14/07/14 01:53:09.26
>>18
n=1 については既に証明したものとする。(例えば 0∈U_1 として x=sup(U_1) の近傍に y∈ U1∩U_j (j≠1) を見出せ)
(0,0,0,0,0,...,0) を含む U_i を(添字を適当に書き換えて) U_1 とせよ。
部分空間:M_1=[0,1]x{0}x...x{0} と、その被覆:{N_i (= M_1∩U_i)} を構成して、M_1∩U_1 と重なりを持つ N_i (i≠1)に対応する U_i を U_2 とせよ。 (U_2 の存在は直径条件より保証される)
適当に (x1,0,0,0,0...) ∈ M_1∩U_1∩U_2 を選択して
部分空間:M_2={x1}x[0,1]x{0}x...x{0} と、その被覆:{N_i (= M_2∩U_i)} を構成して、M_2∩U_1∩U_2 と重なりを持つ N_i (i≠1,2)に対応する U_i を U_3 とせよ。(U_3 の存在は直径条件より...)
(こうやって空間をジグザグに進んでいって...)
部分空間:M_n={x1}x{x2}x...x[0,1] と、その被覆:{N_i (= M_n∩U_i)} を構成して、M_n∩U_1∩...∩U_n と重なりを持つ N_i (i≠1,..n)に対応する U_i を U_n+1 とせよ。
適当に (x1,x2,...,xn) ∈ M_n∩U_1∩U_2∩...∩U_n+1 を選択して
M_n∩U_1∩U_2∩...∩U_n+1 ⊂ U_1∩U_2∩...∩U_n+1 より(以下略)