14/08/23 16:26:30.64
>>57 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>（α,β,γ,δ,ε）の５文字を入れ替えても変わらないという基本対称式の性質を考える
> これ結構自然だと思う
そこでガロアは、ガロア分解式Vというのを考えたんだ
その話は、過去ログ にある。それを引用する
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
226 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2013/05/18(土) 10:23:24.18 .net
>>225
つづき
５次方程式の場合、根をa1,a2,a3,a4,a5、係数をA1,A2,A3,A4,A5として
V1=A1a1+A2a2+A3a3+A4a4+A5a5
となる
係数は根の置換で異なる値をとるように定めるから、根a1,a2,a3,a4,a5の置換の数５！＝１２０の異なる値になる （係数は有理数とする）
そこで、f(x)=(x-V1)(x-V2)・・・(x-V120)=0 という１２０次の方程式を考えることができる
この１２０次の方程式を解くことと、元の５次方程式を解くことは同じ（片方が解ければもう一方も解ける）
１２０次の方程式を考えることは、問題を難しくしているように見えるかも知れないが、そうでもない
つまり、１２０次の方程式を考えることは、問題の全体像、問題の構造が見えるようにしたという利点がある
１２０次の方程式、これは原論文にあるように、その係数は有理数になる
（理由：その係数は、V1,V2・・・V120の基本対称式。根a1,a2,a3,a4,a5の置換に対して、V1,V2・・・V120が入れ替わるだけなので、基本対称式は根a1,a2,a3,a4,a5の置換に対して不変。だから、有理数。）
有理数係数の１２０次の方程式f(x)=0に対して、補助方程式の根を添加して、数体を拡大してf(x)=0を因数分解する
それをガロアは考えたのだろう
60:１３２人目の素数さん
14/08/23 16:28:57.91
>>59 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>（α,β,γ,δ,ε）の５文字を入れ替えても変わらないという基本対称式の性質を考える
> これ結構自然だと思う
そこでガロアは、ガロア分解式Vというのを考えたんだ
その話は、過去ログ にある。それを引用する
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
226 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2013/05/18(土) 10:23:24.18 .net
>>225
つづき
f(x)=0を因数分解して、次数が下がった方程式をf1(x)=0として、同じことを繰り返して、最後に１次にまで下げると解けたとなる。下がる次数には制限があって、１２０の約数でなければならない（この話は教科書にあるだろう）
ガロアが理論を作ったときには、群論や体論は未完成だった。だから、このようなガロア分解式Vとそれから構成される１２０次の方程式とその因数分解を、体論の代わりに使った・・
そして、f1(x)=0に対する方程式の群を考えると、その群は５次の置換群の部分群になっている（正確には正規部分群となっている）
代数的解法とは、べき根添加による解法・・
そうやって、２０才のガロアは自分の方程式論を構築して行ったのだろう・・
61:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 16:38:03.81
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
62:１３２人目の素数さん
14/08/23 16:40:47.40
>>60 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>（ガロアが理論を作ったときには、群論や体論は未完成だった。だから、このようなガロア分解式Vとそれから構成される１２０次の方程式とその因数分解を、体論の代わりに使った・・
>そして、f1(x)=0に対する方程式の群を考えると、その群は５次の置換群の部分群になっている（正確には正規部分群となっている）
>代数的解法とは、べき根添加による解法・・
>そうやって、２０才のガロアは自分の方程式論を構築して行ったのだろう・・
ここらの詳しい話は、>>6 URLﾘﾝｸ(www.jmedj.co.jp)
ガロア論文の古典的証明 を読む
の第4章 ガロア論文 に詳しい
63:１３２人目の素数さん
14/08/23 16:47:17.20
>>62 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>（ガロアが理論を作ったときには、群論や体論は未完成だった。だから、このようなガロア分解式Vとそれから構成される１２０次の方程式とその因数分解を、体論の代わりに使った・・
>そして、f1(x)=0に対する方程式の群を考えると、その群は５次の置換群の部分群になっている（正確には正規部分群となっている）
>代数的解法とは、べき根添加による解法・・
結局、方程式の群を考えると、その群は５次の置換群Sn（n=5）
で、置換群Sn（n=5）が、べき根添加（＝べき根は置換として巡回置換の構造を持つ）で分解できるか？
置換群Snの構造はどうなっているのか？
そういう形で群論に発展していった
64:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:00:04.16
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
65:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:00:47.45
>>36 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>より一般化した群について、群が成立する条件を満たす場合
>どんなことに役立つの？
ちょっとここへ戻る
人類は、方程式の解法を考えてきた。ガロア時代の前には４次方程式の解の公式は分かっていた
そこで４次方程式の解の公式を探求した。代数的解法（＝べき根を用いる解法）を
だが成功しなかった
べき根では解けないのではないか？ それはアーベルが証明した。式の計算で
ガロアは、さらに深く考えた
代数的解法が適用できる方程式の性質は何か？
その解明には、本質的に群論を使うしかない！
なぜなら、>>53
x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f＝(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)(x-ε)＝0
根と係数の関係=根の基本対称式で方程式の係数が表される
という対称式の性質から
α=f1(b,c,d,e,f), β=f2(b,c,d,e,f), γ=f3(b,c,d,e,f), δ=f4(b,c,d,e,f),δ=f5(b,c,d,e,f),となる解の公式（＝b,c,d,e,fを使った関数を求めること）
なのだから、それは必然方程式の群の性質が反映されたものであり、群の性質が分かれば、あとの料理の仕方（＝解の公式に至る道）が分かると
66:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:07:41.48
>>65 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f＝(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)(x-ε)＝0
>根と係数の関係=根の基本対称式で方程式の係数が表される
>という対称式の性質から
>α=f1(b,c,d,e,f), β=f2(b,c,d,e,f), γ=f3(b,c,d,e,f), δ=f4(b,c,d,e,f),δ=f5(b,c,d,e,f),となる解の公式（＝b,c,d,e,fを使った関数を求めること）
>なのだから、それは必然方程式の群の性質が反映されたものであり、群の性質が分かれば、あとの料理の仕方（＝解の公式に至る道）が分かると
ガロアの遺稿（ガロア論文）が出版されて、暫くして当時の天才たちが読むようになった
面白いことに、ドイツの数学者が中心になった
ガロアは若くして亡くなっていて、論文は決闘前の走り書きのようなものだから、理解するのは大変だった
ドイツの数学者たちは、ガロア論文を深く理解するために、自分たちで理論を掘り下げ、発展させて行った
ガロア論文では不明確だった、群や体や環という概念を整備していった
67:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:11:10.78
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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68:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:14:21.22
>>66 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>ガロア論文では不明確だった、群や体や環という概念を整備していった
そうやって、群や体や環という現代数学につながる概念を整備してみると
「ガロア理論とは体の性質を群の性質を用いて理解する理論」という視点が生まれた
要するに、５次方程式の場合は、置換群Sn（n=5）を理解すれば良い
じゃ、その考えは、いろいろなところに応用できるじゃないかと、当時の数学者たちは考えた
69:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:18:31.24
>>41
量子論の標準理論とかは対称性が成り立つためにはこうなっているはずと言う理論を考えて
それを確認する実験方法を考えてやってみたらそうだったって事らしいね
ヒッグス粒子もその他の素粒子も
変換の集合と
その集合の中の要素に対する演算を考えて
演算が集合に閉じているとか結合則とか単位元、逆元を考えれば群になる
群になれば他の群で確認されている性質が
今考えている群でも成立つと推測出来るから便利ってこと？
70:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:19:35.04
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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71:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:21:02.47
