10/12/07 08:38:47 gkoWSOFI0
＞関数f(x)=x^2+ax+b（a,bは整数）がｘが全ての整数のとき、f(x)＞0であるとき、
全ての実数ｘについて、f(x)＞0であることを示せ
f(x)=x^2+ax+b=(x+a/2)^2 -a^2/4 +b
ここで、与えられた条件を考え、
すべての整数について、f(x)＞0ということは、
ある整数kについてf(k)＞0かつf(k+1)＞0で、
f(x)＜0になるのは、k＜x＜k+1（kは整数）と表される区間の間でなくてはならない
（まあ、こういう表し方不要か？ｗ でも、俺はそうしたいのでｗ
しかし、答えを言うと、図形的に考え、y=x^2を平行移動したグラフは
幅１の区間で、最大でも1/4しか落ちることができないｗ
y=x^2のグラフにx=±1/2を代入してみるといいｗ で、図形的これを、実際に証明するｗ）
y=f(x)の頂点のx座標x=a/2 について
（aの偶奇で場合分けするｗ もちろん偶数のときは自明で、奇数のとき、、、）
ⅰ) aが奇数のとき
与えられた条件（a,bは整数も！）より、
f(-(a-1)/2) （←a-1が偶数（２で割り整数ｗ）の、頂点に一番近いxが整数の点ｗ
そのxでf(x)＞0及び他の条件を題意より反映してやるｗ）
=(-(a-1)/2+a/2)^2 -a^2/4 +b
=1/4-a^2/4+b≧1
（＞0より、≧1の方が、与えられたa,bは整数という条件を反映したことになるｗ
x^2+ax+b の形見れば自明に分かるように、xが整数を代入すれば、f(x)も整数となるｗ）
∴-a^2/4+b≧3/4＞0
ⅱ) aが偶数のとき 自明なので略ｗ
ⅰⅱより、全ての整数xについてf(x)＞0が成り立つ //