14/06/17 11:20:26.58
>>134
x ∈ S^(n-1) を n 次元列ベクトルと見なし、作用を
SO(n) × S^(n-1) → S^(n-1) : (A, x) |→ Ax
で定める。
S^(n-1) への写像になっていること:
( , ) を標準内積として、A ∈ SO(n), x ∈ S^(n-1) に対し、
||Ax||^2 = (Ax, Ax) = (x, tAAx) = (x, x) = ||x||^2 = 1
ここで、tA は A の転置行列。
作用になっていること:
A, B ∈ SO(n), x ∈ S^(n-1), n 次元単位行列 I に対し、
(AB)x = A(Bx)
Ix = x
推移的であること:
x ∈ S^(n-1) に対し、x を含む正規直交基底 e_1(=x), e_2, … , e_n をとり、
行列 A_x を A_x = (e_1 e_2 … e_n) で定める。
すると、A_x ∈ SO(n) であり、A_x は t(1, 0, … , 0) ∈ S^(n-1) を x に移す。
y ∈ SO(n) に対しても同様に A_y ∈ SO(n) を定めれば、A_y (A_x)^(-1) ∈ SO(n) は x を y に移す。□