14/09/28 19:08:59.25
>>64
余弦定理からaa=bb+cc+bc
aa=(b+c)^2-bc
bc=(b+c-a)(b+c+a)
b,cともに素数からbcの約数はbc,b,c,1の4つ
b+c+a>b, b+c+a>c, b+c+a>b+c-aから、
b+c+a=bc, b+c-a=1
a消去して整理すると(b-2)(c-2)=3 ∴{b,c}={3,5}
よって面積は3*5*(√3/2)/2=15√3/4
s,tどちらか一方が有理数になることは当たり前にあるので、「s,tともに有理数」でないことを示せ、と解釈する。
対称性からs,tともに正であるとしてよい（どちらか0のときは簡単にわかるので省略）
s,tがともに有理数であると仮定する
s=b/a, t=d/c (a,b,c,dは正整数、またa,bとc,dはそれぞれ互いに素）とおけて、
2(b/a)^2+3(d/c)^2=1
2bbcc+3aadd=aacc
2bbcc=aa(cc-3dd)
a,b:互いに素から、2ccがaaで割り切れるが、aが奇数であればccがaaで割り切れることになり、
aが偶数であればa=a'*2^m(a':奇数,m:正整数)として議論をすれば同じくccがaaで割り切れることが分かるので、
cc=kkaa(k:自然数)とでき、(∵素因数分解）
2kkaabb=aa(kkaa-3dd)
2kkbb=kkaa-3dd
3dd=kk(aa-2bb)
先程と同様の議論によりdがkで割り切れることが導かれるがk≠1とするとc,dが互いに素に反するのでk=1
∴2bb+3dd=aa
ここでn:自然数に対し(3n±1)^2≡1(mod3)であることを考慮するとa,bともに3の倍数であることが導かれるがa,bが互いに素であることと矛盾
よってs,tのどちらかは無理数 証明終