現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8at MATH
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8 - 暇つぶし2ch462:132人目の素数さん
14/04/17 01:33:53.79
>>460
1950年以降証明は中学で習うから70歳以上の爺さんかな?

463:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/19 06:26:23.10
>>462
88歳なんだけど
まあ、そこまではいかないかな

確か、小学校6年のときに、先生がさばけた人で、図形の学習をずいぶんやった
理由は、女子で私立の中学を受けるお嬢様たちが結構いたのと、どうせ中学校でやるからすこしやっておこうと、あるいは図形は直感的に分かりやすいとか

中学校3年のとき、数学の教師が数学倶楽部みたいなのを作っていて、誘われた
手作りのテキストで、3x3の行列とか、クラメールの行列解法を教えてらったり

で、戻ると「中学2年ぐらいで証明という概念が初等幾何をメインに導入されるがあそこで数学を諦める人は相当多いだろうなぁ」>>434に対して、へ~そうなん?と思ったり

「で、高校数学を乗り越えて、大学数学にたどり着くと証明の嵐
ここも数学を道具として使う分野だとあまりやらないかもしれないが数学科だと避けられない」>>434に対して
山登りに例えれば、”証明の嵐”は”いずれ未踏峰に上る必要もあるから、鍛えるために自分の足で上って下さい”と、富士登山で一番下から歩いて登れみたいな

「証明こそが数学だと思い知ることになるけどここでつまずく人が多数派だろう」>>434に対して
いまの時代、何合目かまではバスで行って、その先を徒歩で。それも数学だろうと。富士登山、登る途中は”証明の嵐”で、”証明こそが数学”かもしらんが、登って頂上に立つとまた違った風景が見える

「証明わからなかったら定義だけはしっかり確認しようというのが自分自身への戒め」>>434に対して
定義というのは、富士登山で言えば登り口。頂上に立つと、”ああ、山の構造がこうだから、ここから登るのが良いのだ”と、なんでこんな定義になっているのかと、定義の意味が見えてくる。そういうものじゃないですか?

464:132人目の素数さん
14/04/19 08:45:04.97
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
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465:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/19 09:37:42.89
>>464
おつかれさまです(2ちゃんねる語では「乙です」)

ageで書いてくれるのが良い

以前、藤崎 詩織 AAを投稿してくれていた人がいた

いま、他スレに行ったみたい

ひんがら目ちゃんか、まあ頑張って

466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/19 10:42:51.48
大学数学勉強法はあるのか?
大学院突破の数学勉強法はあると思う
それを手がかりに勉強を進めるというのもありだろう

URLリンク(books.rakuten.co.jp)
新司法試験合格者に学ぶ勉強法
発売日: 2009年02月 ・著者/編集:木山泰嗣 ・出版社:法学書院

商品の詳細説明
【目次】(「BOOK」データベースより)
その1 未修者コース 合格者4人の勉強法(「努力は報われる」と信じ、そして実行したこと/合格のために、何をどう書くか、そのために何をするか/予習・復習が合格への基本 ほか)/
その2 既修者コース 合格者6人の勉強法(条文は法律家の基本であり、合格のための原点である/ロー・スクールでしっかり取り組んだかどうかで合否が決まる/刑事系の勉強法についての一提言 ほか)/
その3 リベンジ組 合格者5人の勉強法(自分の勉強方法と答案の書き方を分析してみてほしい/三つの基本ー(1)定義(2)条文・趣旨(3)基本論点/三回しかないチャンスを確実にモノにするために ほか)

【著者情報】(「BOOK」データベースより)
木山泰嗣(キヤマヒロツグ)
弁護士。上智大学法学部卒。専門は税務訴訟(鳥飼総合法律事務所勤務)。「わたしの本棚」(書評コラム)を連載し(受験新報2008年10~12月号)、
現在、「小説で読む行政事件訴訟法」を連載中(受験新報2008年12月号~)(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

467:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/19 10:46:30.94
まあ、司法試験みたいに、合格することが至上命令で、そのためにどうするか>>466
だが、大学の数学はそういうものじゃないだろう

ひとそれぞれに勉強の仕方も違うし、求めるものも違う、分野も違うだろう
だから言えることは、自分で模索するしかないってことかな

求めよ、さらば与えられん
なんのために勉強するのか?

答えがまだ無い人は
まず楽しんで勉強することを覚えよう

468:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/19 20:09:46.13
望月理論の応用
”Teichmuller space below the Planck length, then it would, with Mochizuki’s discovery of
a deep connection between the Teichmuller theory and number theory [3], give number
theory an important place in the fundamental laws of nature.”という

URLリンク(vixra.org)
Teichmuller Space Interpretation of Quantum Mechanics
Authors: Friedwardt Winterberg
Submission history
[v1] 2013-01-23 18:36:44
抜粋
1. Introduction

In this regard it is remarkable that a deep connection between the Teichmuller theory [2]
and number theory has most recently been discovered by S. Mochizuki in his
groundbreaking work “Inter-universal Teichmuller Theory,” which is an arithmetic
version of the Teichmuller theory for number fields with an elliptic curve [3].

Conclusion
Schrodinger said: “I would not call the entanglement one, but rather the
characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from
classical lines of thought.” If it should find its rational explanation in a conjectured
Teichmuller space below the Planck length, then it would, with Mochizuki’s discovery of
a deep connection between the Teichmuller theory and number theory [3], give number
theory an important place in the fundamental laws of nature.

469:132人目の素数さん
14/04/19 20:58:20.44
アーベルなガロワタワーがないから解は一位に決まらない。

470:132人目の素数さん
14/04/20 01:50:59.35
解は一意だろ。代数的に解けないだけ。

471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/20 18:10:49.10
下記江口徹で、AdS/CPM対応という用語が出てくる
が、AdS/CMT とする方が一般的かも

URLリンク(www.saiensu.co.jp)
数理科学 2014年4月号 No.610

特集:「物理現象における表現の多様さ」
- 様々な視点がもたらす深い理解 -

・「ホログラフィック原理の意味とその発展」 江口 徹

472:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/20 18:14:17.53
>>471
補足
URLリンク(en.wikipedia.org)
In theoretical physics, AdS/CMT correspondence is the program to apply string theory to condensed matter theory using the AdS/CFT correspondence.
Over the decades, experimental condensed matter physicists have discovered a number of exotic states of matter, including superconductors, superfluids and Bose?Einstein condensates.
These states are described using the formalism of quantum field theory, but some phenomena are difficult to explain using standard field theoretic techniques.
Some condensed matter theorists hope that the AdS/CFT correspondence will make it possible to describe these systems in the language of string theory and learn more about their behavior.[1]

References
Merali, Zeeya (2011). "Collaborative physics: string theory finds a bench mate". Nature 478 (7369): 302?304. Bibcode:2011Natur.478..302M. doi:10.1038/478302a. PMID 22012369.
URLリンク(dx.doi.org)
Sachdev, Subir (2013). "Strange and stringy". Scientific American 308 (44): 44. Bibcode:2012SciAm.308a..44S. doi:10.1038/scientificamerican0113-44.
URLリンク(dx.doi.org)

473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/20 21:29:17.20
>>471
補足
URLリンク(www.saiensu.co.jp)
数理科学 2014年4月号 No.610
■リレー連載
・「数学的な感覚の探求 15」
  ~数学を利用する感覚~ 徳山 豪

これが結構面白い
徳山 豪:東大数学科DRから日本IBMへ
いろんな数学問題が相談として持ち込まれ解いたという

474:132人目の素数さん
14/04/21 22:01:54.90
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        
      |      ` -'\       ー'  人           私は死なないわよ。
    |        /(l     __/  ヽ、            でも最近一寸太ったかしら。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           Windows ver.10 で    
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            元の痩せた姿にしてよね。
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \              
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
   |    |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/

475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/22 08:11:52.78
>>474

藤崎 詩織ちゃん、ageありがとう

>でも最近一寸太ったかしら。

一日一回ageをやったら、きっと元の痩せた姿になる。だから、がんばってくれ!

476:132人目の素数さん
14/04/22 09:34:53.96
きもい

477:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/22 23:20:44.42
きもいというおまえの方が
きもい

478:132人目の素数さん
14/04/23 01:37:43.54
            ゙'.    '.;`i  i、 ノ  .、″
             ゙'.     ,ト `i、  `i、    .、″
                |    .,.:/""  ゙‐,. `    /
             `  .,-''ヽ"`    ヽ,,,、   !
                、,、‐'゙l‐、      .丿 : ':、
               、/ヽヽ‐ヽ、;,,,,,,,,,-.ッ:''`  .,"-、
              ,r"ツぃ丶  ``````   ../  `i、
          ,.イ:、ヽ/ー`-、-ヽヽヽ、-´    .l゙`-、
         _,,l゙-:ヽ,;、、             、、丶  ゙i、,,、
        ,<_ l_ヽ冫`'`-、;,,,、、、、.............,,,,、.-`":    │ `i、
      、、::|、、、ヽ,、、.    ```: : : ```      、.、'`  .|丶、
     .l","ヽ、,"、,"'、ぃ、、,、、、、.、、、.、、、_、.,,.ヽ´    l゙  ゙).._
    ,、':゙l:、、`:ヽ、`:、  : `"```¬―'''"`゙^`     : ..、丶  .l゙ `ヽ
   ,i´.、ヽ".、".、"'ヽヽ;,:、........、           、、...,,,、-‘`   、‐   |゙゙:‐,
  ,.-l,i´.、".`ヽ,,,.".`   `゙゙'"`'-ー"``"``r-ー`'":      _.‐′  丿  ,!
 j".、'ヽ,".、".、"`''`ー、._、、、           、._,、..-‐:'''′   .、,:"  丿
 ゙l,"`"`''ヽヽ"`"`  ```゙'''"ヽ∠、、、、ぃ-`''''": `      、._./`  ._/`
  `'i`ヽヽヽ`''ーi、、、: :                   、.,-‐'`   、/`
   ``ヽン'`"`  : `~``―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,.ー'``^    ,、‐'"`
      `"'゙―-、,,,,..、、               : ..,、ー'"'`
           : `‘"`―---------‐ヽ``"''''''""

479:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/23 05:20:37.35
きもいというおまえの方がきもいを自ら証明したのかね
なかなかえらい!
だが、ageならもっとえらいよ

480:132人目の素数さん
14/04/25 05:30:42.08
水爆の効率概算のためにエンリコ・フェルミは大型計算尺で、リチャード・P・ファインマンは卓上計算機で、ノイマンは天井を向いて暗算したが、ノイマンが最も速く正確な値を出した。


これは、数学者の森毅の作り話
ウラムの書いた本にノイマンの実像が書いてある。それほど優秀ではないとね

481:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/26 05:52:53.18
>>480
そうかもしれんな~
伝説はしばしば誇張されるから

URLリンク(matome.naver.jp)
NAVER まとめ 【究極の天才】ジョン・フォン・ノイマン 更新日: 2014年03月07日
(抜粋)
出典media.photobucket.com
アインシュタインも認める天才

アインシュタインやハイゼンベルクなどなど、稀代の天才たち全員が「自分たちの中で一番の天才はノイマンだ」と言っていた。
(ノイマン自身はアインシュタインが一番だと言っていた)

出典ジョン・フォン・ノイマン

"彼はこの頃、後の政治、経済に大きな影響を与えることになる重要な書「ゲームの理論」(1944年)を経済学者のオスカー・モルゲンシュテルンと共同執筆しています。
彼の活動範囲は、数学、物理、軍事、コンピューター、経済、政治、文化・・・へといよいよ拡がりをみせ始め、
さらには天候の影響によって何度も変更を余儀なくされた原爆投下計画の反省から、コンピューターによる気象予測の分野にも彼は進出。そのための気象学研究グループ立ち上げの際も、まとめ役として活躍することになりました。"

482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 06:42:15.15
>>447
補足

> 84. Gluck twisting 4-manifolds with odd intersection form (with K.Yasui)

安井 弘一
URLリンク(kaken.nii.ac.jp)
2011年度~2013年度 : 広島大学 / 理学(系)研究科(研究院) / 助教
2011年度 : 広島大学 / 大学院・理学研究科 / 助教
2009年度~2010年度 : 京都大学 / 数理解析研究所 / 研究員
2009年度 : 京都大学 / 数理解析研究所 / 特定研究員(グローバルCOE)

URLリンク(kaken.nii.ac.jp)
カービー図式を用いた4次元多様体の微分構造の研究 2009年度~2010年度

研究計画に従い,今年度は主にcorkの研究をAkbulut氏(ミシガン州立大学)と共同で行った
同相だが微分同相でないコンパクトStein 4次元多様体の例は,最近Akhmedov-Etnyre-Mark-Smithにより初めて与えられた.彼らはknot surgeryを用いている.私とAkbulutは前年度までの研究で,ベッチ数の小さなそのような例を,corkを用いて構成した.

483:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 06:50:01.79
>>482
補足の補足

URLリンク(faculty.ms.u-tokyo.ac.jp)
トポロジー分科会歴代特別講演者一覧
2013春 安井弘一(広大理):Corks and exotic 4-manifolds

URLリンク(mathsoc.jp)
2009年度 日本数学会賞建部賢弘賞受賞者一覧
奨励賞 安井 弘一 京都大学 数理解析研究所特定研究員 4次元多様体のハンドル分解に関する研究

484:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 06:52:54.77
>>483
さらに補足

URLリンク(www.geocities.jp)
4次元の特殊性
(抜粋)
 高次元については見て考えることができないので,2次元・3次元から類推して考えることになります.ところが,高次元の場合,奇妙なことが起こるのでこの類推があてになりません.
 
 4次元微分トポロジーにおけるドナルドソンやウィッテンの理論によると,4次元空間だけが非常に特殊なのであって,2次元・3次元あるいは5次元以上の世界と様相が大きく異なることが知られています.
つまり,5次元以上ではどれだけ次元が大きくなろうとも互いに似通った性質をもっているのに対して,4次元ではそれとは非常に異なる特殊な原理(幾何学)が支配しているということになります.
 
 それが4次元の特殊性の意味なのですが,4次元が特別だからこそ,われわれは4次元時空に存在できるのだと考えられています.とても意味深な理由でけです.
 
 それではなぜ4次元だけが特殊なのでしょうか? 今回のコラムでは,その理由として考えられている数学的な背景について紹介したいと思います.ともあれ,高次元の世界は,われわれが3次元空間でイメージするものとは大きく異なっているのです.

485:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 06:55:49.53
>>484
つづき

URLリンク(www.geocities.jp)
4次元の特殊性
(抜粋)

【1】ドナルドソンの定理(4次元の特殊性)
 興味深いことに,n次元ユークリッド空間R^nでは,
  次元     微分構造
  数直線     1
  平面      1
  空間      1
  4次元空間   ∞
  5次元空間   1
  6次元空間   1
つまり,4次元空間では微分構造の数が無限個になるというのです.
 
 このことは1982年にドナルドソンという数学者が最初に証明したのですが,
ドナルドソンは4次元微分可能多様体にゲージ理論を適用してR^4に異種構造が存在する,そして3次元や5次元のユークリッド空間ではこのようなことは決して起こらないことを示して数学界を驚かせました.
 
 4次元のエキゾチックなR^4存在するということは,4次元多様体の特異性を際立たせる重要な定理です.しかし,ドナルドソンの定理は理論物理学にでてくるヤン・ミルズ場を使った難解な内容のため,おいそれと近づくことさえできませんでした.
 
 その証明を易しくしたのが,4つの力の統一を目指した「超弦理論」で名高いウィッテンです.

486:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 07:01:20.77
>>485
つづき

URLリンク(www.geocities.jp)
4次元の特殊性
(抜粋)

【6】4次元回転群
 
 2次元の回転,3次元の回転の個々の元がどういうものであるかは前項で述べたとおりです.次に,4次元の回転群を考える順番です.
 
 前節より,SO(4)は6次元なのですが,
  x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=1
すなわち,4次元ユークリッド空間R^4内の3次元単位球面S^3上の運動と同一視できることから,3次元分を説明することができます.
 
 また,4次元ユークリッド空間R^4を4元数Hと同一視(R^4=C^2=H)するとき,4次元の回転は4元数を用いて記述することができますが,残りの3次元については,このことを用いて説明されます.
 
 すなわち,複素数による回転のときの純虚数(z~=-z)のアナロジーとして,純4元数(q~=-q)を考えると,
  q=bi+cj+dk → q・q~=b^2+c^2+d^2
より,3次元ユークリッド空間R^3の元の長さを変えない回転運動と同一視できることになります.
 
 以上のような考察から,4次元回転群の構造は(符号の差を除いて)3次元回転群2個の直積と同一視できることになります.
  SO(4)≒SO(3)×SO(3)
 
 4次元回転群SO(4)のみが2つの回転群の直積に(ほぼ)分解するという事実が,4次元の特殊性に大いに関係しているのですが,このことがドナルドソンの定理の出発点であったというわけです.

487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 07:05:43.93
>>486
つづき

URLリンク(www.geocities.jp)
4次元の特殊性
(抜粋)
【8】まとめ
 4元数の存在が4次元の特殊性の重要な一側面を表していることを説明したのですが,回転群の階数とパラメータの次元をまとめると
  SO(2)               1次元
  SO(3)=B2             3次元
  SO(4)≒SO(3)×SO(3)   6次元
  SO(5)=B3            10次元
  SO(6)=D3            15次元
となります.n=4が例外であることが,このことからもみてとれるというわけです.

[補]ミルナーの定理(エキゾチックな球面)
 通常の微分構造が球面を除いた27個はエキゾチックな球面と呼ばれます.
「7次元球面には8次元ユークリッド空間の単位球面とは異なる微分構造が入る」といっても,これだけでは何が何だか意味不明ですが,位相同型であっても微分同相にならない,すなわち,なめらかさの構造がまったく異なるというのです.
 しかし,微分構造とか微分同型写像とかの意味はよくはわからなくても,ミルナーの発見が衝撃的な事実であることはすぐに理解できます.
われわれは,微分という言葉を何気なく使っていますが,微分が1種類とは限らないというのは直観に反していて実に驚くべきことであり,当時,ほとんどだれも予想し得なかったことだからです.ミルナーはこの業績でフィールズ賞を受けました.
 
 球面に許される微分構造の数を表にしてみると,
球面の次元  微分構造   球面の次元  微分構造
  1      1       9      8
  2      1       10      6
  3      1       11     992
  4      1       12      1
  5      1       13      3
  6      1       14      2
  7      28       15    16256
  8      2
 このように,微分構造に関しては次元に関する制約がでてくるので,7次元以上では本質的に異なっていると考えられるのです.

488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 07:21:12.53
>>487
補足


 球面に許される微分構造の数を表にしてみると,
球面の次元  微分構造
  1      1 
  2      1 
  3      1 
  4      1  ”

この4次元球面の微分構造1は、未解決。
これは、>>386 URLリンク(en.wikipedia.org) に詳しい解説がある
多分野口の本に間違いがあるので、そこからだろう
URLリンク(books.google.co.jp)
エキゾチックな球面 野口廣 筑摩書房, 2010 - 295 ページ
(引用おわり)

この本のP195に表があるが、これの4次元が間違いなんだ

489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 07:25:56.79
>>487
つづき

URLリンク(www.geocities.jp)
4次元の特殊性
(抜粋)

[補]3次元の特殊性

空間の次元が3のときだけ,運よく3次元ベクトルが得られていることがおわかり頂けたしょうか? この事実は,外積が3次元ベクトルでしか定義できないことを示しています.
 