>>68 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>そうやって、群や体や環という現代数学につながる概念を整備してみると
>「ガロア理論とは体の性質を群の性質を用いて理解する理論」という視点が生まれた
>じゃ、その考えは、いろいろなところに応用できるじゃないかと、当時の数学者たちは考えた
その代表例が、エルランゲン・プログラム
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エルランゲン・プログラムもしくはエアランゲン・プログラム（ドイツ語：Das Erlanger Programm, 英語：Erlangen program）とは、
1872年フェリックス・クラインが23歳でエアランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。
例えばユークリッド幾何は合同変換で変わらない性質を扱う分野であり、射影幾何は射影変換で変わらない性質を扱う分野だ、というのである。
この考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。
クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けた
現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。
72:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:24:05.24
>>68
一応ガロアの群論について入門的な本は読んでみました
中村亨？さんの本だったか
複素数の円を分割する点を使える数として添加しながら部分的な群を作っていければ方程式を代数的に解けるとか
ざっくりそう言う風に理解してますけど
詳しくは本とかみないと思い出せない
73:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:24:21.04
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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74:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:25:44.24
>>69
どうもです。
投稿深謝です
75:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:27:32.77
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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76:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:31:38.52
>>72
どうもです。
投稿深謝です
>中村亨？さんの本だったか
>複素数の円を分割する点を使える数として添加しながら部分的な群を作っていければ方程式を代数的に解けるとか
>ざっくりそう言う風に理解してますけど
そうそれで良いです
”ざっくりそう言う風に理解してますけど”：これ数学でも大事な態度。大きなあらすじと細かい証明テクニック。両方あって数学だと思う
”複素数の円を分割する点を使える数として添加しながら”：これ、まさにべき根（複素数まで含めた）添加ですね
77:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:32:34.48
>>71
抽象化された群の視点でグループ化すれば
同じグループ内の幾何学は同じような性質を持つと言う理解で有ってますか？
新しい幾何学を考えるとき群の性質でどのグループに入るか否かを確認すれば
その幾何学の性質が推測出来るという感じでしょうか？
体ってのが良く判らないです
調べてみますけど
78:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:36:32.16
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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79:１３２人目の素数さん
14/08/23 17:37:49.29
>>72
どうもです。
投稿深謝です
>中村亨？さんの本だったか
下記ですね
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
2011年07月25日 書評：「ガロアの群論（中村亨）」 (ブルーバックス)
80:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 17:43:34.06
>>258
狸
>258 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 13:51:50.67
> ※増田哲也：徳島JRで痴漢をして懲戒免職になった元数学准教授。
> 増田哲也は性犯罪者である。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
81:１３２人目の素数さん
14/08/23 18:07:04.62
>>77
どうもです。
投稿深謝です
>抽象化された群の視点でグループ化すれば
>同じグループ内の幾何学は同じような性質を持つと言う理解で有ってますか？
お話風に書くと、どう書いても不正確になる気がする。というか、幾何という言葉自身が広がりすぎて、人や場面によって包含する概念が違う気がするので
下記、ご参考まで
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学（きかがく、古代ギリシア語: γηωμετρια , 英語: geometry[1] ）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である[2][3]。
幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが[4]、
対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し[2]、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している[3][4]。
82:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 18:11:27.23
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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83:１３２人目の素数さん
14/08/23 18:14:13.16
>>81 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
現代の幾何学
19世紀末にはポアンカレによって、連続的な変化により不変な性質を研究する位相幾何学が開拓された[6]。
代数曲線・曲面や代数多様体が起源である代数幾何学[6]は高度に発達し、日本でもフィールズ賞受賞者も多く盛んに研究されている。
またミンコフスキーによる凸体の研究は数論幾何学の道を開いた[6]。
20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ワイル、E･カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[6]。
リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[4]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。
これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。
これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
また、代数学や解析学の発展もともなって、
多様体の代数構造と位相構造との関係を研究する大域微分幾何学、複素解析と関係する複素多様体論、
古典力学の力学系と関連したシンプレクティック幾何学や接続幾何学、測度論と関連して積分幾何学や測度の幾何学的研究である幾何学的測度論の研究などもこのころにはじまった[6]。
20世紀後半になると多様体上の微分可能構造や力学系、微分作用素なども上記の幾何学とも関係しながら研究が進められた[6]。
他にも幾何構造をなすモジュライ空間や特異点を含む空間の研究、物理学と関連した研究や四色問題に見られるようにコンピューターを用いた研究も行われた[6]。
現代数学と幾何学
現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、
しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。
84:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 18:24:44.83
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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85:１３２人目の素数さん
14/08/23 18:28:56.32
>>36 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>より一般化した群について、群が成立する条件を満たす場合
>どんなことに役立つの？
>wikiには物理の標準理論とか、音楽の音階？五度圏とか書いてあるけど
>どうつながるのかわからん
"そうやって、群や体や環という現代数学につながる概念を整備してみると
「ガロア理論とは体の性質を群の性質を用いて理解する理論」という視点が生まれた ">>68
ってところまでは良いかな？
"要するに、５次方程式の場合は、置換群Sn（n=5）を理解すれば良い
じゃ、その考えは、いろいろなところに応用できるじゃないかと、当時の数学者たちは考えた"
その代表例が、エルランゲン・プログラム >>71
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。
現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。
現代の幾何学と群は、切り離せない。というか、もし現代の幾何学から、群という概念に関連する部分を抜いたら、ほとんど何も残らない。そう言えるだろう
そして、現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透している>>83
