14/11/08 22:11:56.73
ガロアがどのようにして正規部分群の概念に到達したかということについていろいろと書いているが置換を
具体的にいじらなくても正規部分群の元になる考え方はシンプルというか自然な形で出てくると思うけどなあ
(もちろん正確な事は分からないので推測の域を出ないし大雑把なお話レベルだが)
多項式p(x)をp(x)=q(x)r(x)の形にすることを考えたときq(x)が1次式だと解が1つ得られ引き続きr(x)で同様に
考えれば良いのでq(x)の次数は2以上とする
x'-a=q(x)と変換しp'(x')=(x'-a)r'(x')とするとp'(x')=0の解が1つ得られ以後r'(x')で同様に考えていけば良い
1次方程式x'-a=0の群を考えるとge=egが常に成り立っている(恒等置換で解は動かない)
x'をxに戻して上記の事と対応させるとq(x)=0の群をHと書くことにすれば
x': 1次方程式x'-a=0 群e ge=eg
x: 方程式q(x)=0 群H gH=Hg(上のeのように振る舞ってほしい)
となりgH=Hgが成り立っていると置換で動く範囲をq(x)=0の解の集合内に制限できる
ガロア理論とは関係ないが形式的な類似性という話でニールセン-シュライヤーの定理(公式)の証明法も
小ネタというかミーハーなネタになるかもしれない