10/06/13 00:24:28 vt+nR8VQ0
先日の問題の解答です。自力で解けた人いるかな？
【問題】（念のため再掲載）
AB=AC,∠BAC=20° の二等辺三角形 ABC がある。
辺AB上に点E、辺AC上に点Dをとり∠CBD=60°,∠ECB=50°
となるようにしたとき、∠BDE の大きさを求めよ。
そもそもこの問題との出会いは、高校１年の時。中２の後輩が「この問題解け
ないんですけど、先輩解けます？」と部活の帰りに聞いてきました。「こんなの
角度を書いていけば、普通に解けるんじゃないの？」と言って、家で考えてみた
ものの、なかなか解けず。おかしいなぁ、と思いながらも、深く考えず、あきらめて
そのまますっかり忘れていました。
それから３年後、東大１年の時に同級生から「すごく難しい中学の図形の問題が
あるんだけど、知ってる？」と言われて出されたのが、またしてもこの問題。
あ、あの時の問題だ。そんな難しいと言うなら、高１で解けなかったわけだ。。。
と思って、再び家で考えてみるも、やっぱり解けず。
翌日、友達から聞いた答えは、奇跡的な補助線を使った超エレガントな解答でした。
【解答】
辺CD 上に∠CBE＝２０°となる点Fをとると、
△BFEは正三角形、△FBDは二等辺三角形になり、FB=FE=FD。
点B,E,Dは、点Fを中心とした同一円周上にある。
∠BDEは、弧BEの円周角なので、中心角(∠BFE＝６０°)の半分で３０°。
※△BCF,△BFE,△BCE,△FBD,△FBDが二等辺三角形と
なることを使って、角度を順番に計算していっても求められます。
す、すごい。点F、って何モノ？この点を中心にたくさんの二等辺三角形が現れる。
偶然とは言え恐ろしい。そもそも、こんな補助線、どうやったら思い付くんだろ。
続く・・・（詳細な解答のＵＲＬも後日）。