 ベクトルの外積は3次元特有のもので,2次元でも4次元でもだめなのですが,ほとんどの物理現象は3次元空間で生じますから,これでも汎用性は高いというわけです.

もっとも4次元以上では2つのベクトルa↑,b↑の張る平面に直交する方向は一義ではなくなるので,話がおかしくなってしまうのですが・・・.

[補]超複素数の世界
(略)

490:132人目の素数さん
14/04/27 16:37:35.91
>>481
出典media.photobucket.com
アインシュタインも認める天才

だからネットのゴミ情報はクソ 出典は?

逆にアインシュタインこそプリンストンでは「別格」の伝説の人
として尊敬、崇拝されていた。記述はいろんな本にある。
ちなみにアインシュタインは謙虚な人だったので
頼まれれば誰の推薦状でも褒めて書いたのは有名な話

フェルミ・パスタ・ウラムの問題で有名なウラムが
ファンノイマンは「確かに頭の回転が速い計算のうまい人」だが
独創性でには欠けていた。と書いている。
ウラム、ファインマン、ノイマンが休日散歩に行った話が面白い
興味があれば本読んでみて

また、ノイマン自身が
「フェルミならその気になればどの分野の一流数学者にでもなれただろう」

と評価していた。フェルミは実験、理論の両面に秀でた最後の物理学者とも言われてる

491:132人目の素数さん
14/04/27 16:42:15.98
訂正
ファンノイマン → フォンノイマン 

492:132人目の素数さん
14/04/27 17:29:33.08
>>490
ウラムは水爆の機構を開発したんだからすごいよな。
藤原正彦の「若き数学者のアメリカ」に名を伏せてウラムを批判してる箇所があるから読んでみるとよい。
「水爆の父」というフレーズが出てくる前後だ。

493:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 21:05:05.49
>>490-492
乙です

>フェルミ・パスタ・ウラムの問題

これだね
URLリンク(ja.wikipedia.org)
フェルミ・パスタ・ウラムの問題(ふぇるみ・ぱすた・うらむの問題、英: Fermi-Pasta-Ulam problem)とは、物理学における非線形な相互作用を有する格子モデルにおけるエネルギー分配の問題。FPU の問題とも呼ばれる。
1950年代に、ロスアラモス研究所で電子計算機を用いてこの問題に取り組んだ 3 人の数理物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された熱力学的平衡状態に達するはずであったが、計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。
後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。なお、電子計算機が物理学の研究に活用された初期の事例としても有名である。

494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/27 21:46:04.49
>>386
補足

URLリンク(en.wikipedia.org)
Exotic sphere

この中に
URLリンク(www.nilesjohnson.net)
An animation of exotic 7-spheres Video from a presenation by Niles Johnson at the Second Abel conference in honor of John Milnor.

この7次元Exotic球面のアニメーションがめちゃ面白い

495:132人目の素数さん
14/04/28 17:49:21.62
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        
      |      ` -'\       ー'  人           私は死なないわよ。
    |        /(l     __/  ヽ、            でも最近一寸太ったかしら。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           Windows ver.10 で    
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            元の痩せた姿にしてよね。
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \              
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
   |    |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/

496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/28 21:35:22.37
一日一回ageをやったら、きっと元の痩せた姿になる。だから、がんばってくれ!

497:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/28 23:31:36.22
>>494
補足

Hopf fibration.のanimationもなかなか良い
URLリンク(www.nilesjohnson.net)

498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 05:10:23.71
>>497
補足

URLリンク(en.wikipedia.org)
これがなかなかの優れもの

499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 10:02:07.94
>>498
補足

下記が分かりやすい
URLリンク(yassu.ken-shin.net)
Home ≫ 数学あれこれ話 ≫ Hopf fibrationの一般化
(抜粋)
Hopf fibrationホップ写像はS3からS2への写像として定義されます(An Elementary Introduction to the Hopf Fibration). 実は,この写像を使ってS3を見ることができます.

Hopf fibration f=fi:S3→S2は
f(h)=hih ̄
で定義されます.

この写像がwell-definedに定義されることは,実際に計算すると確かめられます.
この写像を実の世界で計算すると
f(a,b,c,d)=(a2+b2+c2?d2,2(ad+bc),2(bd?ac))
となります.

(関連URL)
URLリンク(www.nilesjohnson.net)
URLリンク(www.nilesjohnson.net)
URLリンク(www.nilesjohnson.net)
URLリンク(www.nilesjohnson.net)
An Elementary Introduction to the Hopf Fibration Lyons

URLリンク(mas.lvc.edu)
David W. Lyons' Publications and Presentations
Selected Expository Work
[1] David W. Lyons. An elementary introduction to the Hopf fibration. Mathematics Magazine, 76(2):87-98, 2003. [ journal | e-print ]

500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 10:36:48.03
>>499
補足

URLリンク(yassu.ken-shin.net)
Home ≫ 数学あれこれ話 ≫ Hopf fibrationの一般化
(抜粋)
f(a,b,c,d)=(a2+b2+c2-d2,2(ad+bc),2(bd-ac))

細かい式の形はともかく,標準的なHopf fibrationf=fiの式では,2次で係数が正の項が1つだけですが,fjとfkでは,突然2つになっています.
なんだか,iとjやkとの違いを垣間見たような気がしますね.
(引用終わり)

ところで
URLリンク(www.nilesjohnson.net)
An Elementary Introduction to the Hopf Fibration Lyons
(抜粋)

The Hopf bration is the mapping h: S3 → S2 defined by
h(a, b, c, d) = (a2 + b2 - c2 - d2, 2(ad + bc), 2(bd - ac)) (1)
(引用終わり)

式が不一致
どちらかが間違っている(多分前者だろう)

501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 14:52:00.47
URLリンク(www.quora.com)
An overview of Inter-universal Teichmuller Theory and Shinichi Mochizuki's proof of the ABC Conjecture,
along with the current situation and how we can begin to understand this theory
Joseph Heavner 18 Aug, 2013

URLリンク(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月新一@数理研

502:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 16:16:17.69
>>489
つづき

URLリンク(en.wikipedia.org)
Seiberg?Witten invariant
From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, Seiberg?Witten invariants are invariants of compact smooth 4-manifolds introduced by Witten (1994),
using the Seiberg?Witten theory studied by Seiberg and Witten (1994a, 1994b) during their investigations of Seiberg?Witten gauge theory.

Seiberg?Witten invariants are similar to Donaldson invariants and can be used to prove similar (but sometimes slightly stronger) results about smooth 4-manifolds.
They are technically much easier to work with than Donaldson invariants; for example,
the moduli spaces of solutions of the Seiberg?Witten equations tend to be compact, so one avoids the hard problems involved in compactifying the moduli spaces in Donaldson theory.

For detailed descriptions of Seiberg?Witten invariants see (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005, Chapter 10).
For the relation to symplectic manifolds and Gromov?Witten invariants see (Taubes 2000). For the early history see (Jackson 1995).

503:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 18:46:33.57
「数論に関する最近の話題」(田中 嘉浩)がけっこう分かりやすいショートレビューになっている

URLリンク(eprints.lib.hokudai.ac.jp)
「数論に関する最近の話題」田中 嘉浩 北海道大学『経済学研究』 63(2) 271-276 2014年1月

URLリンク(www.hucc.hokudai.ac.jp)
田中 嘉浩 のホームページ
北海道大学大学院経済学研究科

URLリンク(researchmap.jp)
学歴
1982年 京都大学 工学部 数理工学科
1984年 京都大学 工学研究科 数理工学専攻
1987年 京都大学 工学研究科 数理工学専攻

504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/29 20:09:03.64
旧聞ですが

URLリンク(oshiete.goo.ne.jp)
素数分布で新発見 質問者:bougainvillea 投稿日時:2014/03/05 07:45

先日、素数分布で新発見があったそうですが、新聞記事では簡単な概要しか
書いてありませんでした。もう少し詳しい解説がありましたら教えてください。

素数の間隔で新定理発見 極端な偏りなく分布、米英数学者
URLリンク(www.47news.jp)
URLリンク(img.47news.jp)

新定理は、英国出身でカナダ・モントリオール大のジェームズ・メイナード博士(26)と、
米カリフォルニア大のテレンス・タオ教授(38)がそれぞれ独自に見つけた。
 例えば、ある素数と次に大きい素数の2個を考える。19なら次は23で、19~23の
5個の中に2個の素数がある。だが数が大きくなっても、5個の自然数が並んだ中に
素数が2個あるかは分からない。
 新定理を使って計算すると、自然数を600個ごとに区切ると素数が2個含まれる場合が
あると分かった。必ず2個あるわけではないが、2個の素数が含まれる600個ごとの区間は
無限に存在する。

No.1ベストアンサー20pt 回答者:ask-it-aurora 回答日時:2014/03/05 19:25

ちゃんと読んでませんが一応リンクだけ(既にご存知かもしれませんが).

まず問題の論文(の少なくともひとつ)は次です.
URLリンク(arxiv.org)

またTerence Tao教授はブログで数学についてよく書いていて、この件に関連するポストには
URLリンク(terrytao.wordpress.com)
があります.

505:132人目の素数さん
14/04/30 00:01:31.70
極端な偏りの有無とは関係無くね?

506:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/30 22:17:12.66
>>505
さあ? 記事を書いているのは、文系のブンヤさんだし
訳分からず見出し付けているんだろうさ

507:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/01 05:16:29.32
>>505

Terence Taoの記事
URLリンク(terrytao.wordpress.com)
を直接読むのが良いだろう

508:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/01 05:32:33.58
これも参考になるだろう

URLリンク(michaelnielsen.org)
Bounded gaps between primes

This is the home page for the Polymath8 project, which has two components:

Polymath8a, "Bounded gaps between primes", was a project to improve the bound H=H_1 on the least gap between consecutive primes that was attained infinitely often,
by developing the techniques of Zhang. This project concluded with a bound of H = 4,680.