図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていない>>83
86:１３２人目の素数さん
14/08/23 18:37:29.45
>>85 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>現代の幾何学と群は、切り離せない。というか、もし現代の幾何学から、群という概念に関連する部分を抜いたら、ほとんど何も残らない。そう言えるだろう
>そして、現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透している>>83
幾何学を通じてだけではないけれど、ガロア理論から始まった体を群を通じて理解するという方式
これの応用というか、アナロジーの形で、群は現代数学のあらゆる分野に浸透したんだ
87:１３２人目の素数さん
14/08/23 19:18:26.90
体や環は演算が二つあるときの分類の仕方の一つみたいですね
体について理解するには、演算が一つの群(対称性:変換に対して不変な性質を拡張した概念)について調べれば良い
というアイデアが幾何学や物理学に応用できる
という感じでしょうか
物理学だとローレンツ変換で不変とかそう言うのがあったと思います
他の分野、例えば経済学とか工学とかでも同じ構造であれば応用できる可能性があるんですよね？
88:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 19:19:45.34
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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89:１３２人目の素数さん
14/08/23 19:51:39.31
>>87
妄想してないで、教科書を一から勉強しなさい
90:１３２人目の素数さん
14/08/23 19:55:03.05
>>87
演算の種類の個数に注目する意味はないと思うよ
91:１３２人目の素数さん
14/08/23 20:08:59.02
>>87 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>体や環は演算が二つあるときの分類の仕方の一つみたいですね
これ>>36の方と見た
”wikiには物理の標準理論とか”は良いのかな？ まあ、後で
体は、有理数、実数、複素数のような加法と乗法が定義された数体がモデルで、その概念は四元数などの非可換体に拡張されてきた
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環は、環の研究の源流は多項式や代数的整数の理論にあり、イデアルなどの概念とともに発展した
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。
92:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 20:11:16.29
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
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93:１３２人目の素数さん
14/08/23 20:17:19.56
>>89-90
どうもです。
投稿深謝です
>演算の種類の個数に注目する意味はないと思うよ
確かに。数学的構造として扱う集合は、演算は二つまでだから
94:１３２人目の素数さん
14/08/23 20:24:50.84
>>87 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>体について理解するには、演算が一つの群(対称性:変換に対して不変な性質を拡張した概念)について調べれば良い
>というアイデアが幾何学や物理学に応用できる
>という感じでしょうか
体については、ガロア理論に限れば、まずは有理数体から出発して、拡大体（有理数体にべき根や代数方程式の根を添加した拡大体）を理解すること
ここをまずクリアーすれば良いでしょう。
幾何学への応用は、体ではなく群です
物理学も同じ。体ではなく群です
95:１３２人目の素数さん
14/08/23 20:28:45.19
幾何といわれるとクリフォード代数とか座標環だけどな。
96:１３２人目の素数さん
14/08/23 20:49:32.93
>>87 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>物理学だとローレンツ変換で不変とかそう言うのがあったと思います
エルランゲン・プログラム>>71 ですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。
(引用おわり)
ローレンツ変換で不変：これミンコフスキー幾何です
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実四次元ベクトル空間上のアフィン空間として定義する流儀もある。
こちらの視点に立てば、ミンコフスキー空間を、ローレンツ群を固定群とするようなポアンカレ群の等質空間だと考えることになる。
詳細は「エルランゲンプログラム」を参照
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
平成25年度 数学科リレー講座5日目
ミンコフスキー幾何 ～非ユークリッド幾何としての特殊相対性理論～
担当：上野大樹・網谷泰治 2013年8月23日
97:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 20:53:40.47
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
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逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
98:１３２人目の素数さん
14/08/23 20:54:41.78
あとリー群リー環
99:１３２人目の素数さん
14/08/23 21:30:13.16
>>95
どうもです。
投稿深謝です
>幾何といわれるとクリフォード代数とか座標環だけどな。
クリフォード代数は下記
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
もういちどだけ内積・外積
内積のルール１と外積のルール２を組み合わせたルールを，クリフォード代数と呼びます．数学にも，色々な分野があるものですねぇ．
URLﾘﾝｸ(wikima)<)
クリフォード代数[9]の言葉を用いて、任意のスピン群のスピン表現のすべてを詳細に記述することができる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Clifford algebra
座標環（coordinate ring）は下記
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2011-12-16 代数幾何（スキーム前）
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(encyclopedia2.thefreedictionary.com)
100:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 21:30:49.26
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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101:１３２人目の素数さん
14/08/23 21:33:24.87
>>99
>URLﾘﾝｸ(wikima) 強制改行
>tome.com/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0
このURLがNGワードで通らないので強制改行した
102:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/08/23 21:36:04.43
>>339
何も事情が理解出来ないくせに、適当な事をカキコしてシッタカする馬鹿。
ケケケ狸
>339 名前：１３２人目の素数さん ：2014/08/23(土) 15:58:34.15
> 50代から60代にかけては、自殺の多い日本人の中でも、自殺率の
> 高い時期。経済的な理由が多い（70代以上になると、病気が理由になる）。
> 結局は、笹井同様に、今までの良い職場を失ってしまい、
> 先の短い人生に希望が持てなくなる時期でもある。
>
> 猫は、痴漢で首になった時もピンピンしてたし、今更これ以上に
> 生活が落ちることもないだろうし、２ちゃんでがんばって荒らしてくれｗ
> 昔を知るものとして、猫が生きてることを確認できるだけで私は嬉しい。
>
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢
103:１３２人目の素数さん
14/08/23 21:42:02.87
>>98
どうもです。
投稿深謝です
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学では、リー代数 (Lie algebras)、もしくはリー環 (Lie ring) は[注 1]、無限小変換（英語版） (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された代数的構造である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における（狭義の）リー環[* 1]（リーかん、英: Lie ring）はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群の降中心列（英語版）の研究においても自然に生じてくる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リー群（リーぐん、英語: Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。
104:１３２人目の素数さん
14/08/23 22:25:28.51
>>96 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>海城 数学科より
>2013年度数学科夏期リレー講座（2012/8/19～8/24）
下記② ミンコフスキー幾何 上野・網谷です
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
現代幾何学のひろがり
(各資料には、PDFリンクあり)
2013年度数学科夏期リレー講座（2012/8/19～8/24）
・初日 現代幾何学への案内 柴山・川崎
