３２人目の素数さん
15/04/04 13:06:41.00 QN/qEVY+.net
スレ主さんがガロア理論に惹かれる理由ってなんですか？
803:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 13:08:19.31 6oRaj5nX.net
>>743
訂正
>>728が正解だな
↓
>>729が正解だな
失礼しました。
なお、>>688をもう一度強調しておく
804:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 13:12:03.36 6oRaj5nX.net
>>744
正確には、原ガロア理論＝ガロア第一論文だ
それに惹かれる理由はいろいろあるが、
１）群論や体論がない時代に、手探りで代数方程式の可解性を解明したこと
２）その手作り感
３）それが、自分がなにか未知の問題（数学に限らず）に対面したときに、勇気を与えてくれる気がする
そんなところだ
805:１３２人目の素数さん
15/04/04 13:20:22.06 +zD8feXr.net
これは低脳の基地外を惹きつける誘蛾灯の一つなり。
他に有名な誘蛾灯に角の三等分の作図法がある。
806:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 13:24:17.89 6oRaj5nX.net
自分のことを言っている・・
807:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 13:27:08.72 6oRaj5nX.net
昔ならフェルマーが解けた
今なら、フェルマーの初等証明かね。ポアンカレ３次元の別解。リーマンとか。ABCの強予想はどうよ？
808:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 13:39:45.26 6oRaj5nX.net
>>740-742
どうも。スレ主です。
確かに、似たことは>>691に既に書いたよ
が、それは、「集合A,Bに対して、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」が成り立つのは有限集合の場合のみ。」>>689
に対してで、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」の議論だ
が、>>726で書いたことは違う
君たちに聞きたい
>>687に戻る
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換（英語版）によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng-1 が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。
このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
(引用おわり)
上記二つの正規部分群の定義が同値であること、つまり
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
↓↑
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
を示すのに、>>743で述べた
共役変換の性質 「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）>>726を使うと思うのだが、どうよ？
そして、これは、有限群のみならず無限群でも同じと思うのだが、どうよ？
809:１３２人目の素数さん
15/04/04 13:51:11.66 +zD8feXr.net
無脳がまた…
810:１３２人目の素数さん
15/04/04 13:56:01.82 SzYxKgEA.net
そんなことも分からないのかw
811:１３２人目の素数さん
15/04/04 14:27:20.26 NuBVm7kq.net
スレ主がごちゃごちゃと説明を付け足すのは、元の証明が駄目である何よりの証拠。
スレ主に問われているのは(1)の証明であって、
＞上記を念頭に、gNg^(-1) と Nとの対応を考えてみなさい。
のようなお説教じゃない。
812:１３２人目の素数さん
15/04/04 14:42:15.13 u5J7qn/M.net
スレ主よ。おぼろげながら、やっと少しは夢の実現への方針がつかめた。
私の夢の実現には、ガロア理論だけでは足りないかも知れない。
やはり、関数解析とかが必要になる可能性はある。楽しい数学になり得る。
まあ、何するにしても、やっぱり群論は有効ですよ。
代数で、群論程威力発揮するモノはないんじゃないですかね。
しかし、可算無限と非可算の違いは大きいね。根本的にここを解決出来ればいいんだけどね。
うん、無限は難しい。単純には解決出来ない。
813:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 14:51:40.36 6oRaj5nX.net
>>751-753
雑魚がわいてきたか・・
雑魚にはこれだな
ID:+zD8feXrさん、ID:SzYxKgEAさん、ID:NuBVm7kqさんにも、>>517の問題を投げておくよ
>>679だ。君たち程度の雑魚レベルじゃ解けない問題だよ
814:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 14:58:33.99 6oRaj5nX.net
>>754
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>スレ主よ。おぼろげながら、やっと少しは夢の実現への方針がつかめた。
ああ、それはよかったね
>しかし、可算無限と非可算の違いは大きいね。
ああ、そうだね
そして、連続濃度と連続濃度の”べきの濃度”との差も大きいよ
実際、>>679は雑魚レベルじゃ解けない問題になった
これ、１年くらい持ちそうだな
雑魚を叩くのに好都合の問題だ（笑い）
815:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 15:07:17.30 6oRaj5nX.net
>>755 つづき
そうだな・・、>>679は君たち雑魚には難しすぎるか・・
こうしよう！
正規部分群の定義>>750で
二つの正規部分群の定義が同値であること、つまり
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
↓↑
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
を示せ
つまり、「G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ」→「G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ」を示せ
基本中の基本だろう。これなら、君たちレベルでも秒殺だろう・・（笑い）
816:１３２人目の素数さん
15/04/04 15:33:45.23 NuBVm7kq.net
