14/08/17 17:12:04.83
>>18 つづき
>４次元 微分ポアンカレ予想も残された大問題
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2013-07-14
［５］４次元微分可能ポアンカレ予想（→未解決であるが２０１０年になって部分的解決）
「位相多様体」と「微分可能多様体」は本質的に異なるか？という疑問が現れた。
これは、微分可能多様体を位相多様体の上部構造と見ると位相多様体に微分可能構造をいれられるか？
あるいは、微分可能構造は何通りあるかという問題になる。
［１］１次元，２次元，３次元の位相多様体には微分可能構造がはいり。それは一意的である。
［２］４次元位相多様体には微分可能構造がはいらないものがある。また，微分可能構造は一意的とは限らない（ドナルドソンとフリーマン、１９８２年～８６年 )
［３］７次元では、微分可能構造は一意的とは限らない。７次元球面には２８個の微分構造がある。８次元位相多様体には微分可能構造をもたないものもある（ミルナ－，１９５６年）
【２】高次元微分可能ポアンカレ予想
微分か濃厚増も考えて、ｎ次元球面に対して、単連結でホモロジー群がｎ次元球面と等しいならば同相か？
［１］ｎ＝４のとき、未解決。
［２］ｎ≧７のとき、反例がある。
(おわり)