14/01/19 09:34:06.39
>>294
大栗博司先生
これはいいね 何度も読んでいる
P217のコラム 「２１世紀の数学は超弦理論になる！」
という数学と物理との対応というか相互作用
例えば、２０世紀の数学は、アインシュタインの相対性理論や量子力学にも影響を受けて発展してきた
アインシュタインの相対性理論に使われた数学が、テンソル解析だった
でも、本質は多様体。つまり、ニュートンあるいはそれ以前から人間が直感的に把握していた
世界は３次元のユークリッド空間 （URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）＋１次元の時間という概念をぶち壊した。宇宙は非ユークリッドの多様体だと
ここから、ケーラー多様体とかいろいろ。URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（ケーラー多様体は、リッチテンソルが計量テンソルに比例する、つまりある定数 λ に対し R = \lambda g である場合に、ケーラー形式と計量を ケーラー・アインシュタイン （あるいはときにはアインシュタイン・ケーラー）と呼ぶ。
この命名はアインシュタインの宇宙定数について考えたことにちなむ。さらに詳しくはアインシュタイン多様体（英語版）の項目を参照のこと。）
小平先生もここらの研究でしたか？ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 1938年同学科卒業後、同大学物理学科入学。1944年東京帝国大学物理学科助教授に就任。物理もやっていた？
それが発展して、カラビ-ヤウ多様体へ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一方、量子力学は、シュレージンガー方程式をベースにした偏微分方程式が使われた
偏微分方程式自身は、１９世紀からあったが、ディラックがデルタ関数を使った （ディラックのデルタ関数 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
これを使ってシュワルツという人が、超関数 (distribution) URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) を考えた
それに刺激されて、佐藤もなにか考えた URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/01/19 11:13:19.58
>>301 つづき
で、物理からの刺激を受けて発展してきた数学の多様体理論や群論やその他大勢の集大成の結果の
超弦理論 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) AdS/CFT対応 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双対性の有益さの大半は、強弱双対性から来ている。つまり、場の量子論が強い相互作用である場合に、重力理論の側は弱い相互作用であるので、数学的に取り扱い易くなっている。
強結合の理論を強弱対称性により数学的に扱い易い弱結合の理論に変換することにより、原子核物理学や物性物理学での多くの研究に使われてきている。
（引用おわり）
物理や工学で便利に使われる数学的テクニックが、純粋数学に影響を与えるとか、その逆も多い
ヤングミルズが、４次元空間の解析に使われたとか （1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
3次元ポアンカレ予想のペレルマンによる解決
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。（注：ペレルマンが物理的概念と思考を習得していて、それを適用した）
サイバーグ・ウィッテン
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相的場の理論もしくは位相場理論あるいはTQFTは、位相不変量を計算する場の量子論
TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している
サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている
位相的場の理論は、凝縮状態や他の強相関量子液体状態に有効
303:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/01/19 11:26:07.61
つづき
大栗博司先生
P181に京大数理研で佐藤幹夫所長時代に在籍したいという
「朝起きた時に，きょうも一日数学をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。数学を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に数学の世界に入っていなければならない。」>>105
が、書かれている
ともかくも>>301-302のような事情から
「２１世紀の数学は超弦理論になる！」に同意という感じです
そういう意味では分かりやすい時代になったなと
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/01/19 12:34:38.36
ああ、分かりやすいという意味は、数学と物理の関係
超弦理論の基礎になる数学は、どれだけになるのだろうか
逆に、超弦理論を学ぶことで、それらの数学を知ることになる
305:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/01/19 15:45:53.79
下記が参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
理論物理学では、位相的弦理論(いそうてきげんりろん、英: topological string theory) は弦理論の単純化されたバージョンである。
位相的弦理論の作用素は、ある個数の超対称性を保存する（物理的に）完全な弦理論の作用素の代数を表わす。位相的弦理論は通常の弦理論の世界面（英語版）を位相的にツイストすることで得られる。
ツイストされると、作用素は異なるスピンを与えられる．この操作は関連する概念である位相場理論の構成の類似物である．結局、位相的弦理論は局所的な自由度を持たない。
位相的弦理論には2つの主要なバージョンがあり、ひとつは位相的A-モデルであり、もうひとつは位相的B-モデルである。
一般的に位相的弦理論の計算の結果は、完全な弦理論の時空の量の中の超対称性により保存される値、
正則な量をエンコードしている．位相弦の様々な計算はチャーン・サイモンズ理論、グロモフ・ウィッテン不変量(Gromov?Witten invariant)、ミラー対称性、ラングランズプログラムやその他、多くのトピックに密接に関連している。
位相的弦理論は、エドワード・ウィッテンやカムラン・ヴァッファなどの物理学者により確立され研究されている。
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/01/19 18:26:58.45
>>305
訂正
URLが違っていた （まあ、健康には気をつけて下さい）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相的弦理論
307:１３２人目の素数さん
14/01/19 21:20:17.90
ど素人の知ったかくどいわ
308:１３２人目の素数さん
14/01/19 21:44:24.35
>>294をふまえると>>181-182はどうなるの？
>>181-182は妄想狂の幻想だったってこと？
309:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/01/20 22:59:35.94
>>308
なにをどう誤解しているんだろうか？
カントール連続体濃度理論というのは数学的概念でしょ？ その数学的概念と物理のビッグバンと 数学概念 VS 物理的存在 という対応の一例
いまでもそれで良いと自分は思うよ
仮に、今世紀の終わりころに、超弦理論が進展して、プランクサイズの考え得る微小な空間が、ビッグバンからインフレーションを経て137億年の宇宙形成を説明できるところまで発展したとして
上記のカントール連続体濃度理論に対応する物理の対応物が宇宙生成理論であるということは、それで良いと自分は思うよ
310:１３２人目の素数さん
14/02/05 06:10:01.33
こんなのが
Inter-universal geometry と ABC予想 ２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:383番)
URLﾘﾝｸ(www.mathsoc.jp)
これは下記からだ
第58回代数学シンポジウム（報告集）
日程： 2013年8月26日（月）-- 8月29日（木）
プログラムおよびPDFファイル
8月28日(水) 代数幾何
09:45 - 10:45 加藤和也（シカゴ大） (*) Motive のheight と、Hodge 理論、p 進Hodge 理論 (pdf file)
ついでに
11:00 - 12:00 大栗博司（カリフォルニア工大、東大IPMU） (*) 超弦理論の見地からミラー対称性のような現象がどのように現れるか
311:１３２人目の素数さん
14/02/05 06:30:50.25
>>310
加藤和也氏の資料の中でも、大栗博司氏の講演に触れている箇所がある
312:１３２人目の素数さん
14/02/05 06:34:33.10
>>310
加藤和也氏の資料の中に、下記の紹介がある
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
山崎隆雄 邦文文章
非専門家向けの文章
フェルマー予想とabc予想.
