14/11/21 16:16:20.79
平均値の定理から
(f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)となるようなc∈(a, b)が存在する。
fはIで下に凸だから、
f(c) < f(a) + (f(b)-f(a))/(b-a) * (c-a) = f(a) + f'(c) * (c-a)
f(c) < f(b) + (f(b)-f(a))/(b-a) * (c-b) = f(b) + f'(c) * (c-b)
式変形して、
(f(c) - f(a))/(c-a) < f'(c) < (f(b) - f(c))/(b-c)
>>408より、
f'(a)≦(f(c) - f(a))/(c-a) < f'(c) < (f(b) - f(c))/(b-c)≦f'(b)
したがって、f'(a) < f'(b)
よって、f'はIで単調増加関数である。