Polymath8b, "Bounded intervals with many primes", is an ongoing project to improve the value of H_1 further,
as well as H_m (the least gap between primes with m-1 primes between them that is attained infinitely often), by combining the Polymath8a results with the techniques of Maynard.

Contents
1 World records
1.1 Current records
1.2 Timeline of bounds
2 Polymath threads
3 Writeup
4 Code and data
4.1 Tuples applet
5 Errata
6 Other relevant blog posts
7 MathOverflow
8 Wikipedia and other references
9 Recent papers and notes
10 Media
11 Bibliography

509:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 11:32:49.68
突然ですが

URLリンク(twitter.com)
若月.dga ?@wktkshn 2013年6月15日
「また、4次元多様体に関する『11/8予想』というものがありますが、これもまだ解けていません。この方面で最良の結果は、古田幹雄氏による『10/8定理』です。
ロホリンの定理、ドナルドソンの定理と、この古田の定理は、なめらかな4次元多様体に関する3大定理だと思います。」松本幸夫

URLリンク(phasetr.blogspot.jp)
2013年5月31日金曜日
東大の古田幹雄先生による『大学院で幾何の勉強を目指す学部生の方たちへ』という PDF を発見したので共有しておきたい
URLリンク(www.ms.u-tokyo.ac.jp) (平成18年 4月12日)

東大数理の教官というご多分に漏れず, 古田先生も (業績的な意味で) 凶悪な教官だ.
4 次元多様体での 11/8 予想 というのがあるのだが, そこでも非常に顕著な仕事をしているようだ.
ここ で紹介されているが, 10/8 不等式というのがある. 正直私は評価能力ないのだが, 『数学の50年』で松本先生が滑らかな 4 次元多様体での 3 大定理の 1 つと言っている.

URLリンク(www.math.gakushuin.ac.jp)
松本 幸夫 教授 MATSUMOTO, Yukio 学習院大学 数学教室
プロフィール
多様体とは現代幾何学が主な研究対象としている空間概念のこと。 各次元にいろいろな多様体がある。 曲線は1次元の多様体で、平面と曲面は2次元の多様体である。
松本教授は「多様体の形を数学の目で見たい」という夢を追って多様体の研究を続けてきたという。
若い頃は5次元以上の高次元多様体を研究したが、現在はとくに4次元多様体に興味をもっている。 4次元多様体論で有名な「11/8予想」を世界で初めて定式化した。

510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 11:59:00.11
つづき

「増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」いいね
URLリンク(blog.goo.ne.jp)
増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫 2011年03月05日 とね日記

「増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」URLリンク(astore.amazon.co.jp)

わかりやすいと定評の「多様体の基礎(東京大学出版会)」という教科書をお書きになった松本先生によるトポロジーの啓蒙書である。教科書の副読本のようなレベルなので、数式や数学記号アレルギーのある方には難しい本だ。

野口先生による「エキゾチックな球面(ちくま学芸文庫)」の終わりで触れられていた「4次元ユークリッド空間には無限に多くの微分構造がある。」という1982年のドナルドソンによる発見が、
本書の付録でとりあげられているというので、1年以上前に買い求めておいたのだ。

本書が世に出たのは1979年。12年後の1991年に増補版として復刊、そして30年後の2009年に増補新版として再復刊された。それだけ読み継がれてきた良書だということ。

最後の「12年後のあとがき」、「30年を経て」という章は初版刊行以降に解明された研究や理論を紹介している。何が解けないで困っているかということも含めてだ。
最近のトポロジー発展史ともいうべき内容で、将来トポロジー研究者になろうとしている学生にとって役に立つガイドラインとなるだろう。

511:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 12:24:08.00
つづき

URLリンク(blog.goo.ne.jp)

余談:4次元トポロジーの数学的な不気味さとは観点が違うが、4次元空間での回転について不気味な動画を見つけたので紹介しよう。3次元物体を4次元回転させたものを3次元の影として投影したものだそうだ。
説明はこのページを参照。 URLリンク(eusebeia.dyndns.org)

3次元空間にいる馬を4次元空間に移行させてみた映像「4D Rotation」
URLリンク(karapaia.livedoor.biz)

4D_Mandelbulb with rotation in 4D
URLリンク(www.youtube.com)

4次元図形をステレオグラムで視覚化するページも見つけた。(説明はこちら。)

4次元図形の3次元表示(平行法)
URLリンク(www2s.biglobe.ne.jp)

ともかく量子力学の不思議な世界に出会ったときの「ざわざわ感」とは全く違う不可解さと驚愕が低次元トポロジーには潜んでいるのだ。ペレルマンによって証明された「3次元ポアンカレ予想」のあらましについても「30年を経て」という章で紹介されている。

512:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 14:40:50.45
下記、以前にも紹介したページだが、更新され充実している(特に翻訳)

URLリンク(www15.ocn.ne.jp)
2014年5月5日(月)
URLリンク(www15.ocn.ne.jp)
数学三大予想の証明 翻訳

513:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 14:52:09.87
>>512
下記翻訳が読みやすかったが、原出典が不明だった

URLリンク(www15.ocn.ne.jp)
Michael T. Anderson Ricci フローからみた3次元多様体の幾何化 PDF

これだね
URLリンク(citeseerx.ist.psu.edu)
Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow (2004)AMS Michael T Anderson

514:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 18:00:33.34
>>509
『11/8予想』関連
(日本人の予想なので日本人が解くと良いね)

URLリンク(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
第60回トポロジーシンポジウム
2013年8月5日(月)午後 ? 8日(木)午前
URLリンク(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
廣瀬 進(東京理科大学)
4次元多様体内の曲面の変形と写像類群 (講演予稿: 2.5MB)

5. 4 次元多様体内のflexible 曲面

種数1以上の有向閉曲面のS4 への埋め込みはflexible ではない.
S4 以外の4 次元多様体へのflexible な埋め込みの存在について次の定理を示した.
Theorem 5.1. [19, Theorem 3.1] 4 次元多様体M がCP2, CP2, S2 × S2, 楕円曲面
E(n),もしくは,それらの連結和とすると,任意の閉曲面S のM へのflexible な埋め込みがある.

7. 未解決問題

Problem 7.4. 任意の単連結で微分可能な閉4 次元多様体M でS4 と同相でないものに対し,任意の閉曲面のflexible な埋め込みが存在するか?
[ もしも11/8 予想[34] が正しければ,M はCP2, CP2, S2 × S2, K3 曲面や逆の向きが入ったK3 曲面の連結和とhomeomorphic である(例えば,[41] の247 ページを参照せよ).]

515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 20:34:49.79
つづき
URLリンク(levitopher.wordpress.com)
May 8, 2013 by cduston Exotic Smoothness III: Existence
Dimension 4
So the problem is that decomposition techniques generally fail in dimension 4, due to the added complexity but failure of the Whitney disk trick.
Now, the topological version of the h-cobordism theorem works; meaning that two manifolds that are homotopic in dimension four are also homeomorphic.
Of course, that doesn’t help us very much because we are at least in the category of continuity; want we want is the difference between continuous and smooth.

By a complete classification of these forms (done by Freedman and Donaldson), you can do things like try and decompose the manifold while preserving the intersection form.
This leads to some contradictions, the most interesting of which leads to the existence of exotic R^4. These would be smooth 4-manifolds which are homeomorphic to our usual R^4, but which are not diffeomorphic to the usual R^4.
Things are even worse (or better!) ? there are infinitely-many exotic R^4!

So the situation is this; in terms of exotic smoothness, dimension 4 is special. This presents a major motivation for studying exotic smoothness in the context of physics.
We have already discussed that since exotic smooth structures are not smoothly equivalent, we would not expect any results which relied on calculus (like physics!) to be the same on both of them.
Of course, this would not matter if we were studying the physics of space alone ? since it is 3-dimensional, there is no exotic smoothness.
But as soon as we move to the dimension in which all our fundamental theories are based, exotic smoothness suddenly becomes non-trivial.

This is either a very significant observation, or it is not!
The next post will discuss how we might try to study exotic smoothness in physics, from both model-building and observational standpoints.

516:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 20:50:01.44
つづき
URLリンク(levitopher.wordpress.com)
May 30, 2013 by cduston
Exotic Smoothness IV: Physical Models

So far, I have introduced some of the basic notions of smooth manifolds, what exotic smoothness is, and (very superficially!) how we know it exists.
In this post I will talk about how one can go about constructing a physical model which includes exotic smooth structures, and what kinds of behavior we can expect.
“What problems can exotic smoothness solve?” might be a summary for this post, but as we will see, there is more conjecture then problem solving.

Large and Small Exotic R^4


Dark Matter


The Brans Conjecture
Localized exotic smoothness can mimic an additional source for the gravitational field.
Of course, this conjecture is quite vague, but what Brans had in mind was exactly a solution to the dark matter problem.


Normal Matter

I think it’s fair to say the Brans conjecture has not been proven yet ? specifically, there is not currently a model of dark matter which can be compared to (and thus verified by) observations.
However, there has certainly been work done which suggests that exotic smoothness can mimic mass in more limited ways. For instance,
Torsten Asselmeyer-Maluga (you will see his name come up frequently in connection with this topic ? he has been diligently working on getting very interesting results for over a decade now) has shown
that the intersection of some special surfaces in 4-manifolds (which represent points of which a homeomorphism f:M →M' fails to be a diffeomorphism) can create non-zero curvature terms (1997).
In other words, the failure of two 4-manifolds to be diffeomorphic at points can mimic mass terms.
This can be extended (see here and here), so that it appears that this result is quite general, and can be used to construct matter with a variety of internal symmetries.

517:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/05 20:59:21.54
つづき

Inflation


Semiclassical Gravity


Thus, in semiclassical gravity there are at least some instances when the Bran Conjecture is certainly true.

