14/04/27 07:01:20.77
>>485
つづき
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４次元の特殊性
（抜粋）
【６】４次元回転群
２次元の回転，３次元の回転の個々の元がどういうものであるかは前項で述べたとおりです．次に，４次元の回転群を考える順番です．
前節より，ＳＯ（４）は６次元なのですが，
ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2＝１
すなわち，４次元ユークリッド空間Ｒ^4内の３次元単位球面Ｓ^3上の運動と同一視できることから，３次元分を説明することができます．
また，４次元ユークリッド空間Ｒ^4を４元数Ｈと同一視（Ｒ^4＝Ｃ^2＝Ｈ）するとき，４次元の回転は４元数を用いて記述することができますが，残りの３次元については，このことを用いて説明されます．
すなわち，複素数による回転のときの純虚数（ｚ~＝－ｚ）のアナロジーとして，純４元数（ｑ~＝－ｑ）を考えると，
ｑ＝ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ → ｑ・ｑ~＝ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2
より，３次元ユークリッド空間Ｒ^3の元の長さを変えない回転運動と同一視できることになります．
以上のような考察から，４次元回転群の構造は（符号の差を除いて）３次元回転群２個の直積と同一視できることになります．
ＳＯ（４）≒ＳＯ（３）×ＳＯ（３）
４次元回転群ＳＯ（４）のみが２つの回転群の直積に（ほぼ）分解するという事実が，４次元の特殊性に大いに関係しているのですが，このことがドナルドソンの定理の出発点であったというわけです．