14/10/11 05:11:41.59
>>99 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これ分かります？ 意味
えーと、交代群A4を彼の記法（置換の記法）によって書いた
S4は、４！＝２４個から成る群。A4は、偶置換のみだから、１２個
個数は合っているだろ？
普通の本にある置換（それはコーシー流だ。以下コーシー流と書く）で考えると
最初の”a b c d”が、各順列の上についていると思ってくれ
例えば最初は
a b c d（＝最初）
a b c d
の単位置換
その下は
a b c d（＝最初）
b a d c
で、(a b)(c d)と互換の積になっていることを表している
繰り返すが、「最初の”a b c d”が、各順列の上についている」と思ってくれ
101:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:20:49.39
>>100 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これで少し分かるだろう？ 意味。交代群A4を彼の記法（置換の記法）によって書いた
行列にならって、行と列という用語を使う
１列目で、彼の記法で、群になっていることが分かるかな？
いわゆるクライン群だ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) クラインの四元群
おお！ このwikipediaの「クラインの四元群の演算表」は、まさに彼の記法と同じだ！ （３行目と４行目が逆だが）
これは、分かりやすい例だ！
102:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:29:13.13
>>101 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これでかなり分かるだろう？
１列目がクライン群というのは、分かった
１行目に着目してくれ
a b c d, a c d b, a d b c, だ
これは、文字aを固定して、残り３文字の巡回置換（b c d）で、移ることが見えるだろう
コーシー流で縦に書くと
a b c d
a b c d
a b c d
a c d b
a b c d
a d b c
この３つだ。最初は単位置換だ
つまり、１行目は、巡回置換（b c d）から成る巡回群を表しているんだ！ そう解釈できる
103:１３２人目の素数さん
14/10/11 05:52:09.65
>>102 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
これ、1列目がクライン群で、１行目は（b c d）の巡回群までは、分かったろう
では、1列目から2列目,3列目を導くには？
一つの見方は、1列目と同じ構造を、2列目,3列目も有していると見ること
つまり、一番上の、a c d b,や a d b c,に、からクライン群と同じ表記を導く
>>100で書いたように、一番上に二つの互換を施す
（順列の文字の一番目と二番目の入れ替え。三番目と四番目の入れ替え。この二つの互換）
まあ、同じように１列目でa b c dの文字の入れ替わりと同じことを、２列目a c d b,や ３列目a d b c,に施せば良い
これが、1列目から2列目,3列目を導くための一つの見方。もう一つある
104:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:02:00.51
>>103 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
もう一つの見方
上記を、2列目,3列目を入れ替えて、最初の文字を揃えると。次だ
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, b d c a, b c a d,
c d a b, c a b d, c b d a,
d c b a, d b a c, d a c b,
これは、2列目,3列目を入れ替えただけ
1列目から2列目,3列目を導くもう一つの見方が分かるだろ？
>>102で書いた、「文字aを固定して、残り３文字の巡回置換（b c d）で、移ることが見えるだろう 」
これ、１行目の話だが、２から４行目についても、頭の文字を固定して、残り３文字の巡回置換で、移ることが見えるだろう
105:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:12:27.45
>>104 つづき
どうも、スレ主です
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
1列目から2列目,3列目を導くには？ 二つの見方が出来ることが分かった
そこで、こう解釈してみよう
この表は、1列目から2列目,3列目を導くのに、1列目に>>104での３文字の巡回置換を施して、それをクライン群の構造が見えるように並べ変えたと
そこで、彼の記法（置換の記法）の登場だ
2列目を、こう解釈してみよう
>>102にならって、コーシー流で2列目の最初の文字a c d bを上に付けて、2列目を書くと
a c d b
a c d b
a c d b
c a b d
a c d b
d b a c
a c d b
b d c a
と、こうなる
106:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:49:07.45
>>103 訂正 a c d b,や a d b c,に、からクライン群→a c d b,や a d b c, からクライン群
>>105 つづき
どうも、スレ主です
a c d b
a c d b
a c d b
c a b d
a c d b
d b a c
a c d b
b d c a
これ、意味分かります？
一つは、>>103で「1列目と同じ構造を、2列目も有していると見ること
つまり、一番上の、a c d b,からクライン群と同じ表記を導く」ってことを、コーシー流で書いたのだ
しかし、こう書いた瞬間見えるものがある
一つは、一番上が単位置換ｅであって、明確に群そのものだと分かる
二つ目は、各２行目は、1列目に>>104での３文字の巡回置換を施してできたものだが、１行目のa c d bも、同じ３文字の巡回置換を施してできたものだ
つまり、２番目の置換
a c d b
c a b d を例に取ると、こいつは1列目の２番目の置換（下記）
a b c d
c d a b の上下に、同じ３文字の巡回置換＝先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させるを施したものだ
107:１３２人目の素数さん
14/10/11 06:58:03.89
>>106 つづき
どうも、スレ主です
"a b c d
c d a b の上下に、同じ３文字の巡回置換＝先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させるを施したものだ"
話が長くなったが、これが>>91
”g－ 1 h g＝
(g(1),g(2),g(3))
(g(h1),(h2),g(h3))
つまり、hの上下の順列にgを作用させたという意味 ”>>89
に繋がる。ここでは、gが「先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させる」ってこと
108:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:13:16.31
>>107 つづき
どうも、スレ主です
あれ？ なんか違う・・・
おっと、間違い
>>104訂正
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
もう一つの見方
（b c d）の巡回置換を、1列目から2列目,3列目に施す
例えば、２行目
b a d c,→（b c d）→ c a b d,→（b c d）→ d a c b,
（この意味は、一番左に巡回置換（b c d）に施して、二番目が得られ、それに巡回置換（b c d）に施して、一番右になると）
だから、1列目に巡回置換（b c d）に施して、二番目の列が得られ、それに巡回置換（b c d）に施して、一番右の列になる
109:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:22:22.80
>>108 つづき
どうも、スレ主です
だから、>>106も訂正だ
（>>106の最後の６行の正しい記述は、下記）
二つ目は、各２行目は、1列目に>>104での３文字の巡回置換（b c d）を施してできたものだが、１行目のa c d bも、同じ３文字の巡回置換（b c d）を施してできたものだ
つまり、２番目の置換
a c d b
c a b d を例に取ると、こいつは1列目の２番目の置換（下記）
a b c d
b a d c の上下に、同じ３文字の巡回置換（b c d）を施したものだ
110:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:27:08.74
>>109 つづき
どうも、スレ主です
これで話が合ってきた
だから、>>107は
（訂正）
gが「先頭の文字を固定して後の３文字を巡回させる」ってこと
↓
gが「３文字の巡回置換（b c d）」ってこと
ああ、あと
>>107のhは、３文字しかないが、４文字置換に読み替えてくれ、スマソ
111:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:38:26.25
>>110 つづき
どうも、スレ主です
ようやく、軌道修正して、正しいところへ戻った。冷や汗ものだな・・
で107のつづき
彼の記法（置換の記法）例えば
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
は、コーシー流（２行記法）から、最初のa b c d,を省略して書いたと、解することができる
つまり、1列目のb a d c,は
a b c d,
b a d c,だ
最初のは
a b c d,
a b c d,で、単位置換ｅ
でこの記法の利点は、最初のa b c d,を省略しているから、最初を別の順列例えば２列目先頭のa c d b,に置き換えて思考実験して見ることがたやすい
これを説明したのが、>>103だ
112:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:47:12.59
>>111 つづき
どうも、スレ主です
コーシー流記法で書いたものが、>>105だが
もうすこし、しつこく書くと
1行目 2行目
a b c d, a c d b,
b a d c, c a b d,
c d a b, d b a c,
d c b a, b d c a,
これを
1行目 2行目
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
b a d c, c a b d,
a b c d, a c d b,
c d a b, d b a c,
a b c d, a c d b,
d c b a, b d c a,
と見たらどうよと。ガロアは論文に書いているように読めるんだ
113:１３２人目の素数さん
14/10/11 08:57:58.03
>>112 つづき
どうも、スレ主です
訂正：1行目 2行目 →1列目 2列目
で
1列目 2列目
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
a b c d, a c d b,
b a d c, c a b d,
a b c d, a c d b,
c d a b, d b a c,
a b c d, a c d b,
d c b a, b d c a,
これ分かります？ 各２行目は、３文字の巡回置換（b c d）を施して、1列目→2列目
もちろん、１行目も同じ。a b c d,→ a c d b,なので、巡回置換（b c d）を施して移る
つまり、1列目を群Ｎとして、巡回置換（b c d）をgとすると、g-1Ng＝N。つまりNは、正規部分群
こういうことを、ガロア論文 P36 >>98は、書いているじゃないかと気付いたんだ
114:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:14:03.82
>>113 つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文 P36を続ける
a b c d, a c d b, a d b c,
b a d c, c a b d, d a c b,
c d a b, d b a c, b c a d,
d c b a, b d c a, c b d a,
ガロア論文は「これが、三つの群に分かれている」という
それは、>>112-113で、しつこく書いた通り
彼の記法（置換の記法）では、２，３列の置換の省略されているが、コーシー流記法の１行目を
各、a c d b, a d b c, に読み替えて、群を考えてみなさいと
そうすれば、３文字の巡回置換（b c d）による変換が見えるだろうと（１列目の群Nを、g＝（b c d）で変換して g-1Ng＝N。）
そして、３文字の巡回置換（b c d）による変換だから、３次の累乗根を求めることで、群が縮小して
a b c d,
b a d c,
c d a b,
d c b a,
が残ると
115:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:28:09.12
>>114 つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文 P37へ移る
a b c d,
b a d c,
c d a b,
d c b a,
が、
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
と二つの群に分けられると、ガロア論文 P37はいう
a b c d,→ c d a b,は、互換の積（a c)(b d）で移ると見る
２行目も同じだ
そして、先ほどと同じように、省略されているコーシー流記法の１行目を読み替える
1列目 2列目
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
各列の最初は、単位置換ｅだ
二つ目は、前の２文字と、後ろの２文字とを各入れ替えている
116:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:33:42.39
>>115 つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文 P37を続ける
a b c d,
b a d c,
c d a b,
d c b a,
が、
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
と二つの群に分かれ
1列目 2列目
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
a b c d, c d a b,
b a d c, d c b a,
だから、結局、
a b c d,
b a d c,
が残ると、ガロア論文P37はいう
117:１３２人目の素数さん
14/10/11 09:46:06.23
>>116 つづき
どうも、スレ主です
まとめると
