14/03/10 22:25:31.40
この記事面白いね
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2013-05-19 エキゾチックな球面 ryamada2013-05-19
■[微分幾何][トポロジー][四元数][クオータニオン][R][onion]多次元球のいろいろな張り合わせ
多次元視覚のことをやっている(こちら)
そうすると、視覚で取った情報から各点の微分に関する情報を取り出して、それによって対象を理解しようか、という話になる
じゃあ、ということで多様体上の微分のことが気になるのだが、そこには「球は球でも微分の状態が違うことがある」という話題がある
エキゾチックな球面という話である(こちら)
多次元球面ならどんなものでもエキゾチックな球面があるかというとそうでもないらしい
歴史的に最初に登場した７次元球面の話でこれをなぞってみることにする(７次元のエキゾチック球面)
今、四元数の性質から、q(x),q(y)のハミルトニアン積q(x)q(y)もやはり四元数でそのノルムが１だから
上半分の(x,y)と下半分の(x,y’)(ただしy’はハミルトニアン積(q(x)q(y)の４成分の係数が作る長さ４のベクトルとする)が１対１対応付けできる
(その貼りあわせも素直な対応関係だから微分可能で、そうすると、微分の仕方の違う球面ができる、という話)
Rでやってみよう。Rには四元数・八元数をハンドリングするonionパッケージがある(ハミルトニアン積の関数がどれだか分らなかったのであまりメリットを得ていないのだが…)
適当に回転させてその軌道が貼り合わせによって変わることをみる