14/10/19 12:22:13.92
>>283
＞１．「Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。」>>255 という陳述が、成り立つ条件を教えてくれ
無条件で成り立つ。
しかたないから証明してあげるので、以下の証明を1行1行丁寧に読んでみて、
わからないところがあったら何行目がわからないと指摘してごらん。
他の文献にこう書いてあるとかはどうでもいいから、下の証明だけを読んで、ね。
（証明）
準同型φ:H→σ^(-1)・H・σをφ(h)=σ^(-1)・h・σで定める。
念のためこれが準同型であることを示しておく。
φ(g・h)=σ^(-1)・g・h・σ=σ^(-1)・g・σ・σ^(-1)・h・σ=φ(g)・φ(h)
なので、確かに準同型である。
次に、これが同型写像であることを示す。
ψ:σ^(-1)・H・σ→Hをψ(g)=σ・g・σ^(-1)で定める。
このとき、
ψ(φ(h))=σ・σ^(-1)・h・σ・σ^(-1)=h
φ(ψ(g))=σ^(-1)・σ・g・σ^(-1)・σ=g
なので、ψはφの逆写像である。
したがって、φは同型写像なので、Hとσ^(-1)・H・σは同型である。