ガロアが彼の記法のまま考えていたかどうかは、聞いてみないと分からない
しかし、ガロア論文Ｐ３６－３７にわたって、彼は彼の記法（置換の記法）を使って
４次方程式の群について、簡潔に説明している
その説明を、現在の主流のコーシー記法で表すとどうなるかを、>>98-116にわたって書いた
そこで、読み取って頂けると思うが、彼の記法（置換の記法）は、群の組み分けを考えるのに、非常にすっきりしていること
コーシー記法の１行目を省略したことで、かえって１行目を読み替える思考実験をして見ることがたやすい>>111
そして、彼の記法を通じて、明確に正規部分群の概念に到達していたと思う
118:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:02:50.89
>>117 つづき
どうも、スレ主です
補足
１．このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレだった>>1
２．ガロア原論文は、一貫して、彼の記法（置換の記法）を使っている>>96
３．ガロアはコーシー流の置換表記はしっていたろう>>97。が、使わない
４．だから、ガロア原論文を読もうとする人は、>>98-116を参考にしてガロア論文Ｐ３６－３７を読んで、彼独特の記法慣れておく方が良いだろうと思います。
119:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:04:16.16
連投乙
120:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:30:21.51
>>118 補足つづき
どうも、スレ主です
ガロア原論文P41では、素数次n=5の場合に、可解になる群を彼の記法（置換の記法）を使って書いている
1列目 2列目 3列目 4列目
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c,
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a,
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d,
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b,
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e,
121:１３２人目の素数さん
14/10/11 10:35:53.43
>>119
どうもです
>>120
これを解説すると、また長くなるので、別の機会に
122:１３２人目の素数さん
14/10/12 08:29:01.46
どうも、スレ主です
突然ですが「対称性の概念を把握する最も強力な方法である群の概念」
群論的アプローチは、現代物理学の発展において、不可欠な要素であった
過去スレで、これが理解できないやつが暴れたので、転載しておく
URLﾘﾝｸ(www.abelprize.no)
URLﾘﾝｸ(www.abelprize.no)
ノルウェー科学文学アカデミーは2008年のアーベル賞をジョン・G・トンプソン
及びジャック・ティッツにその代数学、特に現代群論の構築における重要な業績に対して授与することを決定した。
九世紀初頭に二人の若き数学者、ニルス・ヘンリック・アーベルとエヴァリスト・ガロアによって見事に
実現された。それは最終的に、対称性の概念を把握する最も強力な方法である群の概念
を導いた。二十世紀には、群論的アプローチは、結晶の対称性の理解から基本的な粒子
と力のモデルの定式化に至るまでの現代物理学の発展において、不可欠な要素であった。
123:みき
14/10/12 08:43:30.39
ガロア アーベル 憧れ！
124:１３２人目の素数さん
14/10/12 08:49:19.74
どうも、スレ主です
ノーベル賞とアーベル賞
ノルウェー政府のおやじギャグ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
2001年、ノルウェー政府は同国出身である数学者ニールス・アーベルの生誕200年（2002年）を記念して、アーベルの名を冠した新しい数学の賞を創設することを公表し、そのためにニールス・ヘンリック・アーベル基金を創設した。
毎年、ノルウェー科学文学審議会によって任命された5人の数学者からなる委員会が、受賞する人物を決定する。賞金額はスウェーデンのノーベル賞に匹敵し、数学の賞としては最高額である。
この賞の主な目的は、数学の分野における傑出した業績に国際的な賞を与えることであり、社会における数学の地位を上げることや、子供たちや若者の興味を刺激することも企図している。
2003年4月、初めての受賞者が公表され、ジャン=ピエール・セールに送られることに決まった（賞金は600万ノルウェークローネ、約1億円）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1897年4月には平和賞を授与するためのノルウェー・ノーベル委員会が設立され、
6月7日にはカロリンスカ研究所（スウェーデン）が、6月9日にはスウェーデン・アカデミーが、
6月11日にはスウェーデン王立科学アカデミーが授与機関に選定されて[8]選考体制は整った。賞の授与体制が整うと、
1900年にノーベル財団の設立法令がスウェーデン国王オスカル2世によって公布された。
1905年にノルウェーとスウェーデンは同君連合を解消したが、両国分離後も授与機関は変更されなかった.[6]。
125:１３２人目の素数さん
14/10/12 09:39:51.55
>>123
どうも、スレ主です
ガロア アーベル は、やｈり当時の天才ですね
126:１３２人目の素数さん
14/10/12 09:43:03.09
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
ガロア理論の心・その６まであります
URLﾘﾝｸ(www.junko-k.com)
URLﾘﾝｸ(www.junko-k.com)
NO.769 2000.3.2. WAHEI ガロア理論の心（１）
実はガロア理論は線形代数の知識を使うと意外なほどにすっきりとします。
もともと線形代数は連立方程式論との関係が深いですから、それも当然かもしれません。
それをわかりやすい形で初めて世の中に伝えたのはEmile-Artin先生です。（この人は大先生）
127:１３２人目の素数さん
14/10/12 11:56:59.00
そんな当たり前のこと言われても…
128:１３２人目の素数さん
14/10/12 12:26:02.03
連立方程式論？
体K上の多項式環がK上の線型空間だからじゃないの？
129:１３２人目の素数さん
14/10/12 12:51:58.42
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-and.ac.uk)
The Development of Galois Theory Galois' commentators Fiona Brunk January 2005
Artin followed Weber in making a clear distinction between theory and application.
Solvable groups and the idea of solvability by radicals appear only in an appendix to his text, and only for historic reasons.
In the 1930s, mathematicians were certainly much more receptive to abstract algebra than Weber's audience had been,
but Artin's crucial innovation was the way in which he combined results by Dedekind, Kronecker, Weber and others in order to present a new conception of Galois Theory.
In short, Artin unified and completed all the earlier approaches in a formulation of Galois Theory which we still use today.
130:１３２人目の素数さん
14/10/12 12:56:46.99
どうも、スレ主です
>>127 はい。気の利いたレスを思いつかないもので・・
>>128 はい。そうかも。疑問は、ブログの主に質問してください
131:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:01:07.98
＞疑問は、ブログの主に質問してください
自分の中で消化してないコピペを貼る心は？
132:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:18:43.89
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(hiro-san.seesaa.net)
五次方程式とガロア群論を理解するための“単純な”たとえ話 ヒロさん日記 2009年08月10日
数学の進歩を100年早めたといわれるガロアの群論は、ときどき気になっている。
とりわけ「5次以上の方程式は代数的な一般解が存在しない」という話は、せめて大まかな流れぐらいは理解できないものか。
群論を何も知らない人は、群の次数・位数、対称群（＝置換群）、巡回群、可換群（＝アーベル群）、部分群にまず慣れ親しんでから、
偶置換、交代群、正規部分群を理解し、円分方程式、拡大体、ガロア拡大、ガロア関数、ガロア分解方程式などの壁をロッククライミングしながら、
じっくりとビバークして考えているうちに「なるほどね」と言えるようになるらしい。
方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。
私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
133:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:26:04.86
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ガロア理論 を勉強中の人の役に立ちたい！４次方程式からの入門 最終更新日時:2013/1/6
はじめに
「ガロア理論を勉強中、または、したけど何かしっくりこない」人のお役に立ちたい。
ガロア理論を行列計算で実感できる“４次方程式の解法*”を参考資料として用意しました。
ご一読お願いします。
*：暫定自称オリジナル解法です。（大型書店の立ち読み、インターネット検索をしましたが、相当の解法が見受けられなかったので。）
経緯
“５次方程式が代数的な解の公式をもたない”という有名な証明を知りたいけど、
「ガロア理論て・・・取っ付きにくい」
その手の本を読んでも
「ガロア理論って、抽象化しすぎて掴み取れない・・・」と思ったり
「じゃあ、４次以下の方程式の解法ではガロワ理論がどう役立っているの・・・」と気になったり
（筆者自身がそうでした。）
等々なかなか勉強がはかどらない人に役立ててもらいたいと思い
参考資料として ”４次方程式の解法*”
を作成したのでノートとして紹介します。
134:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:29:07.15
まあ、検索スレとしては有用なスレかな。
135:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:43:00.60
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
ガロア理論とその発展 - 京都大学 玉川安騎男 数学入門公開講座テキスト 2006
（抜粋）
§5. ガロア理論の発展― 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
一般にはGal(L/K) は有限群になりませんが、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相群」となることがわかります。
5.4. スキームの基本群と遠アーベル幾何
前節で「絶対的ガロア理論」という遠アーベル幾何の精神について、例
を挙げて説明しましたが、なぜ「幾何」なのか、なぜ「遠アーベル」なの
か、ということについては説明しませんでした。以下これについて説明し
て本稿を終わりたいと思います。
ムを考えることは本質的に同等であることが知られています。
一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈ 多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。
グロタンディーク自身により、体のガロア理論は、スキームのガロア理論へと一般化されました。この理論で体の絶対ガロア群に当たるものが、スキームの基本群です。
絶対ガロア群は、与えられた体の（有限次分離）拡大体全体を統制する副有限位相群でしたが、基本群は、与えられたスキームの（有限エタール）被覆全体を統制する副有限位相群です。
スキームの基本群は、通常の位相幾何（トポロジー）で扱う位相空間の基本群の代数的（ないし代数幾何的）な類似と見ることができます。
１９８０年代初頭、グロタンディークは、遠アーベル幾何という新しい幾何を提唱しました。
その基本的な発想の一つは、遠アーベルスキームと呼ばれるある種のスキームの幾何は、その（アーベル群から程遠い）基本群によって完全に決定されるだろう、というものです。
このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。
136:１３２人目の素数さん
14/10/12 13:55:09.98
ガロア教の教祖になりたいらしいな
137:１３２人目の素数さん
14/10/12 14:06:27.49
どうも、スレ主です
面白そうなページ紹介
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
星 明考 (HOSHI, Akinari) 新潟大学理学部数学科准教授
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
[非常勤講師] 前期 早稲田大学教育学部数学科 代数序論B (木2)
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
代数序論（第14 回・2012/07/19）
ガロア理論は，大学における代数学の1つの目標であり，是非，自分で納得できるまで学んでほしい．
一方で，ガロアによって1830年頃に作られた理論であるということも事実である．
これまで紹介したように，その先には，代数的整数論，高木貞治による類体論，岩澤健吉による岩澤理論，
楕円曲線の理論，保型形式の理論，解析的整数論，代数幾何学，数論幾何学，，，，と非常に興味深
い数学の世界が，まだまだ広がっている．このような現代数学は4年生から大学院にかけて
じっくりと学ぶことができる．(←さらに驚く事に，これらの世界は有機的につながっているのである！)•
少しでも興味が出てきたら，夏休みに図書館で，これまでに紹介した本を読んでみましょう(!)
