14/09/29 12:23:18.60
>>123
(1)
g(x)=f(x)-xとおくとg'(x)=f'(x)-1<0 ∴g(x)は単調減少…①
またf'(x)<1/2からf'(x)-1<-1/2
ここでこの不等式は常に成り立ち、(左辺)=g'(x)であることに注意して、0からs(s>0)まで積分すると、
g(s)-g(0)<-s/2 ∴g(s)<-s/2+g(0) sが十分大きいとき右辺は負になるので、xが十分大きいときg(x)<0
また-1/2<f'(x)から同様の議論をすることによりxが十分小さいときg(x)>0となることがわかる
中間値の定理及び①からf(x)-x=0は実数解を唯一つもつ
(2)
a_n≠αのとき
平均値の定理から{f(a_n)-f(α)}/(a_n-α)=f'(c) （ただしcはa_nとαの間）をみたす実数cが存在する
f(a_n)-f(α)=a_(n+1)-αであることと|f'(c)|<1/2であることに注意して両辺絶対値を取ると
|a_(n+1)-α|<1/2|a_n-α| ∴0<|a_n-α|<(1/2)^(n-1)|a_1-α| ∴はさみうちにより示された
a_n=αのとき a_n=a_(n+1)が導かれるので同じく示された