14/04/27 07:05:43.93
>>486
つづき
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４次元の特殊性
（抜粋）
【８】まとめ
４元数の存在が４次元の特殊性の重要な一側面を表していることを説明したのですが，回転群の階数とパラメータの次元をまとめると
ＳＯ（２） １次元
ＳＯ（３）＝Ｂ2 ３次元
ＳＯ（４）≒ＳＯ（３）×ＳＯ（３） ６次元
ＳＯ（５）＝Ｂ3 １０次元
ＳＯ（６）＝Ｄ3 １５次元
となります．ｎ＝４が例外であることが，このことからもみてとれるというわけです．
［補］ミルナーの定理（エキゾチックな球面）
通常の微分構造が球面を除いた２７個はエキゾチックな球面と呼ばれます．
「７次元球面には８次元ユークリッド空間の単位球面とは異なる微分構造が入る」といっても，これだけでは何が何だか意味不明ですが，位相同型であっても微分同相にならない，すなわち，なめらかさの構造がまったく異なるというのです．
しかし，微分構造とか微分同型写像とかの意味はよくはわからなくても，ミルナーの発見が衝撃的な事実であることはすぐに理解できます．
われわれは，微分という言葉を何気なく使っていますが，微分が１種類とは限らないというのは直観に反していて実に驚くべきことであり，当時，ほとんどだれも予想し得なかったことだからです．ミルナーはこの業績でフィールズ賞を受けました．
球面に許される微分構造の数を表にしてみると，
球面の次元 微分構造 球面の次元 微分構造
１ 1 ９ 8
２ 1 10 6
３ 1 11 992
４ 1 12 1
５ 1 13 3
６ 1 14 2
７ 28 15 16256
８ 2
このように，微分構造に関しては次元に関する制約がでてくるので，７次元以上では本質的に異なっていると考えられるのです．