138:１３２人目の素数さん
14/10/12 14:16:42.81
どうも、スレ主です
>>137 代数序論B は、２年生の前期だろうな
>>136 ガロア教の教祖などつまらん。世の中いっぱいいる。
おれは、スレ主だよ
139:１３２人目の素数さん
14/10/12 14:30:37.57
口の悪い玄人衆の監視の中でよくやっとるなぁ
根性あるわw
140:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:10:30.77
>>131
どうも、スレ主です
>自分の中で消化してないコピペを貼る心は？
そういう質問すること自身が、２ちゃんねるに合っていない
２ちゃんねるは、玉石混淆。玉と石との鑑定ができない人には向かないよ
コピペを貼る心ね。基本は、スレ主は書かない。コピペが基本。楽だしね
選択の基本は、面白そうかどうかだ。そこで価値判断はしている。無価値と判断したらボツだ
”疑問は、ブログの主に質問してください ”>>130 は、ちょっと突き放しているんだ
質問者は、勘違いしていると思う。スレ主が答えてやってもいいけど、まあ自分で考えてみてと
141:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:12:29.19
>>134
どうも、スレ主です
>まあ、検索スレとしては有用なスレかな。
そうそう
その程度に思って下さい
142:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:18:39.90
>>139
どうも、スレ主です
>口の悪い玄人衆の監視の中でよくやっとるなぁ
口の悪い玄人衆？ 玄人衆でカキコに来たのは、猫さん（狸？）くらいかね。玄人衆って、基本はROMだろうと思っている
玄人衆ってのは、思うに大学教員。おれくらいのレベルのスレ主が、書いていて、数学科２年かそこらのレベルと思うけど
まあ、数学科２年くらいには、”可もなし不可もなし”って
悩んでいるとこは、おなじようなところだと
143:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:41:05.54
コピペを否定してるわけじゃない、納得もしてないのに貼る心が理解できないだけ。
突き放すなら何故「そうかも」なのか？
「そうかも」というのは自分では判断できないときに使う言葉だと思うが、違うかい？
ガロア理論では拡大体を基礎体上の線型空間ととらえて理論展開するから、線型空間論が使われる。
逆に他は使われない、俺が知ってる範囲では。
一方で、一次連立方程式論が関係するのは主に行列論だから違うんじゃないの？と言ったまでだ。
144:１３２人目の素数さん
14/10/12 15:44:31.95
>>143
線形構造は最早空気だから、体の拡大以外にも使ってるとゴリ押ししようと思えば出来るが…
本質的じゃないよな。
因みにガロア理論では「悩んで」いないw
145:１３２人目の素数さん
14/10/12 16:24:45.96
>>144
日本語が不自由？
ガロア理論において、線型代数の中のどの理論が使われているのか？って話しなんだが
146:１３２人目の素数さん
14/10/12 16:44:00.67
>>145
数学科出身とは思えん返しwww
147:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:07:38.38
>>142
どうも、スレ主です
思うに、ガロアは人気と需要があると思うんだよね。それが、このスレの存在意義にも繋がっている
なぜ、人気と需要があるか？
一つは、「ガロア理論は，大学における代数学の1つの目標」（星 明考）>>137
二つには、数学科に限らず、群論は理系のあらゆる分野に浸透している。群論を学んだ人は、根源のガロア理論を知りたいと思う
三つには、ガロア理論は理数系の教養だと思うんだ。
四つには、知っていて損はない。知っていれば、どこかで役に立つ可能性大。新しいことを学ぶとき。自分で似たことを考えるとき
そう思うんだ
148:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:24:44.11
一以外は不同意だな
二、歴史的に関係が深いが、根源とは思わない
三、数学系科以外でガロア理論など聞いたこと無い
四、知ってて損が無いのはいいとして、役に立つ可能性が大きいとは思わない
役に立つかどうかじゃなく、知りたい・理解したいのが勉強の動機だな、俺の場合
149:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:28:27.18
>>144-145
どうも、スレ主です
数学板はIDが出ないから、だれの発言か区別できないので、特定できず（>>128の質問者と）推定でレスする
１．スレ主が引用している部分は、あくまで抜粋。疑問があれば、リンクを開いて読めってこと
２．で、省略したところを含めて引用すると
” まだ全くやっていない概念もいくつかありまして、 その中で最も基礎的なものは線形代数です。
実はガロア理論は線形代数の知識を使うと意外なほどにすっきりとします。
もともと線形代数は連立方程式論との関係が深いですから、それも当然かもしれません。
それをわかりやすい形で初めて世の中に伝えたのはEmile-Artin先生です。（この人は大先生）”だと
３．つまり、スレ主の解釈は、このホームページでは力点は線形代数に有って、”連立方程式論”は「方程式論」で、ガロア理論も方程式論という関係。
線形代数→”連立方程式論”→「方程式論」→ガロア理論も方程式論 だと
４．まあ、”風が吹けば桶屋が儲かる”程度の日常会話にすぎないと
５．そこに、「その話は、数学的に厳密な関連性が薄いじゃないか？」と突っ込み質問をしてもねー（野暮じゃ無いか・・）
スレ主としては、そう思うわけ
で、それをスレ主が、ホームページの人に代わって答える義務もない。だから、ホームページの人に聞いてみなという結論になる
そういうことです
150:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:42:30.75
>>143
どうも、スレ主です
数学板はIDが出ないから、だれの発言か区別できないが、特定できず（>>128の質問者かなと）推定でレスする
>納得もしてないのに貼る心が理解できないだけ。
いや、納得しているよ、今回に限れば（>>149の通り）。かつ、納得できない部分に気付けば、コメントを付けているだろう。気付かなければ別だが
>「そうかも」というのは自分では判断できないときに使う言葉だと思うが、違うかい？
違うな。この場合、「なんか勘違いしている」と思ったが、ストレートでなくカーブでかわしたんだ、「そうかも」と
>一方で、一次連立方程式論が関係するのは主に行列論だから違うんじゃないの？と言ったまでだ。
行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。
それがスレ主の理解だ
151:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:43:59.85
日常会話に過ぎないと思ってる部分を、何故わざわざ膨大なページの中から選んで
コピペするのか、俺には理解不能だわ
152:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:50:35.29
＞行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ
行列論と線型代数を対峙させてるわけじゃないんだが。
行列論も行列式論も固有値論も線型空間論も線型代数の要素だが、ガロア理論で使われるのは線型空間論だけ
だと言ってるんだけどなあ。
153:１３２人目の素数さん
14/10/12 18:53:50.15
ああ、ごめん俺の見識不足かな。
ガロア理論の中で、行列論とか固有値論とかを使って理論構築している部分があるなら教えて欲しい。
154:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:01:55.00
>>151
どうも、スレ主です
面白い人が迷い込んできたね
>日常会話に過ぎないと思ってる部分を、何故わざわざ膨大なページの中から選んで
>コピペするのか、俺には理解不能だわ
まあ、マーケティング用語でいうところの”つかみ”ってやつだ
読む人の気を引く部分を引用しているんだ。読者が反応しそうなキーワードを含んでいて、かつスレの内容を予測させ、かつ面白そうと思わせる部分
そういう部分を、時間を使わずに、適当に決めているんだ
話はそれだけだよ
155:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:06:35.12
>>152
>行列論も行列式論も固有値論も線型空間論も線型代数の要素だが、ガロア理論で使われるのは線型空間論だけ
>だと言ってるんだけどなあ。
それならそれで結構だが、独り言なら、質問で書くなって
質問があるなら、ホームページの人にしてくれ
そういう些末な話には興味なしだよ。はっきり言ってどうでもいい話だ（常識でしょ？百年前に終わっているよ）
156:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:11:05.77
>>153
どうも、スレ主です
はっきり言って、見識不足だと
>>146でつっこみ入っているだろ？ 同じだよ
逆質問で悪いが、行列論と線型代数の差分を書いてくれ
それで、あなたの見識が見えるから
157:95
14/10/12 20:20:28.07
>>96
一行目と三行目からは逃げたな。
二行目に関していうと、考えるときの表記と発表するときの表記は大きく異なるのがむしろ通常である。
良い数学者の研究メモが宝の山な理由の一つである。
158:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:23:09.83
>>140
むしろリンク貼りとコピペだけでOK。
スレ主の地の文は一切不要。
159:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:25:51.89
何の権利でスレ主などと自称してるんだ？
160:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:29:09.01
便所のらくがき権を行使してるだけだろ
161:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:54:44.67
>>156
人のことを見識不足と断じておきながら
＞ガロア理論の中で、行列論とか固有値論とかを使って理論構築している部分があるなら教えて欲しい。
には答えない。これを卑怯者と云わずして何と云おう。
＞まあ、マーケティング用語でいうところの”つかみ”ってやつだ
＞読む人の気を引く部分を引用しているんだ。読者が反応しそうなキーワードを含んでいて、かつスレの内容を予測させ、かつ面白そうと思わせる部分
＞そういう部分を、時間を使わずに、適当に決めているんだ
なるほど卑怯者らしく屁理屈で逃げよった。
162:１３２人目の素数さん
14/10/12 20:59:43.27
＞行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。
＞それがスレ主の理解だ
よくも恥ずかしくもなくこういうことを言えるもんだ
もう少し勉強してから書き込めよ
163:１３２人目の素数さん
14/10/12 23:15:34.97
>>156
>はっきり言って、見識不足だと
>それで、あなたの見識が見えるから
未だ見えてないのにはっきり言えるとは驚きだ
164:１３２人目の素数さん
14/10/13 08:25:33.56
どうも、スレ主です
いやー、しばらく放置プレイしていたら、勝手に盛り上がってくれるね
が、適当にまとめレスするわな
>>157 意味不明（理解不能）。>>95に同じ。「小物を動かしたり」？分からん
「ガロアが彼の記法のまま考えている」？については、>>96”我々には、残されたガロア論文しかない ガロア論文は、彼の記法で書かれている”が答えだ
>>160 "便所のらくがき権を行使してるだけ"は、正解だな。そして、何に回答し何をスルーするかも、スレ主の権利行使だよ
>>163 あんたも逃げが上手いね。が、ごたくは>>156の質問に答えてからにしてくれ
165:１３２人目の素数さん
14/10/13 08:43:07.34
>>120 補足つづき
どうも、スレ主です
ガロア原論文P41(彌永昌吉本*)では P249)
素数次n=5の場合に、可解になる群を彼の記法（置換の記法）を使って書いている
1列目 2列目 3列目 4列目
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c,
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a,
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d,
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b,
e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e,
今日は、ここを少し書こう
*)ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8/1 彌永 昌吉 (著)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
166:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:08:59.07
>>120 補足つづき
どうも、スレ主です
ガロア論文では、k→ak+bの線形置換の具体例として、これを書いた
a b c d e,のままでは、意味が分かりにくい。そこで、数字に変えると
1列目 2列目 3列目 4列目
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3,
