14/05/06 13:41:22.55
We have introduced new a concept of projectile curve.
Do you understand?
May I make myself crystal clear, hard, strong and accurate.
523:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 14:35:22.18
>>514
関連
１．
URLﾘﾝｸ(faculty.sites.uci.edu)
Six Lectures on Four 4-manifolds, Low dimensional topology, 265?315, IAS/Park City Math. Ser., 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009 (with Ronald A. Fintushel). MR2503498
URLﾘﾝｸ(faculty.sites.uci.edu)
２．
URLﾘﾝｸ(faculty.sites.uci.edu)
Will we ever classify simply-connected smooth 4-manifolds? Ronald J Stern2006
URLﾘﾝｸ(faculty.sites.uci.edu)
３．
URLﾘﾝｸ(www.math.ist.utl.pt)
4-manifolds (symplectic or not) notes for a course at the IFWGP 2007
Ana Cannas da Silva
URLﾘﾝｸ(ifwgp2007.ist.utl.pt)
International Fall Workshop on Geometry and Physics 2007
524:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 14:39:52.63
>>522
おつかれさまです（２ちゃんねる語では「乙です」）
英語OKだよ
がんばって
525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 17:05:13.37
>>523
関連
URLﾘﾝｸ(www.math.ist.utl.pt)
4-manifolds (symplectic or not) notes for a course at the IFWGP 2007
Ana Cannas da Silva
これのP9の図が11/8予想に関連して面白い
というか、11/8予想が何を意味しているかを分かりやすく示している
526:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 20:40:16.13
>>501
関連
白木善尚氏が良い解説になっている
URLﾘﾝｸ(www.ieice.org)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
ABC予想と最後の審判 Inter-Universalな世界観 白木善尚 IEICE fundamentals review 201301
なお、既出と思うが、下記 (2008-03-25 現在）が、全然古くなっていない。IUTeichの構想がしっかりしていたってことか
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）
527:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 21:22:41.47
>>525
4次元って、ほんと不思議だよね
528:１３２人目の素数さん
14/05/07 23:43:21.11
別にふしぎじゃねーよ
結局は3次元でなんとかしなくちゃならねーんだよ
そうだろ？
529:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 09:19:34.43
>>528
おつかれさまです（２ちゃんねる語では「乙です」）
>結局は3次元でなんとかしなくちゃならねーんだよ
>そうだろ？
ニュートン力学とか、ドイツのカントの絶対空間の思想ではね。”3次元でなんとかしなくちゃならねーんだよ”と
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
空間
カントは空間を時間とともに人間精神の直観形式だとする立場を呈示した。
ニュートンはニュートン力学を、3次元ユークリッド空間、すなわち、すべての方向に無限に拡がる果てしのない均質なもので物質の存在から独立した空虚な容器であり、
やはり均質に空間や物質とは切り離されて存在し進行する時間がある、という大前提のもとに記述した（いわゆる「絶対空間」と「絶対時間」）。
最終的に特殊相対性理論により、空間と時間はミンコフスキー時空という一体のものとして再記述され、さらに一般相対性理論により、物質（質量）の存在により「曲がる」4次元リーマン空間として再記述された。
（引用おわり）
530:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 09:20:58.85
>>529
つづき
だけど、カーナビとかGPSでは、そうではないみたい
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般相対性理論の応用
GPS
自動車などの位置をリアルタイムに測定表示するカーナビゲーションシステムはグローバル・ポジショニング・システム (GPS) を利用しており、GPS衛星に搭載された原子時計に基づき生成される航法信号に依存している。
GPS衛星からの信号を受信する装置では、さまざまな要因による補正を行うが、GPS衛星の時計に関するものとして、
高速で運動するGPS衛星の運動による時計の遅れ（特殊相対論効果）、および地球の重力場による地上の時間の遅れ、言い換えれば衛星の時計の進み（一般相対論効果）が含まれる（他に地球自転に起因する信号伝播のサニャック効果もある）。
この相対論的補正をせずに1日放置すると、位置情報が約11 kmもずれてしまうほどの時刻差になることから、相対論的補正はGPSシステムの運用に不可欠である[2]。
531:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 10:01:00.76
>>530
つづき
で、結局人類は、まだ4次元時空（含む ミンコフスキー時空）を十分理解していないんだろうなと思う今日この頃（仏版が結構充実しているね）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的にはミンコフスキー空間とは、実四次元のベクトル空間に符号 (-,+,+,+) の非退化な対称双線形形式を与えたものだということができる。
ミンコフスキー空間の元は事象または4元ベクトルとよばれる。ミンコフスキー空間は計量の符号を強調するためにしばしば R1,3 と書かれるが、M4 や、単に M という表記もみられる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
英語版
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
仏版
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
独版
532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 18:26:15.30
ご参考（というか自分ためのメモ）
URLﾘﾝｸ(members3.jcom.home.ne.jp)
物理のぺーじ?
内容
・注意
・計算が結構詳しい
・物理の説明はなるべく教科書等と相互補完してください
・力学と電磁気学の入門的な説明はしてません
・pdfで作っているので見るにはAdobe Readerが必要です
・フォントを埋め込んでないのでLinuxとかだと日本語が表示されないかも
2014年5月6日場の量子論：非線形シグマモデル追加
力学
電磁気学
解析力学
量子力学
統計力学
一般相対性理論
相対論的量子力学
QED
場の量子論
有限温度の場の理論
弦理論
数学
試作コーナ
索引
更新履歴
参考図書
収集物(実験)
便利なもの
一応掲示板
533:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:39:26.44
>>531
つづき
４次元で、下記が、なかなか絵が充実しているね
これが置いてある、Andrew Ranicki’s Homepageでも”wild ”という言葉が良くヒットする。”wild ”すきみたいだね。すぎちゃんの系統かね
URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
Errata (PDF file) posted September 16, 2005 URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
This page will be used for updates and additional material.
URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Andrew Ranicki’s Homepage
School of Mathematics
University of Edinburgh
534:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:41:37.89
関連
下記TEXTも絵に工夫があるんだ・・
URLﾘﾝｸ(www.math.upenn.edu)
Robert Ghrist
ELEMENTARY APPLIED TOPOLOGY TEXT DRAFT (in progress; revised 3/2014)
the following are rough draft versions of a text-to-be on applied algebraic topology, all in pdf. enjoy! the bibliographic entries are not yet added, and some of the cross-references and pictures are muddled...sorry!
Preface
Chapter 1: Manifolds
Chapter 2: Complexes
Chapter 3: Euler Characteristic
Chapter 4: Homology
Chapter 5: Sequences
Chapter 6: Cohomology
Chapter 7: Morse Theory URLﾘﾝｸ(www.math.upenn.edu)
Chapter 8: Homotopy (new!) URLﾘﾝｸ(www.math.upenn.edu)
Chapter 9: Sheaves
Chapter 10: Categorification
535:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:45:59.93
関連
下記がよくまとまっている
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
（抜粋）
4-manifold
From Wikipedia, the free encyclopedia
Contents
1 Topological 4-manifolds
2 Smooth 4-manifolds
3 Special phenomena in 4-dimensions
4 Failure of the Whitney trick in dimension 4
Smooth 4-manifolds
For manifolds of dimension at most 6, any piecewise linear (PL) structure can be smoothed in an essentially unique way,[1]
so in particular the theory of 4 dimensional PL manifolds is much the same as the theory of 4 dimensional smooth manifolds.
