14/09/28 09:17:18.84
>>62 つづき ども、スレ主です
>矢ヶ部P497にあるように、τ＝(1,2,3) をσで変換する（σ-1τσを作る）と、τ＝(σ(1),σ(2),σ(3)) と書ける
>つまり、任意のσ∈Sn だから、適当にσを選ぶとτ＝(1,2,3) からσを使って任意の３文字（i,j,k）が作れる。
>正規部分群の定義から、n>5では、対称群Snの正規部分群は、必然的に交代群Anになってしまうということが分かる。
>可解群（下記）を考える。G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃···⊃ Gi ⊃ Gi+1 ⊃···⊃ Gn = {e}という正規部分群の列があったとする
>G1より小さな正規部分群G2が存在すると仮定すると、G2は長さ３の巡回置換で生成されているが、一つの(1,2,3)から変換で任意の３文字（i,j,k）が作れる
>従って、G2は結局A5になってしまう
言葉で書くと、n>5で対称群Snの正規部分群として偶置換から成る交代群Anが取れる。Anより小さい正規部分群は？
偶置換だから長さ３の巡回置換で表される。n>5の場合、任意の３文字（i,j,k）の巡回置換を作ることができる。結局それはAnになる
ここらの事情を、
「長さ3の巡回置換と長さ5の巡回置換が絡み合い、商群として長さ3の巡回置換がとれない」 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
「S5 ではA5 が単純群になってしまいます。共役類を回す範囲が広くなってくるため、全体の絡み合いが強くなるからです。」>>50
などと、表現する人がいる。スレ主が思うに、絡み合い＝”群としての演算 & 正規部分群としての変換演算”を意味していると考える
長さ３の巡回置換が一つ含まれれば、”群としての演算 & 正規部分群としての変換演算”の要請から、次々巡回置換が作られ結局A5だと