数学セミナー２０１０年１２月号. （補足 pdf.） URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
フェルマー予想とabc予想. pdf / dvi URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
２００８年度JMO夏季セミナーの講義ノート．２０１０年改訂. （補足 pdf.）
313:１３２人目の素数さん
14/02/12 06:10:11.15
École normale supérieure でガロア理論を学ばないか？
2/3に始まってた。
Introduction à la théorie de Galois
URLﾘﾝｸ(www.coursera.org)
フランス語だからなかなか(相当/まったく)厳しいものがあるけどw
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/15 17:36:10.40
乙
いま、ｗｅｂ翻訳で仏→英が結構使える。対訳されるから、おかしい訳も原文参照が容易
URLﾘﾝｸ(translate.google.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.coursera.org)
Course Syllabus
1 Introduction: description of the problem and some results on polynomials of one variable as heating.
2 Extensions body : algebraicity , algebraically closed , Lemma primitive element.
3 Minimal polynomial , combined elements.
4 Finite : Frobenius automorphisms , extensions of finite fields.
5 Group theory I: basic results , order of an element , Lagrange's theorem .
6 Galois : Lemma Artin , Galois groups , Galois .
7 Group Theory II: solvable groups , non solvability of the symmetric group Sn for n greater than or equal to 5.
8 Cyclotomy I: General cyclotomic extension, Kummer theory
9 Theorems of solvability of Galois : test solvability theorem, Galois degree p
10 Reduction mod p : calculating Galois groups of polynomials with integer coefficients by reduction modulo p
11 Supplements : cyclotomy Q ( through the reduction modulo p) and other applications
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/15 17:37:06.21
Extensions bodyは、拡大体か
316:１３２人目の素数さん
14/02/15 17:39:15.08
仏語もできないクズが代数などやらんでよろし
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/15 20:51:40.24
数学に国籍があったかね？
そもそも、戦前は代数の中心は独だった
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 11:00:51.88
リッチフローと幾何化予想 小林亮一 著 を読んでいる
もう十年ほど前になるが、ポアンカレ予想が解決された
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
書評 リッチフローと幾何化予想 小林亮一 著，培風館数理物理学シリーズ５，2011 年 大阪大学大学院理学研究科 満渕俊樹
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
ポアンカレ予想はいかにして解決されたか 小林亮一 名古屋大学 201210
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
リッチフローの基礎と三次元多様体の幾何学化 戸田正人 20050607
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)
2007年12月10日 (月) ■漫画でわかるポアンカレ予想
319:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 11:06:00.36
幾何化予想は、3次元ポアンカレ予想を含む
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何化予想（きかかよそう、Geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
位相幾何学と微分幾何学を結びつけるものでありミレニアム懸賞問題にも挙げられていたポアンカレの予想問題の解法の過程として思いつかれた。
2003年、グリゴリー・ペレルマンによるリッチフロー（Ricci flow）を用いた証明が示され、現在ではその証明が基本的に正しいものとされている。これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
概説
2次元多様体では3種類の幾何構造（ユークリッド構造、ロバチェフスキー構造、リーマン構造）が考えられ、
全ての2次元多様体はこの内1つを自然な幾何構造として持つというのは良く知られた事実であった[1]が
3次元多様体は自由度が高すぎるため一般には自然な幾何構造は持たせることはできないと考えられていた（実際これは正しい）。
これに対しウィリアム・サーストンは3次元の多様体上の自然な幾何構造というものを新たに定義しそれに基づけば8種類の幾何構造を考えられることを示した。
これらには2次元にも存在する3種類の幾何構造と2次元の円筒に対応する球面及び双曲面と線分の積空間のもつ構造（円周と線分の積空間である2次元多様体、円筒は2次元ユークリッド構造をもつ。
また、平面と線分の積空間は3次元ユークリッド構造を持つ）、及び2次の実特殊線形群(双曲平面の変換群）の普遍被覆空間（なお、球面の変換群の普遍被覆空間は3次元球面）
及びニルとソルと呼ばれる、合わせて3つの、2次元と1次元の多様体の単純な積では構成できない特殊な幾何構造がある。
サーストンの幾何化予想とは全ての3次元多様体はこれらのいずれかの幾何構造を持つ幾つかの部分多様体に分解できるというものである[2]。
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 11:19:07.73
ポアンカレ予想解決の陰に、多数の廃人がいただろう
クリストス・パパキリアコブーロス博士の話は有名だ。パパは「もしも、ポアンカレ予想が解けたなら、ギリシャに戻り、結婚できるかもしれない」と友人にもらしていたという。
ウルフガング・ハーケン博士は、ハーケン多様体にその名を残す
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)
2007年12月10日 (月) ■漫画でわかるポアンカレ予想
1950年代、ふたりの数学者が「ポアンカレ予想」の謎をめぐり、熾烈な戦いを繰り広げていた。
クリストス・パパキリアコブーロス博士（以下、パパと記す）とウルフガング・ハーケン博士だ。お互い、「ポアンカレ予想」を解いたと発表しては、その誤りが見つかるといったことの繰り返しで、一進一退、ますます深みにはまっていった。
パパは「ポアンカレ予想」の研究のためにすべての時間を使い、人前に出ることも少なかった。パパは「もしも、ポアンカレ予想が解けたなら、ギリシャに戻り、結婚できるかもしれない」と友人にもらしていたという。
しかし、ふたりの対決は突然終止符を打つ。パパが癌のため逝ってしまったのだ。彼の自宅からは、膨大なポアンカレ予想に関する遺稿が見つかる。パパさん、かわいそうね。
いっぽうのウルフガング・ハーケン博士は、パパの死後、40年間も「ポアンカレ予想」に取り憑かれていた。家族は博士のことを「ポアンカレ病患者」と呼んでひやかしたそうだ。
「今、お父さんはポアンカレ病に患っているから話もできない」と。
でも、それがよかったと博士は言う。もしも、家族が「お父さんの研究は人類史上、とても重要なことなんだ」などと言っていたら、ますます追い込まれていただろうと。
家族のさりげない言葉が日常の世界へ連れ戻してくれたと。ハーケン博士のハゲ頭（失礼）の上に子供（たぶん、孫？）がおもちゃを乗せて、遊んでいる光景がほほえましかった。
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 11:24:13.83
ウルフガング・ハーケン博士は、四色問題にシフトし、これを解決した。1976年のこと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
いかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗るには4色あれば十分だという定理である。
解決前は四色問題と呼ばれており、未解決の期間が長かったため現在でも四色問題と呼ばれることがある。
1976年にケネス・アッペル (Kenneth Appel) とヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) は、「放電」と呼ばれる手続きを考案し、1405個の不可避集合に対してコンピュータを利用した演算を行った結果、四色定理を証明するに至った[1][2][3]。
当初は、あまりに複雑なプログラムのため他人による検証が困難であることや、ハードウェアおよびプログラムのバグの可能性を考慮して、この証明を疑問視する声があった。
その後、1996年にニール・ロバートソン (Neil Robertson) らによりアルゴリズムやプログラムの改良が行われ、より簡易な手法（従来の放電手続きよりシンプルな放電手続きを考案し、不可避集合の数を1405個から633個に抑えた）による再証明が行われた[4]。
更に、2004年にはジョルジュ・ゴンティエ (Georges Gonthier) が定理証明支援系言語であるCoqを用いて、よりシンプルな証明を行った[5]。その結果、現在では四色問題の解決を否定する専門家はいなくなっている。
四色定理は実用的には地図作製だけでなく、携帯電話の基地局配置にも応用されている。周波数の同じ電波同士で混信してしまうFDMA・TDMA方式の携帯電話システムでは、隣接する基地局同士に同じ周波数を割り当てないように、配慮している。
322:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 11:26:23.33
さて、リッチフローとは何ですか？
URLﾘﾝｸ(blogs.yahoo.co.jp)
リッチフローは栄えるか 2010/7/6(火)
今までに理学や工学をかじってきて、微分幾何学と位相幾何学の中間に当たるツールがあると
便利なのにと思ったことがしばしばありました。微分幾何学は数値解析の精度向上には便利なので
すが、数値が多すぎて理論考察や本質探査には猥雑過ぎます。他方位相幾何学は、本質はつかみ
やすいのですが、特に工学では、そこまで「きれいな」本質などそうそうなく、結局は使いにくいのです。
それに現状位相幾何は、幾何とは言いながらホモロジー群等を用いて代数的に解く場合がほと
んどで、義務教育の幾何のように補助線を引いて幾何的に解くものではないので、勢い「すり抜け
落ちる」幾何的本質があまりにも多く、かつ議論や定理が実用にならないほど高次元に行きがちです。
複素多様体が多いことも、このツールを現実から遠ざけています（ケーラー多様体等）。
そこで私が今、「ひょっとして使えないか」とひそかに期待し始めたのが「リッチフロー」です。リッチ
フローはペレリマンがトポロジー（位相数学）の難問である「ポアンカレの補題」を解くのに用いた、
微分幾何学のツールです：
URLﾘﾝｸ(blogs.yahoo.co.jp)
上記のブログ記事でも解説しましたが、リッチフローはリッチ曲率の変化のトレースです。リッチ曲率は
テンソルですから、リッチフローは一番位相幾何に近い、「集約された」微分幾何ツールと見ることが
出来ます。この観点からは、リッチフローが微分幾何と位相幾何（トポロジー）の間にあると言えます。
もしかしたら微分幾何と位相幾何の大きな「溝」を埋めてくれるかもしれません。
問うべきポイントは２つあります。第１に「リッチフローは使いやすいか」、第２に「リッチフローは幾何的
性質をどれだけ鮮やかに代表してくれるか」です。
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 11:35:13.95
従来の伝統的トポロジーだけでは解けなかった。それはいまでも、そうみたいだ
四色問題に同じ
いずれエレガントな解法（コンピュータを使った力づくの１０００近くの場合分けを調べ尽くす手法でなく）が、と言われた
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。
そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、
それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、
そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という[1]。なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし、本人はこれを辞退した。
2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた[2][3]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
この予想の解決に大きな役割を担ったのはリチャード・S・ハミルトンが導入したリッチフローという偏微分方程式である。
これはもともとハミルトンが熱伝導を記述するために考案したものだがシン＝トゥン・ヤウが幾何化予想解決につながると考えハミルトンに研究を促したもので、
19世紀の数学者グレゴリオ・リッチ＝クルバストロの名を冠するのは彼が自分の弟子のトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタと共に書いた論文で導入したことに由来する、リッチフローは以後数学のみならず物理学まで広く使われることになるテンソルの概念を基盤としている。
リッチフローは前述の通りもともと熱伝導を表すもので金融理論の有名な方程式であるブラック-ショールズ方程式とも近いものだが、ハミルトンとヤウのアイディアはこれを用いて多様体の曲率を表そうというものである。
しかし曲率は熱と比べて非常に複雑な対象である[3]。ハミルトンはどんな滑らかな多様体でもリッチフローを持つことを証明した。
324:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 12:04:25.29
>>316-317
さて、本題は”仏語もできないクズが代数などやらんでよろし”について
１．まず、”代数などやらんでよろし”：？ だれに向かっての発言？ おそらく代数研究者（大学院以上の）に対してだろうが、そんな人がここにいるのかどうか
２．学生に対してなら、仏語もやればよろしいでしょ？ 仏語と言っても、数学用語は用語辞典があれば間に合うし、それが分かれば数式と記号の部分は仏語を意識することもない
３．地の文は、Google翻訳でも使えばなんとか当座のしのぎにはなるだろう。それやっているうちに覚える。仏語会話は、きれいな教師のいる教室にでも通って、留学を目的に語学に励めば良い
325:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 12:13:54.41
さて、代数とはなんですか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数学（だいすうがく、algebra）は数学の一分野で、「代数」 の名の通り数の代わりに文字を用いて方程式の解法を研究する学問として始まった。その意味では代数学という命名は正鵠を射ている。
しかし19世紀以降の現代数学においては、ヒルベルトの公理主義やブルバキスタイルに見られるように、代数学はその範囲を大きく広げているため、「数の代わりに文字を用いる数学」や「方程式の解法の学問」という理解の仕方は必ずしも適当ではない。
現代数学においては、方程式の研究は方程式論（代数方程式論）という代数学の古典的一分野として捉えられている。現在は代数学と言えば以下の抽象代数学をさすのが普通である。
現代代数学は、一般的に代数系を研究する学問分野であると捉えられている。以下に示す代数学の諸分野の名に現れる半群・群・環・多元環（代数）・体・束は代数系がもつ代表的な代数的構造である。
群・環・多元環・体の理論はガロアによる代数方程式の解法の研究などに起源があり、束論はブールによる論理学の数学的研究などに起源がある。 半群は、群・環・多元環・体・束に共通する最も原始的な構造である。
現代日本の大学では、1, 2 年次に微分積分学と並んで、行列論を含む線型代数学を教えるが、線型代数学は線型空間という代数系を対象とすると共に、半群・群・環・多元環・体と密接に関連し、集合論を介して、また公理論であるために論理学を介して、束とも繋がっている。
現代ではまた、代数学的な考え方が解析学・幾何学等にも浸透し、数学の代数化が各方面で進んでいる。ゆえに、代数学は数学の諸分野に共通言語を提供する役割もあるといえる。
代数学の諸分野
半群論
群論
環論
体論
線型代数学（線形代数学）
多元環論（cf.リー環論）
束論
代数的整数論（cf.解析的整数論）
不変式論
保型形式論
→ 表現論、調和解析
可換環論 → 代数幾何学
326:１３２人目の素数さん
14/02/22 12:51:31.41
>>325
半群論、群論、リー環論、不変式論は、表現論或いは調和解析と
モロにかかわっており、微妙に代数とは違うような。
むしろ、代数や幾何、解析と交錯する分野と考えた方がよさそうな。
327:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 12:59:15.17
なんのために？
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
「数学通信」第９巻第２号目次 2004