Well, this was long post but I wanted to give the current state of model-building based on exotic smooth structures.
I think I will stop here; much of my other work is related to this topic, but this is enough to know in terms of exotic smooth structure.

518:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 10:00:06.33
>>494
7次元Exotic球面の本格的な証明
URLリンク(faculty.tcu.edu)
Exotic Differentiable Structures (Greg Friedman, TCU) (時期不明)

(参考)
URLリンク(faculty.tcu.edu)

URLリンク(faculty.tcu.edu) :GREG FRIEDMAN
TCU:テキサスクリスチャン大学(Texas Christian University)
URLリンク(faculty.tcu.edu)
CV:curriculum vitae 履歴(書) ラテン語

519:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 10:27:17.44
>>389
関連

有名なJohn Milnorが、”The Poincare Conjecture 99 Years Later”を書いて、そのときPerelman の論文が投稿されて、半信半疑だと書いていた・・
URLリンク(www.math.sunysb.edu)
The Poincare Conjecture 99 Years Later: A Progress Report
John Milnor, Stony Brook University, February 2003

抜粋
Three months ago, Grisha Perelman in St. Petersburg posted a preprint describing a
way to resolve some of the major stumbling blocks in the Hamilton program and suggesting
a path toward a solution of the full Elliptization Conjecture. The initial response of experts
to this claim has been carefully guarded optimism, although, in view of the long history of
false proofs in this area, no one will be convinced until all of the details have been carefully
explained and veri ̄ed. Perelman is planning to visit the United States in April, at which
time his arguments will no doubt be subjected to detailed scrutiny.

520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 11:07:26.70
>>391
関連

>Rでやってみよう。Rには四元数・八元数をハンドリングするonionパッケージがある

URLリンク(ja.wikipedia.org)
R言語(あーるげんご)はオープンソース・フリーソフトウェアの統計解析向けのプログラミング言語及びその開発実行環境である。

ユーザープログラムを配信・利用できるCRANネットワーク機能
世界中のRユーザが開発したRプログラム(ライブラリ)(これを「パッケージ」と呼ぶ)がCRAN (The Comprehensive R Archive Network) と呼ばれるネットワークで配信されており、
それらをR環境単独でオンラインでダウンロード・インストール・アップグレードと一連の管理が可能である。

URLリンク(cran.r-project.org)
onion: octonions and quaternions
A collection of routines to manipulate and visualize quaternions and octonions.

521:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 11:21:15.25
>>520
補足

URLリンク(ja.wikipedia.org)
特徴

R言語は文法的には、統計解析部分はAT&Tベル研究所が開発したS言語を参考としており、またデータ処理部分はSchemeの影響を受けている。(S言語は1998年にACMのソフトウェアシステム賞を獲得した。)

ベクトル処理言語

R言語は、「ベクトル処理」と呼ばれる実行機構により、柔軟な処理を簡便な記法で実現する。R言語で言う「ベクトル」とは数学的用語のベクトルとはやや異なり「構造を持ったデータ集合」という「リスト」に近い意味を持つ。
数学的ベクトル・行列のみならず、配列・リスト・テーブル(データフレーム)・集合・時系列などといった複雑な構造を持ったデータも宣言無く変数に納められる。
ベクトルは複数の要素を持ち得るが、例えば、リストの要素が更にテーブルや時系列の配列などであるといった「入れ子構造」であってよい。このおかげで複雑なデータ構造が他愛もなく構築・管理できる。
予約語としてRに組込まれた演算も関数もベクトルを扱える。ユーザー定義関数をベクトル対応にするための関数もある。
ベクトル処理に拠って演算も関数も特別な制御を要さずベクトルの全要素に作用するため、プログラム全体の制御構造が単純化して意味が明瞭になるという効用が期待できる。
上手く使えば、通常他の言語で複数要素を処理する時の「目的とする計算の本質とかけ離れたアルゴリズム(例えば、カウンターを使ったループや条件分岐等)」から解放され得る場合も多い。

522:132人目の素数さん
14/05/06 13:41:22.55
We have introduced new a concept of projectile curve.
Do you understand?
May I make myself crystal clear, hard, strong and accurate.

523:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 14:35:22.18
>>514
関連

1.
URLリンク(faculty.sites.uci.edu)
Six Lectures on Four 4-manifolds, Low dimensional topology, 265?315, IAS/Park City Math. Ser., 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009 (with Ronald A. Fintushel). MR2503498
URLリンク(faculty.sites.uci.edu)

2.
URLリンク(faculty.sites.uci.edu)
Will we ever classify simply-connected smooth 4-manifolds? Ronald J Stern2006
URLリンク(faculty.sites.uci.edu)

3.
URLリンク(www.math.ist.utl.pt)
4-manifolds (symplectic or not) notes for a course at the IFWGP 2007
Ana Cannas da Silva
URLリンク(ifwgp2007.ist.utl.pt)
International Fall Workshop on Geometry and Physics 2007

524:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 14:39:52.63
>>522
おつかれさまです(2ちゃんねる語では「乙です」)
英語OKだよ
がんばって

525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 17:05:13.37
>>523
関連

URLリンク(www.math.ist.utl.pt)
4-manifolds (symplectic or not) notes for a course at the IFWGP 2007
Ana Cannas da Silva

これのP9の図が11/8予想に関連して面白い
というか、11/8予想が何を意味しているかを分かりやすく示している

526:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 20:40:16.13
>>501
関連

白木善尚氏が良い解説になっている
URLリンク(www.ieice.org)
URLリンク(www.jstage.jst.go.jp)
ABC予想と最後の審判 Inter-Universalな世界観 白木善尚 IEICE fundamentals review 201301

なお、既出と思うが、下記 (2008-03-25 現在)が、全然古くなっていない。IUTeichの構想がしっかりしていたってことか
URLリンク(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在) 

527:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/06 21:22:41.47
>>525
4次元って、ほんと不思議だよね

528:132人目の素数さん
14/05/07 23:43:21.11
別にふしぎじゃねーよ
結局は3次元でなんとかしなくちゃならねーんだよ
そうだろ?

529:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 09:19:34.43
>>528
おつかれさまです(2ちゃんねる語では「乙です」)

>結局は3次元でなんとかしなくちゃならねーんだよ
>そうだろ?

ニュートン力学とか、ドイツのカントの絶対空間の思想ではね。”3次元でなんとかしなくちゃならねーんだよ”と
URLリンク(ja.wikipedia.org)
空間
カントは空間を時間とともに人間精神の直観形式だとする立場を呈示した。
ニュートンはニュートン力学を、3次元ユークリッド空間、すなわち、すべての方向に無限に拡がる果てしのない均質なもので物質の存在から独立した空虚な容器であり、
やはり均質に空間や物質とは切り離されて存在し進行する時間がある、という大前提のもとに記述した(いわゆる「絶対空間」と「絶対時間」)。

最終的に特殊相対性理論により、空間と時間はミンコフスキー時空という一体のものとして再記述され、さらに一般相対性理論により、物質(質量)の存在により「曲がる」4次元リーマン空間として再記述された。
(引用おわり)

530:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 09:20:58.85
>>529
つづき

だけど、カーナビとかGPSでは、そうではないみたい
URLリンク(ja.wikipedia.org)
一般相対性理論の応用
GPS

自動車などの位置をリアルタイムに測定表示するカーナビゲーションシステムはグローバル・ポジショニング・システム (GPS) を利用しており、GPS衛星に搭載された原子時計に基づき生成される航法信号に依存している。

GPS衛星からの信号を受信する装置では、さまざまな要因による補正を行うが、GPS衛星の時計に関するものとして、
高速で運動するGPS衛星の運動による時計の遅れ(特殊相対論効果)、および地球の重力場による地上の時間の遅れ、言い換えれば衛星の時計の進み(一般相対論効果)が含まれる(他に地球自転に起因する信号伝播のサニャック効果もある)。

この相対論的補正をせずに1日放置すると、位置情報が約11 kmもずれてしまうほどの時刻差になることから、相対論的補正はGPSシステムの運用に不可欠である[2]。

531:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 10:01:00.76
>>530
つづき

で、結局人類は、まだ4次元時空(含む ミンコフスキー時空)を十分理解していないんだろうなと思う今日この頃(仏版が結構充実しているね)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
形式的にはミンコフスキー空間とは、実四次元のベクトル空間に符号 (-,+,+,+) の非退化な対称双線形形式を与えたものだということができる。
ミンコフスキー空間の元は事象または4元ベクトルとよばれる。ミンコフスキー空間は計量の符号を強調するためにしばしば R1,3 と書かれるが、M4 や、単に M という表記もみられる。

URLリンク(en.wikipedia.org)
英語版

URLリンク(fr.wikipedia.org)
仏版

URLリンク(de.wikipedia.org)
独版

532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/10 18:26:15.30
ご参考(というか自分ためのメモ)
URLリンク(members3.jcom.home.ne.jp)
物理のぺーじ?
  内容
・注意
・計算が結構詳しい
・物理の説明はなるべく教科書等と相互補完してください
・力学と電磁気学の入門的な説明はしてません
・pdfで作っているので見るにはAdobe Readerが必要です
・フォントを埋め込んでないのでLinuxとかだと日本語が表示されないかも

2014年5月6日場の量子論:非線形シグマモデル追加
力学
電磁気学
解析力学
量子力学
統計力学
一般相対性理論
相対論的量子力学
QED
場の量子論
有限温度の場の理論
弦理論

数学
試作コーナ
索引
更新履歴
参考図書
収集物(実験)
便利なもの
一応掲示板

533:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:39:26.44
>>531
つづき

4次元で、下記が、なかなか絵が充実しているね
これが置いてある、Andrew Ranicki’s Homepageでも”wild ”という言葉が良くヒットする。”wild ”すきみたいだね。すぎちゃんの系統かね
URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)
Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4

URLリンク(www.ams.org)
Errata (PDF file) posted September 16, 2005 URLリンク(www.ams.org)
This page will be used for updates and additional material.

URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)
Andrew Ranicki’s Homepage
School of Mathematics
University of Edinburgh

534:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:41:37.89
関連

下記TEXTも絵に工夫があるんだ・・
URLリンク(www.math.upenn.edu)
Robert Ghrist
ELEMENTARY APPLIED TOPOLOGY TEXT DRAFT (in progress; revised 3/2014)

the following are rough draft versions of a text-to-be on applied algebraic topology, all in pdf. enjoy! the bibliographic entries are not yet added, and some of the cross-references and pictures are muddled...sorry!

Preface
Chapter 1: Manifolds
Chapter 2: Complexes
Chapter 3: Euler Characteristic
Chapter 4: Homology
Chapter 5: Sequences
Chapter 6: Cohomology
Chapter 7: Morse Theory URLリンク(www.math.upenn.edu)
Chapter 8: Homotopy (new!) URLリンク(www.math.upenn.edu)
Chapter 9: Sheaves
Chapter 10: Categorification

535:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:45:59.93
関連

下記がよくまとまっている
URLリンク(en.wikipedia.org)
(抜粋)
4-manifold
From Wikipedia, the free encyclopedia
Contents
1 Topological 4-manifolds
2 Smooth 4-manifolds
3 Special phenomena in 4-dimensions
4 Failure of the Whitney trick in dimension 4

Smooth 4-manifolds
For manifolds of dimension at most 6, any piecewise linear (PL) structure can be smoothed in an essentially unique way,[1]
so in particular the theory of 4 dimensional PL manifolds is much the same as the theory of 4 dimensional smooth manifolds.
A major open problem in the theory of smooth 4-manifolds is to classify the simply connected compact ones. As the topological ones are known, this breaks up into two parts:

1. Which topological manifolds are smoothable?
2. Classify the different smooth structures on a smoothable manifold.

There is an almost complete answer to the first problem of which simply connected compact 4-manifolds have smooth structures.

536:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 18:47:49.01
>>535
> 1. Which topological manifolds are smoothable?
>There is an almost complete answer to the first problem of which simply connected compact 4-manifolds have smooth structures.

そうなん? と思いますけどね・・

537:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 21:43:43.34
ご参考(というか自分ためのメモ)
下記記事がなかなか面白かった
URLリンク(en.wikipedia.org)
Stanislaw Ulam

URLリンク(en.wikipedia.org)
Borsuk?Ulam theorem

URLリンク(ja.wikipedia.org)
対称性 (物理学)

URLリンク(en.wikipedia.org)
Symmetry (physics)

538:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 23:31:25.97
>>471-472
関連

これ、なかなか面白いんだよね
URLリンク(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
弦理論におけるブラックホールの微視的状態とその粗視化 小川 軌明 修士京大 2008

で、小川 軌明氏は博士論文書いたあと、京大でTAやって、いま、IPMU-カブリ数物連携宇宙研究機構みたい。修論えらくレベルが高かった・・
URLリンク(db.ipmu.jp)

539:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 23:50:26.22
で、結局我々人類は、まだ自分たちの住む4次元時空を十分理解していないわけで
それは、R4(ユークリッド空間)ではなく、ミンコフスキー時空なわけで
ミンコフスキー時空を追求していくと、AdSへ辿り着く>>472
一方で、量子力学から素粒子へ行って、相対論との整合性から、ドナルドソン理論へ>>484-485。4次元はエキゾチックなんだという。そしてCFTへ

ドナルドソン理論が物理の理論から来ているとか、その他いろいろ物理屋さんとも関連している4次元世界

540:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/05/11 23:53:25.11
4次元世界をしっかり理解することは、物理数学両面から重要なんだろうなと
そう思う今日この頃
次元はやっぱり面白い世界だなと・・

541:132人目の素数さん
14/05/12 21:10:19.14
続き~の連投の人
おまえの長い話は4次元だとどうなるんだ?

542:132人目の素数さん
14/05/12 21:17:47.41
なんと知性の感じられないツッコミか

543:132人目の素数さん
14/05/18 18:29:09.08
>>541
ども
4次元だとキャッソンハンドルに同相らしい
"Casson's idea was to iterate this construction an infinite number of times, in the hope that the problems about double points will somehow disappear in the infinite limit."
ということなので、”disappear in the infinite limit."が結論だな

URLリンク(en.wikipedia.org)
In 4-dimensional topology, a branch of mathematics, a Casson handle is a 4-dimensional topological 2-handle constructed by an infinite procedure. They are named for Andrew Casson, who introduced them in about 1973.
They were originally called "flexible handles" by Casson himself, and Michael Freedman (1982) introduced the name "Casson handle" by which they are known today.
In that work he showed that Casson handles are topological 2-handles, and used this to classify simply connected compact topological 4-manifolds.

544:132人目の素数さん
14/05/18 18:32:17.21
>>542
どもです。

無関係な脈絡ですが、これご参考。なかなか面白かった
URLリンク(ameblo.jp)
高次元への旅|『銀杏と共にあらんことを!』 surgeon mizutani

545:132人目の素数さん
14/05/18 20:46:59.12
名前を入れ忘れたのか

546:132人目の素数さん
14/05/19 06:33:17.21
4次元は大小関係のない世界だと聞いただとすると複素平面のことじゃ
ないのか?

547:132人目の素数さん
14/05/19 09:18:12.03
運営乙

548:132人目の素数さん
14/05/23 21:42:23.12
>>545
ども。専用ブラウザのJANEの料金の期限切れでね。
クレジットの支払いは、情報漏洩あったので、やりたくない。
暫くIEで。不便だが。

549:132人目の素数さん
14/05/23 21:44:24.87
えっ?

550:132人目の素数さん
14/05/23 21:46:29.08
>>546
>4次元は大小関係のない世界だと聞いただとすると複素平面のことじゃないのか?

質問には答えられないが
(x1,x2,x3,x4)というR4を、複素数で(z1,z2)で考えるのはありだと。
さらには、四元数の(q1)で考えるのもありだと。

551:132人目の素数さん
14/05/23 21:53:11.85
>>548-549

これだけど・・
URLリンク(ja.wikipedia.org)
2ちゃんねる個人情報流出事件とは、2013年8月に電子掲示板である2ちゃんねるの有料サービスである2ちゃんねるビューア(以下、通称である「●」)を利用している会員の個人情報が、
Torネットワーク上のOnionちゃんねるTor板に大量に流出した個人情報漏洩事件。

2013年中旬、「●」の個人情報が収録されたサーバーがクラッカーによるシステム侵入を受け、
約4万件の会員のクレジットカード番号や名前などの顧客情報と書き込み履歴、約15万件分の「●」と「お試し●」の管理情報、利用者のトリップの情報、運営に関わる者のキャップの情報が不正に引き出された[1]。

その後、8月に入ってから「さっしーえっち MwKdCUj7XWlQ」を名乗る人物により、
Tor板上に流出した情報が公開され、その情報は8月26日時点で閲覧可能な状態であった。

この流出した情報から会員は決済に使われる危険性や、匿名で投稿した人の投稿者個人が特定される危険性が考えられており、
実際に特定された人達がピンポンダッシュや無言電話などの被害に遭っている[2][3][4]。

552:545
14/05/24 03:52:04.90
>>548
専ブラでなくても名前は入れられる

553:132人目の素数さん
14/05/24 06:43:17.92
>>552
ども
名前は入れられるが、面倒なので省略しています

554:132人目の素数さん
14/05/24 10:34:41.47
>>550
補足
こういうことみたい

URLリンク(en.wikipedia.org)
An n-sphere is the surface or boundary of an (n + 1)-dimensional ball, and is an n-dimensional manifold.
For n ≥ 2, the n-spheres are the simply connected n-dimensional manifolds of constant, positive curvature.
The n-spheres admit several other topological descriptions:
for example, they can be constructed by gluing two n-dimensional Euclidean spaces together, by identifying the boundary of an n-cube with a point,
or (inductively) by forming the suspension of an (n - 1)-sphere.

4-sphere
Equivalent to the quaternionic projective line, HP1. SO(5)/SO(4).

URLリンク(en.wikipedia.org)
In mathematics, quaternionic projective space is an extension of the ideas of real projective space and complex projective space,
to the case where coordinates lie in the ring of quaternions H. Quaternionic projective space of dimension n is usually denoted by

\mathbb{HP}^n

and is a closed manifold of (real) dimension 4n. It is a homogeneous space for a Lie group action, in more than one way.

Projective line
From the topological point of view the quaternionic projective line is the 4-sphere, and in fact these are diffeomorphic manifolds.
The fibration mentioned previously is from the 7-sphere, and is an example of a Hopf fibration.

