14/09/23 18:45:01.77
>>22
ありがとう。連投規制クリアできた
>などと意味不明の供述をしており
はい、>>2”三日で30レス”稼ぎの一環です
>>23 つづき
例えば、将棋や碁のプログラム。まだ、トッププロが強いとしても
相当強い。それを使えば、相当やれるところまで来た
と、同様に旧帝大のトップ数割の天才クラスを除けば、かなりやれる
それが２１世紀ではないかと
25:１３２人目の素数さん
14/09/23 18:51:24.19
>>24 補足
>例えば、将棋や碁のプログラム。まだ、トッププロが強いとしても
>相当強い。それを使えば、相当やれるところまで来た
例えば、google glass URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アマ有段者と将棋をする。こっちは初心者
で、google glass使って、最善手を教えて貰う。それで十分アマには通用する
で、プロでも弱い相手には勝つ
しかし、将棋ソフトを使えないやつは無能（勝てない）
数学も似たような状況になってきた
それが２１世紀だと
26:１３２人目の素数さん
14/09/23 18:55:44.50
>>25 補足
>しかし、将棋ソフトを使えないやつは無能（勝てない）
>数学も似たような状況になってきた
>それが２１世紀だと
例示が将棋なので、あほみたいだが
例示が物理や化学や経済学や統計学となれば、話は違うだろう
数学ソフトの助けを借りて新理論
いまや、数学界でも当たり前かも知れないが
27:１３２人目の素数さん
14/09/23 19:04:20.28
旧スレ 691 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:690番)
どうも、スレ主です
"数学についてのブルーバックスなんか
何冊もあるわけじゃないんだから読んどいた方が良い。
数学書を100頁読むのに50時間掛かっても全然驚かないが、
ブルーバックスはほぼ小説と同じ速度で（一冊2、3時間で）読めて、
しかもその分野の大雑把な空気が分かるでしょ？
効率のことを考えるときに最も重視すべきは金じゃなくて時間対効果だよ。 "
これ正にスレ主としても言いたいこと
>>679”その程度の知識"だけ"を得るのに大量のゴミを仕入れるのは非効率だと言っている。
まとも教科書を読めば同じ時間で他の重要な知識も手に入る。 ”は、一見正論だが
”まとも教科書を読めば”は、あくまで仮定だ
その仮定が、全数学科の学生に成立するなら、教師は不要だ
ほとんどの場合、一人では”まとも教科書を読む能力はないだろう”が正しい仮定だ
28:１３２人目の素数さん
14/09/23 19:56:41.95
旧スレ 659 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:659番)
どうも、スレ主です
"そもそも高校生に理解させる必要が無い
理解したいなら大学数学を勉強すればよい "
わかってない
世にガロア本が多数あるよ
例えば、『ガロアの群論』（中村亨）：ブルーバックス｜講談社
13歳の娘に語るガロアの数学 [著]金重明
天才ガロアの発想力/小島寛之
ガロア理論 数学のかんどころ14/木村俊一 （これは本格的かも）
もっと沢山ある
それが結構売れている
要は、「高校生までの知識で理解できる」と読み替えろよと
29:１３２人目の素数さん
14/09/23 20:06:55.76
>>28 補足
どうも、スレ主です
>もっと沢山ある
>それが結構売れている
>要は、「高校生までの知識で理解できる」と読み替えろよと
「理解したいなら大学数学を勉強すればよい」では、答えになっていない
そして、大学数学を勉強しても、多くの学生が金沢程度（旧スレの285）（卒論で特にガロア理論勉強してこれじゃ、他の人は・・）
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
研究室の学生の卒業論文・修士論文 Kazuhiko KURANO Meiji University
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2007 年度卒業研究 5次方程式 高校生に5次方程式の解の公式が存在しないことを教える試み 理工学部数学科 金沢雄太 2008 年
（P5-7の正12面体と交代群A5との関係を説明する図と文が良いと思ったが、木村俊一からのパクリだった）
大学数学では、ガロア理論は通過点の一つのはずだ
大学数学を勉強したら、ガロア理論が分かるとはならない場合も多いだろうさ
30:１３２人目の素数さん
14/09/23 20:24:21.97
旧スレ 661 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:661番) ｽﾚﾘﾝｸ(math板:639番)
どうも、スレ主です
これで３０超え。後は普通に書きます
”>>637 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
群と群の絡み合いって何ですか？”
ふふふ。まあ、リンクURL開いて見なよ
「URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
A5が偶置換として、(32154)(13245) = (123) の事実に依る。｛ここで、置換群の積στはτにσが掛かるとする。｝
長さ3の巡回置換と長さ5の巡回置換が絡み合い、商群として長さ3の巡回置換がとれないのである。
URLﾘﾝｸ(www.sist.ac.jp)
五次方程式の非可解性 」
この後の「五次方程式の非可解性」は、静岡理工科大学 情報学部コンピュータシステム学科金久保正明先生のサイトだ
ここに、詳しく書いてあるよ
「（第2ステージ）五次交代群は単純群である（単位元である恒等置換以外に、正規部分群を持たない）」の部分だ
「このステージは、さらに以下の細かいステージをクリア（確かめる）する事で達成される。
・(2-1)五次交代群の中から単位元だけ以外の正規部分群Hを取ると、Hは必ず長さ3の巡回置換（三次巡回置換という）を含む。
・(2-2)交代群の中の任意の三次巡回置換（abcとする）が、交代群の正規部分群に含まれれば、その正規部分群には、(abn1)、(abn2)、(abn3)・・・(abni)が（niは出て来るab以外の全ての記号）が含まれる。
・(2-3)任意の三次巡回置換（ijkとする）は、必ず任意の二つの文字（a、bとする）を使った(abi)と(abj)と(abk)の積で表される。」
ってことよ
31:１３２人目の素数さん
14/09/23 20:39:07.76
旧スレ 708 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:708番)
どうも、スレ主です
”手法に対する禁欲は、web上で無料で手に入る文献だけで勉強しようとするくらい無意味である。 ”
後半の「web上で無料で手に入る文献だけで勉強しようとする」は、あまり意味ないと思うけど
（取りあえず手軽に手に入るという意味で、初歩は良いとして）
前半の「手法に対する禁欲」って、それも程度問題
例えば、グロタンさまは、ガロア理論の圏論的定式化を考えたとか
だが、日本の大学の数学科でグロタン神学によるガロア理論を教えているところはないだろう（それとも圏論的にやれとでも？）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
だから、現代ガロア理論とは別に、古典的ガロア理論や、ガロア原論文による理論とか、それぞれ意味があるんだ
32:１３２人目の素数さん
14/09/23 20:53:55.44
>>31 補足
どうも、スレ主です
ガロア原論文による理論を学ぶ意義は
１．現代数学が抽象化してゆく原点の理論だと
２．理論というのは、出来たときは手作り荒削り。それを後世の人が磨いて分かりやすくする。だが、素朴な手作りの味も重要だ
３．ガロアの前には、デデキントもシュタイニッツもネターもアルティンも居なかったんだ。弱冠二十歳のガロアが作った意義は偉大だよ
４．ガロアのブレークスルー（＝突破力）、デデキントもアルティンも、めじゃない。「おれは自分で道を作る」この精神を知ること
これらを知ることじゃないだろうか？
旧スレ705"車輪の再発明はやめてくれ！"?
？？ ガロアが聞いたら笑うだろうよ
「ガロア原論文で、理論のみならず発明力も学べ」と
33:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:03:35.66
,j;;;;;j,. ---一､ ｀ ―--‐､_ l;;;;;;
｛;;;;;;ゝ T辷iﾌ i f'辷jァ !i;;;;;
ヾ;;;ﾊ ﾉ .::!lﾘ;;rﾞ
`Z;i 〈.,_..,. ﾉ;;;;;;;;>
,;ぇﾊ、 ､_,.ｰ-､_',. ,ｆﾞ: Y;;f そんなふうに考えていた時期が
~''戈ヽ ｀二´ r'´:::. `! 俺にもありました
34:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:11:00.56
／⌒ヽ この決闘は私のおごりだ！
( ＾ω＾) ｼｭｯ
（つ と彡 ./
／ ./
／ ./
／// /
丶_ｎ.＿_/
[I_ 三ｦ (
￣ （⌒
⌒Y⌒
35:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:12:15.29
／⌒ヽ
⊂（#＾ω＾） 曖昧の理論とかやってられないっすよ！！
/ ﾉ∪
し―-J |l| |
人ﾍﾟｼｯ!!
丶_ｎ.＿_
[I_ 三ｦ (
￣ （⌒
⌒Y⌒
36:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:14:10.76
>>31
全く反論になっていないが。
37:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:17:22.77
／⌒ヽ
＼ ⊂[（_ ＾ω＾）
＼/ (⌒ﾏ´
（⌒ヽrヘJつ
＞ _）、
し' ＼_） ヽヾ＼
丶
_,,..,,n,r'ﾞ <⌒つ
./ ﾟ 3 ヽ ）´
） l ﾟ ll ∩ ノ そ
Σ `'ｰ---‐'' （
⌒ヽ/V⌒v､/⌒ ﾋﾞﾀﾞｧｧｧﾝ!!