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1,
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4,
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2,
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5,
これ分かりますか
167:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:22:57.80
>>166 つづき
どうも、スレ主です
1列目 2列目 3列目 4列目
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3,
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1,
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4,
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2,
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5,
１）各列で見ると、巡回置換になっている
２）1列目を基本にして、k→ak+b mod5 で考える。（ガロア論文では、mod5は略されているが）
３）2列目は、ak+b=2k-1 (a=2,b=-1) mod5
３）3列目は、ak+b=4k-3 (a=4,b=-3) mod5
４）4列目は、ak+b=8k-7 (a=8,b=-7) mod5
これ分かりますか
168:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:30:23.76
>>167 つづき
どうも、スレ主です
mod5 なら、5≡0, 8や7についても同様に8≡3, 7≡2 という突っ込みはありだが
ここではわかりやすさを優先した
５次方程式なので、5が見えた方が分かりやすい
また、1列目から2列目のak+b=2k-1を、同じように2列目に施して3列目、3列目に施して4列目が得られる
そういう関係も、見やすいように
169:１３２人目の素数さん
14/10/13 09:53:01.36
>>168 つづき
どうも、スレ主です
ここの説明は、アルティン本（下記）がかなり詳しい。第３章の定理４３の後から定理４６までだ
URLﾘﾝｸ(book.akahoshitakuya.com)
ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)
170:１３２人目の素数さん
14/10/13 10:07:12.70
>>169 つづき
どうも、スレ主です
> URLﾘﾝｸ(book.akahoshitakuya.com)
> ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)
おれの持っているのは、文庫じゃないが、寺田 文行が、”線形群”という訳語を使っているが、いまでは不適切だろう
（文庫でも、おそらく同じ用語を使っていると思う。アルティンの原文がどうか不明だが）
メタ巡回群が、学術用語としては正確だ（”線形群”は現在では別の意味になる）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
6.4 Metacyclic and polycyclic groups
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
171:１３２人目の素数さん
14/10/13 10:47:45.43
>>164
自分の発言が完全に自己矛盾してることに気づかないとはね
やれやれ、こりゃ駄目だ
172:１３２人目の素数さん
14/10/13 11:13:18.68
>>169 つづき
どうも、スレ主です
メタ巡回群で、ガロア論文通りの記法で説明しているのが、下記Yuri Burda P13。
”x → ax + b”metacyclic permutation group と
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Signatures of Branched Coverings∗. Yuri Burda, Askold Khovanskii July 6, 2012
メタ巡回群は、日本語文献ではあまり使われていないが、エム・ポストニコフ本（下記。下記は過去なんども引用したが再度引用する）
P146だ。エム・ポストニコフは、私も古書だが、数式の展開が丁寧だ。そこに価値がある
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
青空学園だより 2011-08-05 ガロア理論
抜粋
ガロア理論については思い出がある．エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った．大学に入ったらこの本を読もうと，
それで1回生の夏にようやくの思いで『ガロアの理論』を読んだのだ．
ところが，これが読めてしまうのだ．何も難しいことはない．第1部「ガロア理論の基礎」も読めた．
代数的生成拡大が代数的単純拡大であることの証明に感心した他はすらすら読める．第2部「根号による方程式の解法」も読めるのだ．
P47～P48にはガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．
そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．
それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．
173:１３２人目の素数さん
14/10/13 11:45:16.65
>>164
置換群を考えるとき、物を動かして考えたりしないの？紙に書くだけ？
174:１３２人目の素数さん
14/10/13 11:51:04.74
>>172 つづき
どうも、スレ主です
線形置換くらいは、良いと思う
現代数学の系譜11 ガロア理論本でも線形置換だ
彌永本>>165 P270で、”線形群”と書いている。昔の用語だろうか？
倉田本>>93 P182では、線形置換群と書いているね。
Edwards本>>45 P93では、linear substitution と書いている
175:１３２人目の素数さん
14/10/13 11:52:11.24
>>170
オリジナルしか手元にないけど、線形群ってどこ？
176:１３２人目の素数さん
14/10/13 12:02:31.42
>>175
どうも
オリジナルのアルティン 東京図書版で
手元にあるのだと、P103 補題の２行上、P104 定理45だな
177:１３２人目の素数さん
14/10/13 12:06:41.58
なるほど、真面目に調べるなということですね
178:１３２人目の素数さん
14/10/13 12:13:01.77
>>172 つづき
どうも、スレ主です
いまどき、”線型群”（ linear group ）で検索すると、下記がヒットする。ガロアの記述する”Metacyclic_group ”はヒットしないんだな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般線型群
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
General linear group
179:１３２人目の素数さん
14/10/13 12:55:20.49
>>172 つづき
どうも、スレ主です
Artin本に近いのがヒット、下記。
"group of linear substitutions"とある。これを、”線型群”と訳したんだろうね
URLﾘﾝｸ(www-fourier.ujf-grenoble.fr)
Artin M. Galois theory (2ed, London, 1944 Sixth Printing, January 1971)(86s).pdf
このP79 "G is a group of linear substitutions"
因みに、ここは第３章 APPLICATIONS By A. N. Milgram.,なんだな。つまり、第３章ではないよと
URLﾘﾝｸ(books.google.co.jp)
googleのViewを見る限り同じだね
Milgramは下記だな
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
180:１３２人目の素数さん
14/10/13 13:22:52.07
>>177 つづき
どうも、スレ主です
おそらく、寺田や彌永の現役時代の数学業界では、”線形群”だったんじゃないかな？
日本の教科書では、メタ巡回群と書いている本は、記憶にないし
でも、世界はメタ巡回群へ移ったんだろう。特にソ連系は
アルティン本でも、メタ巡回群は使っていない
そういえば、いま手元のCox和本では、索引でメタ巡回群 P164,166 とあるね。現在はこれだね
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
181:１３２人目の素数さん
14/10/13 13:32:12.36
>>173 つづき
どうも、スレ主です
置換の話は、中学か高校で聞いた気がする（偶置換と奇置換に分けられるとか、互換の積に分けられるとかね）
教師が脱線がすきだったんだ
で、いまさら「物を動かして」はないんだ。群論や置換群の本もかなり読んだしね
182:１３２人目の素数さん
14/10/13 13:51:02.79
>>171 つづき
どうも、スレ主です
「完全に自己矛盾」は、証明できないよ
∵日常会話のレベルだからね。用語は、未定義だ。お互い好きに定義できる。従って、証明は不可能！
まあ、>>162の>行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。>>150
だね。で、初学者のために書くと、行列は下記。「20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった」と。これに反論したいのか？
（因みに、行列と行列式は違うとよく言われる。そういう立場もありだ。が、下記は、行列と行列式とを統合したより高い視点から書かれているんだ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを「行」と「列」に沿って矩形状に配列したものである。
歴史
紀元前300年から紀元200年の間に書かれた中国の書物『九章算術』は連立方程式の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ[1]、
それには行列式の概念が、日本の関が1683年に[要出典]、ドイツのライプニッツが1693年にそれぞれ独立に著すよりも実に1000年以上も前に扱われていた。
クラメルが有名な公式を生み出すのは1750年のことである。
行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、
行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、ケイリーの歴史的論文 Memoir on the theory of matrices（「行列論回想」）においてである[2][3]。
20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった。
183:１３２人目の素数さん
14/10/13 14:15:51.35
>>182 つづき
どうも、スレ主です
どういう立場で数学を勉強しているか知らないが、もっと頭を軟らかくしておく必要があると思うよ
例えば、下記
URLﾘﾝｸ(gcoe-mi.jp)
九州大学グローバルCOEプログラム マス・フォア・インダストリ教育研究拠点 ニュースレター 2012.3
佐伯 修
他分野との連携、あるいは企業との共同研究などほとんど経験したことがなく、何となく船に乗り遅れたような気持ちになっていた。
そんなとき、企業との共同研究の話が舞い込んできた。新日本製鐵株式會社（以下、新日鐵と略記）との、材料科学への数学適用に関する共同研究である。
（コメント：企業との共同研究で、”私の専門分野である位相幾何学（トポロジー）が役に立ちそうな問題を少しずつ理解していくことができた”とある）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
サイエンストピックス 言語比較の数学的基礎 吉田知行(数学専攻) 北大 2005
P13 6 群論の登場, P15 7 対称群を使うシフト法 あたりを読んでみて（引用が多量になるので省略する）
184:１３２人目の素数さん
14/10/13 14:40:44.21
>>183 つづき
どうも、スレ主です
183の例で言いたいことは、数学はいろんな分野に使えるってことだな
その中で、現実の問題は教科書とは違う。いままでの知識で解けなければ、新しい理論を作る場合もあるだろうし
途中まで理論で解いて、あと近似解とかあるいは数値解とか
あるいは、問題を少し易しくして、モデル化するとか
現実の問題は、頭の柔らかさが必要だよ
で、ここへ>>153>ガロア理論の中で、行列論とか固有値論とかを使って理論構築している部分があるなら教えて欲しい。
アルティン本>>169は、第一章が線形代数だが、定理４で行列を説明している。５節が非同次線形連立方程式だ。
６節が、行列式だよ。アルティン本をちらっとでも見てみな
２節と４節がベクトルに関する事項だ。が、ご存知のように、m行n列の行列で、n=1のときはベクトルと見なせるという話は基本だ（ｍ＝１の場合も）
だから、行列論をやると、そこには必然ベクトルの話も含まれると
スレ主の立場では、行列論の中にベクトルも、行列式も含まれる（>>182）
じゃあ、線形代数から、行列とベクトルと行列式に関係するところを抜いて、一体なにが残ると思っているんだ？ これが>>156の逆質問の意味だ