555:132人目の素数さん
14/05/24 10:38:04.35
>>554
このQuaternionicというのが、四元数で、下記

URLリンク(en.wikipedia.org)

556:132人目の素数さん
14/05/30 21:48:13.71
これ、なかなかの名著です

URLリンク(www.amazon.co.jp)
四元数・八元数とディラック理論 [単行本] 森田克貞 (著)

商品の説明
内容紹介
四元数・八元数で記述された素粒子論を理解する。
内容(「BOOK」データベースより)
時空と四元数の関係には、従来のアプローチより深い階層が存在する。それを明らかにし、四元数・八元数を使って素粒子を記述する。歴史的記述や文献情報も豊富。
著者について
中部大学・名城大学非常勤講師
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
森田/克貞
1942年京都市に生まれる。
1964年京都大学理学部物理学科卒業。
1969年名古屋大学理学部助手。
1970年京都大学理学博士。
1971~72年カナダ・ダルハウジー大学に滞在。
1995年名古屋大学理学部助教授。
2005年名古屋大学大学院理学研究科退職。現在、中部大学非常勤講師、名城大学非常勤講師。専攻、素粒子論(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

557:132人目の素数さん
14/05/31 04:38:14.03
age

558:132人目の素数さん
14/05/31 04:50:17.76
ほー、こんなことが起こっていたのか!
(URLが通らないので、検索請う)
西村博之が2ちゃんねるを攻撃するのはホットリンクからの圧力が原因か 2014/04/15/ (火) ArtSalt
(抜粋)
電子掲示板2ちゃんねる (2ch.net) の管理人だった西村博之(にしむら・ひろゆき)が
2ch.**(**=sc) というパクリサイトをでっちあげて2ちゃんねるからデータを不法に無断転載して2ちゃんねるのクローンを管理運営している件。
この騒動をめぐっていろんな出来事が起きています。
オイラの力量で全体図を追うのは不可能なので本日(2014/04/15)に至るまでの数日間に起きた攻防だけをおおざっぱに並べてみます。つまり、

さくらインターネットのサーバーを借りている西村2chが本家2chを大規模なクローリング攻撃。本家2chに常軌を逸した負荷をかけることに成功。多くの板が落ちる。
本家2chがさくらインターネットを遮断。これによって西村2chは本家2chのクローンを作れなくなる。
西村2chはプロクシサーバーを利用して(?)クローン作業を再開。
本家2chはクローラーをリダイレクトし、スレッドのタイトルとレスを「転載禁止です」と改竄した偽のデータを喰わせる。(下のスクリーンショット2枚)。
西村2chが何らかの手段でこの防御をかわして正常なクローン作業を再開。(一説によると人海戦術による手動コピペ)。

…という流れです。一進一退の攻防です。プロクシサーバー云々のところをオイラはよく理解していないので間違った解釈かもしれません。

559:132人目の素数さん
14/05/31 17:19:24.10
これ(橋本 義武先生の)は、前にも紹介したかもしれないが、そうであればご容赦
URLリンク(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
橋本 義武  Yoshitake Hashimoto
URLリンク(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
新雑文集
URLリンク(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
Milnor と Donaldson(続)

そして Donaldson の論文だが,Milnor につづく多様体のトポロジーの華々しい成果に重ね重ね賛辞を捧げた上で敢えてお叱りを恐れずに言うと,
それらがトリビアルに思えてしまうほどの(もちろんそういうわけではないのだが)衝撃である.何と言っても結果が文句なく強く,なおかつ方法が革新的であった.

方法の革新性については既に多くのことが語られているように思うので,ここでは端折る.
非線形偏微分方程式の解空間から多様体の交叉形式を知ることができる,という知らせによって,トポロジストの前に無限次元への扉が開いたというお話だが,
そもそも接/法ベクトル束以外のベクトル束を多様体のトポロジーに応用したことすら,はじめてだったんじゃないだろうか.

Donaldson の理論には,それまでのトポロジーにあまり似たものがない.ゲージ理論の応用と言うので物理から多くを学んだのかと思うとそうでもない.
(むしろ物理学者の方が Donaldson の理論に学び,約10年経って Seiberg-Witten 理論を生む.
これは,物理の方での,従来の対象や問題について全くわかっていなかったことがわかった,というタイプの結果であって,
弦理論に批判的な,あるいは物理に現代数学を導入することに批判的な保守派物理学者たちにも有無を言わせないものがあった.)
Donaldson の理論が似ているのは,むしろ小平邦彦の仕事である.調和積分論,Riemann-Roch の高次元化,消滅定理,変形理論,複素曲面論(特にK3),いずれにも深い関わりがある.

560:132人目の素数さん
14/05/31 17:39:39.09
>>556
自費出版?

561:132人目の素数さん
14/05/31 17:58:34.79
関連で、こんなのがヒットした
URLリンク(www.mathunion.org)
ICM Proceedings 1893-2010 Based on joint work by R. Keith Dennis (Ithaca) and Ulf Rehmann (Bielefeld).

URLリンク(www.mathunion.org)
Michael Atiyah On the Work of Simon Donaldson

URLリンク(www.mathunion.org)
DONALDSON, S. K. The geometry of 4-manifolds.

562:132人目の素数さん
14/05/31 18:01:57.49
>>560
ども
自費出版? かどうか不明だが、一冊買った。ジュンク堂で

563:132人目の素数さん
14/05/31 18:22:05.22
日本評論社

564:132人目の素数さん
14/05/31 18:40:17.25
>>563
ども
半自費みたいなのもあってね
売れなかったら、買い取り条件付き出版みたいな。半分詐欺っぽいのもある
日本評論社でそれはないという意味?
いま奥付見ると、2011.10.10 第1版第2刷発行なので
第1版第1刷が売れたので、追加印刷かけたということだな

565:132人目の素数さん
14/05/31 18:46:59.11
これ良く纏まっている
URLリンク(en.wikipedia.org)
Differential structure

ifferential structures on topological manifolds

As mentioned above, in dimensions smaller than 4, there is only one differential structure for each topological manifold.
That was proved by Johann Radon for dimension 1 and 2, and by Edwin E. Moise in dimension 3.[3]
By using obstruction theory, Robion Kirby and Laurent Siebenmann [4] were able to show that the number of PL structures for compact topological manifolds of dimension greater than 4 is finite.
John Milnor, Michel Kervaire, and Morris Hirsch proved that the number of smooth structures on a compact PL manifold is finite and agrees with the number of differential structures on the sphere for the same dimension
(see the book Asselmeyer-Maluga, Brans chapter 7)
By combining these results, the number of smooth structures on a compact topological manifold of dimension not equal to 4 is finite.

Dimension 4 is more complicated. For compact manifolds, results depend on the complexity of the manifold as measured by the second Betti number b_2.
For large Betti numbers b_2>18 in a simply connected 4-manifold, one can use a surgery along a knot or link to produce a new differential structure.
With the help of this procedure one can produce countably infinite many differential structures.
But even for simple spaces like S^4, {\mathbb C}P^2,... one doesn't know the construction of other differential structures.
For non-compact 4-manifolds there are many examples like {\mathbb R}^4,S^3\times {\mathbb R},M^4\setminus\{*\},... having uncountably many differential structures.

566:132人目の素数さん
14/05/31 22:50:55.89
本が落とせる
fURLリンク(89.249.165.127)
Dirac operators in Riemannian geometry - ‎Friedrich - 引用元 305 2000

567:132人目の素数さん
14/06/01 11:14:06.28
>>509
>古田幹雄氏による『10/8定理』

PDFがあった
URLリンク(intlpress.com)
MONOPOLE EQUATION AND THE 11-8-CONJECTURE M Furuta Mathematical Research Letters 2001

568:132人目の素数さん
14/06/07 09:44:09.93
>>434
気になるので戻るけど

>で、高校数学を乗り越えて、大学数学にたどり着くと証明の嵐
>証明こそが数学だと思い知ることになるけどここでつまずく人が多数派だろう
>でも証明や論理展開が好きになる人もいる
>ここ見てる人は大半がこのパターンだろうがw
>証明わからなかったら定義だけはしっかり確認しようというのが自分自身への戒め

証明は、分かると、その(例えば定理の)数学的構造あるいは内容を反映したものだと見えてくる場合がある。
というか、そこまで進まないと勉強したと言えないかもね。

大きな定理は、山に例えられる場合がある。いくつもの定理の積み上げの後に、大定理の証明があり、そこが山頂だと。下から一歩一歩。
山頂から振り返ってみれば、自分の辿ってきた道が見え、山の構造が見える。
なぜ、こういう証明の道筋なのか。それは、山頂に立たないと見えてこないものかも知れない。

”証明わからなかったら定義だけはしっかり確認しようという”に加え、これは何をしようとしているのか? 証明のゴールの確認(それは山頂でもあり、山頂へ至るキャンプ地かもしれない)。
定義とゴールとを確認して、「定義とゴールとを結ぶ道を示すことが証明なんだ」と。
そして、常に山の構造を意識しよう。自分はいま何合目に居るのかを。

569:132人目の素数さん
14/06/07 10:51:57.59
検索で、下記ヒット。これ面白いね

URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic Smoothness and Physics Differential Topology and Spacetime Models 2007

570:132人目の素数さん
14/06/07 11:06:05.46
>>569 補足
この本のP239 ”8.4 The First Constructions of Exotic R4”が
これ、松本氏の>>510 「増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」URLリンク(blog.goo.ne.jp)
P198「R4上のエキゾチックな微分構造」を、詳しく解説した内容になっている。
さらに、P248 ”8.6 Explicit Descriptions of Exotic R4's”が抜群だね。Fig.8.3が良い。

571:132人目の素数さん
14/06/07 16:40:19.47
>>569 補足
この本の最終章が特に面白いね

Chapter 11
From Differential Structures to Operator Algebras and Geometric Structures
This chapter surveys some of the interesting interplay of exotic smoothness
with other areas of mathematics and physics. In the first section we consider
the “change” of a differential structure on a given TOP manifold to a differential
structure on a second manifold homeomorphic but not diffeomorphic
to the first one. Harvey and Lawson introduced the notion of singular
bundle maps and connections to study this problem. This leads to speculations
that such a process could give rise to singular string-like sources to
the Einstein equations of General Relativity, including torsion. The next
section deals with formal properties of a connection change and its relation
to cyclic cohomology, providing a relationship between Casson handles
and Ocneanus string algebra. This approach motivates introduction of the
hyperfinite II1 factor C* algebra T leading to the conjecture that the differential
structures are classified by the homotopy classes [M, BGl(T)+]. This
conjecture may have some significance for the the 4-dimensional, smooth
Poincark conjecture. The last section introduces a conjecture relating differential
structures on 4-manifolds and geometric structures of homology 3-spheres naturally embedded in them.