・２日目 ① 非ユークリッド幾何の歴史 小林
② 計量と非ユークリッド幾何学 田村
③ 非ユークリッド幾何のモデルについて 田村
・３日目 球面幾何学 宮﨑・兼子
・４日目 射影幾何学 原・平山
・５日目 ① 特殊相対性理論への誘い 上野・網谷
② ミンコフスキー幾何 上野・網谷
③ スライド 上野・網谷
④ E=mc2 古田
・６日目 エルランゲン・プログラム 春木・小澤
・全日 授業レポートと担当者および受講者の声
105:１３２人目の素数さん
14/08/23 22:33:53.02
>>91 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>これ>>36の方と見た
>”wikiには物理の標準理論とか”は良いのかな？ まあ、後で
まずは、物理に関して言えば、ネーターの定理がある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
系に連続的な対称性がある場合はそれに対応する保存則が存在する、と述べる定理である。
解析力学や場の理論における重要な定理である。
系が或る変換に対して記述に変化を受けない場合、この変換をその系の対称性と呼ぶ。
特に解析力学においては、変換に対して系の作用積分が変化しない時に、この変換を対称性と呼ぶ。
これは、系の運動方程式は最小作用の原理を通じて定まる為、作用の変分がゼロであれば系の運動方程式は変化しない為である。
ネーターの定理は、ラグランジアンの変数に対する連続的な変換が系の対称性になっている場合に、対称性の下での作用の変分 (ゼロに等しい) が或る保存量の時間についての全微分になっている事を言っている。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
106:１３２人目の素数さん
14/08/23 23:18:26.42
>>105 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>系が或る変換に対して記述に変化を受けない場合、この変換をその系の対称性と呼ぶ。
この変換を群として捉えることも多いね
>”wikiには物理の標準理論とか”は良いのかな？ まあ、後で
でようやく標準理論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
標準模型の歴史
強い力 : 量子色力学
クォーク
1955年に坂田昌一が坂田模型を発表し、大貫義郎らが、群論を使いSU (3)モデル（IOO対称性）を示す。
（クォーク模型において群論を使った嚆矢）。[25] さらに、八道説（日本でも唱えられている）を経て、マレー・ゲルマン、ジョージ・ツワイク、ユヴァル・ネーマンが1964年、独立してクォークを示し、長い素粒子を整理する戦いは終わる。
量子色力学は、クォークの3要素（電荷1/3）に対応するよう構成されることになる。これによりゲルマンはノーベル賞を受賞。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クォークモデル
URLﾘﾝｸ(www7b.biglobe.ne.jp)
クォークや分数電荷は 後で説明するが SU(2) や SU(3) などの ゲージ対称性という 極めて数学的な概念上の理論にとって 非常に好都合な存在なのである。
107:１３２人目の素数さん
14/08/23 23:47:55.78
>>106 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
いまでは群論は物理への適用は当たり前だが
歴史はこんな感じ
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
量子力学の歴史 (オヤオヤ文庫):
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
７章：６０年代の試行錯誤 ～強い力と弱い力への肉薄
１９６１ ゲルマン，グラショウ
論文「ベクトル粒子のゲージ理論」［１５］：群論への注目
ヤン－ミルズ理論で記述されている粒子の集合が，特定の型の群の生成元に対応すること
カルタンの群，ユニタリ（Ｕ），特殊ユニタリ（ＳＵ）がゲージ場に対応する
逆に，仮想粒子のカルタン型群をつくると，ヤン－ミルズ場が存在する。
１９６１ ゲルマン、ネーマン
ハドロンＳＵ（３）模型／八道説。（発見者に坂田ｇｒの山口を加える場合がある）
ＳＵ（３）の８次元表現（八重項）に、８個の重粒子（Ｎ（n,p）、Λ（0）、Σ（+0-）、Ξ（0-））と、
８個の擬スカラー中間子（Ｋ（0-）、η（0）、π（-0+）、￣Ｋ（0-））を対応させる。
また１０次元表現（十重項）に、Ｎ＊、Ｙ＊、Ξ＊、Ωがこの後最終的に揃う。
：「素粒子の動物園」状態の整理・収束へ
ＳＵ（３）：元の２つが同じで計８つ（Ｕ（３）なら９つ）
●八道説の注意［立川］
八道説を歴史的に見ると、クォーク理論への前段階に見えるが、ゲルマンが八道説を立てた
この時期、彼の頭の中には、ブーツストラップ理論や、Ｓ行列理論があり、八道説の背後に、
構成要素としての何者かがあるという確信には、至っていなかったようである。［１０４］
108:１３２人目の素数さん
14/08/23 23:54:17.98
>>106-107 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>>”wikiには物理の標準理論とか”は良いのかな？ まあ、後で
>でようやく標準理論
自分で一からタイピングするのが大変なので、ネット検索で関連を引用するのだが、あまり群との関係が書かれた記事がない
仕方ないから自分で書くと
標準理論の歴史を見ると、群論とは大いに関係があってね
群論抜きには、標準理論出来なかったろう
109:１３２人目の素数さん
14/08/24 06:15:12.10
>>107 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>１９６１ ゲルマン、ネーマン
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
●ゲルマンの八道説（Ｅｉｇｈｔｆｏｌｄ ｗａｙ）→このシャレは東洋神秘主義と結びつくなどという弊害も生じた
ストレンジネスＳとアイソスピンのＺ成分Ｉｚ（Ｉ３）
：Ｉｚの±の２種と、Ｉｚを±1/2＆Ｓを±１の４種、計６つの生成元
→ゲルマンは未発見のχを予想→数ヶ月後、η（0）がジョン・ホプキンス大のグループが発見（または、バークレーのアルヴァレのグループ）
当時グラショウとヤン＝ミルズ理論から強，弱両方出そうとしていたが，強い力は失敗したので
ヤン＝ミルズ理論を放棄，起源が不明な抽象的対称性としてこの理論を公開
→１９６２年ロチェスター会議：１０元表現のΣ＊、Ξ＊が発見され、Ωを予想
１９６３年Ω－粒子が加速器で発見され、ＳＵ（３）はゆるぎない説となっていく。
●ネーマン（イスラエル軍情報将校のまま，サラムの弟子に。サラムに課題としてＳＵ（３）を与えられる。この時期にはロンドン大使館付武官）
ディンキン（ソ連）の論文から群の目録を拾い，ＳＵ（３）をピックアップ
１９６１年７月論文発表 →この群の基本表現は何かに悩む
ストレンジネス＋１から始まる２７元表現は，バークレーのＧｏｌｄｈａｂｅｒ夫妻の実験
（Ｋ中間子と陽子の衝突実験）により否定的であったので，ネーマンは１０元表現が唯一の解であると考えた
(引用おわり)
110:１３２人目の素数さん
14/08/24 06:53:54.09
>>109 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>●ゲルマンの八道説（Ｅｉｇｈｔｆｏｌｄ ｗａｙ）
ＳＵ（３）との関係は下記に詳しい
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
■量子論の確立と大統一理論
（抜粋）
【１】ゲルマンの八道説
かなり前のことになるのですが，初めてクォークに関する本を読んだとき，８種類の素粒子を六角形のパターン上に配置した図に眼を奪われた記憶があります．
そのときはまったく理解できなかったのですが，
陽子や中性子など原子核を構成する基本粒子族であるバリオン８重項（Ｑは電荷，Ｓはストレンジネス）がかの有名な「八道説」のダイアグラムであり，この六角形はＡ2型のルート系とまったく同じものです．
このような対称性はＳＵ（３）対称性を物語っていて，ＳＵ（３）のリー代数として定義されるものです．
そしてＳＵ（３）の８次元表現の基底に対応させることによって対称性を論じる方法をゲルマンとネーマンの八道説というわけです．
１９６１年，八道説が発表された当時にはまだ発見されていない粒子が空席として残されていたのですが，
１９６４年，Ω-粒子の存在が確認されたことによってダイアグラムの空席は埋められ，予言は見事に的中しました．
それ以来，リー群の理論は物理学者とくに素粒子論研究者の不可欠の道具になっています．
【３】ゲージ理論と大統一理論
物理の世界では，空間の構造の対称性を表すのにリー群がよく使われます．リー群は様々な現象の対称性を記述するための道具といっても差し支えないのですが，
現在，リー群・リー代数は，素粒子物理学のゲージ理論，大統一理論において根本的な役割を果たしています．
強い相互作用がＳＵ（３）リー代数と関係づけられ，ユニタリー群の表現論が素粒子の対称性に用いられるようになった１９５９年以来，
物理学者たちはより高い対称性の群を追求し始め，現在ではクォークの基本的運動状態をゲージ理論と呼ばれる理論で記述できるまでになりました．
また，ＳＵ（５）はＳＵ（３）とＵ（１）×ＳＵ（３）を含む最小の単純群であることから，すべての素粒子の相互作用はＳＵ（５）にぴったりあてはまることもわかってきました．
111:１３２人目の素数さん
14/08/24 07:05:57.34
>>109 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>ネーマン（イスラエル軍情報将校のまま，サラムの弟子に。サラムに課題としてＳＵ（３）を与えられる。この時期にはロンドン大使館付武官）
>ディンキン（ソ連）の論文から群の目録を拾い，ＳＵ（３）をピックアップ
１Ｑ６１は、こういう時代だったんだ。ＳＵ（３）を物理に応用したゲルマンはノーベル賞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>>110
> 物理の世界では，空間の構造の対称性を表すのにリー群がよく使われます．リー群は様々な現象の対称性を記述するための道具といっても差し支えないのですが，
>現在，リー群・リー代数は，素粒子物理学のゲージ理論，大統一理論において根本的な役割を果たしています．
2014はこういう時代なんだ
112:１３２人目の素数さん
14/08/24 07:16:19.34
>>111 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>ディンキン（ソ連）の論文から群の目録を拾い，ＳＵ（３）をピックアップ
ＳＵ（３）は、いまはディンキン（ソ連）の論文を見なくとも下記で