185:１３２人目の素数さん
14/10/13 15:28:54.42
>>181
頭を柔らかくするには、今さらと言わず、物を動かして操作感覚を掴んでおくことを強くすすめる。
186:１３２人目の素数さん
14/10/13 17:24:52.56
>>184
アルティン本の紹介有難う。
だがそれじゃ>>153の回答としては不合格と言わざるを得ないな。
第一章が線型代数で、その中の節に行列なり行列式なり連立方程式なり出てくる”だけ”だろ？
>>153をもう一度よく読んでごらん。”それら行列、行列式、連立方程式の理論が、ガロア理論の構築過程のどこに使われているか”を答えないと合格はあげられない。
＞線形代数から、行列とベクトルと行列式に関係するところを抜いて、一体なにが残ると思っているんだ？
わかってないようだからヒントをあげよう。線型空間の定義に行列や行列式の概念は必要かね？
＞スレ主の立場では、行列論の中にベクトルも、行列式も含まれる（>>182）
ベクトルはともかく、行列式を行列のカテゴリに入れるのはちょっとまずいのでは？
ヒントをあげよう。行列式の定義に行列の概念は必要かね？
あるいは行列と行列式の歴史を調べてみることをお勧めする。
187:１３２人目の素数さん
14/10/13 20:23:35.00
>>186
本当の意味の愚か者を見た
188:１３２人目の素数さん
14/10/13 20:25:07.59
>>186
スレ主より馬鹿なんてなかなかいないぞ
189:１３２人目の素数さん
14/10/13 21:04:18.50
どうも、スレ主です
このスレ全部読み返したところ私が完全に間違えてました
回線で首吊ってお詫びry
190:１３２人目の素数さん
14/10/17 22:19:38.61
どうも。お久しぶり。スレ主です
どうも錯綜しているから、解きほぐそう
ここに戻る
>>150
>行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。
>それがスレ主の理解だ
で、いまどき、行列論の本も無いだろうなと思っていたが、東京OAZOの丸善に寄ったらあったね。下記
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
復刊 行列論 2010/1/23 遠山 啓 (著) 共立出版
目次
第1章 ベクトルと一次変換
第2章 行列
第3章 行列式
第4章 線型空間とグラースマンの代数
第5章 単因子
第6章 正規行列
第7章 固有値問題
第8章 テンソル,直積
第9章 行列の解析
第10章 函数空間
191:１３２人目の素数さん
14/10/17 22:29:07.32
>>190 つづき
どうも、スレ主です
で、線形代数
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
線形代数学（新装版）川久保 勝夫 日本評論社 2010/8/20
目次
ベクトル
行列
線形写像
行列式
連立1次方程式
ベクトル空間
ランク
固有値と固有ベクトル
内積
正規行列の対角化
ジョルダンの標準形
192:１３２人目の素数さん
14/10/17 22:36:06.03
>>191 つづき
どうも、スレ主です
遠山 啓先生の「行列論」は手にとって見たけど、内容は「いろいろ書いてあるね」という印象だった。ここまで行列論か？という気もした
が、なにを「行列論」に盛り込むかは、遠山 啓先生一流のお考えがあるのでしょう。まあ、個人の思想の差も当然あるだろう
で、川久保 勝夫先生の「線形代数」まあ、標準的ですかね。まあ、イメージ通りだ
これが、スレ主の
>>150
>行列論と線型代数は、ほぼオーバーラップしているよ（「厳密には違う」という主張もありだが、そう強調する必要がある場面は少ない）。
>それがスレ主の理解だ
への補足だよ
193:１３２人目の素数さん
14/10/17 22:42:48.70
>>192 つづき
どうも、スレ主です
で、ここに戻る
>>152
>行列論も行列式論も固有値論も線型空間論も線型代数の要素だが、ガロア理論で使われるのは線型空間論だけ
「行列論」を狭く考えすぎだろう
遠山 啓先生の「行列論」のように、広く考えなさいと
194:１３２人目の素数さん
14/10/17 22:58:21.04
>>193 つづき
どうも、スレ主です
で、ここに戻る
>>143
>ガロア理論では拡大体を基礎体上の線型空間ととらえて理論展開するから、線型空間論が使われる。
>一方で、一次連立方程式論が関係するのは主に行列論だから違うんじゃないの？と言ったまでだ。
遠山 啓先生の「行列論」は、”第4章 線型空間とグラースマンの代数 ”という章があるよ
で、ここに戻る
>>156
「逆質問で悪いが、行列論と線型代数の差分を書いてくれ
それで、あなたの見識が見えるから」
答えを待つ
195:１３２人目の素数さん
14/10/17 23:32:32.09
自分で書いた>>190をよく見てごらん
「行列論」の中に「行列」という章があるだろ．．．まだわからん？
196:１３２人目の素数さん
14/10/18 01:08:40.75
>>194
そんな質問するようなのがガロア理論とは片腹痛いわ
197:１３２人目の素数さん
14/10/18 09:37:38.03
>>195-196
スレ主です
同一人物だと思うけど、数学科２年くらいかね？
視野狭い。まだ、行列とか線形空間とか、未消化。自分が、大学で教えられた世界がすべてだと。
まあ、卒業のころに、戻ってきな。
スレ主としてはスルーしても良いけど、ここはROMの初学者もいるだろうから、間違った意見をスルーしても誤解するとまずいと思って詳しく補足した
これくらい書いておけば、もう良いだろう。このあとは別の話題に移る
>「行列論」の中に「行列」という章があるだろ．．．まだわからん？
自分が混乱しているってことでしょ。スレ主は、「行列論」と「行列」とは、意識して書き分けているよ
そして、「行列論」という本に、「行列」という章があってなんの不思議があるんだ？
198:１３２人目の素数さん
14/10/18 10:30:46.33
やはりわかってなかったか、頭悪いのお
>>190、>>191 を見ればわかるように、「行列論」には「線型代数学」の意味と、その一部分（行列の章に相当）の意味がある。
>行列論も行列式論も固有値論も線型空間論も線型代数の要素だが、ガロア理論で使われるのは線型空間論だけ
という文脈で「行列論」をどちらの意味に解釈すべきかは、>>190、>>191を見れば明らかだろう。
行列と行列式と固有値と線型空間を横並びにしているのだから、後者と解釈すべきだろう。
よほど日本語に不自由でなければ
>視野狭い。まだ、行列とか線形空間とか、未消化。自分が、大学で教えられた世界がすべてだと。
言葉の解釈の仕方だけの話で視野がどうとかアホかよ
>スレ主としてはスルーしても良いけど、ここはROMの初学者もいるだろうから、間違った意見をスルーしても誤解するとまずいと思って詳しく補足した
お前自身が誤解して間違った意見書いてんだろｗ 初学者の心配する前にお前の心配しろｗ
199:１３２人目の素数さん
14/10/18 10:41:55.75
お前馬鹿だから
>行列論と線型代数の差分を書いてくれ
にも答えといてやる
>>190ないし>>191の全体が線型代数、行列の章が行列論
>スレ主は、「行列論」と「行列」とは、意識して書き分けているよ
お前は行列の章に書かれている内容を「行列」と書き表すのか？その方がよほど誤解を招くと思うがな
200:１３２人目の素数さん
14/10/18 11:29:34.35
>>180
つづき
スレ主です
前スレでGAPくんが来てくれて、しばらく途切れていたが、古典ガロア理論の話題に戻ろう
いまどきなら、現代数学の系譜11 ガロア理論>>1より、下記彌永の方が原論文に接しやすいのかもしれない
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8/1 彌永 昌吉 (著)
彌永 P236にガロア分解式（ Galois Resolvent ）が記されている
V=Aa+Bb+Cc+・・・、
ここにA,B,C・・・は、有理数係数。a,b,c・・・は、問題となっている重根のない代数方程式の根
じつは、ガロア分解式（ Galois Resolvent ）と呼ばれているので、ガロアの創案と思っていた
が、よく読むと、「この命題はアーベルの楕円関数に関する遺稿の中で、証明なしに述べられている」と書かれてあることに気付いた
ネット検索すると、下記 Speech of Prof. Dr. P. L. M. Sylow があった
file:///C:/Users/seta/AppData/Local/Temp/1902_Sylow.html
201:１３２人目の素数さん
14/10/18 11:31:42.32
数学史やりたいなら高瀬先生に相談汁
202:１３２人目の素数さん
14/10/18 11:37:01.77
>>200
つづき
スレ主です
下記 Speech of Prof. Dr. P. L. M. Sylow より抜粋
file:///C:/Users/seta/AppData/Local/Temp/1902_Sylow.html
Abel’s favorite theme was, however, the theory of algebraic equations. Also here he had worked from first principles.
Gauss and Cauchy had given proofs of the Fundamental Theorem of Algebra, to which later mathematicians only have had little to add.
Gauss had in addition exhaustively treated the equations connected to the problem of circular division into equal parts,
Abel proved the impossibility of a general method of solving equations of degree higher than four by radicals, and thereby brought the theory to a rather new level.
He then set out to determine those equations which can be solved in that way,
and discovered the most important general results in this new field. But death prevented him to present his findings,
so that his successor Galois, one of the most outstanding minds of the past century, had to redo those discoveries once again:
because Galois died before the collected works of Abel were published for the first time. Furthermore it was Abel, who first taught the mathematicians to use the auxiliary tool,
which now has been named the Galois resolvent; Galois himself expressively announced that the idea was Abel’s. Finally Abel learned to solve that class of equations, which now bears his name.
His other theories gave him rich opportunity to apply this discovery and show its worth.
But much more important is that the two latter discoveries: Galois’ Resolvent and the theory of Abelian equations, were the two most important tools for Galois,
when he gave the theory of equations its final form and thereby gave the foundation for the rise of our contemporary theory of groups.
203:１３２人目の素数さん
14/10/18 11:43:43.15
>>202
つづき
スレ主です
Prof. Dr. P. L. M. Sylow は下記だろう（群論で有名）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Peter Ludwig Mejdell Sylow (12 December 1832 – 7 September 1918) was a Norwegian mathematician who proved foundational results in group theory. He was born and died in Christiania (now Oslo).
Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898, and a substitute lecturer at Christiania University in 1862, covering Galois theory.
It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups. Sylow published the Sylow theorems in 1872,
and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel.