A major open problem in the theory of smooth 4-manifolds is to classify the simply connected compact ones. As the topological ones are known, this breaks up into two parts:
1. Which topological manifolds are smoothable?
2. Classify the different smooth structures on a smoothable manifold.
There is an almost complete answer to the first problem of which simply connected compact 4-manifolds have smooth structures.
536:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:47:49.01
>>535
> 1. Which topological manifolds are smoothable?
>There is an almost complete answer to the first problem of which simply connected compact 4-manifolds have smooth structures.
そうなん？ と思いますけどね・・
537:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 21:43:43.34
ご参考（というか自分ためのメモ）
下記記事がなかなか面白かった
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Stanislaw Ulam
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Borsuk?Ulam theorem
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称性 (物理学)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Symmetry (physics)
538:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 23:31:25.97
>>471-472
関連
これ、なかなか面白いんだよね
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
弦理論におけるブラックホールの微視的状態とその粗視化 小川 軌明 修士京大 2008
で、小川 軌明氏は博士論文書いたあと、京大でTAやって、いま、IPMU-カブリ数物連携宇宙研究機構みたい。修論えらくレベルが高かった・・
URLﾘﾝｸ(db.ipmu.jp)
539:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 23:50:26.22
で、結局我々人類は、まだ自分たちの住む4次元時空を十分理解していないわけで
それは、R4（ユークリッド空間）ではなく、ミンコフスキー時空なわけで
ミンコフスキー時空を追求していくと、AdSへ辿り着く>>472
一方で、量子力学から素粒子へ行って、相対論との整合性から、ドナルドソン理論へ>>484-485。４次元はエキゾチックなんだという。そしてCFTへ
ドナルドソン理論が物理の理論から来ているとか、その他いろいろ物理屋さんとも関連している4次元世界
540:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 23:53:25.11
４次元世界をしっかり理解することは、物理数学両面から重要なんだろうなと
そう思う今日この頃
次元はやっぱり面白い世界だなと・・
541:１３２人目の素数さん
14/05/12 21:10:19.14
続き～の連投の人
おまえの長い話は4次元だとどうなるんだ？
542:１３２人目の素数さん
14/05/12 21:17:47.41
なんと知性の感じられないツッコミか
543:１３２人目の素数さん
14/05/18 18:29:09.08
>>541
ども
4次元だとキャッソンハンドルに同相らしい
"Casson's idea was to iterate this construction an infinite number of times, in the hope that the problems about double points will somehow disappear in the infinite limit."
ということなので、”disappear in the infinite limit."が結論だな
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In 4-dimensional topology, a branch of mathematics, a Casson handle is a 4-dimensional topological 2-handle constructed by an infinite procedure. They are named for Andrew Casson, who introduced them in about 1973.
They were originally called "flexible handles" by Casson himself, and Michael Freedman (1982) introduced the name "Casson handle" by which they are known today.
In that work he showed that Casson handles are topological 2-handles, and used this to classify simply connected compact topological 4-manifolds.
544:１３２人目の素数さん
14/05/18 18:32:17.21
>>542
どもです。
無関係な脈絡ですが、これご参考。なかなか面白かった
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
高次元への旅｜『銀杏と共にあらんことを！』 surgeon mizutani
545:１３２人目の素数さん
14/05/18 20:46:59.12
名前を入れ忘れたのか
546:１３２人目の素数さん
14/05/19 06:33:17.21
４次元は大小関係のない世界だと聞いただとすると複素平面のことじゃ
ないのか？
547:１３２人目の素数さん
14/05/19 09:18:12.03
運営乙
548:１３２人目の素数さん
14/05/23 21:42:23.12
>>545
ども。専用ブラウザのJANEの料金の期限切れでね。
クレジットの支払いは、情報漏洩あったので、やりたくない。
暫くIEで。不便だが。
549:１３２人目の素数さん
14/05/23 21:44:24.87
えっ？
550:１３２人目の素数さん
14/05/23 21:46:29.08
>>546
>４次元は大小関係のない世界だと聞いただとすると複素平面のことじゃないのか？
質問には答えられないが
（x1,x2,x3,x4）というR4を、複素数で(z1,z2)で考えるのはありだと。
さらには、四元数の（q1）で考えるのもありだと。
551:１３２人目の素数さん
14/05/23 21:53:11.85
>>548-549
これだけど・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
2ちゃんねる個人情報流出事件とは、2013年8月に電子掲示板である2ちゃんねるの有料サービスである2ちゃんねるビューア（以下、通称である「●」）を利用している会員の個人情報が、
Torネットワーク上のOnionちゃんねるTor板に大量に流出した個人情報漏洩事件。
2013年中旬、「●」の個人情報が収録されたサーバーがクラッカーによるシステム侵入を受け、
約4万件の会員のクレジットカード番号や名前などの顧客情報と書き込み履歴、約15万件分の「●」と「お試し●」の管理情報、利用者のトリップの情報、運営に関わる者のキャップの情報が不正に引き出された[1]。
その後、8月に入ってから「さっしーえっち MwKdCUj7XWlQ」を名乗る人物により、
Tor板上に流出した情報が公開され、その情報は8月26日時点で閲覧可能な状態であった。
この流出した情報から会員は決済に使われる危険性や、匿名で投稿した人の投稿者個人が特定される危険性が考えられており、
実際に特定された人達がピンポンダッシュや無言電話などの被害に遭っている[2][3][4]。
552:545
14/05/24 03:52:04.90
>>548
専ブラでなくても名前は入れられる
553:１３２人目の素数さん
14/05/24 06:43:17.92
>>552
ども
名前は入れられるが、面倒なので省略しています
554:１３２人目の素数さん
14/05/24 10:34:41.47
>>550
補足
こういうことみたい
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
An n-sphere is the surface or boundary of an (n + 1)-dimensional ball, and is an n-dimensional manifold.
For n ≥ 2, the n-spheres are the simply connected n-dimensional manifolds of constant, positive curvature.
The n-spheres admit several other topological descriptions:
for example, they can be constructed by gluing two n-dimensional Euclidean spaces together, by identifying the boundary of an n-cube with a point,
or (inductively) by forming the suspension of an (n － 1)-sphere.
4-sphere
Equivalent to the quaternionic projective line, HP1. SO(5)/SO(4).
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, quaternionic projective space is an extension of the ideas of real projective space and complex projective space,
to the case where coordinates lie in the ring of quaternions H. Quaternionic projective space of dimension n is usually denoted by
\mathbb{HP}^n
and is a closed manifold of (real) dimension 4n. It is a homogeneous space for a Lie group action, in more than one way.
Projective line
From the topological point of view the quaternionic projective line is the 4-sphere, and in fact these are diffeomorphic manifolds.
The fibration mentioned previously is from the 7-sphere, and is an example of a Hopf fibration.