>>757
君は字が読めないのか？
君の糞理論を使うも使わないも君の自由だから、とっとと(1)を証明しなさい。
817:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 15:56:12.57 6oRaj5nX.net
>>758
教えて欲しいのか？
教えてはやらん（笑い）
自分で考えろ！（笑い）
818:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 16:03:30.26 6oRaj5nX.net
なお、逆の包含については、出題者の>>701より先に、私が>>686の最後に書いたよ（>>702）
これで証明は終わっている。それは、出題者が>>721に書いた通り（”すでに示されている g^-1・Ker(f)・g ⊂ Ker(f) を用いてもよい”）だ
819:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 16:21:59.23 6oRaj5nX.net
>>728,>>730のID:G8tCtmBrさんは、おそらく出題者だろう
確かに君は、レベルが高い
”例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。”は確かにそうだ
そして、”群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。”も正しい
だが、>>743と>>750に書いたように、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない
なぜか？
もう正解に気付いていると思うがね・・
だれが最初に正解を書くのかな？（笑い）
おっちゃんのいう>>754”うん、無限は難しい。単純には解決出来ない。”がヒントだ
820:１３２人目の素数さん
15/04/04 16:27:19.76 6q6UTOKw.net
�
821:ﾜ ヾ ､ミ川川川彡 r／￣￣￣￣ヽ､ ヽ ミ 彡 /. ﾉ( （ﾟｯ）/ ￣￣~ヽ ヾ 三 こ 駄 三 / ⌒ ト､.,.. ＼丶。 三 ら め 三 彳､＿ ｜ ∴＼ ヽ 三. え だ 三 | ) r‐ / ﾉ( ＼＼ ｜∴ 三 る 三 | ⌒|⌒ ヽ ヽ | ｡ｏ 三. ん ま 三 ﾉ( / | | / 三. だ だ 三,. .⌒ ／ ヽ|／ﾞＵ 三 吐 三 ／ u 三. く 三 三 な 三 彡 ミ 彡川川川ミ.
822:１３２人目の素数さん
15/04/04 16:28:37.53 NuBVm7kq.net
>>761
＞だが、>>743と>>750に書いたように、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない
そんな付け足しが要るってことは、君の証明が証明になってないというなによりの証拠
823:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 16:28:56.62 6oRaj5nX.net
>>743
今見ると、さらに訂正だ
おっと、ID:G8tCtmBrさんもだよ
↓
おっと、ID:Akp98M0aさんもだよ
824:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 16:33:36.37 6oRaj5nX.net
>>763
この付け足しは、不要だ
それは、>>681に示した吉野雄二 岡山大学理学部数学科 問題1.6.1の(証明)に有るとおりさ
この付け足しはあくまで君たちのためだよ
825:１３２人目の素数さん
15/04/04 16:41:10.75 NuBVm7kq.net
付け足ししないなら、>>728の反例で終了
826:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 16:58:04.18 6oRaj5nX.net
>>766
それ（「2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない」>>728）は、確かに
”群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。”については正しい>>761
だが、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない>>761
827:１３２人目の素数さん
15/04/04 17:12:42.40 NuBVm7kq.net
>>767
正規部分群であることを証明したいのに、正規部分群の場合に当てはまらない
から正しいと言われてもねえｗ
828:１３２人目の素数さん
15/04/04 18:32:48.10 imPboNFR.net
（スレ主さん、証明とかの類いだの「付け足し」だのは諦めて、
ひたすらネットの情報だけ挙げてればいいと思うんだが・・・）
829:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 18:59:28.22 6oRaj5nX.net
>>768
ID:NuBVm7kqさん・・か
本当にあなたは、数学的思考が弱いね
よくそれだけ、数学の本質を外した解釈ができるね（笑い）
830:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 19:03:44.98 6oRaj5nX.net
>>769
私もそれが本来なんだけど、出題者さんが問題を出して遊びたいというから
こっちも楽しんだんだよね
お陰で、出題者さんより深く共役変換（もっと言えば正規部分群）について理解できたみたい
その差が、>>761だよ
出題者さんは、もう気付いているだろうが・・
831:１３２人目の素数さん
15/04/04 19:10:22.46 NuBVm7kq.net
>>771
これは笑える
832:１３２人目の素数さん
15/04/04 19:11:42.80 EK3Fw0aZ.net
「ウリは偉い賢いニダ」
833:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 19:49:15.95 6oRaj5nX.net
>>772
おれも笑える
ID:NuBVm7kqさん、あんたに何が分かるんだね？
834:１３２人目の素数さん
15/04/04 20:51:10.19 BEr55Sxn.net
出題者だけど
俺は最初から>>757の同値性もその証明方法も分かってる。
スレ主が分かってるかどうかを確認したいんだ。
って、言うだけじゃスレ主と同じなんだよな。
こういう「俺は分かってるから、お前が証明してみろよ」って互いに譲らないで
いつまでも話が進まないのはもう見飽きた。
スレ主が他人に説明を求めるなら俺が書くけど、
その場合、スレ主の挽回の機会は失われ、今後は俺から（おそらく他の皆からも）「結局最後まで(1)が解けなかったやつ」として扱われることになる。
835:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 21:28:16.66 6oRaj5nX.net
>>775
どうも。スレ主です。