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
《市民講演会》「数学が何の役に立つの？」と言われているが 講師：佐々木建昭（筑波大学数学系）
私の話の内容は大きく分けて二つです。
一つは「数学とは強力無比な思考的武器である」こと。このことを相対性理論を例に説明します。
もう一つは「数学とはハイテク製品における巧妙無比な理論的部分である」こと。このことを現代暗号を例に説明します。
328:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 13:00:05.68
>>326
乙す！
329:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 13:08:04.41
なんのために？を深掘りすると
１．多くの人は、「数学とは強力無比な思考的武器」だと
２．少数の研究者と称する人：新しい武器開発。あるいは、xx予想などを解決する、その途中で新しい武器ができる場合が多い
と二分されるだろうか
そして、多くの１に属する人には、仏語なんか不要だと
２に属する人で、仏人といっしょに新しい武器開発するとか、仏学会やシンポに行って発表するとかお話するとか、そういう人は仏語やってください
が、必須なのかどうか？ ２に属する人に対しても、そこは大いに疑問だと思う
330:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 13:09:27.72
ということで、結論は仏語必須とかあまり難しく考えずに、もっと気楽に考えた方が良いでしょう
331:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 13:19:16.89
>>323
>従来の伝統的トポロジーだけでは解けなかった。それはいまでも、そうみたいだ
>四色問題に同じ
ここで言いたかったことは、代数＝仏語みたいに決めつけない方が良いんじゃないのかと
代数といっても、伝統的な代数の手法で解けと問題や予想が設定されているわけじゃない
解析的手法を使っても良い
そう考えてくると、代数の意味があいまいなんだし、狭く考えて代数＝仏語みたいに視野狭窄はおかしいだろう
332:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 15:05:56.55
こんなのもある
「チャーン（陳省身）先生を偲んで」：”ガウス－ボンネの定理，Chern類の発見等により，それまでの孤立した小域の微分幾何がトポロジー等と関係した大域の微分幾何に変貌しつつあり，魅力ある分野になってきた時期に当たり，多数の若い数学者が参加したのであろう．”
これが代数で、あれが幾何、あっちが解析だ？
そう固定的に考えるのは、数学的ではないだろう
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
「数学通信」第１０巻第３号目次
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
チャーン（陳省身）先生を偲んで 小林 昭七
1956年夏3週間，アメリカ数学会の微分幾何研究会がシアトルで催された．
組織委員はAllendoerfer, Busemann, Chern, Samelson. Busemannは50過ぎだったが,他の3人は40代．一番若かったSamelson以外の3人は今や故人である．
多数の参加者の中から覚えているだけ書いてみると，Ambrose, Auslander,Boothby, Calabi, Eells, Kostant, Rauch, Singer, H.C.Wang, Yano,...．
矢野先生以外の参加者は皆20代，30代だったと思う．
ガウス－ボンネの定理，Chern類の発見等により，それまでの孤立した小域の微分幾何がトポロジー等と関係した大域の微分幾何に変貌しつつあり，魅力ある分野になってきた時期に当たり，多数の若い数学者が参加したのであろう．
カラビの定理がカラビ予想に変わったのも，この研究集会の最中だった．
隣の席に座っていたカラビが，レフシェッツの70歳記念シンポジュウムの本に出す論文の校正をしていてどうも証明が不完全なようだが本文を変えるには遅過ぎるから終わりの方に訂正文を付けるより仕方がないと言っていた．
いつも明るい彼は，別に困ったような顔もせず，そう言いながら，にこにこしていた．
あの当時，微分幾何の人は，一般にカラビ予想を信じていたが，小平先生のように代数幾何の人は，先を読んで，カラビ予想から余りにもいろいろな事が分かるので，一寸話しが上手過ぎるのではないかと懐疑的だった．
バークレー時代の先生には複素解析写像，極小部分多様体の論文が多い．特性類の面では数理物理でも使われるChern-Simons不変量を導入されている．
333:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 21:38:00.45
>>323
>ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。
>なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
>この予想の解決に大きな役割を担ったのはリチャード・S・ハミルトンが導入したリッチフローという偏微分方程式である。
>これはもともとハミルトンが熱伝導を記述するために考案したものだがシン＝トゥン・ヤウが幾何化予想解決につながると考えハミルトンに研究を促したもので、
一流ほど、”代数”などという陳腐なカテゴリーに捕らわれないんじゃないかな？
334:１３２人目の素数さん
14/02/22 21:46:18.38
今日もバイトの後彼氏とセックスだ
335:１３２人目の素数さん
14/02/22 23:24:15.54
素人の知ったかが目に余る
336:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/22 23:47:51.32
ここに来るのは全部素人だよ
君も
337:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 15:48:36.41
sugakuita of the shiroto, by the shiroto, for the shiroto
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
人民の人民による人民のための政治（じんみんのじんみんによるじんみんのためのせいじ 、government of the people, by the people, for the people）は
エイブラハム・リンカーンが1863年11月19日、南北戦争の激戦地となったゲティスバーグで戦没者を祀った国立墓地の開所式での、272語、3分足らずの短い挨拶（ゲティスバーグ演説）の中のことば。民主主義の本質を語ったものとして世界的に知られる。
1958年制定のフランス共和国憲法第2条の『原理』としても採用された。
由来
この言葉はリンカーンのオリジナルではない[要出典]。今知られている一番古いものはジョン・ウィクリフ（1320年頃 - 1384年）が聖書を英訳した著作の序言に
"This Bible is for the government of the people, by the people, and for the people"（「この聖書は人民の、人民による、人民のための統治に資するものである」）とあるのに始まる[要出典]。
その言葉を引用したウェブスター（1782年 - 1852年、雄弁家、政治家）、さらにそれを引用したパーカー（1810年 - 1860年、牧師、雄弁家、黒人解放運動家）と順次引用され、リンカーンの引用に至る[要出典]。
338:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 15:50:40.24
素人の、素人による、素人のための、数学板
プロが来るはずもなく
まじれすすれば
素人の知ったか以上を求めるなら、来る場所が違うだろうさ
339:１３２人目の素数さん
14/02/23 15:58:40.72
一般人はガロア理論とか興味持たなくていいよ
別にガロア理論知ったところで
代数方程式が解けるようになる
わけでもないし
だいたい今時代数方程式解くのに根号使わないし
それからなんでガウスの「代数学の基本定理」に
興味もたないのかわからん
やっぱり数学のセンスがないと
容易く他人のホラに騙されるんだね
340:１３２人目の素数さん
14/02/23 16:08:11.11
＞これが代数で、あれが幾何、あっちが解析だ？
＞そう固定的に考えるのは、数学的ではないだろう
逆説的だが「代数学の基本定理」の証明は
代数だけではできない 解析学が必要
そもそも代数は大して用いない
トポロジーを用いる証明すらある
ｎ次代数方程式がｎ個の根を持つというのは
トポロジーに関ることだから
素人的にもガロア理論よりよっぽど面白いんだがね
341:１３２人目の素数さん
14/02/23 17:24:27.09
代数学の基本定理から、複素数体が代数閉体である以上の発展があるの？
代数方程式が解けるようになるわけでもないよね～
342:１３２人目の素数さん
14/02/23 17:33:11.02
そこで三元数ですよ(ｷﾘｯ
343:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 18:07:18.17
>>339
乙
>一般人はガロア理論とか興味持たなくていいよ