555:１３２人目の素数さん
14/05/24 10:38:04.35
>>554
このQuaternionicというのが、四元数で、下記
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
556:１３２人目の素数さん
14/05/30 21:48:13.71
これ、なかなかの名著です
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
四元数・八元数とディラック理論 [単行本] 森田克貞 (著)
商品の説明
内容紹介
四元数・八元数で記述された素粒子論を理解する。
内容（「BOOK」データベースより）
時空と四元数の関係には、従来のアプローチより深い階層が存在する。それを明らかにし、四元数・八元数を使って素粒子を記述する。歴史的記述や文献情報も豊富。
著者について
中部大学・名城大学非常勤講師
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
森田/克貞
1942年京都市に生まれる。
1964年京都大学理学部物理学科卒業。
1969年名古屋大学理学部助手。
1970年京都大学理学博士。
1971~72年カナダ・ダルハウジー大学に滞在。
1995年名古屋大学理学部助教授。
2005年名古屋大学大学院理学研究科退職。現在、中部大学非常勤講師、名城大学非常勤講師。専攻、素粒子論(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
557:１３２人目の素数さん
14/05/31 04:38:14.03
age
558:１３２人目の素数さん
14/05/31 04:50:17.76
ほー、こんなことが起こっていたのか！
(URLが通らないので、検索請う)
西村博之が２ちゃんねるを攻撃するのはホットリンクからの圧力が原因か 2014/04/15/ (火) ArtSalt
（抜粋）
電子掲示板２ちゃんねる (2ch.net) の管理人だった西村博之（にしむら・ひろゆき）が
2ch.**(**=sc) というパクリサイトをでっちあげて２ちゃんねるからデータを不法に無断転載して２ちゃんねるのクローンを管理運営している件。
この騒動をめぐっていろんな出来事が起きています。
オイラの力量で全体図を追うのは不可能なので本日（2014/04/15）に至るまでの数日間に起きた攻防だけをおおざっぱに並べてみます。つまり、
さくらインターネットのサーバーを借りている西村2chが本家2chを大規模なクローリング攻撃。本家2chに常軌を逸した負荷をかけることに成功。多くの板が落ちる。
本家2chがさくらインターネットを遮断。これによって西村2chは本家2chのクローンを作れなくなる。
西村2chはプロクシサーバーを利用して（？）クローン作業を再開。
本家2chはクローラーをリダイレクトし、スレッドのタイトルとレスを「転載禁止です」と改竄した偽のデータを喰わせる。（下のスクリーンショット2枚）。
西村2chが何らかの手段でこの防御をかわして正常なクローン作業を再開。（一説によると人海戦術による手動コピペ）。
…という流れです。一進一退の攻防です。プロクシサーバー云々のところをオイラはよく理解していないので間違った解釈かもしれません。
559:１３２人目の素数さん
14/05/31 17:19:24.10
これ（橋本 義武先生の）は、前にも紹介したかもしれないが、そうであればご容赦
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
橋本 義武 Yoshitake Hashimoto
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
新雑文集
URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
Milnor と Donaldson（続）
そして Donaldson の論文だが，Milnor につづく多様体のトポロジーの華々しい成果に重ね重ね賛辞を捧げた上で敢えてお叱りを恐れずに言うと，
それらがトリビアルに思えてしまうほどの（もちろんそういうわけではないのだが）衝撃である．何と言っても結果が文句なく強く，なおかつ方法が革新的であった．
方法の革新性については既に多くのことが語られているように思うので，ここでは端折る．
非線形偏微分方程式の解空間から多様体の交叉形式を知ることができる，という知らせによって，トポロジストの前に無限次元への扉が開いたというお話だが，
そもそも接／法ベクトル束以外のベクトル束を多様体のトポロジーに応用したことすら，はじめてだったんじゃないだろうか．
Donaldson の理論には，それまでのトポロジーにあまり似たものがない．ゲージ理論の応用と言うので物理から多くを学んだのかと思うとそうでもない．
（むしろ物理学者の方が Donaldson の理論に学び，約１０年経って Seiberg-Witten 理論を生む．
これは，物理の方での，従来の対象や問題について全くわかっていなかったことがわかった，というタイプの結果であって，
弦理論に批判的な，あるいは物理に現代数学を導入することに批判的な保守派物理学者たちにも有無を言わせないものがあった．）
Donaldson の理論が似ているのは，むしろ小平邦彦の仕事である．調和積分論，Riemann-Roch の高次元化，消滅定理，変形理論，複素曲面論（特にＫ３），いずれにも深い関わりがある．
560:１３２人目の素数さん
14/05/31 17:39:39.09
>>556
自費出版？
561:１３２人目の素数さん
14/05/31 17:58:34.79
関連で、こんなのがヒットした
URLﾘﾝｸ(www.mathunion.org)
ICM Proceedings 1893-2010 Based on joint work by R. Keith Dennis (Ithaca) and Ulf Rehmann (Bielefeld).
URLﾘﾝｸ(www.mathunion.org)
Michael Atiyah On the Work of Simon Donaldson
URLﾘﾝｸ(www.mathunion.org)
DONALDSON, S. K. The geometry of 4-manifolds.
562:１３２人目の素数さん
14/05/31 18:01:57.49
>>560
ども
自費出版？ かどうか不明だが、一冊買った。ジュンク堂で
563:１３２人目の素数さん
14/05/31 18:22:05.22
日本評論社
564:１３２人目の素数さん
14/05/31 18:40:17.25
>>563
ども
半自費みたいなのもあってね
売れなかったら、買い取り条件付き出版みたいな。半分詐欺っぽいのもある
日本評論社でそれはないという意味？
いま奥付見ると、2011.10.10 第１版第２刷発行なので
第１版第１刷が売れたので、追加印刷かけたということだな
565:１３２人目の素数さん
14/05/31 18:46:59.11
これ良く纏まっている
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Differential structure
ifferential structures on topological manifolds
As mentioned above, in dimensions smaller than 4, there is only one differential structure for each topological manifold.
That was proved by Johann Radon for dimension 1 and 2, and by Edwin E. Moise in dimension 3.[3]
By using obstruction theory, Robion Kirby and Laurent Siebenmann [4] were able to show that the number of PL structures for compact topological manifolds of dimension greater than 4 is finite.
John Milnor, Michel Kervaire, and Morris Hirsch proved that the number of smooth structures on a compact PL manifold is finite and agrees with the number of differential structures on the sphere for the same dimension
(see the book Asselmeyer-Maluga, Brans chapter 7)
By combining these results, the number of smooth structures on a compact topological manifold of dimension not equal to 4 is finite.
Dimension 4 is more complicated. For compact manifolds, results depend on the complexity of the manifold as measured by the second Betti number b_2.
For large Betti numbers b_2>18 in a simply connected 4-manifold, one can use a surgery along a knot or link to produce a new differential structure.
With the help of this procedure one can produce countably infinite many differential structures.
But even for simple spaces like S^4, {\mathbb C}P^2,... one doesn't know the construction of other differential structures.
For non-compact 4-manifolds there are many examples like {\mathbb R}^4,S^3\times {\mathbb R},M^4\setminus\{*\},... having uncountably many differential structures.