＿
/ ｊｊｊｊ ＿
／ タ {!!! _ ヽ､
,/ ﾉ ~ `､ ＼
`､ `ヽ. _,,..,,,,_ ,‐'` ﾉ
＼ / ,' 3 `ヽ .ノ／ ／⌒ヽ
三 ヽ.l lr ' ⊂二二二（ ＾ω＾）二⊃
三 |::::::::::>-―''￣￣ ヽ | /
三 三 ゝ＿（＿＿,,-―''､_,ゝ （ ヽノ
三 三 / / ＼ ＼_／| ﾉ>ノ
/_(￣(＿ ＿/ k ＿／ 三 レﾚ
三 |／
38:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:18:00.57
>>30
その言い方だと5次巡回置換と3次巡回置換が生成する5次置換群の部分群は必ず非可解になる、どういう絡み方なら非可解になるかを言わないと無意味だ、
という主張には全く反論していない。
39:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:18:29.71
￣￣| ／⌒ヽ
＿＿|＿ ＿（＾ν＾ ）
＾ν＾） ／⌒ヽ. ／ /ニニ _<￣|￣ヽ .┌‐┐
7 ⌒い _（ ＾ω＾） ／ 0)〓〓)ニ) 〈 | | ヽ ＿l＿_|＿ ┌‐┐
| l ／ﾌ￣⌒ヽ ｎ／ lニニニーー―‐＾ （＾ν＾）＿l＿_|＿
＼ ＼ (／l､＿_＼__ソ /＝￣/ ￣//日|￣￣￣ニ＝ -/ ヽ （＾ν＾）
＼ /っ / ,(＿＼. ／ ／ ￣￣/ | |￣| |□ [ ]ヽl / ヽ
│／_／ /__ﾉ ( >＿￢＿Ω／＿＿|＿＿|＿|＿|＿＿＿＿ヽ |
＿＿＿)─' └--' {￢（ （＿＿――――――ー
│ | │ （= ヽ <== ゝ〔＿＿＿＿日＿＿日□（（○）
┤ ト-ﾍ ゝ==＾￣￣ゝ==＼＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿〃
40:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:19:22.07
┌─┐[][] /〉.,┐◎
￣￣| ／⌒ヽ . ￣/〈 // | |
＿＿|＿ ＿ （ﾞﾟ'νﾟ' ） く∧〉 〈/ .|_」 「７ 「７
ﾞﾟ'νﾟ'） /ニ＼＼ _<￣|￣ヽ ┌‐┐ [][] 「| ﾚ .ﾚ
7 ⌒い l! ﾌｯ 0)〓〓)ニ) .〈＼＼ | ヽ ＿l＿_|＿ ┌‐┐ ノノ Ｏ Ｏ
| l |l| i|ｌi , lニニニー＼＼―‐＾ （ﾞﾟ'νﾟ'）＿l＿_|＿ ／⌒ヽ. ／
＼ ＼ l|! :l. /＝￣/￣//日|＼＼￣￣ニ＝ -/ ヽ （ﾞﾟ'νﾟ'） _（ ＾ω＾） ／
＼ /っ !i ;li ／ ／ ￣￣/ | ＼＼ |￣| |□ [ ]ヽl / ヽ ／ﾌ￣⌒ヽ ｎ／
│ i!| |i ( >＿￢＿Ω／＿＿|＿＿＼＼|＿|＿＿＿＿ヽ | (／l､＿_＼__ソ
＿＿＿) {￢（ （＿＿―――＼＼―――ー / ,(＿＼.
│ | │ （= ヽ <== ゝ〔＿＿＿＿日＼＼＿日□（（○） ／_／ /__ﾉ
┤ ト-ﾍ ゝ==＾￣￣ゝ== ＼＼＿＿＿＿＿＼＼＿＿〃 ─' └--'
41:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:21:09.76
::ﾞ;;::゛;;::;:ヾ;:゛ゞ;ヾ;;) ､ .
ゞ::ﾞ;ヾ;;:ゞ:;:ヾ;:ゞ;ヾ; ヽ /
ンヾ゛;ゞ:;ヾ゛;;ゞ;:)ヾ - - ○ --
"人;从ヾ从/:ﾞ;ヾノ ／ 丶
ji!||;|;:|:!ｿ ゛
il|;:!|::|::| 決闘を申し込んだ相手が全然現れない
|i!;:|:li|!:|_,／⌒ヽ
i|i!;:|:i|く （ ＾ω＾）
}|il:.|:;:i:|ヽ. ｀へ.
ノ ,i j.:.,､i.i入＿_￣)､_） "'' ,,...
゛..,. ''''" '''ﾞ' '''ﾞ ,,,.., "''
"'''" ゛'' ...,,.,. '',,. ─┼──
42:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:42:51.17
旧スレ 714 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:714番) 誤爆スマソ 500KBを超えてしまった
どうも、スレ主です
旧スレ 712 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:712番)
>必ずしも概念の発展を歴史の実際の流れそのものに沿って学ぶ必要はない。
>再構成された嘘だけど自然な動機付けで概念の発展を追うのは学習上非常に有用だよ。
それは否定はしない。が、一方で、しばしば原典を読むことの重要性やおもしろさ
あるいは、ノーベル賞やフィールズ賞を取った大家でも、これはと思う原典を興味を持って読むということはある
ところで、スレのタイトル「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」には気付いているかい？
「現代数学の系譜」共立出版 下記。2012年度日本数学会賞出版賞らしい
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
2012年度日本数学会賞出版賞 2012年度日本数学会賞出版賞は以下の通りに決定しました。
「現代数学の系譜」全14巻 15冊 共立出版
1969年から28年間に及ぶ息の長い企画であり，ヨーロッパ近代の数学を原典に即して概観することができる貴重な叢書として，完結に導いた点を高く評価いたします．
（引用おわり）
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2012-03-30
3月23日に2012年度日本数学会賞出版賞の発表があり、共立出版の「現代数学の系譜」全14巻が決定したという記事を見ました。
数学の内容自体を学ぶためなら、なにもわざわざ、今となっては読みにくい古い著作を苦労して読む必要もないわけですが、
やはり古典には古典の味わいがあり、古典を読むことで新たな発見があることも多いので、このシリーズはときどき図書館で参照しています。
43:１３２人目の素数さん
14/09/23 21:49:20.85
>>33-35 >>39-41
へー、スレ主です
ご苦労さまです
狸さんではないみたいだね
44:１３２人目の素数さん
14/09/23 22:43:22.65
数学史の研究も重要です。
どうせなら出典、考証もしっかりやって論文になり得る物を目指して下さい。
中途半端が一番いけません。
高瀬正仁 氏とかの仕事を参考に。
高瀬 氏の最近の出版物
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
45:１３２人目の素数さん
14/09/23 22:44:08.39
>>42 つづき
>ところで、スレのタイトル「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」には気付いているかい？
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
アーベルガロア群と代数方程式 現代数学の系譜 【11】巻
に由来している。スレ１にもそのことは書いた
そして、”2012年度日本数学会賞出版賞”は、数学会としても価値を認めた
”やはり古典には古典の味わいがあり、古典を読むことで新たな発見があることも多い”ってことだろうか？
似た本に、倉田、Edwards、彌永がある (Edwardsは、倉田を読むと、証明がEdwardsからの引用が多いので買った)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアを読む―第1論文研究 単行本 – 1987/7/15 倉田 令二朗 (著)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) (英語) ハードカバー – 1997/12/1 Harold M. Edwards (著)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8/1 彌永 昌吉 (著)
余談だが、Edwards本の前書きに、”Read the Masters!”というキーワードとともに、彼がこの”Galois Theory ”という原論文の解説を書いた理由
それが書かれている
Edwardsは、明白にガロア原論文と書いている。倉田令二朗も同じだったのだろう。日本語を出版した
それを、どう取るか。各人それぞれで良い。が、スレ主の意見は、スレのタイトル通りだ
46:１３２人目の素数さん
14/09/23 23:02:03.47
>>45 訂正
Edwardsは、明白にガロア原論文と書いている。
↓
Edwardsは、明白にガロア原論文を読むことは有用と書いている。
補足
上記は、1984のEdwardsの意見だが、いまでもそういうだろうよ
かつ、２１世紀の数学者でも、興味と時間があれば、Edwardsを読むことは否定しないと思うよ
結局さ、ここらのレベルに来ると、小学校や中学校と違うんだよね。小中学校では「はい、これが教科書です」と
しかし大学では、「なんだ、教科書しか読んでないのか？」と
47:１３２人目の素数さん
14/09/24 01:39:55.02
その大学とは理想化された架空の存在だな
48:１３２人目の素数さん
14/09/24 01:46:46.76
シケプリ、ゲットだぜー！
49:１３２人目の素数さん
14/09/24 23:01:02.44
平壌大だよ
50:１３２人目の素数さん
14/09/27 20:26:43.97
>>38
ども、スレ主です
>その言い方だと5次巡回置換と3次巡回置換が生成する5次置換群の部分群は必ず非可解になる、どういう絡み方なら非可解になるかを言わないと無意味だ、
>という主張には全く反論していない。
絡み方というのは、数学的に定義された言葉ではないからね
が、似た表現はよく皆さん（別にスレ主の発案ではないが）使っているよ。例えば下記、「絡み合い」
（具体的な順列の引用は省略するので、下記URLご参照）
URLﾘﾝｸ(www.nasuinfo.or.jp)
sf による置換群の数値実験
５ S5 置換群
S5 置換群に対応する sf インデックス・ファイル変数 P5{..} を S4 のときと同様に作ります。
S5 ではA5 が単純群になってしまいます。共役類を回す範囲が広くなってくるため、全体の絡み合いが強くなるからです。
（このことと 5 次の代数方程式を代数的に解けないことと同値であることが Galois 理論で証明されます。）
S4 のときより共役類が長くなっていることと交換子の個数が多いことから、S5 全体が強く絡み合っていることがわかります。
この絡み合いが強いことにより A5 自身がが正規部分群となります。A5 は単純群となります。
（引用おわり）
ここでは具体的な計算例がある
51:１３２人目の素数さん
14/09/27 20:43:33.54
>>50 つづき
ども、スレ主です
>S5 ではA5 が単純群になってしまいます。共役類を回す範囲が広くなってくるため、全体の絡み合いが強くなるからです。
>（このことと 5 次の代数方程式を代数的に解けないことと同値であることが Galois 理論で証明されます。）
これ、下記の交換子と交換子群を使って証明ないし説明している本がほとんどだね
URLﾘﾝｸ(sfryo21papa.blog.so-net.ne.jp)
ガロアへの案内
続交換子群 [数学] 2013-06-18
可解群ふたたび [数学]2013-06-12
群Ｇの交換子群Ｄ（Ｇ）をＤ（Ｇ）＝「交換子aba-1b-1で生成される群」と定義する。
交換子群はＧの可換性を測るものとなる。
ここで定理です。
Ｄ（Ｇ）はＧの正規部分群であり、Ｇ／Ｄ（Ｇ）
は可換群である。
（引用おわり）
ところで、下記「飯高先生」ってだれ？？ まさか・・
URLﾘﾝｸ(sfryo21papa.blog.so-net.ne.jp)
ガロア群の元がひきおこす解の置換 [数学]2013-05-11
前回の証明ですが、適当なものがみあたりません。
で、飯高先生に電話で聞いてみたら、何に変換するかどうかは
わからないけれど、とにかくなにかに変わるだろうということでした。
いろいろ参考書を当たってみますので、この証明はしばらく
お待ち下さい。
52:１３２人目の素数さん
14/09/27 21:15:34.50
>>51 つづき
ども、スレ主です
数学的証明は、例えば下記
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp) (20120210)
馬場 良始 Yoshitomo BABA's Web Page!! 所属 大阪教育大学 数学教育講座
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
雪本義人の講義ノート
P18 付録２
定理8.10. An (n ¸ 3) は3 サイクル全体によって生成される．
i, j, k, l,m を相異なる文字とするとき
(m l k)¡1(i j k)¡1(m l k)(i j k) = (j k l)
である．文字の個数n が5 以上のときは上の等式において，任意のj, k, l に対し，
それと異なるi,m をとることができるから，任意の3 サイクルは3 サイクルの交換