一般人もいろいろ。文系の人と理系に分けると、理系で群論を道具として使うことはよくある。群論のルーツがガロアなんだよね。
それと、ある物理でも工学でも良いが対象とするものの性質を取り出して、群論なり別の代数系に抽象化して処理するこおとはよくある
それも、一応はガロアにルーツがある
そういう、形の問題解決の原型＝「数学とは強力無比な思考的武器」だととらえることもできれば、別の角度からは「問題の本質を取り出して抽象化することが問題解決につながる」という指導原理と考えることもできるだろう
>逆説的だが「代数学の基本定理」の証明は
>素人的にもガロア理論よりよっぽど面白いんだがね
じゃ、それを書いたらどうだ
344:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 18:16:24.60
>>342
>そこで三元数ですよ(ｷﾘｯ
なるほど、下記ですね。大栗先生
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
四元数・八元数とディラック理論 森田 克貞 著 ISBNコード978-4-535-78676-9 発刊日：2011.08
数学者ハミルトンが考えた四元数および八元数を使って素粒子を記述する。四元数・八元数にまつわる歴史的記述や文献情報も豊富。
URLﾘﾝｸ(sonokininatte55.blog.fc2.com)
「八元数」、光速と時間そして虚数と実数の関係 その３ 2014-02-11
超弦理論では、1次元の「ひも」が時の経過とともに2次元の面を描く。これらの次元を八元数の8次元に加えると、超弦理論とM理論がなぜ10または11の次元を必要とするかについて、手がかりが得られる。
1次元宇宙の物質粒子と力の粒子は実数で記述され、2、4、8次元宇宙の場合はそれぞれ複素数と四元数、八元数が対応する。こうすると超対称性が自然に現れ、物質と力を統一的に記述できるのである。
しかし、実際には時間を考慮に入れる必要があるので、このオモチャの宇宙は現実ではありえない。時間を考えた場合、超弦理論では興味深い効果が生じる。
ひもはどの時点においても1次元の存在で、曲線や直線のようなものである。だが、ひもは時の経過とともに2次元の面を描く（上図参照）。この広がりによって次元が2つ加わる（ひもの1次元と時間の1次元）ことで、超対称性が生じる次元が変わってくる。
時間のないオモチャ宇宙で超対称性が生じるのは1、2、4、8次元だったが、時間のある宇宙では3、4、6、10次元で超対称性が生まれることになる。
一方、超弦理論の研究から、同理論では10次元の宇宙だけが自己矛盾のないものになるとされている。
その他の次元では、同じことを計算しても計算方法によって結果が異なるものになる「アノマリー」という異常が生じるのである。10次元でないと超弦理論は破綻してしまう。そして10次元の超弦理論は、いま述べたように八元数を用いる超弦理論である。
つまり、超弦理論が正しいなら、八元数は単なる役立たずの珍品ではない。
それどころか、八元数はこの宇宙がなぜ10の次元を持っていなければならないか、その深遠な理由を提供している。10次元では、物質の粒子と力の粒子が同じタイプの数、ほかならぬ八元数で体現されるのである。
345:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 18:18:13.61
>>344
（引用追加）
数学的美それ自体に価値があるのはもちろんだが、八元数が自然の基本構造に組み込まれているとなれば、さらに愉快だろう。複素数はじめ多くの数学の歴史が語っているように、純粋に数学的な考案が後に物理学者が必要とするツールになった例はたくさんある。
八元数がその仲間に加わる可能性は十分にあるだろう。
346:１３２人目の素数さん
14/02/23 18:49:00.37
運営乙
347:１３２人目の素数さん
14/02/23 19:35:26.70
超弦理論は物理学者の予算確保ツール
地質学者にとっての地震予知と同じ
348:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 20:22:30.41
>>346
うん、ありがとう。運営と勘違いしてくれたんだね
だが、運営がこれだけのレベルがあるのかね？
>>347
>超弦理論は物理学者の予算確保ツール
>地質学者にとっての地震予知と同じ
それは違うだろう
素粒子論にとって、ヒッグス粒子が証明され、小川－益川の標準模型が確立した以上、それを乗り越える何かの理論が必要だろう
その第一番の候補が超弦理論（含むM理論）だろう
349:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 20:26:42.67
>>341-342
複素数では、こんな話もある
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
虚数は私たちの世界観を変えてしまった。
2008年07月23日
虚数は私たちの世界観を変えてしまった。
高校の数学で虚数というものを学習する。この世に存在しない数として紹介されるのだ。どうして存在しないものを学ぶ必要があるのだろうと不思議に思った人もいるに違いない。
けれどもこの虚数はこれから説明するようにこの世界、つまり物質や時間、空間のことを物理法則で解明するためには必要不可欠なモノであることがわかったのだ。「存在しない数」を使ってこの世界が存在していることが裏づけられるなんて変な理屈だと思われるかもしれない。
なぜなら物質や時間、空間が「ある」ということを実感するためには、長さや重さ、時間を表す量にきちんと正確に測れる「大きさ」がなければならないからだ。「大きさ」のない虚数で表される長さや重さなど「ある」と認めるわけにはいかない。
けれども長い間の精密な研究の積み重ねによって、虚数があることを受け入れる必然性が物理学や数学の中で認められ、虚数を使うことを前提とする量子力学と呼ばれる物理学でさまざまな現象を説明できるようになった。
しかしそれと同時に量子力学を認めることは私たちの常識的な世界観を大きく変えてしまったのだ。つまり以下に述べるような「不可解な現実」を私たちは受け入れる事態になってしまった。
（以下略）
350:１３２人目の素数さん
14/02/23 21:03:21.67
三元数はどこ？
351:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 21:40:48.70
乙！
三元数はここじゃ
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
複素ベクトルと三元数 眞鍋 克裕 (著) 出版社: ブイツーソリューション (2010/11/25)
内容（「BOOK」データベースより）
世界の誰もが発見できなかった三元数(第2の虚数)を発見。これにより複素ベクトル空間における任意の位置ベクトルを単項式で表すことができる。
ベクトルには内積、外積以外の普通の積、商が存在し、テンソルを表すことを発見。三元数の複素ベクトルには従来の複素関数の性質を持っていることを発見。虚数を底とする指数関数の微分・積分を発見。その他多数の定理、公式を発見。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
眞鍋/克裕
1954年生まれ。東京都出身。東京工業大学理学部物理学科卒。職業、国家公務員(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
URLﾘﾝｸ(quantum2.blog86.fc2.com)
三元数の証明 2011-07-10
従来にない数学と物理の概念について公開しています。ただし，これらの概念は世の中でまだ認められたものではないのでこのような考え方もあるということを提言しているものです。
（The complex vector and the second imaginary number by Katsuhiro Manabe)
Author:眞鍋克裕
1954年生まれ
東京都出身
東京工業大学理学部物理学科卒
職業：国家公務員
352:１３２人目の素数さん
14/02/23 21:45:08.29
>>349
やっと本題に入ったと思ったら省略かよｗ
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 21:48:59.22
あれ？ こんなのもあるよ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
なぜ一元数、二元数、四元数があるのに三元数がないのですか。 問日時： 2012/2/4
354:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/02/23 21:51:01.16
>>352
乙す
いやー、長文だし
この板では、複雑な数式や記号は引用できないから
355:１３２人目の素数さん
14/02/25 23:23:13.04
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。
太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 10:19:40.97
>>355
面白いね
古くは『ノストラダムスの大予言』
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
『ノストラダムスの大予言』（ノストラダムスのだいよげん）は、1973年に祥伝社から発行された五島勉の著書。フランスの医師・占星術師ノストラダムスが著した『予言集』（初版1555年）について、彼の伝記や逸話を交えて解釈するという体裁をとっていた。
