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４次元 微分ポアンカレ予想も残された大問題
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2013-07-14
ペレルマンが彼の専門分野である微分幾何学や、数学では全く使わない物理学の概念や手法を駆使して証明した
３次元多様体に対して、リッチ流を考えてリーマン計量を変形することにより、３次元多様体を標準的なものに分解し、それぞれの部分が幾何構造をもつようにできるという研究が、ハミルトンやペレルマンによってなされた。
【１】ポアンカレ
１８９５年、ポアンカレは論文の中で誤った定理
「３次元球面（４次元球の表面）
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝１ （ａ，ｂ，ｃ，ｄは実数）
はホモロジー群の計算から特徴づけられる」を発表した。
１８９８年、ポアンカレはこの誤りに気づき，３次元球面と同じホモロジー群をもつが、それとは基本群の異なる３次元多様体
ｘ^2＋ｙ^3＋ｚ^5＝０， ｜ｘ｜^2＋｜ｙ｜^2＋｜ｚ｜^2＝１ （ｘ，ｙ，ｚは複素数）
を構成してみせた。
そして、１９０４年「任意の単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相か？」という問いを残した。
これが有名な（３次元）ポアンカレ予想である。
（つづく）