14/06/12 01:20:43.62
>>53
> そもそも、「f(G)がKの正規部分群かつs(H)がKの部分群⇒f(G)がs(H)の正規部分群」ってあってますか？
言えることは、f(G)がs(H)の元による共役で閉じてることだけ
そもそも部分群でなければ正規部分群にはなりえない
GとHに包含関係がないけど今は
Gとf(G)⊂K, Hとs(H)⊂K
がそれぞれ同型だからKのなかで考えることができる
まずθ':s(H)→Aut(f(G))を
> g(s(b)f(a){s(b)}^(-1))=b・1・b^(-1)=1 (∵g:準同型,sで分裂⇔gとsの合成=identity,Kerg=f(G)よりg(f(a))=1)
> だから、s(b)f(a){s(b)}^(-1)∈Kerg=f(G)となり、証明できてしまいます
という感じで定義する
fは単射だから、s(b)f(a){s(b)}^(-1)=f(γ)となるγ∈Gは一意的に決まる
これでθが定義できるはず