その中で、1999年7の月に人類が滅亡するという解釈を掲載したことにより、公害問題などで将来に対する不安を抱えていた当時の日本でベストセラーとなった。実質的に日本のノストラダムス現象の幕開けとなった著作である。
翌1974年には、東宝でこれを原作にした文部省推薦の同名の映画も制作公開されている。その作品については、ノストラダムスの大予言 (映画)を参照のこと。
社会的な影響
宮崎哲弥や山本弘は、ベストセラーになったこの本が1980年代以降の新興宗教に少なからぬ影響を与えたと指摘している。
実際、この時期の新興宗教には、自分の教団（もしくは教祖）こそが、上記の世界を救う「別のもの」[8]であると主張するものも見られた。さらにこうした影響がその後のオウム真理教による地下鉄サリン事件発生の遠因になったと指摘する者たちもいる[9]。
その他の影響としては、キリスト教やユダヤ教の終末論とはかけ離れた終末思想を生み出し、
深刻に受け止めた若い世代の読者が、世界や日本の未来のみならず自己の未来をも暗澹たるものと考えてしまったため刹那的な行動に走ったり、将来設計を怠るなどの問題があったという見方がある[要出典]。
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 10:26:18.76
>>356
21世紀になってからは、ジュセリーノだろうか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジュセリーノ・ノーブレガ・ダ・ルース（Jucelino Nobrega da Luz, 1960年 3月[1]- ）はブラジルの英会話教室の教師[2]。
予知夢（予知的明晰夢）による予言ができる予言者として日本の一部マスメディアで紹介されている。パラナ州マリンガ市フロリアーノ出身。妻と4人の子供がいる[1]。サンパウロ州アグアス・デ・リンドーヤ市在住[2]。
日本では2006年末以降、テレビ朝日、日本テレビ、テレビ東京などの特別番組で紹介された他、翌2007年4月以降、予言に関する著書が出版され、講演会も行っている。
しかし、2008年末のテレビ朝日の超常現象特番を降板（後述）して以降はほとんどテレビ出演は無くなり、ブームはほぼ沈静化した。ブラジルではほとんど無名である。
日本のテレビ番組では予言的中率90%以上と紹介されることもあるが、
著書やテレビ番組等で第3者が事前に確認できる形で行った予言の的中率は非常に低く、当たったとされる予言のほとんどは、予言された事象が実際に発生してから「実は事前に当事者に警告していた」と主張する予言である。
彼の活動の場は日本国内のマスコミに限られており、本国のブラジルで彼の名を知る人はほとんどいない。
358:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 10:40:18.84
>>355-357
共通点は、だれにも分からない、従って厳密な否定も肯定もできないことに、確かな根拠無く言及している（日食の計算や天気予報と根本的に異なる）
人に不安を起こさせる言及であること
356-357の共通点は、マスコミの悪のり
マスコミにしてみれば、なんでも良い
視聴率さえ取れれば
というか、くそネタでもでたらめでも、視聴率取れる話題なら「それに乗らなければ上司から怒られる」という腐った業界なんです（公正な報道とはほど遠い）
それが、古くは『ノストラダムスの大予言』現象を生み出し、２１世紀にジュセリーノを生み出した
加えて、「人は複数の人あるいは媒体から同じ情報を得ると信じやすい」という傾向がある
裏を取るという言葉がある。一つの情報に接したとき、それを別の詳しい人に聞いてみて「どうだ？」と。これは普通だけれど。周りに二人三人と信じ込んでいる人がいると、集団催眠で自分も信じてしまう。（宗教の原理かも・・）
その歯止めが数学じゃないでしょうか？
「明日の16時39分頃に気をつけて下さい。」って、数学的に証明されているのか？と
359:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 10:57:19.11
>>318
>リッチフローと幾何化予想 小林亮一 著 を読んでいる
URLﾘﾝｸ(www15.plala.or.jp)
リチャード・ハミルトン(1943～）のリッチ・フロー
ハミルトンは多様体の整形を目論んだのだ。熱が部屋中に満遍なくいきわたるように、多様体を曲率が均一に均された物体に整形しようとした。
そしてリッチ・フローに関する1982年の”正の曲率を持つ三次元多様体"と題する最初の論文で、彼はある種の特殊な三次元多様体は球面に変形すると示した。
つまり、ある領域（トポロジー）の問題を別の領域の道具（微分方程式）で解こうと提案した。
どんなよれよれでも、ひしゃげていても、ねじれた多様体であれ、リッチ・フローによって変形する様子を見守る。
どんな形になるだろうか？ もし8個の素多様体のうちの一つか、その組み合わせになれば、サーストン予想が正しいことになる。どんな形であれ、単連結の多様体が最終的に跡形も無く「パッ」と消えたなら、ポアンカレ予想が証明されたことになる。
しかしながら、リッチ・フローの操作よって多様体の体積や形が変わってしまう特異点の問題が壁のように立ちはだかった。
多様体を必要なだけ膨張または収縮させることで処理前後の体積を一手に保つ"繰り込み"と言う操作で解決できる例もあった。
特異点が現れる寸前までリッチ・フローを走らせ、止める、望ましくない部分を切り取る、残った多様体の断面に半球状の蓋をあてがって傷跡を閉じる・・・・等々の”手術法”にて解決する。
しかしながら20年に及ぶ格闘の末にどうしても”手術”では解決できない葉巻型特異点にぶつかり、最終的に行き詰まってしまった。
360:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 11:00:31.71
>>358
つづき
グレゴリー・ペルルマン(1966～）によるポアンカレ予想と幾何化予想の証明
1991年に開設され、科学的成果を速やかに配布するために研究者たちによって構築されたインターネット・アーカイブである "arXiv ：ギリシア語でXはカイと発音される”に2002年秋から2003年夏にかけて三つの論文が投稿された ；
1. 2002年11月11日 30ページの論文
”リッチ・フローに関するエントロピー公式とその幾何学的応用 ：
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric application"
2. 2003年3月10日 22ページの論文
”三次元多様体上の手術付きリッチ・フロー ：
Ricci flow with surgery on three-manifolds"
3. 2003年7月17日 7ページの論文
"一定の三次元多様体うえのリッチ・フローの解に対する有限消滅時間 ；
Finite extincion time for the solution to the Ricci flow on certain three-manifolds"
この3編の論文こそは、この100年来、無数の数学者が挑戦し、敗れ去ってきたポアンカレ予想と、それを拡大したハミルトンの幾何化予想の完全な証明でありました。
これらの論文が何を意味するかは、直ぐには誰にも理解できなかったが、しかしペレルマンから送られたメールを受け取った友人やその同僚の専門家たちが注目することになり、これらが途方も無い成果であるとの評判がじわじわと広がりました。
注目すべきは、先のインターネットでの論文でもそうでしたが，これらの講義においても、自分が幾何化予想やポアンカレ予想を証明したとは一言も述べず、リッチ・フローの方程式を基に如何にしてハミルトンが立ち往生した特異点の問題を解決したかを、淡々と述べた；
ハミルトンが直面し、解決できなかった特異点の問題については ；
多様体内の空間が崩壊する寸前まで曲率が大きくなった時、予想外の規則性が生じる、即ち局所非崩壊定理と呼ばれることになった定理で、葉巻型特異点の出現は数学的にありえないことを発見した。
更に特異点が発生した時点で、元の多様体から切り取って(手術して)同種の幾何構造を持たせることが出来ることを見出した。
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 11:22:28.30
>>358
>リッチフローと幾何化予想 小林亮一 著 を読んでいる
ペルルマンは、２１世紀の数学だなという印象
２０世紀に発展した特異点の解析、ソリトン、位相幾何・・などの理論が縦横に駆使されている
加えて、物理モデルからのアイデアの転用（エントロピー、熱浴・・）（物理モデルからの数学への刺激は古くからありますが・・）
その上に開花したペルルマンのリッチ・フロー解析による幾何化予想の解決
なんで、伝統的な位相幾何手法で解けなかったのか？
思うに、>>322"現状位相幾何は、幾何とは言いながらホモロジー群等を用いて代数的に解く場合がほと
んどで、義務教育の幾何のように補助線を引いて幾何的に解くものではないので、勢い「すり抜け
落ちる」幾何的本質があまりにも多く、かつ議論や定理が実用にならないほど高次元に行きがちです。"ってことかな？
ペルルマン理論で、「リッチフローと幾何化予想 小林亮一 」P290 "カットオフつきリッチフローの長時間における振舞い"などで、
”スカラー曲率が負の領域がいつまでも残る場合”などの解析が、位相幾何的手法では細かくきちんと扱えないってことでしょうかね？
そこに切り込んで行けるのが、リッチ・フロー解析だと