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
n次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1のn次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。
特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n,C)の部分群である。
特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
SU(3)
英文下記
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
113:１３２人目の素数さん
14/08/24 07:29:29.60
>>112 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>ディンキン（ソ連）の論文から群の目録を拾い，ＳＵ（３）をピックアップ
ディンキン（ソ連）さん、Dynkin_diagramで有名
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
114:１３２人目の素数さん
14/08/24 08:56:55.86
>>36 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>解の置換の集合の間に関係があるってことだと思うけど
>より一般化した群について、群が成立する条件を満たす場合どんなことに役立つの？
>wikiには物理の標準理論とか、音楽の音階？五度圏とか書いてあるけど
>どうつながるのかわからん
ここに戻る
いままでの説明で、多少は理解できたと思うが
物理の標準理論に直接繋がるのは、ＳＵ（３）：特殊ユニタリ群 SU(n) n=3
で、特殊ユニタリ群 SU(n) は、リー群>>103
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リー群（リーぐん、英語: Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。
例
いくつかの例と、それらに関連する数学や物理学の分野について触れる。
・n 次ユニタリ群 U(n) はユニタリ行列全体のなす n2 次元のコンパクトリー群である。行列式の値が 1 のユニタリ行列全体のなすリー群 SU(n) を部分群として含む。
（引用おわり）
リー群を考えたソフス・リー。
ガロア理論が世に知られるようになって、ガロア論文は代数方程式の理論だが、群論を微分方程式に応用しようとしたのだった。
115:１３２人目の素数さん
14/08/24 09:00:28.49
>>114 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>リー群を考えたソフス・リー。
>ガロア理論が世に知られるようになって、ガロア論文は代数方程式の理論だが、群論を微分方程式に応用しようとしたのだった。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マリウス・ソフス・リー（Marius Sophus Lie, 1842年12月17日 - 1899年2月18日）は、ノルウェーの数学者[1]。
リー群の開拓者として有名であるほか[1]、クラインによる幾何学と群論との関係についての業績もあり、クラインのエルランゲン・プログラムに影響を与え、リー自身も連続群論の発展の元となっている着想を得ている[1] 。
またエンゲルと共著で変換群関する著作[2]を執筆した[1]。
リー自身の手による連続群論は現代でいうリー変換群芽であり、リーは微分方程式と幾何学を利用して研究をすすめ、微分方程式などへ応用したが完成には至らず、業績も生前には認められなかった[1]。
20世紀に入ってようやく、ヘルマン・ワイルやエリー・カルタンらによって完成させられ、位相群としての性質が明らかにされることとなる。
リー群の理論は現代では数学・物理学の広い分野で応用されている。
116:１３２人目の素数さん
14/08/24 09:08:52.36
>>115 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>マリウス・ソフス・リー（Marius Sophus Lie, 1842年12月17日 - 1899年2月18日）は、ノルウェーの数学者[1]。
英語版が詳しい
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Legacy
Lie's principal tool, and one of his greatest achievements, was the discovery that continuous transformation groups (now called, after him, Lie groups) could be better understood by "linearizing" them,
and studying the corresponding generating vector fields (the so-called infinitesimal generators).
The generators are subject to a linearized version of the group law, now called the commutator bracket, and have the structure of what is today called a Lie algebra.[2][3]
Hermann Weyl used Lie's work on group theory in his papers from 1922 and 1923, and Lie groups today play a role in quantum mechanics.[3]
However, the subject of Lie groups as it is studied today is vastly different from what the research by Sophus Lie was about and “among the 19th century masters, Lie's work is in detail certainly the least known today”.[4]
117:１３２人目の素数さん
14/08/24 09:47:58.11
>>116 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>Lie's principal tool, and one of his greatest achievements, was the discovery that continuous transformation groups (now called, after him, Lie groups) could be better understood by "linearizing" them
ガロア論文は代数方程式の理論>>114 考えているのは置換群。置換群は有限群。
群論を微分方程式に応用しようとすると、置換群では足りない。そこで連続群というものを考えた。分類としては無限群に属する
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
ブリタニカ国際大百科事典 連続群
G が，群であると同時に位相空間であって，G における積 xy をつくることが，積空間 G×G から G への連続写像であり，逆元 x-1 をつくることが G から G への連続写像になっているとき，G は，その群演算と位相に関して位相群であるという
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
とね日記20100504
保江先生の「数理物理学方法序説」というシリーズを読み進んでいる。
本書のタイトルは「連続群」。連続群は別名「リー群」とも呼ばれる。物理学で扱う対象はなんらかの自由度についての連続的な変換からなる連続変換群がほとんどなので、この群が特に重要視されている。
本書では別個に見えるそれぞれの数学の分野が理論物理学の中でどのように関連をもっているかということが実に手際よく紹介されているのだ。連続群の説明だけにとどまっているわけではなかった。
ニュートン力学における３次元ユークリッド空間、アインシュタインの４次元時空間、量子場の理論のゲージ場にそれぞれ対応するガリレイ群、ローレンツ群、ゲージ群はそれぞれ対応するリー群（連続群）の構造定数に対応し、
リー群はリー環という代数構造に対応し、リー環はヒルベルト空間のユニタリー作用素によって表現される。
またリー環に微分可能多様体が付随しているため、多様体上のベクトル、接ベクトル空間、ベクトル場のフローなどが関連しているのだ。
最初の６章がヒルベルト空間論のユニタリー作用素など関数解析系の説明に割かれていたのはそのような理由による。
量子場の理論と作用素環論という代数学の結びつきが順を追ってはっきりと示されているのだ
118:１３２人目の素数さん
14/08/24 10:10:23.85
>>117 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>本書のタイトルは「連続群」。連続群は別名「リー群」とも呼ばれる。物理学で扱う対象はなんらかの自由度についての連続的な変換からなる連続変換群がほとんどなので、この群が特に重要視されている。
下記、「連続群論入門」が分かりやすい
URLﾘﾝｸ(www1.ocn.ne.jp)
あもんノート ～ 理論物理学のまとめ ～
URLﾘﾝｸ(www1.ocn.ne.jp)
連続群論入門
注）交換子が式(3)で説明なしに出てくるので、下記をご参照（いま読むと記述が精緻ではないので、分かりやすいが他の本も併読するのがよさそう）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
下記などもご参照
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
One often considers continuous group actions: the group G is a topological group, X is a topological space,
and the map G × X → X is continuous with respect to the product topology of G × X.
The space X is also called a G-space in this case. This is indeed a generalization,
since every group can be considered a topological group by using the discrete topology.