出題者さま、まず、お礼を。深く共役変換（もっと言えば正規部分群）について理解できたことを
さて、確認だが、>>728,>>730のID:G8tCtmBrさんは、出題者さんだったんだよね
その確認をしておきたい
で、>>757の同値性もその証明方法も問題を解く前は、分かっていなかった
836: が、問題を解いた後、本質は>>726で尽くされていると思うよ 「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、 和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」>>728は、この場合の反例としては不適切だ だから、私の挽回は不必要だ その説明を求めるならば、説明をするよ
837:１３２人目の素数さん
15/04/04 21:45:28.28 BEr55Sxn.net
>>728>>730は俺です。
じゃあとりあえずその「説明」をお願いします。
838:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 21:53:50.38 6oRaj5nX.net
>>777
どうも。スレ主です。
ありがとう。では説明します
ヒントは、数学的帰納法（自然数に関するペアノの公理）。といえば、出題者にはすぐに分かるだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題P(n) が全てのn に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[1]。
自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。
任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
839:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 22:00:35.76 6oRaj5nX.net
>>778 つづき
>>742の人も言っているが、有限群なら>>726は問題ない
つまりは、任意の位数Nの群について>>726は成り立つ
だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる
「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、上記とは本質的に異なる
どう異なるかは、出題者にはすぐ分かるはず
840:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 22:07:06.01 6oRaj5nX.net
>>779 つづき
「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、本質的に異なる
これは、>>726が任意の位数Nの群について成り立つことを主張しN→∞とすることができることを主張しているのに対し、
任意の位数Nの群については、成り立たない例だからだ
以上
841:１３２人目の素数さん
15/04/04 22:07:46.26 BEr55Sxn.net
え、超限帰納法使うの！？
どうも俺とは大分違うことを考えているようだ。
ちょっとすぐには繋がりが分からないから詳しく説明してほしい。
ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならないからな。
842:１３２人目の素数さん
15/04/04 22:23:47.94 BEr55Sxn.net
追記
実際、>>730に書いた
＞群 G の部分群 H,H' に対して、
＞「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
という命題は |G|<∞ で成り立つが |G|=∞ では必ずしも成り立たない。
843:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 22:52:39.02 6oRaj5nX.net
>>781-782
そんな大風呂敷を考えるつもりは全くない
”「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならないから”というのは知ったことでない
そんなことは、基礎論好きに任せておけ
共役変換（もっと言えば正規部分群）に限定して考えてくれ
この場合に、「任意の位数Nの群について>>726は成り立つ
だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？
反対するなら、はっきり理由を述べよ
844:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/04 22:54:20.19 6oRaj5nX.net
「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、本質的に異なる
なんなら、集合 Zの和についての群として、共役変換の反例を出してくれ
845:１３２人目の素数さん
15/04/04 23:12:23.63 EK3Fw0aZ.net
位相が無くてもlimitが取れると考えるスレ主であったw
846:１３２人目の素数さん
15/04/04 23:19:08.96 oohQJNWL.net
真面目に読んでないからよくわからんけど、lim取るだけなら別に位相いらくね？
847:１３２人目の素数さん
15/04/04 23:39:18.77 BEr55Sxn.net
>>783
共役変換の場合、確かに任意の濃度で成り立つという結論は正しい。
が、「任意の位数Nの群について>>726は成り立つ 」というだけでは共役変換でない場合との違いが無いので根拠にならない。
共役変換に限定しろというのなら、共役変換の性質をどう使うのか説明してくれ。
そして、俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない。
帰納法を使った証明もちょっと考えたが、スレ主の意向に沿うよう
848:なものは思いつかない。 そういう意味で、「反対」。 >>784 反例は無い。共役変換の場合は結論は正しいから。 >>778-780では「共役変換」なんて一言も言ってないじゃないか。 >>726でも「同型だから」以上の詳しい説明はなかった。 それで、一般の場合にも成り立つと勘違いしてるんじゃないかと思って>>728を書いた。 共役変換に限定しろというのなら、共役変換の性質をどう使うのか説明してくれ。
849:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 05:31:23.67 5o4dQmCs.net
どうも。スレ主です。
>>785-786 おれは、>>786に賛成
850:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 05:33:35.82 5o4dQmCs.net
>>787 難しく考えすぎだろ。