He was appointed professor of Christiania University in 1898.
204:１３２人目の素数さん
14/10/18 11:55:39.12
>>203
つづき
スレ主です
Speech は、おそらく1902年
”subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel. ”
とあるので、話は合う
>>202から引用する
”Furthermore it was Abel, who first taught the mathematicians to use the auxiliary tool,
which now has been named the Galois resolvent; Galois himself expressively announced that the idea was Abel’s.”
”But much more important is that the two latter discoveries: Galois’ Resolvent and the theory of Abelian equations, were the two most important tools for Galois,
when he gave the theory of equations its final form and thereby gave the foundation for the rise of our contemporary theory of groups.”
1902年には、「Galois’ Resolvent」になっていたみたいだね
が、Sylow先生は、明確に”the idea was Abel’s.”としている
「アーベルの楕円関数に関する遺稿」に、簡単にアクセスできるかよく分からない（調べるのも時間がかかりそう）
まあ、これを正しいとしようと思う
で、「Galois’ Resolvent」をアーベルが考えていたとすれば、ガロア理論に近いところには到達していたように思う
アーベルが長命だったらと・・
205:１３２人目の素数さん
14/10/18 12:09:12.79
＞まあ、これを正しいとしようと思う
勝手な決め付けを論拠に結論を出す
こいつ朝鮮人か？
206:１３２人目の素数さん
14/10/18 12:41:23.07
引用、参考文献を明示しながらキチンと考証しないと半島のウリナラファンタジーと変わらん。
思い込みと願望をいきなり真実と結論するのが半島人。
高瀬氏でなくても良いが文献学の手法を学ぶ必要がある。
最もらしさを装った嘘、間違いにならないためにもね。
そういうのは害悪だから。
207:１３２人目の素数さん
14/10/18 12:44:29.93
>>204
つづき
スレ主です
アーベルが長命だったら、Abel's Resolvent と呼ばれていたはず
208:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:04:42.07
>>205-206
スレ主です
簡単な話だ。「君は来るところを間違えている」ってこと
２ちゃんねるをなんだと思っている？ ここは天下のチラシの裏＝スレ主のメモ帳だ
玉石混淆＝玉と石の見分けができない、君みたいな人の来るところじゃ無い
９９％リンクは付けている。疑問があれば、リンクを開くか、自分で調べるか、身近の詳しい人に聞け！
はっきりいうが、「ここを学会と勘違いしているのか？ おいおい！」だ。 ”引用、参考文献を明示しながらキチンと考証”だと？ 気は確かか？
君のレベルなら、こんなところを徘徊せず、図書館で勉強するんだな。スマホの電源落としてね！ 君のレベルなら落第の心配があるだろう
209:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:05:31.32
数学とは正しい命題の積み重ねで理論構築する学問
スレ主さんは数学に向いてないんじゃない？
210:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:13:50.55
向いてねーな確かに。
頭悪いのはもちろんだが、論証への熱意に欠けてるのがな。
211:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:25:48.96
>>207
スレ主です
「Galois’ Resolvent」を調べる過程で引っかかった面白そうな記事をメモしておく
下記のP10、11の図が綺麗だ
URLﾘﾝｸ(www.alexhealy.net)
Unpublished notes and surveys
Resultants, Resolvents and the Computation of Galois Groups (pdf, ps)
My final paper for Math 250a, Higher Algebra, in the fall of 2001.
URLﾘﾝｸ(www.math.harvard.edu) Home page for Math 250: Higher Algebra (2001-2002)
URLﾘﾝｸ(www.alexhealy.net)
Alex Healy In June 2007, I graduated from the theory of computation group at Harvard.
URLﾘﾝｸ(www.alexhealy.net)
212:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:32:58.19
精神病質者や空想虚言者を相手にしても意味ないよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)精神病質
>>1の書き込みは上記中の特徴によくあてはまるね
213:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:41:39.39
>>209-210
面白いやつだね
>数学とは正しい命題の積み重ねで理論構築する学問
狭いね、視野が。２１世紀の数学の最前線は、数学と数学の外の世界との境界を意欲的に探索しているように見える
特に、物理からの数学に対する刺激が大きいように思う
大きく見れば、１９世紀からずっとかも知れないが
２０世紀はじめに、抽象数学の流れができて、しばらくその道具立て整備でメシ食えた職業数学者がいた
だが、それも２０世紀で一段落したような気がする
２０世紀の抽象数学全盛期には、抽象数学の枠組みが出来れば、どんな問題も解けるという幻想があったかもしれない
２０世紀後半から、”抽象数学の枠組みが出来れば、どんな問題も解ける”に反する予想外の数学的事実が頻出するようになった気がする
例えば、グリゴリー・ペレルマンのポアンカレ予想の解き方などその象徴かと。純粋数学者の発想を大きく超えた解き方
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
214:１３２人目の素数さん
14/10/18 13:58:38.84
>>210
論証への熱意ねー
新参者だろうね、きみは
昔、”Kummer”さんというコテハンの人が居た。熱心に数学の証明を展開していたんだ
いまでもスレの遺跡がある。下記だ。024まで続いたみたい
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
【Kummer's】代数的整数論024【Mathematical Note】
このスレにも来た
で、言ってやったんだ
「数学記号が使えない２ちゃんねるのスレで、数学理論を展開するのが無理じゃない？」と
実際、分数だって２行にわたる記法は無理だし、置換だって。普通の２行記法は無理（２行にわたる括弧が使えない）
で、スレ主としては、ここで数学理論を展開とか、数学の論証議論をする気はないんだよね
それをやりたいなら、海外の数学板 例えば、MathOverflowとか、Mathematics Stack Exchange いけば？ あそこは数式展開可だよ
（まあ、そこまでのレベルじゃないんだろうね。だったら、大人しくしてろよ、レベルアップするまで！）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
215:１３２人目の素数さん
14/10/18 14:02:37.51
>>214
スレ主です
補足
数式展開できないし、図も書けない
だから、適当なそういうサイトを探して、そこを参照してもらうようにしている
いまの仕組みからは、それしかないだろうよ
216:１３２人目の素数さん
14/10/18 14:16:13.97
>>211
スレ主です
つづき
下記は、Table 1,2 がなかなか良い。S4からS7までの部分群を調べている
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
The determination of Galois groups
Author: Richard P. Stauduhar
Journal: Math. Comp. 27 (1973), 981-996
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
217:１３２人目の素数さん
14/10/18 14:40:12.57
>>216
スレ主です
つづき
これは過去にも紹介したように思うが、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)
Bull. Amer. Math. Soc.
Volume 4, Number 7 (1898), 332-340.
Early history of Galois' theory of equations
James Pierpont
218:１３２人目の素数さん
14/10/18 16:13:47.24
＞スレ主としてはスルーしても良いけど、ここはROMの初学者もいるだろうから、間違った意見をスルーしても誤解するとまずいと思って詳しく補足した
＞２ちゃんねるをなんだと思っている？ ここは天下のチラシの裏＝スレ主のメモ帳だ
すげー自己矛盾ｗ
219:１３２人目の素数さん
14/10/18 16:54:56.40
構ってちゃんなんだろう別にいいじゃないか
220:１３２人目の素数さん
14/10/18 17:22:57.73
>>209-210は2chが記法において数学に向いていないこととは別に>>1に論証能力があるのかということ
を言っていると思うが
setaさん(仮名)が2chから離れて数学の本を読もうとしても証明が読めないことには変わりないだろうし
> だったら、大人しくしてろよ、レベルアップするまで！
例えば数学や物理以前にごく基本的ことだけでも論理をマスターしている人は
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:724-727番) とか
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:181番)
を嬉々として書き込まないだろうに
飛ばし読みをするにしても簡単に見えてもマスターしていない基本的な事まで飛ばしたら意味がないから
とりあえずごく基本的な事柄を問題演習も含めてじっくりとやってレベルアップしたらどうですか
たいして時間はかからないと思うよ
221:１３２人目の素数さん
14/10/18 18:43:35.01
>>218-220
スレ主です
ご忠告ありがとうよ
まず、議論の基礎として、２ちゃんねる数学板とは何かからはじめよう
・２ちゃんねる：＝天下の掲示板。実態は、玉石混交のさまざまな情報の集合だ
・数学板：＝”２ちゃんねる”の制約（基本はアスキー文字に制限される。また、ブランクは縮小表示され、行列など数行にわたる表記をそろえるのは困難）
・数学板の実態は、雑談スレ。中学から高１くらいの簡単な数式の話は出来ても、大学クラスの数学の本格議論は無理（１レス＝＜２ＫＢ制約もある）
・それを求めるなら、英語の数学板があるよ>>214
・以上から、２ちゃんねる数学板に来る以上、それなりのつもりで来て貰わないと。学会じゃない。本格的な数学議論は無理だよ
で、スレ主が目指しているのは
・基本は、「ガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレ」>>1ってこと