566:１３２人目の素数さん
14/05/31 22:50:55.89
本が落とせる
fURLﾘﾝｸ(89.249.165.127)
Dirac operators in Riemannian geometry - Friedrich - 引用元 305 2000
567:１３２人目の素数さん
14/06/01 11:14:06.28
>>509
>古田幹雄氏による『10/8定理』
PDFがあった
URLﾘﾝｸ(intlpress.com)
MONOPOLE EQUATION AND THE 11-8-CONJECTURE M Furuta Mathematical Research Letters 2001
568:１３２人目の素数さん
14/06/07 09:44:09.93
>>434
気になるので戻るけど
>で、高校数学を乗り越えて、大学数学にたどり着くと証明の嵐
>証明こそが数学だと思い知ることになるけどここでつまずく人が多数派だろう
>でも証明や論理展開が好きになる人もいる
>ここ見てる人は大半がこのパターンだろうがｗ
>証明わからなかったら定義だけはしっかり確認しようというのが自分自身への戒め
証明は、分かると、その（例えば定理の）数学的構造あるいは内容を反映したものだと見えてくる場合がある。
というか、そこまで進まないと勉強したと言えないかもね。
大きな定理は、山に例えられる場合がある。いくつもの定理の積み上げの後に、大定理の証明があり、そこが山頂だと。下から一歩一歩。
山頂から振り返ってみれば、自分の辿ってきた道が見え、山の構造が見える。
なぜ、こういう証明の道筋なのか。それは、山頂に立たないと見えてこないものかも知れない。
”証明わからなかったら定義だけはしっかり確認しようという”に加え、これは何をしようとしているのか？ 証明のゴールの確認（それは山頂でもあり、山頂へ至るキャンプ地かもしれない）。
定義とゴールとを確認して、「定義とゴールとを結ぶ道を示すことが証明なんだ」と。
そして、常に山の構造を意識しよう。自分はいま何合目に居るのかを。
569:１３２人目の素数さん
14/06/07 10:51:57.59
検索で、下記ヒット。これ面白いね
URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic Smoothness and Physics Differential Topology and Spacetime Models 2007
570:１３２人目の素数さん
14/06/07 11:06:05.46
>>569 補足
この本のP239 ”8.4 The First Constructions of Exotic R4”が
これ、松本氏の>>510 「増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫」URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
P198「R4上のエキゾチックな微分構造」を、詳しく解説した内容になっている。
さらに、P248 ”8.6 Explicit Descriptions of Exotic R4's”が抜群だね。Fig.8.3が良い。
571:１３２人目の素数さん
14/06/07 16:40:19.47
>>569 補足
この本の最終章が特に面白いね
Chapter 11
From Differential Structures to Operator Algebras and Geometric Structures
This chapter surveys some of the interesting interplay of exotic smoothness
with other areas of mathematics and physics. In the first section we consider
the “change” of a differential structure on a given TOP manifold to a differential
structure on a second manifold homeomorphic but not diffeomorphic
to the first one. Harvey and Lawson introduced the notion of singular
bundle maps and connections to study this problem. This leads to speculations
that such a process could give rise to singular string-like sources to
the Einstein equations of General Relativity, including torsion. The next
section deals with formal properties of a connection change and its relation
to cyclic cohomology, providing a relationship between Casson handles
and Ocneanus string algebra. This approach motivates introduction of the
hyperfinite II1 factor C* algebra T leading to the conjecture that the differential
structures are classified by the homotopy classes [M, BGl(T)+]. This
conjecture may have some significance for the the 4-dimensional, smooth
Poincark conjecture. The last section introduces a conjecture relating differential
structures on 4-manifolds and geometric structures of homology 3-spheres naturally embedded in them.
572:１３２人目の素数さん
14/06/07 16:59:26.71
>>569補足
>>394、 >>533の関連だね
573:１３２人目の素数さん
14/06/07 18:24:48.44
突然ですが
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
特任講師 -山下 剛- 京都大学 数理解析研究所
近年は, 望月新一氏による宇宙際幾何学のさらなる発展の方向性で同氏と共同研究をしている. 望月新一氏の計算においてabc予想の誤差項にRiemannゼータ関数との関連性を示唆する1/2が現れる.
一方, 同氏の宇宙際Teichmüller理論においてテータ関数が中心的役割を果たすのであるが,
テータ関数はMellin変換によってRiemannゼータ関数と関係する.
これですね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann zeta function
7 Representations
7.2 Mellin transform
7.3 Theta functions
URLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp)
Eisenstein 級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数 佐藤文広 1996
URLﾘﾝｸ(www.takasaki-hs.gsn.ed.jp)
Laplace変換をめぐる数学（科学）への旅 SSH課題研究 高崎高校 2004
574:１３２人目の素数さん
14/06/07 21:40:28.40
>>569-571
URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic Smoothness and Physics Differential Topology and Spacetime Models 2007
Exoticな時空が、物理学にどう影響するのか
そこを詳しく書いている
名著だと思う
575:１３２人目の素数さん
14/06/08 05:33:04.15
>>574
著者
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
Torsten Asselmeyer-Maluga PhD Researcher
German Aerospace Center (DLR)
About
The differential or smoothness structure of a topological manifold (if it exists) can be non-unique.
In all dimension except 4 there are only a finite number of different (i.e. non-diffeomorphic) smoothness structures.
But dimension 4 is exceptional.
Here there are an infinite number of different smoothness structures,
countable infinite for most compact and uncountable many for many non-compact 4-manifolds.
But what is the physical meaning of this fact, that is my main research program.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Carl Henry Brans (born December 13, 1935) is an American mathematical physicist
best known for his research into the theoretical underpinnings of gravitation elucidated in his most widely publicized work, the Brans–Dicke theory.
Recently Brans began study of developments in differential topology concerning the existence of exotic (non-standard) global differential structures and their possible applications to physics.
This work includes looking at the exotic 7-sphere of Milnor as an exotic Yang-Mills bundle,
and most especially the infinity of exotic differential structure on Euclidean four space (exotic R4) as alternative models for space-time in general relativity.
Much of this work has been done in collaboration with Torsten Asselmeyer-Maluga of Berlin.
In particular, they made the proposal that exotic smoothness structures can be resolve some of the problems in cosmology like dark matter or dark energy.
Together they published a book, Exotic Smoothness and Physics World Scientific Press, 2007.
576:１３２人目の素数さん
14/06/08 08:29:40.18
>>533
いま気付いたが、このScorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I. URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
について松本氏（「増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫」URLﾘﾝｸ(astore.amazon.co.jp) ）>>510が、
「11/8予想の書き方が悪い」と注文を付けているね。（増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫」P237）
577:１３２人目の素数さん
14/06/14 00:34:04.56
>>559
>方法の革新性については既に多くのことが語られているように思うので，ここでは端折る．
>非線形偏微分方程式の解空間から多様体の交叉形式を知ることができる，という知らせによって，トポロジストの前に無限次元への扉が開いたというお話だが，
>そもそも接／法ベクトル束以外のベクトル束を多様体のトポロジーに応用したことすら，はじめてだったんじゃないだろうか．
>
>Donaldson の理論には，それまでのトポロジーにあまり似たものがない．ゲージ理論の応用と言うので物理から多くを学んだのかと思うとそうでもない．
>（むしろ物理学者の方が Donaldson の理論に学び，約１０年経って Seiberg-Witten 理論を生む．
松本氏（「増補新版 4次元のトポロジー：松本幸夫」URLﾘﾝｸ(astore.amazon.co.jp) ）>>510が、書いているが
まあ４次元は特殊な次元で、exoticな微分構造があふれている
Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I. URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk) には
閉には加算無限、開には非加算無限のexoticな微分構造が入りうるという予想が
そうだとすれば、４次元のexoticな微分構造は、有限の代数的トポロジーの指標（ホモロジーなど）では捉えきれない存在（それが本質）
であれば、微分構造の差を見るには、微分を使う力学系の指標が良いんでないの？ それしかない。それが、DonaldsonでありSeiberg-Wittenであったと
578:１３２人目の素数さん
14/06/14 05:47:02.91
>>574 補足
URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic Smoothness and Physics Differential Topology and Spacetime Models 2007
より
11.2.4 Geometric structures on %manifolds and exotic differential structures
To summarize, we hope to have provided support for the conjecture:
Conjecture: The differential structures on a simply-connected compact, 4-manifold M are determined by the homotopy classes [M, BGl(T)+] and
by the algebraic K-theoy K3(T) where T is the hyperfinite II1 factor C*-algebra.
The classes in K3(T) are given by the geometric structure and/or a codamension-1 foliation of a homology 3-sphere in M determining the Akbulut cork of M.
From the physical point of view, this conjecture is very interesting
because it connects the abstract theory of differential structures with well-known structures in physics like operator algebras or bundle theory.