１．>>436で、「２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう」と宣言してある
そして、その前提での>>442「逆の包含を言ってないってことか？」だった
それに対して、>>681 岡山大吉野雄二（正確には）の証明を示したところ、>>685「引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」が使われている。」だった
最初から最後まで、「N=gNg^-1」 or 「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」の話だよ
２．そして、数学的帰納法は公理であって定理ではない。共役変換に限定されない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法の形式的な取り扱い
ペアノ算術などの形式な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。
つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。
３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
（超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）
４．帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、そりゃあるだろうよ
というか、その話は686の最後とか、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ（まだ考えてないが）
５．最後に、”ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならない”は、その通りだろう
が、それは数学的帰納法の公理から外れる例だろうさ。例えば、785の位相が必要だとか。例えばcard(N)みたく有限と無限で定義が異なるとか
851:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 06:06:13.48 5o4dQmCs.net
>>789 補足
帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ
>>725より引用
ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1
（引用おわり）
だったね
ここで、ker(f)→Nに置き換えれば、そのまま証明に使えるだろう
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
以下で” N⊂gNg^(-1) (∀g∈G)”を示す
a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1
ゆえに、N=g・N・g^-1 QED
わざわざ、「俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない」というほどのこともない
(なお、繰り返すが>>686の最後に同じことは書いてある)
本質は、共役変換だよ
852:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 06:34:05.67 5o4dQmCs.net
いいかい
>>686、>>726、>>743が、共役変換の本質なんだ
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、有限群に限れば、ほぼ自明だ（∵gNg^(-1)はNと同型で、何より位数（=card(N))が等しいのだから）
そして、数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。
だから、「gNg^(-1)はNと同型」を知識として知っていれば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明のように、わざわざ逆の包含をいうほどのこともないということなのだろう
なお、試験問題なら、（∵gNg^(-1)はNと同型で、位数（=card(N))が等しいから、有限群に限ればN=gNg^-1が成り立つ。無限群の場合は、数学的帰納法による。）と書くか、>>790みたく ”∵a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1”か
時間があるなら、どちらかを書くべきだろう
しかし、数学の学習の理解としては、後者だけ�
853:ﾅなく前者も必要だよ
854:１３２人目の素数さん
15/04/05 06:53:33.15 X55sT+uM.net
＞だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？
＞反対するなら、はっきり理由を述べよ
∞∈/Nだからダメ
数学的帰納法の主張は、「n∈Ｎ⇒P(n)は真」であって、「P(∞)は真」ではない。
スレ主は見識が狭い。wikiに書かれていることが全てと思ってる。
（wikiは誰でも編集できてしまうということをお忘れなく）
俺は数学的帰納法が定理として証明されることを知っている。
（その立場では、自然数の公理も不要。必要なのは実数の１７個の公理のみ。）
別に公理にしたければしても構わないが、俺は好かん。公理が少ない体系ほど美しいと思っているから。
855:１３２人目の素数さん
15/04/05 07:54:09.98 X55sT+uM.net
>>778
スレ主さん、超限帰納法を理解できてて言ってる？
（その前に整列定理を理解できてるかも怪しいが）
もし理解できているなら実際に超限帰納法を使って証明してみて
コピペを貼ることと理解できてることは全く違うよ
856:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 10:37:29.22 5o4dQmCs.net
>>792-793
なかなか出題者さんは、レベルが高いね
あなたのレベルの高さには感心するよ
数学的には、あなたのお説の通りさ
だが、問題の証明レベルなら、>>790に書いたごとく既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
もっと言えば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルなら、>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
ただ、そのときの共役に対する理解が浅かったから、>>789-791のような説明が出来なかっただけ（＾＾
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」（N＝ker(f)）は440で示したから
後は、私>>686と貴方>>725が書いた”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだ
この共役変換の１行が全て
