14/08/28 15:59:14.84
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:744番)
の結論だけ整理して書き直すと、
>>1の極限をαとする。
初期値tで漸化式p_t[n+1]=p_t[n]^2-(1/n)で定義される数列
p_t[n]の極限lim[n→∞]p_t[n]は
0<t<αの時 lim[n→∞]p_t[n]=0
t=αの時 lim[n→∞]p_t[n]=1
t>αの時 lim[n→∞]p_t[n]=∞
となる。
a[∞]からa[1]を考えるというのは筋が悪いと最初は思ったのだが、
実は有効なアプローチだったのは意外だった。
言い出しっぺは全然気づいてないようだがｗｗｗ
12:１３２人目の素数さん
14/08/28 18:17:14.64
a(n+1)=a(n)^2-1/n
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:652番)
a(1)≒1.521890386864231504980418
のもとでは
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
から、n→∞でa(n)→0
13:１３２人目の素数さん
14/08/28 18:54:21.57
>>12
それさぁ、初期値1.521とか1.523とかでも計算してみた？
僅かな誤差が拡大するような漸化式で、数値計算があてにならないパターンなんだが。
それから、その漸化式じゃなくて
√(1/1+√(1/2+√(1/3+√…)))
√(1/2+√(1/3+√(1/4+√…)))
√(1/3+√(1/4+√(1/5+√…)))
…
の方でも計算してみろよ、。
14:１３２人目の素数さん
14/08/28 19:03:58.10
>>13
1.521ではa(n)→0
1.523ではa(n)→+∞
ついでに
1.5でも1.0でも0.5でもa(n)→0
だ。
その漸化式をプログラムで計算することは当然できないよな。
15:１３２人目の素数さん
14/08/28 19:28:03.52
>>14
その辺りは結局のところ>>11で、
>>12でa[n]→0のように見えたのも、初期値が端数切り捨てで真の値よりも小さいからだ。
プログラムできないというのは
√(1/1+√(1/2+√(1/3+√…)))
√(1/2+√(1/3+√(1/4+√…)))
√(1/3+√(1/4+√(1/5+√…)))
…
のことか？
√(1/n+√(1/(n+1)+√(…+√(1/m))))
という有限の項を計算する2変数関数を作って表に出力するだけだ。
それだけで傾向ぐらいは分かる。
16:１３２人目の素数さん
14/08/28 19:36:12.06
√(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+√…√(1/(n+m)))))
≧√√…√(1/(n+m)) (ただし√はm+1個)
＝e^(-log(n+m)/2^(m+1))
m→∞でlog(n+m)/2^(m+1)→0だからe^(-log(n+m)/2^(m+1))→1
√(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+√…)))≧1
これでa[n]→0でないことは納得できるか？
17:１３２人目の素数さん
14/08/28 19:46:01.11
>>16
それを自分で計算機を回せっていうの。
それから
√√…√(1/(n+m))=e^(-log(n+m)/2^(m+1))
これは数学ではない。
ついでに、
n→∞で、√√…√(1/(n+m))→0
当たり前だけどな
18:１３２人目の素数さん
14/08/28 19:48:39.19
もう荒らしにレスはしない
しかし、この問題は気になるな
19:１３２人目の素数さん
14/08/28 20:19:26.04
>>17
計算はとっくに自分でもやってるよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:804番)
はどうやって求めたと思ってるんだ？
＞√√…√(1/(n+m))=e^(-log(n+m)/2^(m+1))
＞これは数学ではない。
√x=x^(1/2)=e^((1./2)log(x))って理解してる？
高校レベルの対数や指数の基本的知識なんだが。
＞n→∞で、√√…√(1/(n+m))→0
√の数が固定していればそのとおりだけれど、
nと共に√の数が増えるなら1に収束するぞ。
20:１３２人目の素数さん
14/08/28 20:24:49.13
>>17
＞n→∞で、√√…√(1/(n+m))→0
＞当たり前だけどな
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
21:１３２人目の素数さん
14/08/28 21:05:07.90
>>19
x^(1/2)=e^(log(x))^(1/2)
22:１３２人目の素数さん
14/08/28 21:20:12.55
>>21
(a^b)^c=a^(bc)
23:１３２人目の素数さん
14/08/28 21:28:52.55
√√…√(1/(n+m)) (√はm+1個)
=(1/(n+m))^(1/2)^(1/2)^…^(1/2)
=(1/(n+m))^((1/2)*(1/2)*…*(1/2))
=(1/(n+m))^((1/2)^(m+1))
=e^(log1/(n+m))^((1/2)^(m+1))
=e^((log1/(n+m))*((1/2)^(m+1)))
=e^(-log(n+m)/2^(m+1))
ここまで丁寧に書けば分かってもらえるか？
24:１３２人目の素数さん
14/08/28 21:30:24.97
√(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+…はnに対して単調減少だよね？
25:１３２人目の素数さん
14/08/28 21:36:50.22
>>23
>>19と>>21で理解した。a(n)>=1で漸化式から得られる方程式から
n→∞でのa(n)の極限値が存在する場合は1であるこが分かった。
26:１３２人目の素数さん
14/08/28 22:23:02.44
これヒントにならんの？
URLﾘﾝｸ(math.a.la9.jp)
27:１３２人目の素数さん
14/08/29 05:05:11.55
で
どこに収束するのかはっきりさせてよーーーーーー
28:１３２人目の素数さん
14/09/01 21:02:40.50
a(n+1)=a(n)^2-1/n
b(n)=a(n)+1/√n c(n)=a(n)-1/√n
b(n+1)+c(n+1)=2b(n)c(n)
29:１３２人目の素数さん
14/09/01 21:22:49.79
>>28
俺もそれは考えた事もあったが、さきに進めそう？
30:１３２人目の素数さん
14/09/01 21:43:20.14
なんかA{N}{K}=√(1^k+√(2^k++√(3^k++√(4^k+・・・+√(N^k)
って数列考えて、N->∞、ｋ＝-1ってことまでは考えた。
ちな、プログラム組んでK＝-1、-10、-100って負の方向に増やしていったら1.41421356237310≒√2に収束していったんだけどわかる人いる？
31:１３２人目の素数さん
14/09/02 17:04:36.36
x≒0では√(1+x)≒1+(x/2)だから
√(2^k+√(3^k+√(4^k+・・・+√(N^k)+√…
≒1+(2^k)(1/2)^1+(3^k)(1/2)^2+(4^k)(1/2)^3…
→1
大雑把にはこんな感じ