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>2^α+3^α=1を満たす実数αが唯１つ存在して、それが無理数であることを示せ。
与えられた条件 2^α+3^α＝1 ……① について、①の左辺を実変数αの関数と見なし、f(α)＝2^α+3^α とおく。
第１段；条件①を満たす実数αが確かに唯１つ存在することを示す。
[存在性]、α≦-1とすれば、αに対して或る実数a≧1が存在して、α＝-a となる。
そこで、a＞0に注意して、f(α)にα＝-aを代入してf(α)を計算すると、
f(α)＝f(-a)＝2^{-a}+3^{-a}＝(1/2)^{a}＋(1/3)^{a}。
また、実変数x＞0の異なる2つの指数関数(1/2)^{x}、(1/3)^{x}は、共にx＞0で単調減少かつ連続である。
よって、a≧1に注意すると、f(α)＝(1/2)^{a}＋(1/3)^{a}≦(1/2)＋(1/3)＝5/6＜1
となって、f(α)＝f(-a)＜1 を得る。一方、α＝0だったとすれば、f(0)＝2 であり、f(0)＞1。
ここに、実変数αの関数f(α)の定義に注意すると、f(α)は連続な実関数である。
従って、f(-a)＜1＜f(0)、a≧1 から、中間値の定理により、-a＜x＜0なる或る実数xが存在して、f(x)＝1 となる。
[一意性]、共に或る異なる2つの実数a、bが存在して、f(a)＝f(b)＝1、a＜b であったとする。
すると、関数f(α)の定義に注意すると、2^a+3^a＝2^b+3^b から、2^{a-b}＝3^{b-a} ……② となる。
然るに、②の右辺について、a＜b から、a-b＜0 であることに着目すると、2^{a-b}＜1。
また、②の左辺について、同様に考えて、b-a＞0 であることに着目すると、3^{b-a}＞1。
従って、②は成り立ち得ず矛盾が生じる。故に、存在性の議論、及びf(-1)＝5/6に注意すると、
確かに唯１つの或る-1＜x＜0なる実数xが存在して、f(x)＝1 となる。
これで、①を満たす実数αが唯１つ存在することが示された。ここに、-1＜α＜0 であることに注意する。
以後、①を満たす唯１つの-1＜α＜0なる実数αをxで表わす。すると、-1＜x＜0 であって、f(x)＝1 ……③。