14/09/30 10:01:06.39
(>>215の続き)
第２段：実数xが無理数であることを示す。矛盾に導くために、xが有理数であったとする。
すると、-1＜x＜0から、xに対して、共に或るa＜bかつ互いに素であるような正整数a、bが存在して、x＝-a/b となり、ここでf(x)を計算すると、
f(x)＝f(-a/b)＝2^{-a/b}+3^{-a/b}＝(1/2)^{a/b}＋(1/3)^{a/b}
となる。よって、③から、(1/2)^{a/b}＋(1/3)^{a/b}＝1 であって、1＋(2/3)^{a/b}＝2^{a/b}、即ち、g(a、b)＝1＋(2/3)^{a/b}とおけば、g(a、b)＝2^{a/b} から、
(g(a、b))^{b}＝2^{a} ……④ であって、④において、(g(a、b))^{b} つまり、＝(1＋(2/3)^{a/b})^{b} を展開すると、二項定理から
(g(a、b))^{b}＝1＋C[b.1]・(2/3)^{(a/b)・1}＋……＋C[b.b-1]・(2/3)^{(a/b)・(b-1)}＋(2/3)^{a}
＝Σ[k=0,b]{C[b.k]・(2/3)^{(a/b)・k}}。
従って、④は、Σ[k=0,b]{C[b.k]・(2/3)^{(a/b)・k}}＝2^{a} ……⑤ となる。
然るに、a＜bなる正整数a、bは互いに素、かつ2と3は互いに素であるから、各k＝1,…,b-1に対して(2/3)^{(a/b)・k}は無理数であって、
1つの有理数と、b-1個の無理数(2/3)^{(a/b)・k}、k＝1,…,b-1 はQ上線型独立である(この辺りは、少し杜撰になっている)。
よって、各b＝0,1,…,bに対してC[b.k]は有理数であることに注意すると、⑤は成り立ち得ず矛盾が生じる。
この矛盾は実数xが有理数としたことから生じたから、xは無理数である。