119:１３２人目の素数さん
14/08/24 10:19:57.40
>>115 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>リー自身の手による連続群論は現代でいうリー変換群芽であり、リーは微分方程式と幾何学を利用して研究をすすめ、微分方程式などへ応用したが完成には至らず、業績も生前には認められなかった[1]。
>20世紀に入ってようやく、ヘルマン・ワイルやエリー・カルタンらによって完成させられ、位相群としての性質が明らかにされることとなる。
ヘルマン・ワイルは下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヘルマン・クラウス・フーゴー・ワイル（Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885年11月9日 - 1955年12月8日）は、ドイツの数学者。ドイツ語の発音に従ってヴァイルとも表記される。
数論を含む純粋数学と理論物理学の双方の分野で顕著な業績を残した。20世紀において最も影響力のある数学者であるとともに、初期のプリンストン高等研究所の重要なメンバーであった。
位相群、リー群、表現論 詳細は「ワイル代数」を参照
1923年から1938年までに、ワイルは行列表現に関するコンパクト群の理論を構築した。コンパクト・リー群の場合について、重要なワイルの指標公式を証明した。
これらの結果は、彼が群論によって基礎付けた量子力学の対称な構造を理解する上で重要である。
ジョン・フォン・ノイマンによる量子力学の数学的基礎付けとともに、これは1930年頃から一般的な手法となった。
また、非コンパクト群とその表現、特にハイゼンベルグ群にも深く関係している。
ワイルの研究以降、リー群とリー代数は、純粋数学と理論物理学の双方で主流となった。
後の研究に大きな影響を与えた彼の著書『古典群』(The Classical Groups) では、不変式論について再考し、対称群、一般線型群、直交群、斜交群と、その不変式、群表現について考察した。
120:１３２人目の素数さん
14/08/24 10:50:12.11
>>114 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>より一般化した群について、群が成立する条件を満たす場合どんなことに役立つの？
>wikiには物理の標準理論とか、
>どうつながるのかわからん
ガロア論文は代数方程式の理論>>114 考えているのは置換群。置換群は有限群。
群論を微分方程式に応用しようとすると、置換群では足りない。そこでソフス・リーは連続群というものを考えた。分類としては無限群に属する>>117
ヘルマン・ワイルは、1923年から1938年まで、コンパクト・リー群の研究をした
これらの結果は、彼が群論によって基礎付けた量子力学の対称な構造を理解する上で重要である。
ワイルの研究以降、リー群とリー代数は、純粋数学と理論物理学の双方で主流となった。>>119
そして、ワイルの研究以降、日本の名古屋大学の坂田模型から、ハドロンＳＵ（３）模型／八道説へ>>107
ゲルマンは、さらに進めてクォーク理論を提唱した(1Q64)>>111
このとき、クォークは３つだった
チャームが発見された。クォークは４つになった。1Q74だった URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
その前に、小林・益川理論があった。二人は名古屋大の坂田研出身。クォークは６つだと予言した。1Q73だった URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
その後、小林・益川理論が標準模型につながった URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実験により小林・益川理論の正しさが確かめられ、2008年、小林、益川両名にノーベル物理学賞が贈られた。
121:１３２人目の素数さん
14/08/24 10:58:14.87
>>120 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>より一般化した群について、群が成立する条件を満たす場合どんなことに役立つの？
>wikiには物理の標準理論とか、
>どうつながるのかわからん
まあ、考えて分かるものじゃない
大学で、数学か物理をやれば分かるだろう
頑張ってな
122:１３２人目の素数さん
14/08/24 13:09:54.63
>>119 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>リー自身の手による連続群論は現代でいうリー変換群芽であり、リーは微分方程式と幾何学を利用して研究をすすめ、微分方程式などへ応用したが完成には至らず、業績も生前には認められなかった[1]。
過去ログ補足
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
498 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/04/28(土)
梅村先生の下記最終講義がヒット これ面白いよ
URLﾘﾝｸ(ocw.nagoya-u.jp)
最終講義 射影極限と帰納極限 梅村浩 ２００８年３月１４日
（以下抜粋）
１９８４年秋 -１９８５年秋 ストラスブールに滞在した.
Gerard の研究室にあったPainleve 全集を読み始めた.
Stockholm 講義録 １８９５年 ６００ページにせまる大作 が読めないと皆が言っていた．
最初の印象 でたらめの論文に思えた．
クリスマスが終わる頃には少しづつ分かり始めた
年が明けるとPainleve 自身がよくっ分かっていることが理解できるようになった．
ただ自分の発見を表現する言語を持っていないだけであると．
夏までにPainleve のアイディアを現代代数幾何学の言葉で表現することに成功した.
501 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/04/28(土)
微分Galois 理論は人間の情熱を駆り立てる
１９９５年頃 G. Reeb, Callot 追悼シンポジューム
Alsace Voges の山の中 大きな反響 Lichnerovicz, Koszul, Haefliger,
１９９８年？ 数理研でシンポジューム そこでGalois 理論のことを話す．
Malgrange が興味を示す．
123:１３２人目の素数さん
14/08/24 15:36:48.01
たんたん狸はこのスレ気にいらんらしいなw
124:１３２人目の素数さん
14/08/24 15:45:34.07
>>120 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>その前に、小林・益川理論があった。二人は名古屋大の坂田研出身。クォークは６つだと予言した。1Q73だった
益川先生が本に書いていたが、1Q73が重要で、一番早かったという。
（参考（ここには述べられていないが）） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
チャームが発見される1Q74の後に、同じようにクォークは６つだという論文はかなり出たという。1Q74だから値打ちがあった
益川先生が本に書いていたが、ワインバーグサラム理論の繰り込み可能性が証明された（下記トホーフト）ので、クォークは４つとして論文を書こうとした
が、４つでは不十分で６つならCP対称性を破ることが出来ることが分かり、６つで論文を書いた。それでノーベル賞に
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
1971年、当時ユトレヒト大学のフェルトマンの研究室の大学院生であったトホーフトは、ゲージ理論によって弱い力と電磁気力を統一しようとする試みに残されていた課題を、フェルトマンから与えられて1年あまりで解決した。
量子色力学、超ひも理論の発展させる重要な業績となった。
125:１３２人目の素数さん
14/08/24 16:02:24.52
>>123
どうもです。
投稿深謝です
>たんたん狸はこのスレ気にいらんらしいなw
ああ、そうかも
昔、猫さんてのがいてね。初代スレに来て、いろいろ話をしてね。暫くしたら来なくなったね
例えば
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
45 ：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY ：2012/03/17(土) 17:56:53.75
>>43
橋本氏の話は何時もとても面白いですね。『打倒Witten』の魅力は今も健在。
猫
（引用おわり）
猫さんは、いまは居なくなった。狸が同じ人物かどうか分からない
が、このスレにアラシは無意味と分かったんじゃ無いかな、猫さん同様。スレ９が満杯になればスレ１０になるだけと
126:１３２人目の素数さん
14/08/24 19:15:18.52
>>120 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
こんなのがネットにあったのでご紹介
URLﾘﾝｸ(sky.geocities.jp)
１４９、ガロアの理論の学び方 ・・・ネットでガロア理論を学ぶ （２０１４．４）
URLﾘﾝｸ(www.rd.mmtr.or.jp)
は ま ぐ り の 数 学※ 数学は自然、社会、文学と、どうつながっているかという話 ※
127:１３２人目の素数さん
14/08/24 19:29:21.49
>>126 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
こんなのがネットにあったのでご紹介
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年7月31日～8月3日開催)
ガロア理論とその発展 玉川安騎男
§0.はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832)
によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と
いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研
究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう
ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用
（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定
的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解
の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま
す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ
ア理論の展開についても紹介したいと思います。
128:１３２人目の素数さん
14/08/24 20:43:24.33
>>127 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
こんなのがネットにあったのでご紹介
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
対称理論の歴史と将来 - J-Stage 松本菘生 日本結晶学会誌 50周年記念号 2000
129:１３２人目の素数さん
14/08/24 21:43:21.78
>>128 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
こんなのがネットにあったのでご紹介
URLﾘﾝｸ(www-history.mcs.st-andrews.ac.uk)
The abstract group concept
Algebra index History Topics Index
This article is based on a lecture given by Peter Neumann (a son of Bernhard Neumann and Hanna Neumann) at a conference at the University of Sussex on 19 March 2001 to celebrate the 90th birthday of Walter Ledermann.