572:132人目の素数さん
14/06/07 16:59:26.71
>>569補足

>>394>>533の関連だね

573:132人目の素数さん
14/06/07 18:24:48.44
突然ですが
URLリンク(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
特任講師 -山下 剛- 京都大学 数理解析研究所

 近年は, 望月新一氏による宇宙際幾何学のさらなる発展の方向性で同氏と共同研究をしている. 望月新一氏の計算においてabc予想の誤差項にRiemannゼータ関数との関連性を示唆する1/2が現れる.
一方, 同氏の宇宙際Teichmüller理論においてテータ関数が中心的役割を果たすのであるが,
テータ関数はMellin変換によってRiemannゼータ関数と関係する.

これですね
URLリンク(en.wikipedia.org)
Riemann zeta function
7 Representations
7.2 Mellin transform
7.3 Theta functions

URLリンク(www.math.kobe-u.ac.jp)
Eisenstein 級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数 佐藤文広 1996

URLリンク(www.takasaki-hs.gsn.ed.jp)
Laplace変換をめぐる数学(科学)への旅 SSH課題研究 高崎高校 2004

574:132人目の素数さん
14/06/07 21:40:28.40
>>569-571

URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic Smoothness and Physics Differential Topology and Spacetime Models 2007

Exoticな時空が、物理学にどう影響するのか
そこを詳しく書いている
名著だと思う

575:132人目の素数さん
14/06/08 05:33:04.15
>>574
著者
URLリンク(www.researchgate.net)
Torsten Asselmeyer-Maluga PhD Researcher
German Aerospace Center (DLR)

About
The differential or smoothness structure of a topological manifold (if it exists) can be non-unique.
In all dimension except 4 there are only a finite number of different (i.e. non-diffeomorphic) smoothness structures.
But dimension 4 is exceptional.
Here there are an infinite number of different smoothness structures,
countable infinite for most compact and uncountable many for many non-compact 4-manifolds.
But what is the physical meaning of this fact, that is my main research program.


URLリンク(en.wikipedia.org)
Carl Henry Brans (born December 13, 1935) is an American mathematical physicist
best known for his research into the theoretical underpinnings of gravitation elucidated in his most widely publicized work, the Brans–Dicke theory.

Recently Brans began study of developments in differential topology concerning the existence of exotic (non-standard) global differential structures and their possible applications to physics.
This work includes looking at the exotic 7-sphere of Milnor as an exotic Yang-Mills bundle,
and most especially the infinity of exotic differential structure on Euclidean four space (exotic R4) as alternative models for space-time in general relativity.
Much of this work has been done in collaboration with Torsten Asselmeyer-Maluga of Berlin.
In particular, they made the proposal that exotic smoothness structures can be resolve some of the problems in cosmology like dark matter or dark energy.
Together they published a book, Exotic Smoothness and Physics World Scientific Press, 2007.

576:132人目の素数さん
14/06/08 08:29:40.18
>>533
いま気付いたが、このScorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I. URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)
について松本氏(「増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」URLリンク(astore.amazon.co.jp)>>510が、
「11/8予想の書き方が悪い」と注文を付けているね。(増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」P237)

577:132人目の素数さん
14/06/14 00:34:04.56
>>559
>方法の革新性については既に多くのことが語られているように思うので,ここでは端折る.
>非線形偏微分方程式の解空間から多様体の交叉形式を知ることができる,という知らせによって,トポロジストの前に無限次元への扉が開いたというお話だが,
>そもそも接/法ベクトル束以外のベクトル束を多様体のトポロジーに応用したことすら,はじめてだったんじゃないだろうか.
>
>Donaldson の理論には,それまでのトポロジーにあまり似たものがない.ゲージ理論の応用と言うので物理から多くを学んだのかと思うとそうでもない.
>(むしろ物理学者の方が Donaldson の理論に学び,約10年経って Seiberg-Witten 理論を生む.

松本氏(「増補新版 4次元のトポロジー:松本幸夫」URLリンク(astore.amazon.co.jp)>>510が、書いているが
まあ4次元は特殊な次元で、exoticな微分構造があふれている
Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I. URLリンク(www.maths.ed.ac.uk) には
閉には加算無限、開には非加算無限のexoticな微分構造が入りうるという予想が

そうだとすれば、4次元のexoticな微分構造は、有限の代数的トポロジーの指標(ホモロジーなど)では捉えきれない存在(それが本質)
であれば、微分構造の差を見るには、微分を使う力学系の指標が良いんでないの? それしかない。それが、DonaldsonでありSeiberg-Wittenであったと

578:132人目の素数さん
14/06/14 05:47:02.91
>>574 補足
URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic Smoothness and Physics Differential Topology and Spacetime Models 2007
より
11.2.4 Geometric structures on %manifolds and exotic differential structures

To summarize, we hope to have provided support for the conjecture:
Conjecture: The differential structures on a simply-connected compact, 4-manifold M are determined by the homotopy classes [M, BGl(T)+] and
by the algebraic K-theoy K3(T) where T is the hyperfinite II1 factor C*-algebra.
The classes in K3(T) are given by the geometric structure and/or a codamension-1 foliation of a homology 3-sphere in M determining the Akbulut cork of M.

From the physical point of view, this conjecture is very interesting
because it connects the abstract theory of differential structures with well-known structures in physics like operator algebras or bundle theory.
Perhaps such speculations may provide a geometrization of quantum mechanics or more.
We close this section, and book, which these highly conjectural remarks.

579:132人目の素数さん
14/06/14 05:55:46.39
>>578 補足
>Conjecture: The differential structures on a simply-connected compact,

これ、微分ポアンカレ予想の拡張になっている
( 参考 URLリンク(www1.gifu-u.ac.jp)

580:132人目の素数さん
14/06/14 06:12:06.30
>>576 補足

Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I. URLリンク(www.maths.ed.ac.uk)

Epilogue
Under the light of the various examples seen in this book, it seems reasonable to conjecture that,
if a topological 4-manifold admits a smooth structure at all, then it might admit infinitely many.
While gauge theory was how the door was opened on those vast unexplored realms, it might not be how these will be charted.
We have seen that there are whole realms where the Seiberg-Witten invariants cannot help us.
For example, the theory is blind on 4-manifolds that admit metrics of positive scalar curvature,
on homology 4-spheres (which in particular leaves the smooth 4-dimensional Poincare conjecture with no solution in sight),
on all manifolds with hi even, and in general on 4-manifolds that are far from complex.
More, gauge theory offers only negative results (as in "two manifolds are not diffeomorphic").
Indeed, the field of 4-manifolds lacks enough techniques for obtaining affirmative results (as in "two manifolds are diffeomorphic").
Looking back, the only affirmative results we encountered came either from ad hoc constructions, from Kirby calculus, or from complex geometry.
The field also lacks techniques for building enough examples, which might one day be organized into any sort of classification scheme.
We are lost in an ever-growing jungle.
Hence the final conclusion of this volume can only be that
We know that we don't know.
This only makes it all the more exciting ...

581:132人目の素数さん
14/06/14 06:26:02.79
>>580 訂正

on all manifolds with hi even,
 ↓
on all manifolds with b2+ even,

582:132人目の素数さん
14/06/14 12:36:27.82
>>577-579
>閉には加算無限、開には非加算無限のexoticな微分構造が入りうるという予想が
>そうだとすれば、4次元のexoticな微分構造は、有限の代数的トポロジーの指標(ホモロジーなど)では捉えきれない存在(それが本質)
>であれば、微分構造の差を見るには、微分を使う力学系の指標が良いんでないの? それしかない。それが、DonaldsonでありSeiberg-Wittenであったと

参考
URLリンク(ja.wikipedia.org)
AdS/CFT対応の実例は、AdS7x S^4 上のM-理論は、6次元のいわゆる (2,0)-理論に等価であろうという例である。[27]
この理論は、古典的極限(英語版)を持たない量子力学の理論であるので、いまだ少ししか理解されていない。[28]
この理論を研究することに内在的な困難さがあるが、物理学と数学の双方にとって、様々な理由からこの理論は興味ある対象と考えられている。[29]
(引用おわり)

4次元は、高次元の数学的理論が使えない。DonaldsonやSeiberg-Wittenみたく、微分構造に敏感な対象を物理から借りてくる
AdS7x S^4 上のM-理論なんか面白そう。微分構造依存性が解明できれば、S^4にexotic微分構造を構築できるかも・・

583:132人目の素数さん
14/06/14 12:54:33.25
>>582
補足
引用文献
29^ See Moore 2012 and Alday, Gaiotto, and Tachikawa 2010.
これ Moore 2012が日本語版では抜け 英語版にある
URLリンク(en.wikipedia.org)
Moore, Gregory (2012). "Applications of the six-dimensional (2,0) theories to Physical Mathematics". Retrieved 14 August 2013.
URLリンク(www.physics.rutgers.edu)
これがなかなか名著

584:132人目の素数さん
14/06/14 13:11:53.08
>>583
補足
> 29^ See Moore 2012 and Alday, Gaiotto, and Tachikawa 2010.

Tachikawaは、検索で結構ヒットする。引用多い
URLリンク(arxiv.org)
Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories Yuji Tachikawa 2010

URLリンク(www-hep.phys.s.u-tokyo.ac.jp)
URLリンク(www-hep.phys.s.u-tokyo.ac.jp) 中島先生や長尾くんにならって、論文の背景についてコメントを書いてみようかと思いました。
URLリンク(www.s.u-tokyo.ac.jp) 漢字名

585:132人目の素数さん
14/06/14 13:28:01.88
>>582 補足
(2,0)-理論関連で、こんなのがヒット(結構新しいので紹介)

URLリンク(www.phys.vt.edu)
Selected recent talks
Talk at Heterotic strings and (0,2) QFT (Texas A&M, April 28 - May 2, 2014) on Recent developments in 2d (0,2) theories
URLリンク(www.phys.vt.edu)
Talk at TU Wien (physics) on March 10, 2014 on Duality in two-dimensional nonabelian gauge theories.
URLリンク(www.phys.vt.edu)


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