14/09/30 16:08:25.52
>2^α+3^α=1を満たす実数αが唯１つ存在して、それが無理数であることを示せ。
与えられた条件 2^α+3^α＝1 ……① の左辺を実変数αの関数と見なし、f(α)＝2^α+3^α とおく。
第１段：条件①を満たすα∈Rが確かに唯１つ存在することを示す。
[存在性]、f(-1)＝2^{-1}+3^{-1}＝(1/2)＋(1/3)＝5/6、 f(0)＝2 から、f(0)＞1＞f(-1)。また、関数f(α)の定義に注意すると、
f(α)は連続な実関数である。よって、中間値の定理により、或るx∈Rが存在して、f(x)＝1、-1＜x＜0 となる。
[一意性]、共に或るa、b∈R、a＜b、が存在して、f(a)＝f(b)＝1であったとする。すると、関数f(α)の定義に注意すると、2^a+3^a＝2^b+3^b から、
2^{a}-2^{b}＝3^{b}-3^{a} ……② となる。然るに②は、a＜b から確かに 2^{a}-2^{b}＜0＜3^{b}-3^{a} であることに反し矛盾する。
従って、矛盾が生じる。故に、存在性の議論から、確かに唯１つの或る-1＜x＜0なる実数xが存在して、f(x)＝1 ……③。
これで、①を満たすα∈Rが唯１つ存在することが示された。ここに、-1＜α＜0。
第２段：x∈R＼Qを示す。矛盾に導くために、x∈Qであったとする。
すると、-1＜x＜0から、xに対して、a＜bかつ互いに素なるような、共に或るa、b∈N-{0}が存在して、x＝-a/b であり、f(x)を計算すると、
f(x)＝f(-a/b)＝2^{-a/b}+3^{-a/b}＝(1/2)^{a/b}＋(1/3)^{a/b}。よって、③から、(1/2)^{a/b}＋(1/3)^{a/b}＝1 であって、
g(a、b)＝1＋(2/3)^{a/b}とおけば、g(a、b)＝2^{a/b} から、(g(a、b))^{b}＝2^{a} ……④ であって、④において、
(g(a、b))^{b} つまり、＝(1＋(2/3)^{a/b})^{b} を展開すると、二項定理から
(g(a、b))^{b}＝1＋C[b.1]・(2/3)^{(a/b)・1}＋……＋C[b.b-1]・(2/3)^{(a/b)・(b-1)}＋(2/3)^{a}＝Σ[k=0,b]{C[b.k]・(2/3)^{(a/b)・k}}。
従って、④から、Σ[k=0,b]{C[b.k]・(2/3)^{(a/b)・k}}＝2^{a} ……⑤。然るに、aとb、及び2と3は共に互いに素であるから、
各k＝1,…,b-1に対して(2/3)^{(a/b)・k}∈R＼Qであって、任意に取った1有理数と、b-1個の無理数(2/3)^{(a/b)・k}、k＝1,…,b-1 は体Q上線型独立である(この辺り、少し杜撰)。
よって、各b＝0,1,…,bに対してC[b.k]∈Qなることに注意すると、⑤は成り立たず矛盾が生じる。この矛盾はx∈Qしたことから生じたから、x∈R＼Q。