子として表わされる．ゆえにD(An) = An となりAn は可解群でない．
（引用おわり）
53:１３２人目の素数さん
14/09/27 21:20:39.66
>>52 つづき
ども、スレ主です
例えば下記 hiroyukikojima氏ご推奨の草場公邦では、P157に同様の記述がある
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロワと方程式 (すうがくぶっくす) 作者: 草場公邦
54:１３２人目の素数さん
14/09/27 21:33:02.13
>>53 つづき
ども、スレ主です
例えば下記過去ログ９の矢ヶ部巌P494でも、表は交換子という用語を使っていない・・
が、σ-1τσにτ-1を掛けたσ-1τστ-1を計算している。ｔ＝τ-1とすると・・
σ-1τστ-1＝σ-1ｔ-1σｔ。これ正に交換子！ 交換子を使うのが正解だ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:623番)
URLﾘﾝｸ(www.ac.auone-net.jp)
数Ⅲ方式 ガロアの理論 アイデアの変遷を追って－ 矢ヶ部巌 著
55:１３２人目の素数さん
14/09/27 21:44:33.55
>>54 つづき
ども、スレ主です
では、交換子とは何か？ それは下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における交換子（こうかんし、英: commutator）は、二項演算がどの程度可換性からかけ離れているかを測る指標の役割を果たすものである。
群論と環論で、少々定義が異なる。
物理学、特に量子力学における交換子の役割については、交換関係の項を参照のこと。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
交換子部分群
その群の交換子全体で生成（英語版）される部分群である[1][2]。
交換子部分群は、それによる商がアーベル群となるような部分群のうちで最小のものであるという点で重要である。
すなわち、G/N がアーベル群となる必要十分条件は N が交換子部分群を含むことである。
ゆえにある意味で交換子部分群は、群がアーベル群からどれくらい離れているかを測るものということができる。
つまり、交換子部分群が大きいほど、その群はアーベル群から遠くなる。
56:１３２人目の素数さん
14/09/27 21:55:57.63
>>50-55 つづき
ども、スレ主です
お話風に書くと
文字の個数n が5 以上のときは>>52
共役類を回す範囲が広くなってくるため、全体の絡み合いが強くなるから>>50
i, j, k, l,m を相異なる文字とするとき (m l k)-1(i j k)-1(m l k)(i j k) = (j k l) >>52
交換子群は
D(An) = An となり>>52
交換子部分群は、An自身（n>=5）はアーベル群から遠く>>55
An は可解群でない>>52
ことがわかるのだった
57:１３２人目の素数さん
14/09/27 21:57:43.42
>>56
訂正
交換子部分群は、An自身（n>=5）はアーベル群から遠く>>55
↓
交換子部分群は、An自身（n>=5）であり、アーベル群から遠く>>55
58:１３２人目の素数さん
14/09/27 22:33:17.69
まあ、GAPくんの参考になるかと思って書いた
GAPくん、キーワードは、交換子 or 交換子群 だよ
>>47
>その大学とは理想化された架空の存在だな
チｯ、チｯ、チｯ
自分の狭い経験を一般化するのは、数学では問題だな
59:１３２人目の素数さん
14/09/27 22:38:16.69
>>54 補足
ども、スレ主です
矢ヶ部巌P494でも、表は交換子という用語を使っていない・・
↓
矢ヶ部巌P494でも、表（おもて）は交換子という用語を使っていない・・
いいたかったことは、交換子という用語を明示的には使っていないが、実際は交換子を計算している
60:１３２人目の素数さん
14/09/28 06:38:31.85
>>53 つづき
ども、スレ主です
>例えば下記 hiroyukikojima氏ご推奨の草場公邦では、P157に同様の記述がある
草場公邦より
(i,j,・・・,k)で巡回置換を表すとする
i,j,k,l,mを５個の相異なる文字とする
次の４式が肝要
(i,j,k)^-1=(k,j,i)・・・・・・・（１）
(i,j)(k,l)=(i,j,k)(k,i,l)・・・・（２）
(i,j)(i,k)=(i,j,k)・・・・・・・（３）
(i,j,k)=(i,l,k)(i,m,j)(k,l,i)(j,m,i)=(i,l,k)(i,m,j)(i,l,k)^-1(i,m,j)^-1・・・（４）
（積は左から読む）注）矢ヶ部巌と同じ。積の扱いが逆の本もあるので注意
注）^-1：エクセル流のべき表現で、-1のべきを表す。置換の場合は逆を表している。分かると思うが念のため。アスキーしか使えないから不便
式（２）（３）は、交代群Anが巡回置換(i,j,k)たちで生成されていることを示す。
（矢ヶ部などでは長さ３の巡回置換で生成されているなどと表現している。）
（もっとかみ砕けば、交代群Anは偶置換から成り、（２）は異なる４文字の偶置換、（２）は異なる３文字の偶置換が、長さ３の巡回置換で表現できると）
式（４）は、(i,j,k)が交換子であることを示す。
交代群Anで、nが５以上であれば、５個の相異なる文字を含むので、式（１）から（４）はすべて成立する。
このあと、草場公邦は、Anに正規部分群Nがあれば、実はN=Anであることを導く。
まあ、あとは草場公邦を見て下さい
61:１３２人目の素数さん
14/09/28 06:53:14.24
>>52 つづき
ども、スレ主です
雪本義人の講義ノート
P18 付録２ にミスタイプがあるね
定理8.10.の証明で
”共通部分が空集合のときは(i j)(k j) = (i k j)(i k l)と二個の3 サイクルの積である．”
で
誤(i j)(k j) →正(i j)(k l) だ
「共通部分が空集合」というから、(k j) →(k l)でなければならない
この式は、草場公邦>>60の式（２）に相当する
62:１３２人目の素数さん
14/09/28 08:58:16.97
>>60 訂正＆つづき
ども、スレ主です
（訂正）
（もっとかみ砕けば、交代群Anは偶置換から成り、（２）は異なる４文字の偶置換、（２）は異なる３文字の偶置換
↓
（もっとかみ砕けば、交代群Anは偶置換から成り、（２）は異なる４文字の偶置換、（３）は異なる３文字の偶置換
（つづき）
「式（２）（３）は、交代群Anが巡回置換(i,j,k)たちで生成されていることを示す。
（矢ヶ部などでは長さ３の巡回置換で生成されているなどと表現している。）
（もっとかみ砕けば、交代群Anは偶置換から成り、（２）は異なる４文字の偶置換、（３）は異なる３文字の偶置換が、長さ３の巡回置換で表現できると）
式（４）は、(i,j,k)が交換子であることを示す。
交代群Anで、nが５以上であれば、５個の相異なる文字を含むので、式（１）から（４）はすべて成立する。 」
旧スレ ９
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:623-637番) で、矢ヶ部>>54にならって説明したが、その続きを書く
矢ヶ部P497にあるように、τ＝(1,2,3) をσで変換する（σ-1τσを作る）と、τ＝(σ(1),σ(2),σ(3)) と書ける
つまり、任意のσ∈Sn だから、適当にσを選ぶとτ＝(1,2,3) からσを使って任意の３文字（i,j,k）が作れる。
正規部分群の定義から、n>5では、対称群Snの正規部分群は、必然的に交代群Anになってしまうということが分かる。
（本質は同じだが、草場公邦は交換子を使って説明する）
可解群（下記）を考える。G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃···⊃ Gi ⊃ Gi+1 ⊃···⊃ Gn = {e}という正規部分群の列があったとする
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
G = G0 = S5とすると、この列はG1 = A5で終わる。説明としては、”G2以下も元の群G0 = S5の正規部分群である”を認めると
G1より小さな正規部分群G2が存在すると仮定すると、G2は長さ３の巡回置換で生成されているが、一つの(1,2,3)から変換で任意の３文字（i,j,k）が作れる
従って、G2は結局A5になってしまう
これが、”n>5では可解群ではない”という、一番分かりやすい説明ではないかと、スレ主は思うのだが
63:１３２人目の素数さん
14/09/28 09:17:18.84
>>62 つづき ども、スレ主です
>矢ヶ部P497にあるように、τ＝(1,2,3) をσで変換する（σ-1τσを作る）と、τ＝(σ(1),σ(2),σ(3)) と書ける
>つまり、任意のσ∈Sn だから、適当にσを選ぶとτ＝(1,2,3) からσを使って任意の３文字（i,j,k）が作れる。
>正規部分群の定義から、n>5では、対称群Snの正規部分群は、必然的に交代群Anになってしまうということが分かる。
>可解群（下記）を考える。G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃···⊃ Gi ⊃ Gi+1 ⊃···⊃ Gn = {e}という正規部分群の列があったとする
>G1より小さな正規部分群G2が存在すると仮定すると、G2は長さ３の巡回置換で生成されているが、一つの(1,2,3)から変換で任意の３文字（i,j,k）が作れる
>従って、G2は結局A5になってしまう
言葉で書くと、n>5で対称群Snの正規部分群として偶置換から成る交代群Anが取れる。Anより小さい正規部分群は？
偶置換だから長さ３の巡回置換で表される。n>5の場合、任意の３文字（i,j,k）の巡回置換を作ることができる。結局それはAnになる
ここらの事情を、
「長さ3の巡回置換と長さ5の巡回置換が絡み合い、商群として長さ3の巡回置換がとれない」 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
「S5 ではA5 が単純群になってしまいます。共役類を回す範囲が広くなってくるため、全体の絡み合いが強くなるからです。」>>50
などと、表現する人がいる。スレ主が思うに、絡み合い＝”群としての演算 & 正規部分群としての変換演算”を意味していると考える
長さ３の巡回置換が一つ含まれれば、”群としての演算 & 正規部分群としての変換演算”の要請から、次々巡回置換が作られ結局A5だと
64:１３２人目の素数さん
14/09/28 09:24:15.63
まあ、GAPくんの参考になるかと思って書いた
自分の復習もかねて
（過去スレに似たようなことはあると思うが、再度まとめてみた）
65:１３２人目の素数さん
14/09/28 10:22:18.60
n≧5では
66:１３２人目の素数さん
14/09/28 10:32:31.75
>>64 つづき
天才ガロア。しかし、無から有が生まれるのは、エネルギー保存の法則に反する？
歴史的に飛躍に見えても、よくみれば連続関数の場合もあり
下記”「天才の栄光と挫折」を読む”からすれば、ガロアはヤコービーとガウスから影響を受けていたんだろう
ガウスからは、かれの方程式のガロア理論に対する影響を。（ヤコビからは楕円関数論だろう）
ガウスのアリスメティカ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) を、参考にしたことと思う
URLﾘﾝｸ(www.freeml.com)
「天才の栄光と挫折」を読む 2011/11/23 18:28
(抜粋)
フランスの数学者エヴァリスト・ガロアは、そのフランスの革命の時代に生まれ、そして革命の時代を過激に生き、二十一歳の若さで決闘に斃れた。
しかも、その業績は革命的に時代を超えていた。
死後４０年近くも経ってから、ジョルダンに「置換論」の中で「自分の仕事は、ガロアの諸論文を注釈したものに過ぎない」と言わしめるほどのものだったのである。
決闘の前夜、ガロワは唯一の友人であったシュバリエに最後の手紙を書いている。
「・・・これらの定理が間違っていないかどうかより、重要かどうかをヤコービーかガウスに公に尋ねて欲しい。
そうすればいつか、このわかりにくい文章を読解し利益を得る人も現れると思います。
さようなら。１８３２年５月２９日。エヴァリスト・ガロア」
これらの定理とは、今でいうガロア理論とリーマン面の萌芽ともいうべきもの、だそうである。
67:１３２人目の素数さん
14/09/28 13:33:20.38
>>53>>60
小島寛之のことをわざわざローマ字表記する意味は
68:１３２人目の素数さん
14/09/28 13:36:34.01
>>50
引用されているサイトではどのような絡み方をしているか具体的に書いてある。
スレ主は書いてない
69:１３２人目の素数さん
14/09/28 13:40:31.64
>>58
>>47
>その大学とは理想化された架空の存在だな
チｯ、チｯ、チｯ
自分の狭い経験を一般化するのは、数学では問題だな
これは実勢に則しているだろう。
70:１３２人目の素数さん