この１行は、ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよしだ
共役変換の本質は同じだ
だがね、前にも書いたように、”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”ですっと流すと、共役変換の本質が見えてないだろうと
共役変換の本質は、集合なら一対一対応であり、群であれば同型なんだよね
そして、その知識があれば、有限群に限れば、「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」を示した時点で、gNg^(-1) ＝ N は自明なんだよね
さらに、共役変換の本質を理解していれば、無限群でもほとんど同じだ
それが、私の感性だ
857:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 11:07:57.88 5o4dQmCs.net
せっかくの出題>>417だったから、あとwell-definedについてまとめておこう
１）どなたかが書いてくれたが>>543「well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。」
「複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。」と
２）それが、商集合という概念
>>566酒井克郎 筑波大学 URLﾘﾝｸ(docs.google.com)
「商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切」
「何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.」
「考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」
３）ご存知雪江明彦先生>>550 URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
858:ort4.pdf 「代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題. 採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.」
859:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 11:28:27.28 5o4dQmCs.net
>>795 つづき
４）well-defined
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) >>423 抜粋
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。
(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, an expression is well-defined if it is unambiguous and its objects are independent of their representation. More simply, it means that a mathematical statement is sensible and definite.
In particular, a function is well-defined if it gives the same result when the form (the way in which it is presented) is changed but the value of an input is not changed.
５）あと、同値関係と商集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは、2 つの対象が "ある意味で" 同じである、あるいは同一視できるという関係を一般化した概念である。
ある集合 S において、二項関係 ～ が次の性質を満たすとき、～ は S の同値関係であるという。
反射律: a ～ a
対称律: a ～ b → b ～ a
推移律: a ～ b ∧ b ～ c → a ～ c
上の3項をまとめて同値律という。～ が同値関係であるとき、a ～ b であることを、a と b は同値であると言い表す。
（商集合の説明があるが、省略します。直接URLを開いてください）
860:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 11:38:28.13 5o4dQmCs.net
>>798 つづき
あと、商集合が定義されたあと、当然ながら演算を定義するんだよね
演算を定義しないと、おもしろくないから（笑い）
そのときに、演算に対してもwell-definedが問題になる
この話は、また機会があればやりたいね
ともかく、>>549
"（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。"
"「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。"
だそうだ（＾＾
861:１３２人目の素数さん
15/04/05 12:04:53.04 jwP/UdlD.net
出題者です。
>>792>>793は出題者は別人です。
＞「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
＞以下で” N⊂gNg^(-1) (∀g∈G)”を示す
＞a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1
＞
＞ゆえに、N=g・N・g^-1 QED
はい、よくできました。
>>686はなんかそれっぽいことが書いてあるなーと思ったけど
＞また、g^-1(gng^-1)g→nの形から
が意味不明だったし、もう面倒で>>721で終わらせるつもりだったからスルーした。すまない。
数学的説明をせずに本質がどうのうこうの
862:言ってるだけじゃ何も伝わらない。 まずはきちんと数学的な説明を書いて納得させないと。 逆の立場だったらそうだろう？
863:１３２人目の素数さん
15/04/05 12:12:17.84 jwP/UdlD.net
>>722>>723は別人だけど、意見は同じ。
帰納法を使っても無限群に対しては証明できない。
「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」と自分でも書いてるじゃないか。
∞は自然数でないので対象外。
そもそも帰納法ってのは、
・最小元で成り立つ
・ある元 a に対し、a より小さい全ての元で成り立つなら、a でも成り立つ。
という形の証明だけど、そんな行為一度だってしてない。
「難しく考えすぎ」ってスレ主が帰納法なんて関係ないことを書いたせいだろう。
ちなみに>>725も俺じゃない。ID見れば分かるけど、あなたが貶していたID:/kdxB2Ufさんだよ。
864:１３２人目の素数さん
15/04/05 12:14:51.69 X55sT+uM.net
