14/11/18 21:54:25.06
曲線y=x^3上の点で、点(4, 0)に最も近い点を求めよ。
この問題の解答なのですが、以下の自分の解答が標準的なものかどうか分かりません。
ちょっとトリッキーな式変形をしているように思います。
標準的と考えられる解答を教えてください。
（解）
曲線y=x^3上の点(x, y)と点(4, 0)の距離の2乗は、
(x-4)^2 + y^2 = (x-4)^2 + x^6 =: f(x)
である。
f'(x) = 2*(x-4) + 6*x^5 = 6*x^5 + 2*x - 8
= (x-1)*(6*x^4 + 6*x^3 + 6*x^2 + 6*x + 8)
= (x-1)*(6*x^4 + 6*x^3 + 6*x^2 + 6*x + 6 + 2)
=6*(x-1)*(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) + 2*(x-1)
=6*(x^5 - 1) + 2*(x-1)
f'(1) = 0
x^5およびxは単調増加関数だから
1 < x ⇒ 0 < f'(x)
x < 1 ⇒ f'(x) < 0
よって、f(x)はx=1で最小値をとる。
以上から、点(4, 0)に最も近い点は、(1, 1)