The talk was entitled Introduction to the theory of finite groups the title of the famous text written by Walter Ledermann.
This article is based on notes taken by EFR at that lecture.
The modern definition of a group is usually given in the following way.
略
130:１３２人目の素数さん
14/08/24 21:57:14.57
>>129 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
この”The abstract group concept Algebra index History Topics Index ”
これを見ると、群のきちんとした抽象的定義は結構遅かったみたい
しかし、ガロア理論のインパクトは大きく、ガロア理論をモデルにして、群を応用しようという動きはさまざまに起こったようだ
結局、きちんとした定義は、２０世紀になった・・
でも、人はそんなものを待っていなかった。どんどん先に進んだ・・
131:１３２人目の素数さん
14/08/24 22:20:11.08
>>121 つづき 狸さんのおかげで連投規定をクリアーしたので先に進む
>まあ、考えて分かるものじゃない
>大学で、数学か物理をやれば分かるだろう
>頑張ってな
多分消化不良になっているんじゃないかと心配している
書いた内容をすらすら読めるレベルじゃないんだろうなと
ああ、それと数学科か物理学科をやればという意味だ
他の理系でも、教えてくれるところはあるかも
今回の話を足がかりに、大学に入って勉強してもらえれば良いね
132:１３２人目の素数さん
14/08/24 23:45:30.28
>>131
レス貰ったものは全部は読めてませんし理解も出来てないですけど
あとでゆっくり読んでみます
前にNHKスペシャルでやってた神の数式で出てた「対称性」と群が関連するらしいのは判りました
具体的にどんな関係かは判らないですけど
問題を解決するために対称性に注目したのは、 変換や操作で不変=本質的なものだからってことでしょうか
一方で自発的対称性の破れが起きないと矛盾が生じるとかさっきのNスペで言ってたのですがCP対称性の破れと同様のことなんでしょうか
理想的な構造だと物理的な世界が存在出来ないけど確率的に揺れているから対称性が破れて物理的な世界が存在出来ているとかそんな感じだったと思います
133:１３２人目の素数さん
14/08/30 06:28:38.52
>>132
どうも
遅レス失礼。いま土日しかレスできないので、約一週間ぶりですが
レス>>36の質問の人ですね
なんとなく理系に関する知識レベルが、中か高一くらいと見ました。外していたら申し訳ないが・・
>レス貰ったものは全部は読めてませんし理解も出来てないですけど
>あとでゆっくり読んでみます
とすると、無理してすぐ細部を理解しようとしなくて良いだろう
全体像の把握を優先するんだ。これが大人の勉強法
134:１３２人目の素数さん
14/08/30 06:56:10.41
>>132 つづき
どうも
遅レス失礼。いま土日しかレスできないので、約一週間ぶりですが
>前にNHKスペシャルでやってた神の数式で出てた「対称性」と群が関連するらしいのは判りました
ああ、それは見ていないが、検索すると下記がヒットした
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
2013年09月23日 神の数式 ＮＨＫスペシャル
（抜粋）
対称性のディラックから、超弦理論のシュヴァルツとポルチンスキーまで。EUのCERONがヒッグス粒子を発見する。ヒッグス粒子は名づけ親のヒッグスではなく、そのきっかけとなったワインバーグが紹介される。
これは超弦理論のシュバルツもそう。理論の解の破綻に直面すると現実を理論から推論していく。素粒子は一点ではなく、輪ゴムのような概念。震える。振動するひも。
対称性性の破れ
南部陽一郎博士。美しい物理学の数式。だが現実は対称性が壊れているとする。鉛筆立の仮装実験。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ＮＨＫスペシャルで「神の数式」をやってましたが、minorudaburuさん2013/9/30
ベストアンサーに選ばれた回答 catbirdttさん 2013/10/10
（抜粋）
せっかくリクエストを頂いたのですが、「対称性」と言う概念は、私の考え方とは根本的に異なるので、お答えすることが出来ません。
（引用おわり）
>具体的にどんな関係かは判らないですけど
”「対称性」と群が関連するらしいのは判りました”：
私の理解は、人は古代ギリシャの昔（あるいはそれ以前）から、幾何図形の対称性を発見し、ユークリッドの原本に書いた
時代が進んで、結晶や物理理論、あるいは数学理論（方程式の解法など）の中に対称性を見いだした
群は、これら人類が見いだした対称性を、抽象化して数学理論として発展させたものだと
数学理論の群論は、人類が理解している対称性を包含している。”群論 ⊃「対称性」（人類が理解している）”という包含関係だと
135:１３２人目の素数さん
14/08/30 07:45:32.88
>>132 つづき
>問題を解決するために対称性に注目したのは、 変換や操作で不変=本質的なものだからってことでしょうか
違う。”問題を解決するために対称性に注目”するというのは、サル以上の知能のある人なら普通だ。人に自然に備わっている知恵だろう
対称性＝”変換や操作で不変=本質的なもの”というのは、18世紀ころの人類の理解だと思う。当時の天才たちの
例えば、ガウスは正十七角形の作図法を発見した。詳細は下記の記事を見て貰うとして
一言でいえば、正十七角形の持つ対称性を数学的に解明したということ
”対称性に注目する”は、数学や物理を超越した、人に自然に備わっている知恵
数学的素養のある現代人は、”対称性に注目した”後、群論の適用を考える
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
正十七角形の作図 [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十七角形の作図法がガウス (carl Friedrich Gauss (1777-1855)) によって発見された話は非常に有名です．
1798 年 3 月 30 日，ガウスはベッドで目を醒ますなりこの作図法を思いついたということです．
哲学者になろうか数学者になろうか迷っていたガウスは，この発見に自信を得て数学者の道を選んだという話もあります．
（ガウスの父は，ガウスに煉瓦職人になって欲しいと思っていました！）
ガウスの作図法はガウスの著書 Disquisitiones Arithmeticae に出ていますが，同書でガウスは『定規とコンパスで作図できる正 n 角形は， n=2^{2^{r}} の場合に限る』ことも論じており，体論が完成する以前の議論としては秀逸なものです．
もっとも，ガウスは自分の研究を公表しない癖があり，遺稿を検討したところでは，ガウスが既に抽象代数の群論や体論に極めて近い概念に到達していたらしいことも分かっています．
きちんとアイデアを発表してくれていれば，数学の進歩はあと 100 年以上早かったかも知れません．
136:１３２人目の素数さん
14/08/30 08:14:31.57
>>132 つづき
>一方で自発的対称性の破れが起きないと矛盾が生じるとかさっきのNスペで言ってたのですがCP対称性の破れと同様のことなんでしょうか