三次元多様体の中に、位相幾何的手法では扱いずらい病的なあるいは例外的な対象があって、それが幾何化予想の障害になっていた
だから、位相幾何的手法だけでは結局解けなかったのでは・・。外しているかも知れませんが、そういうふうに読みました
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 15:39:09.40
>>361
下記がなかなか分かりやすい
URLﾘﾝｸ(www.ivis.co.jp)
株式会社アイヴィス わかみず会ホームページ
2010/5/26（水） ポアンカレ予想（ジョージ．G．スピーロ）」の紹介（第259回） 古村 哲也 講演資料ダウンロード ① ② ③
URLﾘﾝｸ(www.ivis.co.jp)
１１章 消える特異点、消えない特異点
さらには「葉巻型特異点」もある。これがなんともいまいましい代物なのだ。葉巻の表面は二次元物体だ。
ここでそれに一次元の線分を掛けて四次元空間に浮かぶ三次元物体を作る。葉巻の端部分は曲がっているため、曲率が増えどんどん曲がって小さくなり、ついには収縮しきってしまう。ところがもう一つの方向では、線分は真直ぐで動かない。
こうして物体は二つの次元では縮むが、残りの次元ではそのままになる。シャボン玉のように「パッ」と消えるわけでなく、腹を割かれた風船のように「パフッ」と萎む。
ハミルトンは十年を費やし解決法を探し、厄介な病変部を取り除く手術を見つけた。
たが、葉巻型特異点だけは、手術によっても問題を排除できなかった。
１２章 葉巻の手術
新しいエントロピーの概念が得られたので、ペレルマンの葉巻型特異点に対する準備は整った。ペレルマンは彼流のエントロピー概念と込み入った数式を使って、多様体が余り強く婉曲できないことを証明したのだ。
「パッ」と消える多様体を除けば、潰れていく傘体の間にエンドウ豆が挟まるように、小さなボールが残る余地は充分あるに違いない。
したがって、放物型リスケーリングという条件の下で見た場合、多様体はリッチ・フローのさなかに崩壊できないことになる。
全面的に潰れ込むのをエンドウ豆が防ぐのだ。多様体は「パッ」と消えることはできても、「バフッ」と萎んで消えることはできない。
この局所非崩壊定理とよばれることになった定理は、葉巻型特異点に対処するうえで欠かせない、要の要素である。
前に見たように、リッチ・フローの法則によれば、葉巻は最終的に崩壊するはずである。その一方で、ペレルマンは崩壊があり得ないことを証明した。
この二つの事実を組み合わせれば、葉巻型特異点の出現は数学的にあり得ないということになる。
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/01 20:21:48.54
ここらの話は高度に数学的ですよね
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
ヒッグス発見は一里塚 日米欧で追う謎多き次の粒子 日経サイエンス （2/2ページ） 2014/3/1
■日本の拠点「Ｊ－ＰＡＲＣ」
そしてもう１つ、謎が多いのがミュー粒子だ。
ミュー粒子は質量が電子の約200倍も大きい以外は電子とうり二つの素粒子。このミュー粒子を用いて陽子の半径を測定したところ、電子を用いて測定した場合よりも半径がかなり小さくなってしまった。
またミュー粒子の磁気モーメントという特性を精密に測定した実験結果と理論値にはズレがあることもわかった。
こうしたミュー粒子の実験の矛盾やズレの背後には、標準理論を超えた新理論から予測される新たな粒子の存在があるのかもしれない。日米欧はさらなる実験でミュー粒子の謎を解き明かそうとしている。
日本の拠点となるのは茨城県東海村にある大強度陽子加速器施設Ｊ－ＰＡＲＣだ。
強力な陽子ビームを使って非常に高品質のミュー粒子ビームを生み出し、磁気モーメントを従来の実験よりもさらに高い精度で求める。高エネルギー加速器研究機構を中心に，現在そのための装置を開発中で、10年代後半の実験開始を目指している。
（詳細は25日発売の日経サイエンス４月号に掲載）
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 11:44:42.92
物理モデル
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
数学の証明で物理学の考え方を使う 2009/8/30
ポアンカレ予想をペレリマンが証明したとき、物理学考え方も使ったと聞きました。
そこで疑問に思ったのですが、彼は物理学考え方をどんな場面でどのようにして使ったのでしょうか。
物理学には公理がないので公式等は説明はできても証明はできないはずです。それを、完全無欠のみ許される数学の証明で、どうやって使ったのかが、とくに気になります。
以上の２点をお願いします。
補足
エネルギーや温度をどういう風に使ったのか分かりませんか(エネルギーや温度を使えば、どんなことができるのか等)？説明は専門的になってもかまいません。
ベストアンサーに選ばれた回答
ほとんど『解決！ポアンカレ予想』（日本評論社）からの抜粋になってしまいますが、以下のようになります。
リッチフローが有限時間Tで時空の特異点に達し、その特異点のまわりで連結和分解を特徴づける曲率と体積の関係（これは結局定曲率球面の曲率は半径の二乗に反比例するという当然の結果だそうで、
「局所崩壊の非存在」といいます）が成り立たないということが仮に起きたとします。すると時刻Tの周りを拡大してみると、特異点から変な確率分布をもった空間が出ていて、対数ソボレフ不等式に矛盾しているそうです。
これは不可能ですから連結和分解が起きていないといけないのですが、連結和分解が起きていることの証明は実際には込み入った議論を要します。しかしその議論の大きなアイディアは統計力学です。
ペレルマンは浴熱(thermostat)の概念をリーマン幾何に導入しました。
（つづく）
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 11:46:23.64
物理モデル
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
数学の証明で物理学の考え方を使う 2009/8/30
（つづき）
ハミルトンのリッチフロー研究の最大の困難に、極限のリッチフローの収束性の問題がありますが、
これを救ったのがペレルマンの「局所崩壊の非存在」で、有限時間t=Tで発生した時空の特異点を拡大すると、極限には過去に無限に伸びたリッチフロー、つまり無限に発展する逆向きリッチフローというものが作れます。（これを古代解とよびます）
一般に拡散方程式（熱・リッチフロー方程式）は逆向きに解けませんので、過去に無限にさかのぼれるリッチフローの解を作ることは非常に特殊なことで、分類の対象になりえます。
この分類で使ったアイディアが熱浴です。（しかし詳細は私には理解できませんでした。）
さらにペレルマンはリッチフローの局所的な情報を関数に吸収する仕組みを作りました。
統計力学では拡散によって失われた情報はエントロピーになりますが、ペレルマンは拡散によって失われた情報を拾うエントロピーを導入するというアイディアを出しました。
そのために分配関数からエントロピーなど熱力学関数を構成する仕組みをつくりました。このエントロピーは拡散によって失われる情報を受け止め、リッチフローの局所的解析を可能とします。
ペレルマンはリッチフローが有限時間で到達した時空の特異点を拡大して見たときに見えてくる古代解は、「エントロピーが有限」という性質で特徴づけられることを示し、
エントロピーの有限性・単調性を用いて古代解の時空を拡大して見た極限を求め、古代解の分類を可能にしました。（この意味でペレルマンの仕事はエントロピー増加法則の極限をとって希薄気体の速度分布を決定した、ボルツマンのH－定理に近いそうです。）
（おわり）
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 11:48:47.22
>>364
浴熱(thermostat)
↓
浴熱(heat-bath)
ですね。
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 11:49:47.17
>>366
訂正
浴熱(thermostat)
↓
熱浴(heat-bath)
ですね。
368:１３２人目の素数さん
14/03/02 13:16:22.92
どうでもいいけど古代解という和訳は何とかならんですか
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 13:17:58.08
中村 正三郎が書いていた
URLﾘﾝｸ(iiyu.asablo.jp)
リッチフローと幾何化予想 (数理物理シリーズ)ホットコーナーの舞台 中村 正三郎 2012年01月19日
ASAHIネット(URLﾘﾝｸ(asahi-net.jp)<) )に転載したものから
URLﾘﾝｸ(iiyu.asablo.jp)
新井敏康「数学基礎論」、S.マックレーン「圏論の基礎」で名前を出した
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学基礎論 [単行本]新井 敏康 (著)のお買い上げが、またあって、ありがとうございます。
上記を書いたときから、気になっていた関連書があった。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
リッチフローと幾何化予想 (数理物理シリーズ) [単行本]
小林 亮一 (著)
そのときは、まだ在庫があったと思うが、いま、もうなくて、「この本は現在お取り扱いできません」だ。
紀伊國屋書店には、あるね。アマゾンの商品説明より詳しい。
