14/03/30 23:22:13.27
K3曲面って面白いね
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K3曲面は、複素トーラスとともに 2次元のカラビ・ヤウ多様体である。ほとんどの複素K3曲面は代数的ではない。このことは、K3曲面を多項式により定義される曲面として射影空間へ埋め込むことができないことを意味する。
Andre Weil (1958) は、これらに 3人の代数幾何学者の名前、エルンスト・クンマー(Ernst Kummer)、エーリッヒ・ケーラー（英語版）(Erich Kahler)、小平邦彦(Kunihiko Kodaira)にちなむと同時に、
（当時は未踏の山であった）カシミールの山であるK2にちなみK3曲面と名付けた。
“ Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des varietes kahleriennes dites K3, ainsi nommees en l'honneur de Kummer, Kahler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire ”
?Andre Weil (1958, p.546)の「K3曲面」という名前の理由について引用
定義
K3曲面を特徴づけることに使うことのできる多くの同値な性質がある。
完備で滑らかな自明な標準バンドルを持つ曲面は、K3曲面と複素トーラス（もしくはアーベル多様体）であるので、K3曲面を定義するために複素トーラスを場外する条件を入れることができる。曲面が単純連結であるという条件が良く使われる。
定義にはいくつかの変形があり、射影曲面に限定したり、デュヴァル特異点（英語版）(Du Val singularities)[1]を持つことを許す定義もある。
弦双対性との関係
K3曲面は、弦双対性（英語版）のほとんどの箇所に現れ、重要なツールを提供する。弦のコンパクト化（英語版）に対して、K3曲面は、自明な空間ではないが、詳細な性質のほぼ全部を解明できる空間である。
タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E8×E8 ヘテロ弦、Spin(32)/Z2 ヘテロ弦、及び M-理論は、K3曲面上のコンパクト化により関連付けらることができる。
例えば、K3曲面上へコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4-トーラス上へコンパクト化されたヘテロ弦に等価である。Aspinwall (1996)