・有益と思われるサイトの情報を集める
・同書籍情報を集める
・その上で、記法とバイト数に制約があるなかで、「ガロア原論文を読むため」の簡単な議論をしましょうと
なので、心がけていることは
・主張の裏付けをつける（URLを記す。書名と必要ならページを。情報のDate と出所をできるだけ明記する）
・こうすることで、スレ主のレベルを超えて、このページに来た人が、自分で原典をチェックすることができるってこと
222:１３２人目の素数さん
14/10/18 18:46:57.12
>>221
つづき
スレ主です
>・主張の裏付けをつける（URLを記す。書名と必要ならページを。情報のDate と出所をできるだけ明記する）
>・こうすることで、スレ主のレベルを超えて、このページに来た人が、自分で原典をチェックすることができるってこと
これによって、スレ主はあほでも、貼り付けられた情報は有用だということはありうる
基本的には、それがこのスレの価値だ
223:１３２人目の素数さん
14/10/18 18:53:57.54
>>222
つづき
スレ主です
>これによって、スレ主はあほでも、貼り付けられた情報は有用だということはありうる
>基本的には、それがこのスレの価値だ
では、スレ主にとって、このスレの意義はなにか
・一つは、動機付け。勉強の
・一つは、書くことで、理解が深まり記憶に残る
・一つは、メモ帳だ。自分が有益だと思った情報を書いておくと、記録に残るから
（自分が有益だと思った情報が、万人に有益とは限らない。しかし、何人かでも有益と思う人がいればそれで良し）
224:１３２人目の素数さん
14/10/18 18:57:48.45
>>223
つづき
スレ主です
・一つは、動機付け。勉強の
・一つは、書くことで、理解が深まり記憶に残る
・一つは、メモ帳だ。自分が有益だと思った情報を書いておくと、記録に残るから
（自分が有益だと思った情報が、万人に有益とは限らない。しかし、何人かでも有益と思う人がいればそれで良し）
この３つの要素は、このスレに来る人の多くにも当てはまるだろう
そして、このスレから多少でも、有益な情報や刺激を受けてもらえればそれで結構だ
繰り返すが、本格的な数学の議論や論証はここでは無理だ
225:１３２人目の素数さん
14/10/18 19:10:35.05
>>224
つづき
スレ主です
>>218-220 に戻る
そもそも、このガロアすれに何を求めてきているんだ？
まさか、スレ主に数学科大学院生なみの能力と知識を求めているなら筋違いだよ
論証能力があるかないかは、どうぞ勝手にご判断ください
そして、繰り返すが、そもそも、このガロアすれに何を求めてきているんだ？
無価値と思えば、ここに来る必要は無い
憩いと休息を求めるなら、他のスレがある
自分が価値あると考えるカキコをするか、ROMするか、去るか、選択肢は３つだ
なお、このスレは、スレ主の証明能力レベルアップを目指すために存在しているのではないよ（ああ勘違いだ）
スレ主があほだと思って去るもよし
スレ主を無視して、リンク先の有益な情報だけを拾うもよし
ここはそういうスレだよ
226:185
14/10/18 19:59:30.60
どうやら痛いところをついたようだ。
227:１３２人目の素数さん
14/10/18 20:17:21.70
>>200
つづき
スレ主です
>URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
>ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8/1 彌永 昌吉 (著)
ここへ戻る
彌永本は、「ガロア原論文を読むため」の解説で結構良いね。現代数学の系譜11>1と倉田>>45を主に読んできたのだが
彌永本の良いところは、ガロア独特の置換記法について説明しているとこだ。
P264やP262やP258など。現在主流のコーシーによる上下２行に書き分ける方式に慣れていると、ここが分かり難い
ガロア独特の置換記法は、コーシーによる上下２行記法の上を省略して、下１行記法にしている
具体的に説明すると、例えば>>167
1列目 2列目 3列目 4列目
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3,
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1,
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4,
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2,
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5,
228:１３２人目の素数さん
14/10/18 20:23:38.30
>>227
つづき
スレ主です
この２０の順列で考えると
コーシー流なら、全体では、最初の1 2 3 4 5,が、全ての頭についていると考えること
例えば
1列目
1 2 3 4 5,
1 2 3 4 5,
1 2 3 4 5,
2 3 4 5 1,
1 2 3 4 5,
3 4 5 1 2,
1 2 3 4 5,
4 5 1 2 3,
1 2 3 4 5,
5 1 2 3 4,
と考える。2列目、 3列目、 4列目 も同じ
229:１３２人目の素数さん
14/10/18 20:28:17.24
>>228
つづき
スレ主です
ガロア独特の置換記法で、コーシーによる上下２行記法の上を省略して、下１行記法にしていることの大きな利点がある
2列目に注目しよう
2列目
1 3 5 2 4,
3 5 2 4 1,
5 2 4 1 3,
2 4 1 3 5,
4 1 3 5 2,
順列が巡回していることは見やすいだろう
230:１３２人目の素数さん
14/10/18 20:32:17.14
>>229
つづき
スレ主です
>>228と同じように２行で書くと
2列目
1 3 5 2 4,
1 3 5 2 4,
1 3 5 2 4,
3 5 2 4 1,
1 3 5 2 4,
5 2 4 1 3,
1 3 5 2 4,
2 4 1 3 5,
1 3 5 2 4,
4 1 3 5 2,
こう書けば、最上位は単位元で、あと巡回置換になっていることは明白
231:１３２人目の素数さん
14/10/18 20:43:39.09
>>230
つづき
スレ主です。1列目と2列目に注目してみよう
1列目 2列目
1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4,
2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1,
3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3,
4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5,
5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2,
1列目と2列目に移るのに
1 2 3 4 5,
1 3 5 2 4,
という置換（1→1, 2→3, 3→5, 4→2, 5→4）を、1列目に施せば、2列目が得られることは見やすい
232:１３２人目の素数さん
14/10/18 20:55:35.05
>>231
つづき
スレ主です。1列目と2列目に注目してみよう
1 2 3 4 5,
1 3 5 2 4,
という置換（1→1, 2→3, 3→5, 4→2, 5→4）を、σとしよう
1列目の巡回群をC5と書く
ここで、>>230のように、上の行1 3 5 2 4, を付けたと想像すると
2列目＝σ-1・C5・σ＝C5（巡回群） （σ-1・C5・σは、σによる変換）
に、自然と気付く
ここから、ガロアが正規部分群の概念に気付いても不思議ではない
σによる変換が見やすい。これが、ガロア記法の大きな利点と考える
（この説明が詳しいところが、彌永本の良いところ）
233:１３２人目の素数さん
14/10/18 21:03:48.74
図で書けば1→2→3→4→5→1の共役元がa→b→c→d→e→aの形になることはすぐわかるよ
234:１３２人目の素数さん
14/10/18 21:10:21.40
>>227
つづき
「ガロア原論文を読むため」の解説で、もう一つ重要なことは、ガロア分解式を用いてガロア群を導くこと
彌永本では、P263に
「（ガロア分解式）Vの満足するk係数の規約な方程式の根V(1),・・・,V(m)」を用いて、根の置換を導くといううまい方法によってガロア群を定めている」
と簡単に済ませている。
ここをじっくり解説しているのが、Tignol（下記）だ
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
代数方程式のガロアの理論 単行本 – 2005/3/1
Jean‐Pierre Tignol (著), 新妻 弘 (翻訳)
235:１３２人目の素数さん
14/10/18 21:19:57.48
>>232
補足
スレ主はわかって書いていると思うが、「σ-1・C5・σ＝C5（巡回群）」の左辺のC5と右辺のC5とは、一般には同型ではあるが違う群である。
紛らわしいので注意。
236:１３２人目の素数さん
14/10/18 21:20:22.29
>>233
どうも
スレ主です。
共役元? こんな話かね？
URLﾘﾝｸ(www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp)
群の構造 P17
2.2.2
共役元と共役類
conjugacy class
群の自然な自己同型写像が共役変換と呼ばれる変換によって与えられる．共役変換でつな
がる元を集めることで類を考えることができ，群の構造の一面を調べることができる．
URLﾘﾝｸ(www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp)
現代物理学「基礎シリーズ」２ 解析力学と相対論
（朝倉書店，二間瀬・綿村）に関する正誤表と書ききれなかった話題．
237:１３２人目の素数さん
14/10/18 21:35:09.32
>>235
どうも
スレ主です。
それは、群の表現（下記）の問題ではないかと。そして、何を同じとし、何を違うと考えるかは、コンテキスト（状況）依存だと
ある群にA、B二つの異なる表現があるとき、A、Bを同一視して良いか、別物と考えるか
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
群論で，「有限群論・群の表現論」の講義ノートPDF 2014-07-11
238:１３２人目の素数さん
14/10/18 21:45:43.79
>>231
つづき
スレ主です。
Tignolのアマゾン書評、新妻 弘の訳が酷評されている・・
原書と併読要だと・・。東京理科大ですか。先生すまん、おれの書評じゃないので、許してくれ
URLﾘﾝｸ(m2server.ma.kagu.tus.ac.jp) 新妻研究室
罪滅ぼしに、下記２件アップする
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
演習 群・環・体入門：新妻弘 - とね日記 - Gooブログ
blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/32bc51d4f5a1de1a095ec9c69bc371f7
2014/04/19 - 演習 群・環・体入門：新妻弘」 内容紹介
本書は、既刊の『群・環・体入門』の中にある問と節末の演習問題に解答を与えたものであり、数学を学ぶ初心者を対象としている。
まず、各節のはじめに定義と定理、そして問題の説明に必要と思われる ...
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
群・環・体入門：新妻弘、木村哲三 - とね日記 - Gooブログ
blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/7f58114fe89f69d8e9a306fe819a6398
2010/03/31 - 群・環・体入門：新妻弘、木村哲三」 「群論への30講：志賀浩二著」もわかりやすかったが、こちらはもう少しレベルの高い良書である。
実際に大学の授業で使う教科書だと思う。特に環や体については具体例の豊富な「敷居の低い」入門書が ...
