14/09/07 11:17:16.93
>>285 つづき
どうもです スレ主です。
>つまりは、可解性判定だと。そこで、キーワードは、”代数方程式 可解性 判定”
>この方が有用な情報がヒットするだろう
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2012-06-23 ■[Asir]方程式のGalois群を計算するアルゴリズム
昔Galois理論を勉強した時、教科書に載っていた計算例を見ても、一般の方程式に適用可能か分からず、計算至上主義者のわたしは、任意の方程式で使える方法を知りたいと思った。
当時は計算機代数を知らずプログラムを書いたことすらなかったので、ちゃんとした定式化には至らなかったけど、今思い出してみると、当時考えていた方向性は正しかったよう。
別に難しくはないと思うのだけど教科書とかには、ちゃんと書いてない気がする
#わたしの読んだ教科書にあったGalois群の計算は、最小分解体の適当な基底を取って自己同型を計算する方法と、分解式と対称群の部分群の知識を使って決定する方法が書かれていたように思う。
1967年にZassenhausが提案したGalois群を計算するアルゴリズムは後者の方法の延長であるらしい。
前者の方法は特別な場合を除けば基底を決定するのが難しい気がする
(1)の最小分解体の計算については、例えばRisa/Asirでspという関数が実装されていて、計算できる。sp関数が、上の$g_1 , \cdots , g_m$と$h_1,\cdots , h_n$を全部決定してくれる
URLﾘﾝｸ(www.asir.org)
(2)はGalois群の元を全部計算するので、位数が大きい場合は計算が急激に大変になっていくけど、とにかく、どういう変換が生き残るかははっきりする。
$mod (h_1 , \cdots , h_n)$の計算を大量にすることになるので、こっちの計算には、一般にはグレブナー基底が必要なはず。代数体係数でもグレブナー基底は計算できるので、fが任意の代数体係数の多項式でもGalois群は計算できる。
Risa/Asirでアルゴリズムを実装してみた。Risa/Asirは情報も機能も足りない気がするので、色々辛い。計算すると、群の位数が120であるので、Galois群は5次対称群。この程度の計算なら一瞬で終わる。
Risa/Asirのコード
（略）