14/09/29 12:04:41.00
>>121
回転体全体の体積はπ^2/2
故に∫[a_n,π/2]π(sinx)^2 dx=π^2/4n⇔∫[a_n,π/2](sinx)^2 dx=π/4n …(*)
積分の平均値の定理から(左辺)=(π/2-a_n)(sinα)^2, a_n<α<π/2 を満たすαが存在する
n→∞でa_n→π/2なので（このことは直感的にもわかるし(*)から示せる）α→π/2とわかる
だから (π/2-a_n)(sinα)^2=π/4n⇔n(π/2-a_n)=(π/4)/(sinα)^2→π/4
そのようなmが存在しないと仮定すると、f(1)≠1からf(1)≧2
条件よりf(2)≧f(1)≧2となるがf(2)≠2からf(2)≧3
この議論を繰り返すことによりf(3)≧4, ... f(n)≧n+1
しかしf(n)≦nから矛盾 ∴そのようなmが存在する
下2つは典型問題すぎるので書く気起きない、誰か頼む