14/09/28 13:41:23.25
>>65
ども、スレ主です
>n≧5では
ああ、そうでした
訂正ありがとう。
71:１３２人目の素数さん
14/09/28 13:48:58.52
やっぱり正規部分群は準同型写像の核になりうる部分群という性質が暗に使われているね
72:１３２人目の素数さん
14/09/28 13:54:40.91
どうも、スレ主です
>>67
>小島寛之のことをわざわざローマ字表記する意味は
リンク先の表記をそのままコピーしたから。単に楽だからと
>>68
>引用されているサイトではどのような絡み方をしているか具体的に書いてある。
>スレ主は書いてない
だから、それで良いでしょ？ そもそも、"絡み合い"の話は旧スレ９の637
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
「要は、A5が長さ3の巡回置換と長さ5の巡回置換が絡み合い、単純群になり、可解群ではないことの証明を略するために入れた主張が3.8なんだ
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
A5が偶置換として、(32154)(13245) = (123) の事実に依る。｛ここで、置換群の積στはτにσが掛かるとする。｝
長さ3の巡回置換と長さ5の巡回置換が絡み合い、商群として長さ3の巡回置換がとれないのである。 」
から始まっているが、「長さ3の巡回置換と長さ5の巡回置換が絡み合い」の部分は、リンク先からのコピペ
そのために、リンク張っているんだから。細かく知りたければ、リンク先を読めと
かつ、スレ主の別の説明は>>63に書いた
73:１３２人目の素数さん
14/09/28 14:11:17.89
>>71
どうも、スレ主です
レスありがとう
74:１３２人目の素数さん
14/10/03 00:28:38.26
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75:１３２人目の素数さん
14/10/04 05:03:14.22
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76:１３２人目の素数さん
14/10/04 05:07:33.39
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77:１３２人目の素数さん
14/10/04 20:55:43.29
突然ですが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
ガロアコホモロジー(改訂版) 佐藤周友(中央大学) 2009
78:１３２人目の素数さん
14/10/04 21:23:33.63
突然ですが
URLﾘﾝｸ(www.comp.tmu.ac.jp)
首都大学東京理工学研究科数学専攻 澤野嘉宏のホームページ
（澤野数学研究所のホームページ）【注意】澤野数学研究所は正式な名前ではなく・・
URLﾘﾝｸ(www.comp.tmu.ac.jp)
８．数学をつかって何ができるのか？ (What can we do with mathematics ?)
URLﾘﾝｸ(www.comp.tmu.ac.jp)
２．数式の読み方 20141004現在 ?
79:１３２人目の素数さん
14/10/04 21:26:35.51
突然ですが
数学をつかって何ができるのか？ (What can we do with mathematics ?)
（澤野）イングリッド・ドブシー先生に一つ質問があります．
数学を使って，わたくしたちは将来何ができるでしょうか？
抽象的な質問ですが，講義で，たとえば，写真も分析できるとおっしゃっていたので，どうしてもその答えを知りたいのです．
近い将来，数学を使って私たちは何ができるのでしょうか？
（ドブシー先生）問題を解こうとするたび，また，その要点を抜粋するたび，すでに数学が始まっています．数学は，わたくしたちが考えるべき方法で，問題についての試行やそれから特徴を抜き出す大きな枠組みのことを示しています．
（以下略）
80:１３２人目の素数さん
14/10/04 22:18:07.01
イングリッド・ドブシー先生は下記
URLﾘﾝｸ(www.ieice.org)
電子情報通信学会誌Vol. 95, No. 3, 2012
●大川賞受賞記念シンポジウム
このたび，村井純氏（慶應義塾大学教授）とイングリッド・ドブシー氏（デューク大学教授）の2011 年度大川賞（※）受賞を記念して，シンポジウムを開催することとなりました．
本シンポジウムでは，受賞記念特別講演として，両氏の各分野における研究について，これまでの成果と今後の展望を，主に次世代の研究者に向けてお話して頂きます．
また，第2部のパネル討論では，両氏の研究に対する姿勢と情熱を若い世代に向けて伝えるとともに，社会にとっての研究の重要性について議論します．
（※）情報・通信分野における研究，技術開発及び事業において顕著な社会的貢献をされた方の労に報い，
その功績を表彰するとともに，情報・通信分野の更なる発展と啓発に寄与することを目的として，公益財団法人大川情報通信基金より授与される，国際的な賞
日時：2012 年3 月16 日（金）14：30～17：30（14：00 開場）
場所：慶應義塾大学三田キャンパス北館ホール
東京都港区三田2-15-45
URLﾘﾝｸ(www.keio.ac.jp)
プログラム（第2部のみ同時通訳付き）
第1部：
開会挨拶
大川賞の趣旨・受賞者の紹介
相磯秀夫（大川賞審査委員長・慶應義塾大学名誉教授）
受賞記念特別講演()「インターネットの研究」（仮題）村井純（慶應義塾大学教授）
受賞記念特別講演()「ウェーブレットの研究」（仮題）イングリッド・ドブシー（デューク大学教授）
第2部：
パネル討論「研究者として生きる─次世代の研究者達へ─」
パネリスト：イングリッド・ドブシー，村井純
81:１３２人目の素数さん
14/10/04 22:29:21.01
>>78 補足
>URLﾘﾝｸ(www.comp.tmu.ac.jp)
>２．数式の読み方 20141004現在 ?
数式の読み方，大学で学ぶ数学公式 P87
24. ガロア理論
この記号に慣れていると大学レベルのガロア本読みやすいと思う
82:１３２人目の素数さん
14/10/04 22:47:21.59
大川さん、下記
URLﾘﾝｸ(www.okawa-foundation.or.jp)
公益財団法人大川情報通信基金（略称：大川財団）は、日本における情報通信産業の草創期の立ち上げに貢献し、株式会社CSK（現SCSK株式会社の前身の一つ）を創業した故大川 功氏が中心となって設立された公益法人です。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
大川 功（おおかわ いさお、1926年5月19日 - 2001年3月16日（満74歳没））は、株式会社CSKの創業者。
1993年6月8日 30億円を財団法人 大川情報通信基金に寄付。
2001年1月 家庭用ゲーム機分野からの撤退を決めた株式会社セガに個人資産約850億円を寄付。「事業で得たお金は事業に返す」という信念のもとの行動である。
2001年3月16日15時47分、東京医科大学病院にて心不全のため逝去（74歳）。
没時、株式会社CSK名誉会長、株式会社セガの代表取締役会長兼社長。
2011年10月1日 株式会社CSKは住商情報システム株式会社SCSを存続会社として合併、SCSK株式会社に商号変更。
83:１３２人目の素数さん
14/10/04 22:54:31.21
デス様と大冒険のためだけにSSは現役
デス様用の良質パッドが入手難になりつつある今日この頃
84:１３２人目の素数さん
14/10/05 10:23:01.37
>>83
どうも、スレ主です
激励ありがとう
デス様と大冒険とSSか・・。この話から、リーマン球や射影空間、無限大記号∞を連想する
リーマン球＝ゼロと無限大の双対。無限大＝∞＝続けることに価値がある
猫さま狸さまも近づかないクソすれかも知れないが、クソすれも続ければデス様や大冒険に近づけるぞと仰るのですね！
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン球面 複素射影直線と言い、CP1 と書く。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
∞は無限を示す記号である。数字の8を90度回転したような記号である。「むげんだい」「むげん」「インフィニティ」「アンリミテッド」などと呼ばれる。
85:１３２人目の素数さん
14/10/05 13:11:55.84
>>84
どうも、スレ主です
猫さま狸さまからすれば、数学板自身がクソ板なんでしょう
その中で、「継続は力なり」と仰る激励
継続すれば、デス様や大冒険に匹敵できるぞと
激励ありがとうございます！
86:１３２人目の素数さん
14/10/05 13:40:47.63
>>5 補足
どうも、スレ主です
ところで、ここ(No5)に戻る
URLﾘﾝｸ(www.jmedj.co.jp)
ガロア論文の古典的証明 を読む （東京在住） おそらく１９７５年東京大学教養学部基礎科学科卒業。１９８１年東京大学医学部卒業、内科研修。
"§3方程式が解けるための、必要十分条件
1.ガロア群G 対称性の V 多項式FG (V) が、1 次式の積にまで因数分解できるための必要条件"でP79
"上記の因数分解が本当に実現したなら、FH (V, r) = 0、FHg (V, r’) = 0、…となる。
ここから結論される各方程式の共役解（V の値）どうしの拘束を、群論で表現したアイデアは、ガロア論文の中で最も神秘的に思える・・"
これ（結論されること）は、P80
"すなわち、FH (V, r) = 0 の解どうしが H で相互変換されるのと同様に、FHg (V, r’) = 0 の解どうしもH で相互変換されることが分かった。
同様の議論で、FHg (V, r’) = 0、FHg’ (V, r’’) = 0、…の解どうしがみな、H で相互変換される… ☆
解どうしがH で相互変換されるということは、FHg (V, r’)、FHg’ (V, r’’)、…がみな、H 対称性であることを意味する"
P81
"すなわち、G 対称性のFG (V) からH 対称性のFH (V) が分離されて、因数分解
FH (V, r) × FHg (V, r’) × FHg’ (V, r’’) × …が実現する必要条件は、分解された因子が
みなH 対称性になることである。"
だ。
これは、三森明夫氏があとに書いているように、Hが正規部分群ってこと（P82）だ
87:１３２人目の素数さん
14/10/05 14:00:21.31
>>86 継続
どうも、スレ主です
ここに戻る
URLﾘﾝｸ(www.jmedj.co.jp)
ガロア論文の古典的証明 を読む （東京在住） おそらく１９７５年東京大学教養学部基礎科学科卒業。１９８１年東京大学医学部卒業、内科研修。
正規部分群 P81
"H g = g H またはg－ 1 H g = H と書ける。"
g－ 1 H g という式の形は、最初見たときは意味が取れなかった
だが、ここを詳しく解説している本がある
このスレでも、>>62などに書いた
h ∈H で
h= 注）置換の２行記法で、下記のように書く
(1,2,3)
(h1,h2,h3)
があったとして
g－ 1 h g＝
(g(1),g(2),g(3))
(g(h1),(h2),g(h3))
となる
つまり、hの上下の順列にgを作用させたという意味があるんだ
88:１３２人目の素数さん
14/10/05 14:14:31.43
つまりＨが準同型写像の核になっているということだね。
89:１３２人目の素数さん
14/10/05 14:34:22.23
>>87 継続
どうも、スレ主です
g－ 1 h g＝
(g(1),g(2),g(3))
(g(h1),(h2),g(h3))
つまり、hの上下の順列にgを作用させたという意味
ここは、ガロア分解式を使うと、自然に出てくる
つまり、ガロアの視点は、ガロア分解式 V = A1 α1 + … + An αn （三村P52)
で、５次方程式なら、根は５個。異なる５個の置換１２０個。V は１２０個の異なる値を取るように定める
そうすると、最初にあるV0を選んで、それに置換の単位元eを対応させる
以下、順に置換１２０個とV １２０個を対応させることができる
「因数分解 FH (V, r) × FHg (V, r’) × FHg’ (V, r’’) × …が実現する」>>86
と、各因子 FH (V, r) 、 FHg (V, r’) 、 FHg’ (V, r’’) 、 …に、１２０個のVの値を対応させることができる
１２０個のVの値の対応から、置換１２０個が決まってくる
各因子 FH (V, r) 、 FHg (V, r’) 、 FHg’ (V, r’’) 、 …にそれぞれ対応する部分の置換の集まり
因子 FH (V, r) に対応する部分置換に、置換gを作用させてFHg (V, r’)を得るとする
因子 FH (V, r) に対応する部分置換は、部分群Hになっているとする
置換gを作用させてFHg (V, r’)を得て、これも部分群Hになってほしい。これ自然にg－ 1 h gを考えていることになっているんだな
結論として、ガロア分解式Vを考えることが、自然に正規部分群に導くのだった。ガロア分解式Vは大発明という結論