>>789
命題「群 G の部分群 N と ∀g∈G に対し、N⊂gNg^-1 なら N=gNg^-1」
を超限帰納法を使って証明して下さい。
「超限帰納法も、ことは単純で」と言ったのは君だから、当然できるはずだよね？
＞３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
＞ 任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
＞ （超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）
865:１３２人目の素数さん
15/04/05 13:14:18.60 CBD9FLtF.net
>>800
自然数の場合の帰納法、整列性の概念すらちゃんと分かってないやつに出来るわけないだろw
866:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 14:11:36.46 5o4dQmCs.net
>>798-800
出題者さん、ども
次から新スレへ行きましょう
皆さん、ほんとレベルが高いね。感心するよ
論点整理をしよう
１．まず確認だが、>>794で有限群の場合は良いんだよね？
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」が、共役変換の本質：「集合なら一対一対応であり、群であれば同型」から従う
２．無限群についても、共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだと。
３．共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”を使って、”ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよし”だ
４．だから、>>417の問題(1) は、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルで可だ。
５．それは>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
６．但し、「N=gNg^-1」を使ったから、逆の包含についての説明か証明が必要だということになった。
それも既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
７．だから、数学的帰納法を持ち出して混乱させたが、>>417の問題(1) は既に終わっているし、共役変換の本質の理解と説明も間違っちゃいないだろ
８．但し、数学的帰納法と超限帰納法については、意見が一致していない
数学的帰納法と超限帰納法については、新スレ（下記）でやろう
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
867:１３２人目の素数さん
15/04/07 12:29:50.69 Z+g58olw.net
本格的にトンデモに育ってきたなw
868:１３２人目の素数さん
15/04/07 12:34:21.90 Z+g58olw.net
本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者から見たら笑止千万すぎるもんな威張りながら教わろうとはｗ
869:１３２人目の素数さん
15/04/07 13:44:50.66 NwxyNtnn.net
何を言う。
スレ主は王道を行っとる。
金払って威張り散らす腐れ教員に頭を下げるなど以ての外。
金払をもらったのならその分働け。
分かるように学生様に分かりやすく説明しろ。
教えたく無いなら、教える必要のない研究職につけ怠け教員。
870:１３２人目の素数さん
15/04/09 03:29:10.96 nTN786wm.net
国公立の学生は国民納税者に学費を税金経由でたかって学問収めさせてもらってる乞食なのだから国民納税者にひざまずけ
871:１３２人目の素数さん
15/04/09 19:03:28.26 K8KMCiFa.net
べき根で表せない解って具体的にどんな形をしてるの？
三角関数がうにょうにょした感じってイメージであってる？
872:１３２人目の素数さん
15/04/09 19:16:05.14 sC/9Vs45.net
それは超越解では
873:１３２人目の素数さん
15/04/09 23:20:27.82 +fXi7TzJ.net
テータ函数使えば，任意の代数方程式の解は書けるから
「三角関数がうにょうにょした感じ」でイメージはあってるなｗ
874:１３２人目の素数さん
2015/04/10(�
875:�) 06:30:24.58 ID:8XLHEbVF.net
876:１３２人目の素数さん
15/04/10 08:43:13.70 OjdOUtND.net
幼稚園にも上がれない大きな赤ん坊がスレを立ててるのを見るとなあw
877:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/10 23:19:06.58 PTxulp5P.net
どうも。スレ主です。
878:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/10 23:22:27.04 PTxulp5P.net
>>803-811
ご高説ありがとう
では、問題だ。>>517をお願いします。
本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者さまですか
さぞかし簡単でしょうね（笑い）
879:１３２人目の素数さん
15/04/10 23:39:35.28 OjdOUtND.net
だいたい基礎論持ってくる事態がお門違いというか。トンデモって基礎論大好きだからな
880:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 05:48:25.41 pLE9DoNh.net
どうも。スレ主です。
別に証明しろとは言っていない
「どう思いますか？」と、君の数学的センスを聞いているんだよ（笑い）
881:１３２人目の素数さん
15/04/11 17:11:54.27 osSnm/+q.net
基礎論厨の人の発言が「数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど」
そしてこのスレ主である。基礎論はなんか真面目にやってても不真面目なのがやっててもアレだなあ。
882:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 19:30:25.15 IFDb2ZM+.net
どう思うと聞いているだけなんだけどね
だが、それに答えると、てめえの数学レベルがばれる
そういう仕掛け
ただそれだけだ
基礎論もくそも
無関係だよ
883:１３２人目の素数さん
15/04/13 03:16:04.52 JBpqW1sO.net
低レベルが激おこかw
まあ、うんこ同士仲良くしろやwww
884:過去ログ ★
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