１）”自発的対称性の破れが起きないと矛盾が生じる ”：いまの素粒子の標準理論は下記で、「ヒッグス機構による真空の対称性の破れとフェルミオンの質量獲得」が、”自発的対称性の破れ”に関するところ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
標準模型（ひょうじゅんもけい、英語: Standard Model、略称: SM）とは、素粒子物理学において、強い相互作用、弱い相互作用、電磁相互作用の3つの基本的な相互作用を記述するための理論のひとつである。
標準理論（ひょうじゅんりろん）または標準モデル（ひょうじゅんモデル）とも言う。
概要
標準模型は、強い相互作用についての量子色力学、弱い相互作用と電磁相互作用についてのワインバーグ＝サラム理論をあわせた SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y ゲージ対称性に基づいて、
ヒッグス機構による真空の対称性の破れとフェルミオンの質量獲得、
アノマリーの相殺の要請によるフェルミオンの世代構造と
世代間混合とCP対称性の破れについての小林・益川理論などの理論の総称である[1]。
標準模型は特殊相対性理論と整合する量子論として、場の量子論的方法で記述されている。
（引用おわり）
２）”CP対称性の破れ”：上記で、「世代間混合とCP対称性の破れについての小林・益川理論」に関するところ
３）私の理解は、１）と２）とは全く別もので、「同様のことなんでしょうか」についてはNo！
137:１３２人目の素数さん
14/08/30 08:41:02.11
>>132 つづき
>理想的な構造だと物理的な世界が存在出来ないけど確率的に揺れているから対称性が破れて物理的な世界が存在出来ているとかそんな感じだったと思います
１）これは、”自発的対称性の破れ”に関するところだね。CP対称性の破れには当てはまらない
２）そして、”確率的に揺れているから”の部分は、人類の理解はどんどん進歩している。昔、シュレーディンガーが有名な猫の思考実験をした時代より進歩している。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シュレーディンガーの猫（シュレーディンガーのねこ、英: Schrödinger's cat）またはシュレディンガーの猫とは、量子力学の問題点を突く思考実験[1]。
物理学者のエルヴィン・シュレーディンガーが1935年に発表した[1]、量子力学に対する批判[2]・攻撃[3]。この思考実験は量子論にも関連する[4]。
３）現在の人類の理解は、”標準模型”>>136だが、物理学者はだれもこの”標準模型”がファイナルアンサーだとは考えていない（下記参照）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
標準模型
4 未解決の問題
4.1 重力の量子化
4.2 大統一理論
4.3 階層性問題
4.4 強いCP問題
4.5 世代数の謎
4.6 ニュートリノ振動
4.7 暗黒物質
4.8 バリオン数の非対称性
138:１３２人目の素数さん
14/08/30 08:46:13.07
>>137 つづき
４）”標準模型”がファイナルアンサーでないとすれば、将来ファイナルアンサーの理論が完成したとき、”確率的に揺れているから対称性が破れて物理的な世界が存在出来ている”という理解が本当に正しいのかどうか？
５）いまは、ほとんどの物理学者はそう考えているが、過去アインシュタインは別の考えを持っていたし、それをとことん追求することで「統一理論」（下記）を夢見ていた。それが、いまの”超弦理論”に繋がっている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（統一理論から転送）（抜粋）
統一場理論（とういつばりろん）とは、様々な力を統一しようとする場の理論のこと。
最終的には自然界の四つの力をすべて統一しようという理論的試みである。この全ての力を統一した理論のことを万物の理論と呼ぶ。
現在、万物の理論の候補は、超弦理論のみであると考えられている。
アルベルト・アインシュタインは一般相対論の論文を発表した後、重力と電磁気力の統一を試みたが、当時は完成させることはできなかった（現在では、超弦理論に重力と電磁気力は含まれている）。
また、電磁気力と弱い力を統一した電弱統一理論は、統一場理論の一例である。
(おわり)
139:１３２人目の素数さん
14/08/30 09:38:56.60
>>132-138 つづき
>前にNHKスペシャルでやってた神の数式で出てた「対称性」と群が関連するらしいのは判りました
>具体的にどんな関係かは判らないですけど >>132
＜まとめ＞（私の理解）
１．群と対称性は、同じ文脈で出てくることが多い。”群と対称性”あるいは、”対称性を群を通して理解する”みたいな文脈が多い
２．要は、数学理論の群論は、人類が理解している対称性を包含している。”群論 ⊃「対称性」（人類が理解している）”という包含関係だと >>134
３．”問題を解決するために対称性に注目”するというのは、サル以上の知能のある人なら普通だ。人に自然に備わっている知恵だろう>>135
対称性＝”変換や操作で不変=本質的なもの”というのは、18世紀ころの人類の理解だと思う。当時の天才たちの
４．数学的素養のある現代人は、”対称性に注目した”後、群論の適用を考える >>135
ということじゃないかな？ 私の理解はこうだよ。質問があればまた書いてくれ
140:１３２人目の素数さん
14/08/30 09:50:45.72
>>124 訂正
1Q74だから値打ちがあった
↓
1Q73だから値打ちがあった
141:１３２人目の素数さん
14/08/30 14:22:20.41
>>139 補足
参考：群論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
研究史
群論は、歴史的に3つの源泉がある。数論、代数方程式論、幾何学である。数論の系統は、オイラーに始まり、ガウスの合同式の理論、および二次体に関係した加法群・乗法群の研究によって発展した。
置換群に関する初期の研究成果は、ラグランジュ、ルフィニ、アーベルらの、代数方程式の一般解の研究の課程で得られた。
エヴァリスト・ガロアは「群」という用語を作った。 彼は、初期の群論と現在の体論を結びつけた。
幾何学については、群はまず射影幾何学で、のちに非ユークリッド幾何学で重要になった。 フェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムにおいて、 群論は幾何学の原理を統合するものになることを予言した。
1830年代、エヴァリスト・ガロワが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。 アーサー・ケイリーとコーシーはこの研究を発展させ、 置換群の理論を創設した。
歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。 可能な幾何学（ユークリッド幾何学、双曲幾何学、射影幾何学）へ群を適用したのは、 フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムに始まる。
1884年、ソフス・リーは群（現在リー群として知られている）を解析的問題に適用した。 三番目に、群は（最初は暗黙的に、後に明示的に）代数的整数論に用いられた。
これら初期の源流では、観点が違っていたので、そのため群に対する観念も違ったものとなっていた。
1880年頃から群の理論の統合がなされてくる。 そして、群論の影響はますます増大し、20世紀初期には抽象代数学、表現論など多くの派生分野が成立した。
有限単純群の分類（classification of finite simple groups）は、20世紀中頃より膨大な量の研究がなされ、ついに完成に至った。