まあ、ここらの説明は、アスキーしか許されていない、記号の使えないスレでは、私には十分説明できない
三森明夫先生>>5を読んでください
ここらが、すとんとガロア理論が腑に落ちるかどうかの分かれ目なんだな
90:１３２人目の素数さん
14/10/05 14:41:54.85
>>88
どうも、スレ主です
>つまりＨが準同型写像の核になっているということだね。
ああ、そういう考えはあるね（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正規部分群と準同型
N が G の正規部分群ならば、剰余類の間の乗法を
(a1N)(a2N) := (a1a2)N
によって定義することができる。これにより、剰余類の全体を剰余群 G/N とよばれる群とすることができる。
群 G と剰余群 G/N との間には、π(a) := aN で定義される（射影、あるいは商写像と呼ばれる）自然な全射準同型 π: G → G/N が存在する。
自然な準同型 π による N の像 π(N) は、G/N の単位元である剰余類 eN = N のみを含む一元集合 {N} である。
一般に、準同型 f: G → H は G の部分群を H の部分群に写す。
また、H の任意の部分群の原像（逆像）は G の部分群となる。
H の自明な部分群 {e} の準同型 f による逆像 f－1({e}) を、準同型 f の核と言い、記号 ker(f) で表す。
さらに、核はつねに正規部分群であり、G の像 f(G) と、商群 G/ker(f) はつねに同型である（第一同型定理（英語版）を参照）。
実は、この同型対応は G の剰余群全体の成す集合と G の準同型像の同型類全体の成す集合との間の全単射を与えている。
これと、商写像 f: G → G/N の核が N それ自身であることはすぐにわかるから、まとめると G の正規部分群はすべて G を定義域とするなんらかの群準同型の核として確かに得られることが示せる。
91:１３２人目の素数さん
14/10/05 15:03:25.25
>>89
どうも、スレ主です
>結論として、ガロア分解式Vを考えることが、自然に正規部分群に導くのだった。ガロア分解式Vは大発明という結論
ガロア分解式Vを使うことで、ガロアは自然に正規部分群の概念に辿り着く
しかし、コーシー記法を使ういまの置換記法では、g－ 1 h g ？？？ だろう
これを見て
”g－ 1 h g＝
(g(1),g(2),g(3))
(g(h1),(h2),g(h3))
つまり、hの上下の順列にgを作用させたという意味 ”>>89
と見抜ける人は少ないだろう
過去スレで書いたが
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:523番) 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6 2012/09/30
URLﾘﾝｸ(www1.fctv.ne.jp)
2002/ 1/14作製 フェルマーの最終定理(4)
●美しい瞬間
ワイルズは欠陥のある第３章（コリバギン・フラッハ法の関する部分）を捨てる気持ちになっていた。9月19日彼は、せめて慰めにその敗因を調べていた。
「突然、まったく不意に信じがたい閃きに打たれました。コリバギン・フラッハ法だけでは駄目だが、岩澤理論と合わせると上手く行くことに気づいたのです。」
ワイルズはテーラーに電話で伝え、テーラーはそれをもとに厳密な証明を作り上げた。 １０月に２つの論文が提出された。
92:１３２人目の素数さん
14/10/05 15:11:45.07
>>91 継続
どうも、スレ主です
突然、話がワイルズに飛んだけど
コリバギン・フラッハ法で、結論は正しくて、道筋ももぼ合っていた。が、ギャップがあった。それを岩澤理論で埋めた
ガロアは、ガロア分解式で自然に正規部分群の概念に辿り着く。そして、方程式の可解性を解いた
が、後世にガロア論文を読んだ人たちは、それをコーシーの記法に直したんだ。g－ 1 H g = H これが正規部分群だと
が、g－ 1 H g = Hは、ガロアの直感的把握とはちょっとずれがあると思う
そこは、かえって分かり難くなっていると思うんだ
93:１３２人目の素数さん
14/10/05 15:28:14.40
>>92 継続
どうも、スレ主です
>が、g－ 1 H g = Hは、ガロアの直感的把握とはちょっとずれがあると思う
>そこは、かえって分かり難くなっていると思うんだ
しかし、「因数分解 FH (V, r) × FHg (V, r’) × FHg’ (V, r’’) × …が実現する」>>89
とするところは、実は難しいんだ
倉田令二朗 『ガロアを読む 第Ⅰ論文研究』P156辺りに、ここらの事情が書いてある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
倉田令二朗 『ガロアを読む 第Ⅰ論文研究』 日本評論社、2011年7月（原著1987年7月）。ISBN 978-4-535-78158-0。 - 2011年に復刊した。
（引用おわり）
ここは、今の主流はガロア分解式を使わずに、体論と拡大体を使って、ガロア対応を使う
これはこれで分かりやすいが、g－ 1 H g = Hの意味が見えないんじゃないかと思って、詳しく解説してみたんだ
では
94:１３２人目の素数さん
14/10/05 15:33:40.98
>>92 補足
どうも、スレ主です
読み返すと、言いたいことがうまく書けていない
要は、ワイルズの話も後世のガロア理論も、トップダウンアプローチだと
ワイルズは一度コリバギン・フラッハ法で頂上まで行った。そこで、登ってきた道を振り返るとジャンプしたところがあってね
じゃ、こっちの道（岩澤）があるじゃないかと、頂上から見下ろして思ったんだろう
後世のガロア理論もしかり
95:１３２人目の素数さん
14/10/05 16:11:38.20
>>92
群の元を対象操作として捉えると共役元はむしろ自然な考え方だ。
まさかガロアが彼の記法のまま考えていると思っているの？
スレ主は置換群を考えるとき、小物を動かしたりしないのか？
96:１３２人目の素数さん
14/10/11 04:24:08.08
>>95
どうも、スレ主です
>まさかガロアが彼の記法のまま考えていると思っているの？
さあ？ ガロアがどう考えたのか？
それは、ガロアに聞いてみるしか無い
が、我々には、残されたガロア論文しかない
ガロア論文は、彼の記法で書かれている
だから、我々がガロア論文を読むとき
彼の記法（置換の記法）を理解しなければ、ガロア論文を理解するのは難しいだろう
97:１３２人目の素数さん
14/10/11 04:41:02.72
>>96 つづき
どうも、スレ主です
いま、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) を開いている
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロア論文には、「工芸学校紀要第１７冊のコーシーの論文参照」とある。上記のP38だ
だから、ガロアはコーシー流の置換表記はしっていた
だが、ガロア論文は、彼の記法（置換の記法）によって書かれている
それを少し説明しよう
98:１３２人目の素数さん
14/10/11 04:56:53.14
>>97 つづき
どうも、スレ主です
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) のガロア論文 P36
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ここでガロアは、４次方程式の群について説明している
ガロアは、４次方程式の群が、対称群S4から交代群A4になることを述べた後、A4を彼の記法（置換の記法）によって書いている
転記すると
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
99:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:00:59.60
>>98 つづき
どうも、スレ主です
ブランクで区切ったところが崩れた。スマソ
もう一度やってみる
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
100:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:11:41.59
>>99 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これ分かります？ 意味
えーと、交代群A4を彼の記法（置換の記法）によって書いた
S4は、４！＝２４個から成る群。A4は、偶置換のみだから、１２個
個数は合っているだろ？
普通の本にある置換（それはコーシー流だ。以下コーシー流と書く）で考えると
最初の”a b c d”が、各順列の上についていると思ってくれ
例えば最初は
a b c d（＝最初）
a b c d
の単位置換
その下は
a b c d（＝最初）
b a d c
で、(a b)(c d)と互換の積になっていることを表している
繰り返すが、「最初の”a b c d”が、各順列の上についている」と思ってくれ
101:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:20:49.39
>>100 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これで少し分かるだろう？ 意味。交代群A4を彼の記法（置換の記法）によって書いた
行列にならって、行と列という用語を使う
１列目で、彼の記法で、群になっていることが分かるかな？
いわゆるクライン群だ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) クラインの四元群
おお！ このwikipediaの「クラインの四元群の演算表」は、まさに彼の記法と同じだ！ （３行目と４行目が逆だが）
これは、分かりやすい例だ！
102:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:29:13.13
>>101 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これでかなり分かるだろう？
１列目がクライン群というのは、分かった
１行目に着目してくれ
a b c d, a c d b, a d b c, だ
これは、文字aを固定して、残り３文字の巡回置換（b c d）で、移ることが見えるだろう
コーシー流で縦に書くと
a b c d
a b c d
a b c d
a c d b
a b c d
a d b c
この３つだ。最初は単位置換だ
つまり、１行目は、巡回置換（b c d）から成る巡回群を表しているんだ！ そう解釈できる
103:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:52:09.65
>>102 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これ、1列目がクライン群で、１行目は（b c d）の巡回群までは、分かったろう
では、1列目から2列目,3列目を導くには？
一つの見方は、1列目と同じ構造を、2列目,3列目も有していると見ること
つまり、一番上の、a c d b,や a d b c,に、からクライン群と同じ表記を導く
>>100で書いたように、一番上に二つの互換を施す
（順列の文字の一番目と二番目の入れ替え。三番目と四番目の入れ替え。この二つの互換）
まあ、同じように１列目でa b c dの文字の入れ替わりと同じことを、２列目a c d b,や ３列目a d b c,に施せば良い
これが、1列目から2列目,3列目を導くための一つの見方。もう一つある
104:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:02:00.51
>>103 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
もう一つの見方
上記を、2列目,3列目を入れ替えて、最初の文字を揃えると。次だ
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, b d c a, b c a d,
c d a b, c a b d, c b d a,
d c b a, d b a c, d a c b,
これは、2列目,3列目を入れ替えただけ
1列目から2列目,3列目を導くもう一つの見方が分かるだろ？
>>102で書いた、「文字aを固定して、残り３文字の巡回置換（b c d）で、移ることが見えるだろう 」
これ、１行目の話だが、２から４行目についても、頭の文字を固定して、残り３文字の巡回置換で、移ることが見えるだろう
105:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:12:27.45
>>104 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