Perhaps such speculations may provide a geometrization of quantum mechanics or more.
We close this section, and book, which these highly conjectural remarks.
579:１３２人目の素数さん
14/06/14 05:55:46.39
>>578 補足
>Conjecture: The differential structures on a simply-connected compact,
これ、微分ポアンカレ予想の拡張になっている
（ 参考 URLﾘﾝｸ(www1.gifu-u.ac.jp) ）
580:１３２人目の素数さん
14/06/14 06:12:06.30
>>576 補足
Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I. URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Epilogue
Under the light of the various examples seen in this book, it seems reasonable to conjecture that,
if a topological 4-manifold admits a smooth structure at all, then it might admit infinitely many.
While gauge theory was how the door was opened on those vast unexplored realms, it might not be how these will be charted.
We have seen that there are whole realms where the Seiberg-Witten invariants cannot help us.
For example, the theory is blind on 4-manifolds that admit metrics of positive scalar curvature,
on homology 4-spheres (which in particular leaves the smooth 4-dimensional Poincare conjecture with no solution in sight),
on all manifolds with hi even, and in general on 4-manifolds that are far from complex.
More, gauge theory offers only negative results (as in "two manifolds are not diffeomorphic").
Indeed, the field of 4-manifolds lacks enough techniques for obtaining affirmative results (as in "two manifolds are diffeomorphic").
Looking back, the only affirmative results we encountered came either from ad hoc constructions, from Kirby calculus, or from complex geometry.
The field also lacks techniques for building enough examples, which might one day be organized into any sort of classification scheme.
We are lost in an ever-growing jungle.
Hence the final conclusion of this volume can only be that
We know that we don't know.
This only makes it all the more exciting ...
581:１３２人目の素数さん
14/06/14 06:26:02.79
>>580 訂正
on all manifolds with hi even,
↓
on all manifolds with b2+ even,
582:１３２人目の素数さん
14/06/14 12:36:27.82
>>577-579
>閉には加算無限、開には非加算無限のexoticな微分構造が入りうるという予想が
>そうだとすれば、４次元のexoticな微分構造は、有限の代数的トポロジーの指標（ホモロジーなど）では捉えきれない存在（それが本質）
>であれば、微分構造の差を見るには、微分を使う力学系の指標が良いんでないの？ それしかない。それが、DonaldsonでありSeiberg-Wittenであったと
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
AdS/CFT対応の実例は、AdS7ｘ S^4 上のM-理論は、6次元のいわゆる (2,0)-理論に等価であろうという例である。[27]
この理論は、古典的極限（英語版）を持たない量子力学の理論であるので、いまだ少ししか理解されていない。[28]
この理論を研究することに内在的な困難さがあるが、物理学と数学の双方にとって、様々な理由からこの理論は興味ある対象と考えられている。[29]
（引用おわり）
４次元は、高次元の数学的理論が使えない。DonaldsonやSeiberg-Wittenみたく、微分構造に敏感な対象を物理から借りてくる
AdS7ｘ S^4 上のM-理論なんか面白そう。微分構造依存性が解明できれば、S^4にexotic微分構造を構築できるかも・・
583:１３２人目の素数さん
14/06/14 12:54:33.25
>>582
補足
引用文献
29^ See Moore 2012 and Alday, Gaiotto, and Tachikawa 2010.
これ Moore 2012が日本語版では抜け 英語版にある
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Moore, Gregory (2012). "Applications of the six-dimensional (2,0) theories to Physical Mathematics". Retrieved 14 August 2013.
URLﾘﾝｸ(www.physics.rutgers.edu)
これがなかなか名著
584:１３２人目の素数さん
14/06/14 13:11:53.08
>>583
補足
> 29^ See Moore 2012 and Alday, Gaiotto, and Tachikawa 2010.
Tachikawaは、検索で結構ヒットする。引用多い
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories Yuji Tachikawa 2010
URLﾘﾝｸ(www-hep.phys.s.u-tokyo.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www-hep.phys.s.u-tokyo.ac.jp) 中島先生や長尾くんにならって、論文の背景についてコメントを書いてみようかと思いました。
URLﾘﾝｸ(www.s.u-tokyo.ac.jp) 漢字名
585:１３２人目の素数さん
14/06/14 13:28:01.88
>>582 補足
(2,0)-理論関連で、こんなのがヒット（結構新しいので紹介）
URLﾘﾝｸ(www.phys.vt.edu)
Selected recent talks
Talk at Heterotic strings and (0,2) QFT (Texas A&M, April 28 - May 2, 2014) on Recent developments in 2d (0,2) theories
URLﾘﾝｸ(www.phys.vt.edu)
Talk at TU Wien (physics) on March 10, 2014 on Duality in two-dimensional nonabelian gauge theories.
URLﾘﾝｸ(www.phys.vt.edu)
586:１３２人目の素数さん
14/06/14 21:24:20.34
>>580
>We have seen that there are whole realms where the Seiberg-Witten invariants cannot help us.
>For example, the theory is blind on 4-manifolds that admit metrics of positive scalar curvature,
>on homology 4-spheres (which in particular leaves the smooth 4-dimensional Poincare conjecture with no solution in sight),
>Hence the final conclusion of this volume can only be that
>We know that we don't know.
>This only makes it all the more exciting ...
”by the algebraic K-theoy K3(T) where T is the hyperfinite II1 factor C*-algebra ”>>578とあるけれども
一方、AdS/CFT対応から、突破口・・みたいなことを夢想しないでもない
AdS/CFTは，>>302>>435>>472>>582にも紹介してあるが・・
新しいところでは、下記
URLﾘﾝｸ(www.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
AdS-CFT対応と物性物理 高柳匡 京大 2013
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
ゲージ・重力対応とその応用 ppt版 中村真 京大 2010
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
ゲージ・重力対応とその応用 論文版 中村真 京大 2010
587:１３２人目の素数さん
14/06/15 18:50:17.79
>>566 関連PDF
新しい
URLﾘﾝｸ(www.mathematik.uni-marburg.de)
Dirac operators in Riemannian geometry Thomas Friedrich Torino February 2014
URLﾘﾝｸ(www.euro-math-soc.eu)
The European Mathematical Society
School "CARNIVAL DIFFERENTIAL GEOMETRY" Start: Feb 24 2014 - 12:00
Short description of the event:
The School is mainly targeted at PhD students and young researchers working in the field of differential geometry. The aim is to expose participants to current research and point to applications.
At the heart of the school are two mini-courses, consisting of four 90' lectures each, that will start from the basics and reach the latest results.
