14/06/17 09:54:38.50
>>150
(1)自明
(2)A=Oのときは自明
そうでないならA^k=Oとなる最小の自然数k≧1をとる
A^{k-1}≠Oだからy:=A^{k-1}x≠0となるx∈K^nが存在する
このときAy=0, y≠0である
∴kerA≠0
∴dim kerA≧1
∴rankA=n-dim kerA≦n-1
(3)部分空間ではない
反例:(1,0,0), (1,1,1)
14/06/17 09:54:38.50
>>150
(1)自明
(2)A=Oのときは自明
そうでないならA^k=Oとなる最小の自然数k≧1をとる
A^{k-1}≠Oだからy:=A^{k-1}x≠0となるx∈K^nが存在する
このときAy=0, y≠0である
∴kerA≠0
∴dim kerA≧1
∴rankA=n-dim kerA≦n-1
(3)部分空間ではない
反例:(1,0,0), (1,1,1)