1列目から2列目,3列目を導くには？ 二つの見方が出来ることが分かった
そこで、こう解釈してみよう
この表は、1列目から2列目,3列目を導くのに、1列目に>>104での３文字の巡回置換を施して、それをクライン群の構造が見えるように並べ変えたと
そこで、彼の記法（置換の記法）の登場だ
2列目を、こう解釈してみよう
>>102にならって、コーシー流で2列目の最初の文字a c d bを上に付けて、2列目を書くと
a c d b
a c d b
a c d b
c a b d
a c d b
d b a c
a c d b
b d c a
と、こうなる
106:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:49:07.45
>>103 訂正 a c d b,や a d b c,に、からクライン群→a c d b,や a d b c, からクライン群
>>105 つづき
どうも、スレ主です
a c d b
a c d b
a c d b
c a b d
a c d b
d b a c
a c d b
b d c a
これ、意味分かります？
一つは、>>103で「1列目と同じ構造を、2列目も有していると見ること
つまり、一番上の、a c d b,からクライン群と同じ表記を導く」ってことを、コーシー流で書いたのだ
しかし、こう書いた瞬間見えるものがある
一つは、一番上が単位置換ｅであって、明確に群そのものだと分かる
二つ目は、各２行目は、1列目に>>104での３文字の巡回置換を施してできたものだが、１行目のa c d bも、同じ３文字の巡回置換を施してできたものだ
つまり、２番目の置換
a c d b
c a b d を例に取ると、こいつは1列目の２番目の置換（下記）
a b c d
c d a b の上下に、同じ３文字の巡回置換＝先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させるを施したものだ
107:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:58:03.89
>>106 つづき
どうも、スレ主です
"a b c d
c d a b の上下に、同じ３文字の巡回置換＝先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させるを施したものだ"
話が長くなったが、これが>>91
”g－ 1 h g＝
(g(1),g(2),g(3))
(g(h1),(h2),g(h3))
つまり、hの上下の順列にgを作用させたという意味 ”>>89
に繋がる。ここでは、gが「先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させる」ってこと
108:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:13:16.31
>>107 つづき
どうも、スレ主です
あれ？ なんか違う・・・
おっと、間違い
>>104訂正
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
もう一つの見方
（b c d）の巡回置換を、1列目から2列目,3列目に施す
例えば、２行目
b a d c,→（b c d）→ c a b d,→（b c d）→ d a c b,
（この意味は、一番左に巡回置換（b c d）に施して、二番目が得られ、それに巡回置換（b c d）に施して、一番右になると）
だから、1列目に巡回置換（b c d）に施して、二番目の列が得られ、それに巡回置換（b c d）に施して、一番右の列になる
109:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:22:22.80
>>108 つづき
どうも、スレ主です
だから、>>106も訂正だ
（>>106の最後の６行の正しい記述は、下記）
二つ目は、各２行目は、1列目に>>104での３文字の巡回置換（b c d）を施してできたものだが、１行目のa c d bも、同じ３文字の巡回置換（b c d）を施してできたものだ
つまり、２番目の置換
a c d b
c a b d を例に取ると、こいつは1列目の２番目の置換（下記）
a b c d
b a d c の上下に、同じ３文字の巡回置換（b c d）を施したものだ
110:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:27:08.74
>>109 つづき
どうも、スレ主です
これで話が合ってきた
だから、>>107は
（訂正）
gが「先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させる」ってこと
↓
gが「３文字の巡回置換（b c d）」ってこと
ああ、あと
>>107のhは、３文字しかないが、４文字置換に読み替えてくれ、スマソ
111:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:38:26.25
>>110 つづき
どうも、スレ主です
ようやく、軌道修正して、正しいところへ戻った。冷や汗ものだな・・
で107のつづき
彼の記法（置換の記法）例えば
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
は、コーシー流（２行記法）から、最初のa b c d,を省略して書いたと、解することができる
つまり、1列目のb a d c,は
a b c d,
b a d c,だ
最初のは
a b c d,
a b c d,で、単位置換ｅ
でこの記法の利点は、最初のa b c d,を省略しているから、最初を別の順列例えば２列目先頭のa c d b,に置き換えて思考実験して見ることがたやすい
これを説明したのが、>>103だ
112:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:47:12.59
>>111 つづき
どうも、スレ主です
コーシー流記法で書いたものが、>>105だが
もうすこし、しつこく書くと
1行目 2行目
a b c d, a c d b,
b a d c, c a b d,
c d a b, d b a c,
d c b a, b d c a,
これを
1行目 2行目
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
b a d c, c a b d,
a b c d, a c d b,
c d a b, d b a c,
a b c d, a c d b,
d c b a, b d c a,
と見たらどうよと。ガロアは論文に書いているように読めるんだ
113:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:57:58.03
>>112 つづき
どうも、スレ主です
訂正：1行目 2行目 →1列目 2列目
で
1列目 2列目
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
b a d c, c a b d,
a b c d, a c d b,
c d a b, d b a c,
a b c d, a c d b,
d c b a, b d c a,
これ分かります？ 各２行目は、３文字の巡回置換（b c d）を施して、1列目→2列目
もちろん、１行目も同じ。a b c d,→ a c d b,なので、巡回置換（b c d）を施して移る
つまり、1列目を群Ｎとして、巡回置換（b c d）をgとすると、g-1Ng＝N。つまりNは、正規部分群
こういうことを、ガロア論文 P36 >>98は、書いているじゃないかと気付いたんだ
114:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:14:03.82
>>113 つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文 P36を続ける
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
ガロア論文は「これが、三つの群に分かれている」という
それは、>>112-113で、しつこく書いた通り
彼の記法（置換の記法）では、２，３列の置換の省略されているが、コーシー流記法の１行目を
各、a c d b, a d b c, に読み替えて、群を考えてみなさいと
そうすれば、３文字の巡回置換（b c d）による変換が見えるだろうと（１列目の群Nを、g＝（b c d）で変換して g-1Ng＝N。）
そして、３文字の巡回置換（b c d）による変換だから、３次の累乗根を求めることで、群が縮小して
a b c d,
b a d c,
c d a b,
d c b a,
が残ると
115:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:28:09.12
>>114 つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文 P37へ移る
a b c d,
b a d c,
c d a b,
d c b a,
が、
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
と二つの群に分けられると、ガロア論文 P37はいう
a b c d,→ c d a b,は、互換の積（a c)(b d）で移ると見る
２行目も同じだ
そして、先ほどと同じように、省略されているコーシー流記法の１行目を読み替える
1列目 2列目
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
各列の最初は、単位置換ｅだ
二つ目は、前の２文字と、後ろの２文字とを各入れ替えている
116:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:33:42.39
>>115 つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文 P37を続ける
a b c d,
b a d c,
c d a b,
d c b a,
が、
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
と二つの群に分かれ
1列目 2列目
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
だから、結局、
a b c d,
b a d c,
が残ると、ガロア論文P37はいう
117:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:46:06.23
>>116 つづき
どうも、スレ主です
まとめると
ガロアが彼の記法のまま考えていたかどうかは、聞いてみないと分からない
しかし、ガロア論文Ｐ３６－３７にわたって、彼は彼の記法（置換の記法）を使って
４次方程式の群について、簡潔に説明している
その説明を、現在の主流のコーシー記法で表すとどうなるかを、>>98-116にわたって書いた
そこで、読み取って頂けると思うが、彼の記法（置換の記法）は、群の組み分けを考えるのに、非常にすっきりしていること
コーシー記法の１行目を省略したことで、かえって１行目を読み替える思考実験をして見ることがたやすい>>111
そして、彼の記法を通じて、明確に正規部分群の概念に到達していたと思う
118:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:02:50.89
>>117 つづき
どうも、スレ主です
補足
１．このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレだった>>1
２．ガロア原論文は、一貫して、彼の記法（置換の記法）を使っている>>96
３．ガロアはコーシー流の置換表記はしっていたろう>>97。が、使わない
４．だから、ガロア原論文を読もうとする人は、>>98-116を参考にしてガロア論文Ｐ３６－３７を読んで、彼独特の記法慣れておく方が良いだろうと思います。
119:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:04:16.16
連投乙
120:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:30:21.51
>>118 補足つづき
どうも、スレ主です
ガロア原論文P41では、素数次n=5の場合に、可解になる群を彼の記法（置換の記法）を使って書いている
1列目 2列目 3列目 4列目
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c,
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a,
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d,
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b,
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e,
121:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:35:53.43
>>119
どうもです
>>120
これを解説すると、また長くなるので、別の機会に
122:１３２人目の素数さん
14/10/12 08:29:01.46
どうも、スレ主です
突然ですが「対称性の概念を把握する最も強力な方法である群の概念」
群論的アプローチは、現代物理学の発展において、不可欠な要素であった
過去スレで、これが理解できないやつが暴れたので、転載しておく
URLﾘﾝｸ(www.abelprize.no)
URLﾘﾝｸ(www.abelprize.no)
ノルウェー科学文学アカデミーは2008年のアーベル賞をジョン・G・トンプソン
及びジャック・ティッツにその代数学、特に現代群論の構築における重要な業績に対して授与することを決定した。
九世紀初頭に二人の若き数学者、ニルス・ヘンリック・アーベルとエヴァリスト・ガロアによって見事に
実現された。それは最終的に、対称性の概念を把握する最も強力な方法である群の概念
を導いた。二十世紀には、群論的アプローチは、結晶の対称性の理解から基本的な粒子
と力のモデルの定式化に至るまでの現代物理学の発展において、不可欠な要素であった。
123:みき
14/10/12 08:43:30.39
ガロア アーベル 憧れ！
124:１３２人目の素数さん
14/10/12 08:49:19.74
どうも、スレ主です
ノーベル賞とアーベル賞
ノルウェー政府のおやじギャグ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
2001年、ノルウェー政府は同国出身である数学者ニールス・アーベルの生誕200年（2002年）を記念して、アーベルの名を冠した新しい数学の賞を創設することを公表し、そのためにニールス・ヘンリック・アーベル基金を創設した。
毎年、ノルウェー科学文学審議会によって任命された5人の数学者からなる委員会が、受賞する人物を決定する。賞金額はスウェーデンのノーベル賞に匹敵し、数学の賞としては最高額である。
この賞の主な目的は、数学の分野における傑出した業績に国際的な賞を与えることであり、社会における数学の地位を上げることや、子供たちや若者の興味を刺激することも企図している。
2003年4月、初めての受賞者が公表され、ジャン=ピエール・セールに送られることに決まった（賞金は600万ノルウェークローネ、約1億円）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1897年4月には平和賞を授与するためのノルウェー・ノーベル委員会が設立され、
6月7日にはカロリンスカ研究所（スウェーデン）が、6月9日にはスウェーデン・アカデミーが、
6月11日にはスウェーデン王立科学アカデミーが授与機関に選定されて[8]選考体制は整った。賞の授与体制が整うと、
1900年にノーベル財団の設立法令がスウェーデン国王オスカル2世によって公布された。
1905年にノルウェーとスウェーデンは同君連合を解消したが、両国分離後も授与機関は変更されなかった.[6]。
125:１３２人目の素数さん
14/10/12 09:39:51.55
>>123
どうも、スレ主です
ガロア アーベル は、やｈり当時の天才ですね
126:１３２人目の素数さん
14/10/12 09:43:03.09
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
ガロア理論の心・その６まであります
URLﾘﾝｸ(www.junko-k.com)
URLﾘﾝｸ(www.junko-k.com)
NO.769 2000.3.2. WAHEI ガロア理論の心（１）
実はガロア理論は線形代数の知識を使うと意外なほどにすっきりとします。
もともと線形代数は連立方程式論との関係が深いですから、それも当然かもしれません。
それをわかりやすい形で初めて世の中に伝えたのはEmile-Artin先生です。（この人は大先生）
127:１３２人目の素数さん
14/10/12 11:56:59.00
そんな当たり前のこと言われても…
128:１３２人目の素数さん
14/10/12 12:26:02.03
連立方程式論？
体K上の多項式環がK上の線型空間だからじゃないの？
129:１３２人目の素数さん
14/10/12 12:51:58.42
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
The Development of Galois Theory Galois' commentators Fiona Brunk January 2005
Artin followed Weber in making a clear distinction between theory and application.
Solvable groups and the idea of solvability by radicals appear only in an appendix to his text, and only for historic reasons.
In the 1930s, mathematicians were certainly much more receptive to abstract algebra than Weber's audience had been,
but Artin's crucial innovation was the way in which he combined results by Dedekind, Kronecker, Weber and others in order to present a new conception of Galois Theory.
In short, Artin unified and completed all the earlier approaches in a formulation of Galois Theory which we still use today.
130:１３２人目の素数さん
14/10/12 12:56:46.99
どうも、スレ主です
>>127 はい。気の利いたレスを思いつかないもので・・
>>128 はい。そうかも。疑問は、ブログの主に質問してください
131:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:01:07.98
＞疑問は、ブログの主に質問してください
自分の中で消化してないコピペを貼る心は？
132:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:18:43.89
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(hiro-san.seesaa.net)
五次方程式とガロア群論を理解するための“単純な”たとえ話 ヒロさん日記 2009年08月10日
数学の進歩を100年早めたといわれるガロアの群論は、ときどき気になっている。
とりわけ「5次以上の方程式は代数的な一般解が存在しない」という話は、せめて大まかな流れぐらいは理解できないものか。
群論を何も知らない人は、群の次数・位数、対称群（＝置換群）、巡回群、可換群（＝アーベル群）、部分群にまず慣れ親しんでから、
偶置換、交代群、正規部分群を理解し、円分方程式、拡大体、ガロア拡大、ガロア関数、ガロア分解方程式などの壁をロッククライミングしながら、
じっくりとビバークして考えているうちに「なるほどね」と言えるようになるらしい。
方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。
私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
133:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:26:04.86
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ガロア理論 を勉強中の人の役に立ちたい！４次方程式からの入門 最終更新日時:2013/1/6
はじめに
「ガロア理論を勉強中、または、したけど何かしっくりこない」人のお役に立ちたい。
ガロア理論を行列計算で実感できる“４次方程式の解法*”を参考資料として用意しました。
ご一読お願いします。
*：暫定自称オリジナル解法です。（大型書店の立ち読み、インターネット検索をしましたが、相当の解法が見受けられなかったので。）
経緯
“５次方程式が代数的な解の公式をもたない”という有名な証明を知りたいけど、
「ガロア理論て・・・取っ付きにくい」
その手の本を読んでも
「ガロア理論って、抽象化しすぎて掴み取れない・・・」と思ったり
「じゃあ、４次以下の方程式の解法ではガロワ理論がどう役立っているの・・・」と気になったり
（筆者自身がそうでした。）
等々なかなか勉強がはかどらない人に役立ててもらいたいと思い
参考資料として ”４次方程式の解法*”
を作成したのでノートとして紹介します。
134:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:29:07.15
まあ、検索スレとしては有用なスレかな。
135:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:43:00.60
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
ガロア理論とその発展 - 京都大学 玉川安騎男 数学入門公開講座テキスト 2006
（抜粋）
§5. ガロア理論の発展― 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
一般にはGal(L/K) は有限群になりませんが、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相群」となることがわかります。
5.4. スキームの基本群と遠アーベル幾何
前節で「絶対的ガロア理論」という遠アーベル幾何の精神について、例
を挙げて説明しましたが、なぜ「幾何」なのか、なぜ「遠アーベル」なの
か、ということについては説明しませんでした。以下これについて説明し
て本稿を終わりたいと思います。
ムを考えることは本質的に同等であることが知られています。
一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈ 多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。
グロタンディーク自身により、体のガロア理論は、スキームのガロア理論へと一般化されました。この理論で体の絶対ガロア群に当たるものが、スキームの基本群です。
絶対ガロア群は、与えられた体の（有限次分離）拡大体全体を統制する副有限位相群でしたが、基本群は、与えられたスキームの（有限エタール）被覆全体を統制する副有限位相群です。
スキームの基本群は、通常の位相幾何（トポロジー）で扱う位相空間の基本群の代数的（ないし代数幾何的）な類似と見ることができます。
１９８０年代初頭、グロタンディークは、遠アーベル幾何という新しい幾何を提唱しました。
その基本的な発想の一つは、遠アーベルスキームと呼ばれるある種のスキームの幾何は、その（アーベル群から程遠い）基本群によって完全に決定されるだろう、というものです。
このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。
136:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:55:09.98
ガロア教の教祖になりたいらしいな
137:１３２人目の素数さん
14/10/12 14:06:27.49
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
星 明考 (HOSHI, Akinari) 新潟大学理学部数学科准教授
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
[非常勤講師] 前期 早稲田大学教育学部数学科 代数序論B (木2)
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
代数序論（第14 回・2012/07/19）
ガロア理論は，大学における代数学の1つの目標であり，是非，自分で納得できるまで学んでほしい．
一方で，ガロアによって1830年頃に作られた理論であるということも事実である．
これまで紹介したように，その先には，代数的整数論，高木貞治による類体論，岩澤健吉による岩澤理論，
楕円曲線の理論，保型形式の理論，解析的整数論，代数幾何学，数論幾何学，，，，と非常に興味深
い数学の世界が，まだまだ広がっている．このような現代数学は4年生から大学院にかけて
じっくりと学ぶことができる．(←さらに驚く事に，これらの世界は有機的につながっているのである！)•
少しでも興味が出てきたら，夏休みに図書館で，これまでに紹介した本を読んでみましょう(!)