Lecturers:
Ilka Agricola (Marburg): "Non integrable geometries, torsion, and holonomy"
Thomas Friedrich (HU Berlin): "Dirac operators in Riemannian geometry"
588:１３２人目の素数さん
14/06/21 22:35:26.55
これが面白そう
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
On the origin of inflation by using exotic smoothness
T Asselmeyer-Maluga 著 - ‎2013 - ‎引用元 3 - ‎2013/01/16
URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)
Inflation and Topological Phase Transition Driven by Exotic Smoothness
Torsten Asselmeyer-Maluga1 and Jerzy Król2 Published 19 March 2014
589:１３２人目の素数さん
14/06/21 22:41:27.25
>>588
>On the origin of inflation by using exotic smoothness
これ、Casson handleを物理的な計算対象として扱っている
そこが、面白いと
590:１３２人目の素数さん
14/06/22 08:11:28.73
>>588
補足
Inflation (cosmology) >>409>>407
宇宙は、いま膨張し続けているという
過去にさかのぼれば、137億年前は砂粒より小さな一点から宇宙が始まった（ビッグバン）という>>181-182
しかし、その始まりはいまのほぼ平坦なミンコフスキー空間>>531であるはずもない
なぜなら、いま我々が暮らす宇宙のミンコフスキー空間は大質量が一点に集まれば、ブラックホールを生じるはず
宇宙の始まりは、いまの宇宙とは時空の性質が違っていたと考えるしかない
それは、M理論いうところの１１次元だったろうか？>>344-345
いま我々が暮らす宇宙とは異なる性質の時空から宇宙は始まり、Inflationからビッグバンなどの真空の相転移（偽の真空参照）を経て、現在になった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
偽の真空（ぎのしんくう・False vacuum）とは、基底状態のエネルギーが高い、準安定状態の真空を示す語である。
偽の真空が、より低いエネルギーの低い状態の真空に移行した場合、その真空は対義語として真の真空（しんのしんくう・True vacuum）と呼ばれる。
宇宙誕生から10-36秒から10-34秒後に発生したインフレーション期に、我々の宇宙は偽の真空から真の真空へ相転移したとされているが、
実は今の真空は未だ完全な真の真空ではないという理論もある[1][2][3][4][5][6]。
（引用おわり）
ミンコフスキー空間＝3D+t(時間)の計４次元
４次元のexoticな構造の存在と、Inflation (cosmology) が関係しているというのが、Torsten Asselmeyer-Maluga氏の研究
逆に、このような４次元のexoticな構造の物理からの研究成果が、数学の側に影響を与える可能性がある
Donaldson>>168やWitten>>305-306のように・・
要は、無限にある４次元のexoticな微分構造は、有限の代数的トポロジーの指標（ホモロジーなど）では捉えきれない存在（それが本質）
であれば、微分構造の差を見るには、力学系の指標が良い>>577
591:１３２人目の素数さん
14/06/22 12:38:50.70
>>568 補足
>証明は、分かると、その（例えば定理の）数学的構造あるいは内容を反映したものだと見えてくる場合がある。
>というか、そこまで進まないと勉強したと言えないかもね。
定理の証明の背後にある数学的構造
そこから導かれる証明の道筋
それが見えるかね？
というか、それを意識して証明を読むべき
>山頂から振り返ってみれば、自分の辿ってきた道が見え、山の構造が見える。
>なぜ、こういう証明の道筋なのか。それは、山頂に立たないと見えてこないものかも知れない。
証明が出てから、それを読んでみる
数学的構造が見えれば、別証明が浮かぶこともある
ある人にとって、数学的構造が類推できるレベルの人いる
そのレベルの人は、「証明は自分で考える方が理解しやすい（人の書いた証明は分かり難い）」なんていう人も居たりするね（そんな話を読んだことがある）
592:１３２人目の素数さん
14/06/22 18:00:21.58
>>591
証明でね、ペレリマン>>322の3次元ポアンカレ予想の証明の本を読んでみたんだ
リッチフローと幾何化予想 小林亮一 著>>318
証明を理解しようというつもりはなくて
なぜ、いままでのトポロジーの手法では解けなかったのか？ リッチフローは本質なのか？ そこがどうだったのかと
リッチフローは本質なのか？：Yes
なぜ、いままでのトポロジーの手法では解けなかったのか？：
１）リッチフローという目で見たときに、特異点を生じる場合がある。この処理が、従来のトポロジーの手法では簡単ではないこと
２）リッチフローで特異点を生じた後手術で特異点を取り除いてさらにリッチフローを続ける。これが無限につづく場合がある。ペレリマンはこの場合も問題ないことを証明した。
しかし、このような場合を処理することは、従来のトポロジーの手法では簡単ではない
これは、私の個人的な感想にすぎないので、専門家の目から見ると間違っているかもしれない
しかし、トポロジーにリッチフローという手法を導入したハミルトン。リッチフローをきちんと使えるようにしたペレリマン
これは、やはり本質的革命だったのでは。従来のトポロジーの手法の延長線では、3次元ポアンカレ予想は解けなかったし、今後も解ける（従来のトポロジーの手法の延長線で別証明が出る）ことはないだろう
593:１３２人目の素数さん
14/06/28 05:47:18.49
ほい
URLﾘﾝｸ(prac.us.edu.pl)
XXXIII International Conference of Theoretical Physics
MATTER TO THE DEEPEST: Recent Developments in Physics
of Fundamental Interactions, USTROŃ'09
URLﾘﾝｸ(prac.us.edu.pl)
Exotic Smooth 4-Manifolds and Gerbes as Geometry for QG Jerzy Król Matter to the Deepest USTRO‹ 2009
URLﾘﾝｸ(prac.us.edu.pl)
Exotic Smoothness and Astrophysics Jan Sładkowski Matter to the Deepest 2009 Ustroń – Poland
594:１３２人目の素数さん
14/06/28 05:56:53.97
>>593 補足
上記Krol氏のpdfのP10/19に
”In the AdS/CFT correspondence the exotic 4-structures can cause the
additional susy breaking (important for approaching the realistic QCD).”とあって
”一方、AdS/CFT対応から、突破口・・みたいなことを夢想しないでもない ”（ >>586）と関連しているねと
やっぱ、exotic 4-structuresの突破口は、物理からやってくるのか
595:１３２人目の素数さん
14/06/28 06:05:43.69
こんなのがあった
URLﾘﾝｸ(www.physicsoverflow.org)
The properity of R4 that has infinite differential structures is related to Yang-Mills field? This post imported from StackExchange Physics at 2014-05-04
1 Answer
I will only address the question to know why R4 admits some non-standard, "exotic", differentiable structure.
The question to know why there are infinitely many (and even uncountably many) examples simply requires an extension of the same kind of techniques.
There are several ways to construct examples of exotic R4.
All use some deep results of topological nature due to Freedman and some deep results of differentiable nature due to Donaldson.
I don't know if the results of Freedman have any physical interpretation.
The Yang-Mills theory appears in Donaldson's results, on the differentiable side
(one needs a differentiable structure to write partial differential equations).
Here is a sketch of one of the standard construction.
（以下略）
596:１３２人目の素数さん
14/06/28 06:13:34.47
こんなのもご参考に
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Tangent bundles of exotic manifolds edited Aug 17 '13
1 Answer
Milnor gives an example of two homeomorphic smooth manifolds whose tangent bundles are not isomorphic as vector bundles, see his ICM-1962 address, Corollary 1. I think, this was the first such example.
597:１３２人目の素数さん
14/06/28 11:41:13.88
>>593 補足
Gerbes
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a gerbe is a construct in homological algebra and topology. Gerbes were introduced by Jean Giraud (Giraud 1971) following ideas of Alexandre Grothendieck as a tool for non-commutative cohomology in degree 2.
They can be seen as a generalization of principal bundles to the setting of 2-categories. Gerbes provide a convenient, if highly abstract, language for dealing with many types of deformation questions especially in modern algebraic geometry.
In addition, special cases of gerbes have been used more recently in differential topology and differential geometry to give alternative descriptions to certain cohomology classes and additional structures attached to them.
"Gerbe" is a French (and archaic English) word that literally means wheat sheaf.
