14/08/23 10:08:52.24
>>36
どうも
音楽の音階？五度圏? 分からないので検索してみた
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)
知念 宏司 のホームページ - 応用代数学研究室 -
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)
ショパンのプレリュードから群論へ 2007.4 公開
(抜粋)
1. 西洋音階の12の音と五度圏
この 1, 5, 7, 11 という数が何であるかというと, ちょうど1 から 11 までの整数のうち, 12 と互いに素なもの全体ということになります.
なお, 1 つの音から完全五度上の音を順次たどって行って, それらを円周上に並べたものは「五度圏」(circle of fifth) と呼ばれ, 音楽理論でよく使われています.
「五度圏」で検索すると詳しく解説したホームページがたくさん見つかります.
4. 合同式から群へ
上の話, 簡単なようでなかなか難しいですね. それもそのはず, 大学で学ぶ「群論」の初歩が, 実は含まれているからです.
上でやったような, 0 から 11 までの整数の足し算を, 12 以上の数が現れないようにしながら行なうことで, 0 から 11 までの整数の集合に 1 つの「演算」が定義できたことになります.
12 に限らず, 一般に整数 n (>0) に対して 0 から n-1 までの整数の集合を考え, それらの数の間の足し算を, n 以上の数が現れないようにしながら行なう, という演算が定義できます.
このようなものは「群」の一例で, 「整数の剰余類のなす群」といいます.
群は他にもいろいろあって, 数学のあらゆる場面に顔を出します. 数学の内部で重要であるばかりでなく, 実社会でも見えないところで使われています.
その 1 つの例は「暗号」です. 「符号」と「暗号」は似ているようで実は少し違います.
どちらもディジタル方式で情報をやりとりする場合に不可欠なものですが, 符号が情報を間違いなく伝えることを目標にしているのに対し, 暗号は情報を第三者に知られないよう伝えることを目標にしています.
暗号に使われている群は, 上の整数の剰余類のなす群に似た, もう少し難しい群です.
合同式の計算は慣れれば簡単ですが, こういうことを出発点として, 実際に役立つ技術が生まれている, と聞けば, その先を勉強してみたくなりませんか ?