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物理モデル
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数学の証明で物理学の考え方を使う 2009/8/30
ポアンカレ予想をペレリマンが証明したとき、物理学考え方も使ったと聞きました。
そこで疑問に思ったのですが、彼は物理学考え方をどんな場面でどのようにして使ったのでしょうか。
物理学には公理がないので公式等は説明はできても証明はできないはずです。それを、完全無欠のみ許される数学の証明で、どうやって使ったのかが、とくに気になります。
以上の２点をお願いします。
補足
エネルギーや温度をどういう風に使ったのか分かりませんか(エネルギーや温度を使えば、どんなことができるのか等)？説明は専門的になってもかまいません。
ベストアンサーに選ばれた回答
ほとんど『解決！ポアンカレ予想』（日本評論社）からの抜粋になってしまいますが、以下のようになります。
リッチフローが有限時間Tで時空の特異点に達し、その特異点のまわりで連結和分解を特徴づける曲率と体積の関係（これは結局定曲率球面の曲率は半径の二乗に反比例するという当然の結果だそうで、
「局所崩壊の非存在」といいます）が成り立たないということが仮に起きたとします。すると時刻Tの周りを拡大してみると、特異点から変な確率分布をもった空間が出ていて、対数ソボレフ不等式に矛盾しているそうです。
これは不可能ですから連結和分解が起きていないといけないのですが、連結和分解が起きていることの証明は実際には込み入った議論を要します。しかしその議論の大きなアイディアは統計力学です。
ペレルマンは浴熱(thermostat)の概念をリーマン幾何に導入しました。
（つづく）