598:１３２人目の素数さん
14/06/28 19:59:43.97
>>590 補足
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp) 四元数・八元数とディラック理論 森田克貞 >>556関連でもある
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(hypercomplex.xpsweb.com)
URLﾘﾝｸ(hypercomplex.xpsweb.com)
Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics Scienti¯c Journal 2004(1)
URLﾘﾝｸ(hypercomplex.xpsweb.com)
Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics Scienti¯c Journal 2004(2)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
非可換な可微分多様体についての研究も非可換幾何の研究の大きな部分をなしている。
通常の可微分多様体はその上のなめらかな関数のなす可換環と、接束、余接束などのベクトル束へのなめらかな切断によって特徴づけられる。
これら切断の空間はなめらかな関数のなす代数上の加群の構造を持っている。
また、この代数上の微分写像を理解するためには外微分やリー微分、共変微分の概念が重要な役割を果たす。
非可換な場合には、問題になっている代数が非可換となり、微分形式の環と、外微分の概念を非可換環に対して意味を持つように定式化する必要がある。
ジョン・フォン・ノイマンによる作用素環論の創始において既に、作用素環は量子力学的な物理量に対する「座標」をあたえるための系として用いられている。
その後ゲルファント・ナイマルクの定理などを通じて可換な作用素環が古典的な幾何学の対象に対応しており、
非可換な作用素環論にも数々の類似が存在することや、古典的な理論の枠組みでは病的とも見なされるような対象が非可換な作用素環によって取り扱えることが認識されるようになった。
アラン・コンヌによる非可換幾何学の研究で用いられた技法の一部はより古い理論、例えばエルゴード理論にたどることができる。
閉部分群による商として得られる等質空間への作用の類推から、任意のエルゴード的群作用を仮想的な部分群と見なすというジョージ・マッケイによる発想などが積極的に利用されている。
599:１３２人目の素数さん
14/06/29 06:04:11.22
”Riemann Hypothesis solved through physics-math in new cosmological model ”
検索でヒットしたが、半分ジョークです。 the Netherlands, independent cosmologist.
世の中いろんな考えがあると
URLﾘﾝｸ(vixra.org)
URLﾘﾝｸ(vixra.org)
Riemann Hypothesis solved through physics-math in new cosmological model: the Double Torus Hypothesis.
Author: Dan Visser, Almere, the Netherlands, independent cosmologist.
Date: July 23 2013
600:１３２人目の素数さん
14/06/29 08:58:32.10
>>598
アラン・コンヌによる非可換幾何学とRiemannで検索したら下記ヒット
修士論文らしいが、証明が一つもない(>>591関連)
文系の論文かとおもうくらい
日本では通らないように思うが、なにかのご参考に
URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu)
On Riemann’s 1859 paper “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”and Its Consequences by Joseph W. Cutrone
A thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science Department of Mathematics
New York University September 2005
601:１３２人目の素数さん
14/06/29 12:22:58.67
こんなのがヒットした
URLﾘﾝｸ(phasetr.blogspot.jp)
2013年4月19日金曜日
数論と相転移に付随する自発的対称性の破れ：Connes 論文と新井論文の紹介
数論 (代数的整数論) での両側剰余類の話が出てきた. 私自身は使ったことないが, Connes の数論での相転移論文にも出てきたことを思い出した.
Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory
URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org)
という論文だが, 学生時代は学生時代できちんと読もうとして訳が分からず挫折した経緯があり, 結局あまり内容を把握していない.
時々 Twitter でネタにするので, この機会に軽く眺めてみようと思い, 自分用メモとして残しておく.
あと, 関係する話として新井先生の
Infinite dimensional analysis and analytic number theory
URLﾘﾝｸ(eprints3.math.sci.hokudai.ac.jp)
という話もある. 両方とも量子統計と数論の関係がテーマで, 分配関数が Riemann の ζ になる, という話.
新井先生の論文の方は直接的に Fock 空間と第 2 量子化作用素の話をしていて, 数学的にはこちらの方が簡単で読みやすい.
ただ, 基本的には全く違う話なので両方読み比べた方が楽しいだろう.
では Bost-Connes 論文のメモに入る. 念の為, 先に書いておくと, (量子) 統計や相転移の物理については田崎さんの本がいいだろう.
作用素環で相転移を扱うという場合, とりあえず量子統計のセッティングで話をする. 特に C∗ (または W∗) 力学系の話になる. そこで分配関数が ζ になる, という方向に持っていく.
以下略
602:１３２人目の素数さん
14/06/29 22:54:53.79
最近リンクばかりはってるけど理解はできてないやつなんなの？
603:１３２人目の素数さん
14/07/05 05:01:30.83
>>602
ども
>最近リンクばかりはってるけど理解はできてないやつなんなの？
１．最近ではなく、ずっと前からだよ
２．それから、”理解”について、こう思うんだ。（参考 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
「アメリカを理解する」ということを考えてみる
ネット検索をするといろいろ情報が得られる。例えば URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
でもね、これ読んで「アメリカを理解した」と言えるかどうか
こんな程度では不足だと、実際に現地に行ってみる。しかし、行ってみても、限りがある
３．だから、人は自分に必要だと思う範囲で「理解した」ということで、日常的には成り立っている。それで良いと思うんだよね
「おれの方が深くアメリカを理解している。おれは１０年アメリカに住んでいる」と、他人のアメリカの理解を批判しても、日常的にはあまり意味ない
その他人にしてみれば、「この程度の理解で当面用は足りる。１０年アメリカに住めば理解は深まるだろうが、非現実的だ」と
４．つまりは、数学にしても、「この程度の理解で当面用は足りる。１０年この分野を研究している人の理解には及ばないだろうが」と。そういうスタンスです
要は、こっちは数学でメシ食っているわけじゃないし、ある程度の知識があって、生活や仕事に困らない程度の理解で間に合う。必要なら掘り下げる
604:１３２人目の素数さん
14/07/05 05:36:57.41
>>603 補足
>最近リンクばかりはってるけど理解はできてないやつなんなの？
１．数学板では、基本的に数学記号不可。ほぼ日常言葉しか使えない
２．そういう環境の掲示板に来て、”最近リンクばかりはってるけど”という批判が意味不明
３．昔、Kummer氏というコテの人が居て、数学の証明を苦労して数学板で書いていた。例えば下記
ｽﾚﾘﾝｸ(math板) 【Kummer's】代数的整数論024【Mathematical Note】
４．で、おれはあるとき、批判したんだよね。発言は過去スレにあるが、確か「数学記号不可の掲示板で、本格的な証明書くのが無理じゃない？」というような
５．２CHと対照的なのが、MathOverflow URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) こちらは、LaTeXをサポートしているし、Terence Taoが出没している。
６．専門的にやりたいなら、MathOverflow へどうぞ
７．結局、戻るけど、数学記号不可の環境で、リンク貼りは数学的に価値ある情報を伝える大切な手段
８．TeX使えないほぼ日常言葉の板に来て、リンクばかりはってると批判するけど、主張に矛盾を感じるのはおれだけ？
繰り返すが、そういう人は”MathOverflow へどうぞ”と思うよ
605:１３２人目の素数さん
14/07/05 05:41:04.90
>>603
長年アメリカに住んでいる人のほうが
偏見が酷いかもしれない。
バランスは必要だよね。
606:１３２人目の素数さん
14/07/05 07:43:58.46
>>603 補足
>最近リンクばかりはってるけど理解はできてないやつなんなの？