138:１３２人目の素数さん
14/10/12 14:16:42.81
どうも、スレ主です
>>137 代数序論B は、２年生の前期だろうな
>>136 ガロア教の教祖などつまらん。世の中いっぱいいる。
おれは、スレ主だよ
139:１３２人目の素数さん
14/10/12 14:30:37.57
口の悪い玄人衆の監視の中でよくやっとるなぁ
根性あるわw
140:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:10:30.77
>>131
どうも、スレ主です
>自分の中で消化してないコピペを貼る心は？
そういう質問すること自身が、２ちゃんねるに合っていない
２ちゃんねるは、玉石混淆。玉と石との鑑定ができない人には向かないよ
コピペを貼る心ね。基本は、スレ主は書かない。コピペが基本。楽だしね
選択の基本は、面白そうかどうかだ。そこで価値判断はしている。無価値と判断したらボツだ
”疑問は、ブログの主に質問してください ”>>130 は、ちょっと突き放しているんだ
質問者は、勘違いしていると思う。スレ主が答えてやってもいいけど、まあ自分で考えてみてと
141:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:12:29.19
>>134
どうも、スレ主です
>まあ、検索スレとしては有用なスレかな。
そうそう
その程度に思って下さい
142:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:18:39.90
>>139
どうも、スレ主です
>口の悪い玄人衆の監視の中でよくやっとるなぁ
口の悪い玄人衆？ 玄人衆でカキコに来たのは、猫さん（狸？）くらいかね。玄人衆って、基本はROMだろうと思っている
玄人衆ってのは、思うに大学教員。おれくらいのレベルのスレ主が、書いていて、数学科２年かそこらのレベルと思うけど
まあ、数学科２年くらいには、”可もなし不可もなし”って
悩んでいるとこは、おなじようなところだと
143:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:41:05.54
コピペを否定してるわけじゃない、納得もしてないのに貼る心が理解できないだけ。
突き放すなら何故「そうかも」なのか？
「そうかも」というのは自分では判断できないときに使う言葉だと思うが、違うかい？
ガロア理論では拡大体を基礎体上の線型空間ととらえて理論展開するから、線型空間論が使われる。
逆に他は使われない、俺が知ってる範囲では。
一方で、一次連立方程式論が関係するのは主に行列論だから違うんじゃないの？と言ったまでだ。
144:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:44:31.95
>>143
線形構造は最早空気だから、体の拡大以外にも使ってるとゴリ押ししようと思えば出来るが…
本質的じゃないよな。
因みにガロア理論では「悩んで」いないw
145:１３２人目の素数さん
14/10/12 16:24:45.96
>>144
日本語が不自由？
ガロア理論において、線型代数の中のどの理論が使われているのか？って話しなんだが
146:１３２人目の素数さん
14/10/12 16:44:00.67
>>145
数学科出身とは思えん返しwww
147:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:07:38.38
>>142
どうも、スレ主です
思うに、ガロアは人気と需要があると思うんだよね。それが、このスレの存在意義にも繋がっている
なぜ、人気と需要があるか？
一つは、「ガロア理論は，大学における代数学の1つの目標」（星 明考）>>137
二つには、数学科に限らず、群論は理系のあらゆる分野に浸透している。群論を学んだ人は、根源のガロア理論を知りたいと思う
三つには、ガロア理論は理数系の教養だと思うんだ。
四つには、知っていて損はない。知っていれば、どこかで役に立つ可能性大。新しいことを学ぶとき。自分で似たことを考えるとき
そう思うんだ
148:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:24:44.11
一以外は不同意だな
二、歴史的に関係が深いが、根源とは思わない
三、数学系科以外でガロア理論など聞いたこと無い
四、知ってて損が無いのはいいとして、役に立つ可能性が大きいとは思わない
役に立つかどうかじゃなく、知りたい・理解したいのが勉強の動機だな、俺の場合
149:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:28:27.18
>>144-145
どうも、スレ主です
数学板はIDが出ないから、だれの発言か区別できないので、特定できず（>>128の質問者と）推定でレスする
１．スレ主が引用している部分は、あくまで抜粋。疑問があれば、リンクを開いて読めってこと
２．で、省略したところを含めて引用すると
” まだ全くやっていない概念もいくつかありまして、 その中で最も基礎的なものは線形代数です。
実はガロア理論は線形代数の知識を使うと意外なほどにすっきりとします。
もともと線形代数は連立方程式論との関係が深いですから、それも当然かもしれません。
それをわかりやすい形で初めて世の中に伝えたのはEmile-Artin先生です。（この人は大先生）”だと
３．つまり、スレ主の解釈は、このホームページでは力点は線形代数に有って、”連立方程式論”は「方程式論」で、ガロア理論も方程式論という関係。
線形代数→”連立方程式論”→「方程式論」→ガロア理論も方程式論 だと
４．まあ、”風が吹けば桶屋が儲かる”程度の日常会話にすぎないと
５．そこに、「その話は、数学的に厳密な関連性が薄いじゃないか？」と突っ込み質問をしてもねー（野暮じゃ無いか・・）
スレ主としては、そう思うわけ
で、それをスレ主が、ホームページの人に代わって答える義務もない。だから、ホームページの人に聞いてみなという結論になる
そういうことです
150:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:42:30.75
>>143
どうも、スレ主です
数学板はIDが出ないから、だれの発言か区別できないが、特定できず（>>128の質問者かなと）推定でレスする
>納得もしてないのに貼る心が理解できないだけ。
いや、納得しているよ、今回に限れば（>>149の通り）。かつ、納得できない部分に気付けば、コメントを付けているだろう。気付かなければ別だが
>「そうかも」というのは自分では判断できないときに使う言葉だと思うが、違うかい？
違うな。この場合、「なんか勘違いしている」と思ったが、ストレートでなくカーブでかわしたんだ、「そうかも」と
>一方で、一次連立方程式論が関係するのは主に行列論だから違うんじゃないの？と言ったまでだ。
行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。
それがスレ主の理解だ
151:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:43:59.85
日常会話に過ぎないと思ってる部分を、何故わざわざ膨大なページの中から選んで
コピペするのか、俺には理解不能だわ
152:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:50:35.29
＞行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ
行列論と線型代数を対峙させてるわけじゃないんだが。
行列論も行列式論も固有値論も線型空間論も線型代数の要素だが、ガロア理論で使われるのは線型空間論だけ
だと言ってるんだけどなあ。
153:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:53:50.15
ああ、ごめん俺の見識不足かな。
ガロア理論の中で、行列論とか固有値論とかを使って理論構築している部分があるなら教えて欲しい。
154:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:01:55.00
>>151
どうも、スレ主です
面白い人が迷い込んできたね
>日常会話に過ぎないと思ってる部分を、何故わざわざ膨大なページの中から選んで
>コピペするのか、俺には理解不能だわ
まあ、マーケティング用語でいうところの”つかみ”ってやつだ
読む人の気を引く部分を引用しているんだ。読者が反応しそうなキーワードを含んでいて、かつスレの内容を予測させ、かつ面白そうと思わせる部分
そういう部分を、時間を使わずに、適当に決めているんだ
話はそれだけだよ
155:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:06:35.12
>>152
>行列論も行列式論も固有値論も線型空間論も線型代数の要素だが、ガロア理論で使われるのは線型空間論だけ
>だと言ってるんだけどなあ。
それならそれで結構だが、独り言なら、質問で書くなって
質問があるなら、ホームページの人にしてくれ
そういう些末な話には興味なしだよ。はっきり言ってどうでもいい話だ（常識でしょ？百年前に終わっているよ）
156:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:11:05.77
>>153
どうも、スレ主です
はっきり言って、見識不足だと
>>146でつっこみ入っているだろ？ 同じだよ
逆質問で悪いが、行列論と線型代数の差分を書いてくれ
それで、あなたの見識が見えるから
157:95
14/10/12 20:20:28.07
>>96
一行目と三行目からは逃げたな。
二行目に関していうと、考えるときの表記と発表するときの表記は大きく異なるのがむしろ通常である。
良い数学者の研究メモが宝の山な理由の一つである。
158:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:23:09.83
>>140
むしろリンク貼りとコピペだけでOK。
スレ主の地の文は一切不要。
159:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:25:51.89
何の権利でスレ主などと自称してるんだ？
160:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:29:09.01
便所のらくがき権を行使してるだけだろ
161:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:54:44.67
>>156
人のことを見識不足と断じておきながら
＞ガロア理論の中で、行列論とか固有値論とかを使って理論構築している部分があるなら教えて欲しい。
には答えない。これを卑怯者と云わずして何と云おう。
＞まあ、マーケティング用語でいうところの”つかみ”ってやつだ
＞読む人の気を引く部分を引用しているんだ。読者が反応しそうなキーワードを含んでいて、かつスレの内容を予測させ、かつ面白そうと思わせる部分
＞そういう部分を、時間を使わずに、適当に決めているんだ
なるほど卑怯者らしく屁理屈で逃げよった。
162:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:59:43.27
＞行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。
＞それがスレ主の理解だ
よくも恥ずかしくもなくこういうことを言えるもんだ
もう少し勉強してから書き込めよ
163:１３２人目の素数さん
14/10/12 23:15:34.97
>>156
>はっきり言って、見識不足だと
>それで、あなたの見識が見えるから
未だ見えてないのにはっきり言えるとは驚きだ
164:１３２人目の素数さん
14/10/13 08:25:33.56
どうも、スレ主です
いやー、しばらく放置プレイしていたら、勝手に盛り上がってくれるね
が、適当にまとめレスするわな
>>157 意味不明（理解不能）。>>95に同じ。「小物を動かしたり」？分からん
「ガロアが彼の記法のまま考えている」？については、>>96”我々には、残されたガロア論文しかない ガロア論文は、彼の記法で書かれている”が答えだ
>>160 "便所のらくがき権を行使してるだけ"は、正解だな。そして、何に回答し何をスルーするかも、スレ主の権利行使だよ
>>163 あんたも逃げが上手いね。が、ごたくは>>156の質問に答えてからにしてくれ
165:１３２人目の素数さん
14/10/13 08:43:07.34
>>120 補足つづき
どうも、スレ主です
ガロア原論文P41(彌永昌吉本*)では P249)
素数次n=5の場合に、可解になる群を彼の記法（置換の記法）を使って書いている
1列目 2列目 3列目 4列目
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c,
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a,
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d,
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b,
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e,
今日は、ここを少し書こう
*)ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8/1 彌永 昌吉 (著)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
166:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:08:59.07
>>120 補足つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文では、k→ak+bの線形置換の具体例として、これを書いた
a b c d e,のままでは、意味が分かりにくい。そこで、数字に変えると
1列目 2列目 3列目 4列目
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3,
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1,
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4,
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2,
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5,
これ分かりますか
167:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:22:57.80
>>166 つづき
どうも、スレ主です
1列目 2列目 3列目 4列目
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3,
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1,
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4,
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2,
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5,
１）各列で見ると、巡回置換になっている
２）1列目を基本にして、k→ak+b mod5 で考える。（ガロア論文では、mod5は略されているが）
３）2列目は、ak+b=2k-1 (a=2,b=-1) mod5
３）3列目は、ak+b=4k-3 (a=4,b=-3) mod5
４）4列目は、ak+b=8k-7 (a=8,b=-7) mod5
これ分かりますか
168:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:30:23.76
>>167 つづき
どうも、スレ主です
mod5 なら、5≡0, 8や7についても同様に8≡3, 7≡2 という突っ込みはありだが
ここではわかりやすさを優先した
５次方程式なので、5が見えた方が分かりやすい
また、1列目から2列目のak+b=2k-1を、同じように2列目に施して3列目、3列目に施して4列目が得られる
そういう関係も、見やすいように
169:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:53:01.36
>>168 つづき
どうも、スレ主です
ここの説明は、アルティン本（下記）がかなり詳しい。第３章の定理４３の後から定理４６までだ
URLﾘﾝｸ(book.akahoshitakuya.com)
ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)
170:１３２人目の素数さん
14/10/13 10:07:12.70
>>169 つづき
どうも、スレ主です
> URLﾘﾝｸ(book.akahoshitakuya.com)
> ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)
おれの持っているのは、文庫じゃないが、寺田 文行が、”線形群”という訳語を使っているが、いまでは不適切だろう
（文庫でも、おそらく同じ用語を使っていると思う。アルティンの原文がどうか不明だが）
メタ巡回群が、学術用語としては正確だ（”線形群”は現在では別の意味になる）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
6.4 Metacyclic and polycyclic groups
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
171:１３２人目の素数さん
14/10/13 10:47:45.43
>>164
自分の発言が完全に自己矛盾してることに気づかないとはね
やれやれ、こりゃ駄目だ