239:１３２人目の素数さん
14/10/18 22:57:41.26
>>238
つづき
スレ主です。
でTignolの１４章 P243辺りからが、ガロア分解式を用いてガロア群を導くことの説明が、原論文の解説の形で書かれている
特に重要なことは、P245の結果５から
σ（f(r1,・・・ ,r n)）＝f(σ(r1),・・・ ,σ(r n))
になること
彌永本 P238(ガロア原論文)とP263（その解説）に戻る
ガロア原論文
(V) φV,φ1V,φ2V,・・・,φm-1V
(V') φV',φ1V',φ2V',・・・,φm-1V'
(V'') φV'',φ1V'',φ2V'',・・・,φm-1V''
これ、真面目に考えると分かり難い。
「（ガロア分解式）Vの満足するk係数の規約な方程式の根V(1),・・・,V(m)」を用いて、根の置換を導くといううまい方法によってガロア群を定めている」（彌永）
だが。”うまい方法”だが、分かり難い
それを分かりやすくするのが、Tignolの結果５ σ（f(r1,・・・ ,r n)）＝f(σ(r1),・・・ ,σ(r n))だ
240:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:07:33.91
>>239
つづき
スレ主です。
(V) φV,φ1V,φ2V,・・・,φm-1V
(V') φV',φ1V',φ2V',・・・,φm-1V'
(V'') φV'',φ1V'',φ2V'',・・・,φm-1V''
φVは、Vの関数でφ(V)と書く方が分かりやすい。そして、上で左右を対比しているんだ
だから、分かりやすく書き直すと
(V) ：φ(V),φ1(V),φ2(V),・・・,φm-1(V)
(V') ：φ(V'),φ1(V'),φ2(V'),・・・,φm-1(V')
(V'') ：φ(V''),φ1(V''),φ2(V''),・・・,φm-1(V'')
241:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:16:39.17
>>240
つづき
スレ主です。
で
(V) ：φ(V),φ1(V),φ2(V),・・・,φm-1(V)
(V') ：φ(V'),φ1(V'),φ2(V'),・・・,φm-1(V')
(V'') ：φ(V''),φ1(V''),φ2(V''),・・・,φm-1(V'')
φ(V),φ1(V),φ2(V),・・・,φm-1(V)は、解くべき方程式の根だった
そこで
φ(V),φ1(V),φ2(V),・・・,φm-1(V)を、r ,r1,・・・ ,r m-1などと書き直すと
(V) ：r ,r1,・・・ ,r m-1
(V') ：r' ,r1',・・・ ,r m-1'
(V'') ：r'' ,r1'',・・・ ,r m-1''
などと書ける
r' ,r1',・・・ ,r m-1'やr'' ,r1'',・・・ ,r m-1''は、根r ,r1,・・・ ,r m-1の異なる順列と思ってくれ
で、言いたいことは、大体予測がつくと思うが
242:235
14/10/18 23:33:11.88
>>237
私は間違っていた。スレ主は分かっていなかった。
群Ｇの任意の部分群ＨとＧの元σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
ＨがＧの正規部分群であるとはσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。
>>232のような書き方では単なる部分群と正規部分群の違いが無視されている。
243:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:34:06.58
>>241
つづき
スレ主です。
(V) ：r ,r1,・・・ ,r m-1
(V') ：r' ,r1',・・・ ,r m-1'
(V'') ：r'' ,r1'',・・・ ,r m-1''
ここで、置換σ：順列（r ,r1,・・・ ,r m-1）→順列（r' ,r1',・・・ ,r m-1'）と定義する
(V) ：r ,r1,・・・ ,r m-1 の左右に、置換σを施す
σ(V) ：σ（r ,r1,・・・ ,r m-1 ） この右は定義より（r' ,r1',・・・ ,r m-1'）となる
σ(V) は、当然Vで根の置換σを施したもの。(V') ＝(σ(V) )ということになる
これ自然な話だが、
(V) ：φ(V),φ1(V),φ2(V),・・・,φm-1(V)
↓（書き直し）
(V) ：r ,r1,・・・ ,r m-1
↓σ
(V') ：r' ,r1',・・・ ,r m-1'
ということで、「要は左右で同じ置換σを施せば良い」と、簡単で分かりやすい話になる
244:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:36:32.62
>>242
訂正
×ＨがＧの正規部分群であるとはσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。
○Ｇの部分群ＨがＧの正規部分群であるとは、任意のＧの元σに対しσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。
245:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:38:52.06
>>242
つづき
スレ主です。
補足ありがとう
うん、正規部分群の概念は、なかなか分かりづらいところだ
みなさん、良く考えてみてください
246:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:45:11.23
>>244
つづき
スレ主です。
訂正ありがとう
で、そのときのHは何だ？ >>231の1列目だ。それは、>>227の第一列目でもある。
そして、>>232の話は、3列目、 4列目 も同じ
ここまで言えば、お分かりだろう
247:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:51:09.79
>>245
いや、スレ主がわかってない。
いま思うと、>>232の
＞2列目＝σ-1・C5・σ＝C5（巡回群） （σ-1・C5・σは、σによる変換）
に、自然と気付く
ここから、ガロアが正規部分群の概念に気付いても不思議ではない
の論理展開がおかしい。
さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
ここから正規部分群の概念に気づく方がおかしい。
248:１３２人目の素数さん
14/10/18 23:58:24.08
>>243
つづき
スレ主です。
Tignolの結果５ σ（f(r1,・・・ ,r n)）＝f(σ(r1),・・・ ,σ(r n))>>239
を認めると、
(V) ：φ(V),φ1(V),φ2(V),・・・,φm-1(V)
(V') ：φ(V'),φ1(V'),φ2(V'),・・・,φm-1(V')
(V'') ：φ(V''),φ1(V''),φ2(V''),・・・,φm-1(V'')
は、結局
(V) ：r ,r1,・・・ ,r m-1
(V') ：r' ,r1',・・・ ,r m-1'
(V'') ：r'' ,r1'',・・・ ,r m-1''
などと書ける
それは、結局、最初の(V) ：r ,r1,・・・ ,r m-1の左右に
根の置換σ：（r ,r1,・・・ ,r m-1）→（r' ,r1',・・・ ,r m-1'）
を施して得られる（有理式の計算 φ(V')はしなくても、結果が分かる）
249:１３２人目の素数さん
14/10/19 00:13:01.61
>>247
つづき
スレ主です。
じゃあ、なぜガロアはこんな回りくどいことを？
それは、ガロア原論文の命題II、命題IIIを証明するためだろう
命題IIは、補助方程式の根の添加でガロア群が分かれること
命題IIIは、補助方程式のすべての根の添加で、分かれたガロア群がみな同じ（つまりは、正規部分群まで縮小すること）
ガロアは、ここ以外では、Vを使わずに、直接根の順列（r ,r1,・・・ ,r m-1）やその置換を使って考えているのだった
Tignolの結果５ σ（f(r1,・・・ ,r n)）＝f(σ(r1),・・・ ,σ(r n))の証明は、かなり大変だ
ガロアはこのような証明を得ていたのだろうか？
250:１３２人目の素数さん
14/10/19 06:16:34.68
読みにくくてしゃあない
pdfかなんかつくってくれ
251:１３２人目の素数さん
14/10/19 07:30:46.48
>>250
どうも
スレ主です。
>読みにくくてしゃあない
>pdfかなんかつくってくれ
そう。
”・数学板：＝”２ちゃんねる”の制約（基本はアスキー文字に制限される。また、ブランクは縮小表示され、行列など数行にわたる表記をそろえるのは困難）
・数学板の実態は、雑談スレ。中学から高１くらいの簡単な数式の話は出来ても、大学クラスの数学の本格議論は無理（１レス＝＜２ＫＢ制約もある） ”
ということ。本来、大学クラスの数学の本格議論は無理な場所なんだ
無理矢理、ガロア原論文の理論展開をしているから読みにくい
で、pdfを作る話は、スレ主の能力を超えるので無理だな
252:１３２人目の素数さん
14/10/19 07:41:55.11
>>247
どうも
スレ主です。
>さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
それは、現代風の正規部分群の定義だ
しかし、ガロアの原論文では、別の書き方をしているのだった（下記）
URLﾘﾝｸ(galois.motion.ne.jp)
第１３回：可解群の階段 ★ Ｇの夢 -- Mathematical Part
（抜粋）
２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。
群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。
（つづく）
253:１３２人目の素数さん
14/10/19 07:46:52.47
>>252
つづき
スレ主です。
>さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
それは、現代風の正規部分群の定義だ
しかし、ガロアの原論文では、別の書き方をしているのだった（下記）
URLﾘﾝｸ(galois.motion.ne.jp)
第１３回：可解群の階段 ★ Ｇの夢 -- Mathematical Part
（抜粋）
方程式の群が固有分解されない場合には、その方程式をどんなに変換しても、
変換された方程式の群は、いつでも同じ個数の順列を持つ事が、すぐに判る。
これに反して、方程式の群がＮ個の順列を持つＭ個の組へと固有分解される場合には、
与えられた方程式を二つの方程式によって解くことができる：
方程式の群が、Ｍ個の順列を持つものと、Ｎ個の順列を持つものとで。
Ａ「さあ、このくだりが、現代風に言えば
“２．正規部分群を取り出したときにできる商群が、”ってところに相当する。
方程式を解くということは、もとの方程式が持っていた個数の順列を、
ＭｘＮのように、２つの順列に“固有分解”するっていうことなんだ。」
254:１３２人目の素数さん
14/10/19 07:54:41.29
>>252
つづき
スレ主です。
引用元紹介：Ｇの夢 ～ 解けない方程式の謎を解く2011/02/16
URLﾘﾝｸ(galois.motion.ne.jp)
--- C O N T E N T S ---
はじめに
第01回 解ける、解けない
第02回 複素数の形
第03回 かけると回る複素数
第04回 三次方程式
第05回 四次方程式・対称性
第06回 補助方程式とリゾルベント
第07回 四次方程式のリゾルベント
第08回 数体に目を向ける
第09回 代数体
第10回 体の同型
第11回 群の登場
第12回 Ｇの最後の授業
第13回 可解群の階段
体感コーナー
あとがき
参考文献
掲示板 -- ご意見・ご感想、何でもお気軽にどうぞ
255:１３２人目の素数さん
14/10/19 07:59:38.19
>>253
違う、違う。
Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
念のため書いとくとＨからσ-1・Ｈ・σへの同型写像はh→σ-1・h・σで与えられる。
256:１３２人目の素数さん
14/10/19 08:23:37.01
>>253
つづき
スレ主です。
第一論文では、別の表現を使っている。彌永本では、P241にある。ネット検索すると下記
URLﾘﾝｸ(docs.google.com)
ガロアがオーギュスト・シュヴァリエへ送った手紙(数III方式ガロアの理論: 矢ヶ部 巌 著 の裏表紙にある) - 1
第一の論文 命題II, III
・方程式に補助方程式の根を一つ添加する場合:第一の場合
方程式の群は同じ置換によって互いに移り合う組へと分解される
・方程式に補助方程式の根を全部を添加する場合:第二の場合
これらの組が同じ置換を持つ条件: 第二の場合にだけ成立
257:１３２人目の素数さん
14/10/19 08:30:12.14
>>247
つづき
スレ主です。
ここへ戻る
そうガロアが気付いたのは、下記。現代風の正規部分群の定義形式とは違うかも知れない。が、数学的には同じだ
（手紙）>>252
群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。
(第一の論文 命題II, III )>>256
・方程式に補助方程式の根を全部を添加する場合:第二の場合
これらの組が同じ置換を持つ条件: 第二の場合にだけ成立
258:１３２人目の素数さん
14/10/19 08:48:17.81
>>257
と、正規部分群の定義がわかってない人間が申しております。
259:１３２人目の素数さん
14/10/19 09:35:59.87
>>258
どうも
スレ主です。
>>255と同一人物と見たので、コメントしておく（ここではIDが出ないので不便だ）
>Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
>念のため書いとくとＨからσ-1・Ｈ・σへの同型写像はh→σ-1・h・σで与えられる。
ここ、なんか勘違いしてないか？ σには、何の制約も付かないのか？
大本の群をG、Ｈ⊂G, σ∈G として
σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
自分で気付くまで放置しようと思ったが、うるさいので一言