理解について補足
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
学校では教えてくれない数学 2010年09月04日 ガロア理論を理解していないと思った瞬間（抜粋）
理解していると思い込んでいた私が、実はそうではなかったと思える瞬間がありました。
それは、以下の問題の解答がすぐに出てこなかったときです。
問題
有限次代数拡大Ｌ／Ｋ と Ｇ＝Ａｕｔ（Ｌ／Ｋ）に関して、以下の条件は同値であることを示せ。
（１）Ｌ／Ｋ は 正規拡大 かつ 分離拡大
（２）Ｌ^Ｇ＝Ｋ
（３）[Ｌ：Ｋ]＝｜Ｇ｜
（４）拡大体Ｌ／Ｋ は多項式環Ｋ[Ｘ]内のある分離的多項式の最小分解体
これって基本的ながら重要なポイントを含んでいると思い、ガロア理論を分析しながら見直して、ついてはガロア理論ミニマムの体論部分の抽出へとつながったのでした。
これが見えてくると、いろんなガロア理論の本を読んで、
・この本は分離拡大の記述（分析）がうすいなー
・あの本は、正規拡大の特徴づけの記述が偏っているなー
という比較検討ができて面白く読めるようになってきました。
と同時に、シュタイニッツ、アルチンの偉大さとガロアの思想を今世紀の数学者の多くが伝えきれていないことを痛感させられたのでした。
「（代数系を専門にしている）数学者にだって、ガロア理論の記述・説明は簡単ではない！」
（ガロアが啼いている！）
私が理解していないと思ったとき、何回も読み返しながら理解していった本が次の本です。
足立恒雄 ガロア理論講義[増補版] 日本評論社
607:１３２人目の素数さん
14/07/05 07:50:58.54
>>605
どもです。同意です。
加えて、なんのために知りたい、あるいは理解したいのか
なにか疑問に思ったからでも良いけど
で、さらに加えると、人の知と寿命は有限だから、へんに完璧を目指した理解をしようと努力しても、「アメリカを理解する」を例にしたように実用的ではないとなる場合が多い
608:１３２人目の素数さん
14/07/05 07:54:33.15
>>606
理解について補足の追加
URLﾘﾝｸ(commutative.world.coocan.jp)
ガロア理論のシナリオ あやたろう (2013年10月28日 06:49)
大学時代、将棋部に所属していて、そこにはなぜか数学科の人が多く、何かと付き合うことになった。
そこで聞いた話としては、宮野悟氏のような卓越した人はともかくとして、
平均的な数学科の学生にとって、ガロア理論や、それを応用した、５次以上の代数方程式が、一般的には代数的には解けないということの証明などを理解することが１つの目標で、しかもそれはなかなか困難だということだった。
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。
それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。幾何的なイメージなしには進むことができない人もいれば、むしろ逆に、非常に形式化されてがちがちに論理的な進み方をしないとわかったような気がしない、という人もいると思う。
だから、何か数学的な知識の必要があった場合、何冊にもチャレンジして自分に合った教科書を探すのがベストだと思う。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
609:１３２人目の素数さん
14/07/05 08:04:24.43
>>606
宮野 悟、小島 寛之氏について補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
宮野 悟（みやの さとる、1954年12月5日 - ）は、日本の遺伝学者[2]、情報科学者。専門は、システム生物学、バイオインフォマティクス。遺伝子ネットワーク探索研究の先駆者として知られる。
1977年九州大学理学部数学科卒、1979年同大学大学院理学研究科修士課程数学専攻修了、1979年同大学理学部助手、1985年同大博士号(理学)取得、Ph.D。「Hierarchy theorems in automata theory(オートマトン理論における階層定理)」[3]
1987年九州大学理学部附属基礎情報研究施設助教授、1993年同研究施設教授を経て[2]、1996年より東京大学医科学研究所ヒトゲノム解析センター教授、東京大学大学院情報理工学系研究科教授。
2000年から2005年にかけて(2003年3月からの1年を除く)、東京大学医科学研究所 副所長。
2013年7月、日本人として初めて ISCB Fellow に選出。[4]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
小島 寛之（こじま ひろゆき、1958年 - ）は、日本の経済学者（東京大学博士（経済学））、数学エッセイスト。専門は、数理経済学。帝京大学教授。
東京都生まれ。東京大学理学部数学科卒業。中学生のときから数学者になることを夢見ていたが、大学院入試に3度落第し挫折。
東大を卒業後、塾講師となり中学生に数学を教える。
市民講座で宇沢弘文の講演を聴き（弘文の息子達とは東大数学科の同期生）、経済学と出会う。東京大学大学院経済学研究科へ進学。同大学博士課程満期退学。
2000年帝京大学経済学部専任講師、2004年帝京大学経済学部助教授/准教授、2010年帝京大学経済学部教授。
610:１３２人目の素数さん
14/07/05 08:16:49.57
>>608-609
宮野 悟、小島 寛之氏について補足して、何が言いたいのか？ それは下記
１．どちらも数学科出身だけど、数学以外の分野で活躍している
２．小島 寛之氏の方は、”ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。”という
３．宮野悟氏は、ガロア理論を理解する卓越した人だと
４．でも、どっとの行き方もありじゃない？ そのとき、自分が必要と思うだけ勉強して、チャレンジして自分なりに深いところまで理解したと思ったら。
５．戻ると、「おまえリンク貼っているけど理解できてないだろ」>>602と言いたいんだろうけど、「べつにー」「それがどうしたー」と。
６．この分野で論文書くつもりもなく、シャーロックホームズの代わりに読んでいるんで、「これで良いのだー！」と。どっかで、仕事に使えるかもしれんしね
611:１３２人目の素数さん
14/07/05 09:55:56.55
>>610
訂正
４．でも、どっとの行き方もありじゃない？
↓
４．でも、どっちの行き方もありじゃない？
612:１３２人目の素数さん
14/07/05 16:15:39.61
>>610 補足
理解について、普通二つの方策があると思う
一つは、一歩ずつきちんと理解してから次の一歩へ
一つは、分からなくとも先へ進む。先へ進むことで、「あのときのあれは、こういう意味だったんだ」と分かることも多い
普通、この二つを使い分ける
でもね、大学以上、特に社会人になったら、後者のやり方が増える。それで良いと思う。
一つ論文を読む。分からないところがある。別の論文を読む。それで分かる場合も多い。それを繰り返す。
でもあるとき、もう少ししっかり基礎固めをしようと、きちんと自分の理解を一歩一歩固める。
この二つをうまく使い分けることが大事じゃないか
613:１３２人目の素数さん
14/07/05 17:11:59.74
>>601 関連
URLﾘﾝｸ(www.alainconnes.org)
NONCOMMUTATIVE GEOMETRY AND THE RIEMANN ZETA FUNCTION Alain Connesの
P12 ”The C algebra closure of HC is Morita equivalent (cf. M. Laca) to the crossed product C algebra,”
Morita？ 検索すると下記。あまり知られていないが、森田紀一さんすごいね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Morita equivalence
In abstract algebra, Morita equivalence is a relationship defined between rings that preserves many ring-theoretic properties. It is named after Japanese mathematician Kiiti Morita who defined equivalence and a similar notion of duality in 1958.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
Arhangelskii, A.V.; Goodearl, K.R.; Huisgen-Zimmermann, B. (June–July 1997), "Kiiti Morita 1915-1995" (PDF), Notices of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society) 44 (6): 680–684
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田紀一
URLﾘﾝｸ(pantodon.shinshu-u.ac.jp)
Morita equivalence
Morita 同 値 という 概 念 はどんどんその 適 用 範 囲 を 広 げている 。
元 々 は , 森 田 紀 一 氏 によ っ て [ Mor58 ] で 導入 された 環 の 間 の 同 値 関 係 であるが , 今 や operad や groupoid など 他 の 代 数 的 構 造 や 圏 論 的 構 造 にも Morita 同 値 の 概 念 が 拡 張 さ れ , 盛 んに 使 われている 。