14/12/23 09:57:42.01
>>200
別の求め方もあるから、ちょっと待ってね。
x、yは同時には0にならないからy≠0として、x/y=tとおくと、tは任意の実数値を取る変数である。
以下、tの場合分けをしてz＝(t^2+kt+1)/(t^2+t+1)について考える。
Case1)t≠0のとき、zは
z＝1+(k-1)t/(t^2+t+1)
＝1+(k-1)/(t+(1/t)+1) …①
と変形出来る。
Case1-1)t＞0のとき、相加・相乗平均の関係より、t+1/t≧2だから、①から、
z≦1+(k-1)/3＝(k+2)/3。一方、①からt→+∞のときz→1+0、故、z≧1。
従って、1≦z≦(k+2)/3。k＞1だから、確かにzはこれを満たす。
Case1-2)t＜0のとき、-t＞0だから、同様に、-(t+1/t)≧2、即ちt+1/t≦-2。
よって、①からz≧1-(k-1)＝2-k。同様に①でt→-∞とすると、z→1-0、故、z≦1。
従って、2-k≦z≦1。k＞1だから、確かにzはこれを満たす。 (Case1-2終)
Case1-1、1-2から、1≦z≦(k+2)/3 または 2-k≦z≦1。
ここで、k＞1だから、2-k＜1、(k+2)/3＞1 が共に成り立つ。故、2-k≦z≦(k+2)/3。 (Case1終)
Case2)t＝0のとき、z＝1。 (Case2終)
Case1、2から、zの範囲は、2-k≦z≦(k+2)/3。求めるzの最小値：2-k、最大値：(k+2)/3。