URLﾘﾝｸ(bookweb.kinokuniya.co.jp)
数理物理シリーズ〈５〉リッチフローと幾何化予想 小林 亮一【著】培風館 （2011/06/06 出版）
おれ、数学はわからないけど、リッチフローや幾何化予想という言葉は知ってる。ペレルマンが、大難問だったポアンカレ予想を解いたときに使われた数学だというくらいも知っている。
多くの数学者が、ポアンカレ予想は、てっきりトポロジーの技術で解かれるものと思っていたら、ペレルマンは物理学の技術で解いたというのが面白かった。
それと、数学界最高の名誉であるフィールズ賞を辞退したというのも、話題になった。
著者の小林亮一先生の紹介があった。 でも、書いてあることの意味がさっぱりわからん。^^;
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
小林 亮一(こばやし りょういち／ KOBAYASHI, Ryoichi)
この前、
URLﾘﾝｸ(iiyu.asablo.jp)
量子力学の根本原理、ハイゼンベルクの不確定性原理の見直し迫る小澤の不等式でも書いたが、小林先生も名古屋大学だ。
名大。当たりまくってるね。＼(^O^)／
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)幾何化予想
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 13:19:09.34
>>368
乙です
ここで言っても仕方ないかもしれないが・・、代案は？
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 14:15:40.54
これ面白いね
URLﾘﾝｸ(faculty.ms.u-tokyo.ac.jp)
２次元球面と３次元球面 坪井俊 数理・情報一般 数学の現在・過去・未来 東大 2010
URLﾘﾝｸ(faculty.ms.u-tokyo.ac.jp)
３次元球面
「２次元複素ベクトル空間と３次元球面」
「ホップ・ファイブレーション」
「ポアンカレ予想の主張、幾何化予想、ペレルマンの方法」
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/02 15:05:54.11
>>371
上で紹介されているが、下記ビデオ４次元が面白いね
URLﾘﾝｸ(faculty.ms.u-tokyo.ac.jp)
DIMENSIONS 日本語版のページ
DIMENSIONSは，Jos Leys, Etienne Ghys, Aurelien Alvarezが作り，Creative Commonsライセンスに従って提供している数学の啓蒙のためのビデオです．
DIMENSIONSは2010年度フランス数学会ダランベール賞を受賞しました．
373:１３２人目の素数さん
14/03/03 23:03:35.39
ガロア理論が一個も出てこないんですけど
374:１３２人目の素数さん
14/03/04 13:07:55.71
>>370
代案はいらん
375:１３２人目の素数さん
14/03/06 23:03:51.50
台湾バナナ
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/08 10:59:19.38
>>373
再帰だよ（自分にもどる）
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/08 11:02:30.13
これなんか面白そうだな
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
立教大学数理物理学研究センター
これまでのセミナー (2013年度)
第1回（2013年5月01日 16:40-18:10）
講師： 江口徹 氏 [立教大学]
題目： 超弦理論とムーンシャイン現象
概要：
K3曲面は超弦理論のコンパクト化で基本的な役割を果たす事が知られているが，我々は最近その位相的不変量である楕円種数を調べて面白い事に気がついた。
K3曲面上の超弦理論は N=4 共形不変性を持つため楕円種数をN = 4 共形代数の指標で展開してその展開係数を調べると、これらがちょうどマシュー群M24と呼ばれる離散群の規約表現の次元の和に分解できる事が分かった。
これはモジュラーJ関数のq展開の係数がモンスター群の規約表現の和に分解されるいわゆるMonsterous Moonshine と呼ばれる現象に良く似ている。
このため我々の見つけた現象はMathieu moonshine と呼ばれるようになった。Monsterous moonshine は70年代後半に発見され10数年かけて数学者によって解決された。
Mathieu moonshine の現象はその起源や意味がまだ全く不明である。最近は拡張されて Umbral moonshine, Enriques moonshine なども見つかっている。このセミナーではこれらの新しい moonshine 現象を解説する。
378:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/08 20:17:08.17
>>376
補足
１．自分が書けってこと
２．もともと２ちゃんねるの存在自身、そんな専門的な場じゃない。素人の気楽なカキコ前提
３．脱線、スレチ、荒らし・・・なんでもありの玉石混淆が前提だ
４．このスレも例外ではない。自分の書きたいことを書け！ おれも同じだよ！
379:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/08 21:48:00.56
ほい
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月新一 最新情報
2014年02月20日 ・（出張・講演）本日、数理研の数論セミナーで行なわれた講演のスライドを掲載。
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
出張・講演
[15] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い 《3時間版》 （京都大学数理解析研究所 2014年02月） PDF
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(3jikanban).pdf
380:１３２人目の素数さん
14/03/08 22:31:48.75
自演アゲ
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/08 23:08:55.37
自演アゲか・・
しかし、自分としては、ここは天下のメモ帳よ
書けば自分の記憶に残るし、記録にも
なにより勉強になる
（間違ったことは書けない（間違えばさすがに突っ込みがあるだろう））
ここに書く意味はそういうことよ
君もそうしたらどうだ？
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 06:15:39.90
>>377
これ、よく纏まっている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モンストラス・ムーンシャイン
数学では、モンストラス・ムーンシャイン、もしくはムーシャイン理論は、1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)とシモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により名づけられ、
モンスター群 M とモジュラー函数、特にj-不変量(j-invariant)との間の予期せぬ関係を記述することに使われた。
今では、背後にあるモンストラス・ムーンシャインが、対称性としてモンスター群を持つある共形場理論であることが知られている。
コンウェイとノートンによって考案された予想は、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により1992年に、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)の理論や一般化されたカッツ・ムーディ代数（英語版）から証明された。
目次
1 歴史
2 モンスター加群
3 ボーチャーズの証明
4 一般化されたムーンシャイン
5 量子重力との予想される関係
6 マチュームーンシャイン
7 何故「モンストラス・ムーンシャイン」なのか？
8 脚注
9 参考文献
10 外部リンク
383:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 06:24:19.10
英文だが
URLﾘﾝｸ(home.mathematik.uni-freiburg.de)
Mathieu moonshine
By classical results due to Nikulin, Mukai, Xiao and Kondo in the 1980's and 90's, the finite symplectic automorphism groups of K3 surfaces are always subgroups of the Mathieu group M24.
This is a simple sporadic group of order 244823040. However, also by results due to Mukai, each such automorphism group has at most 960 elements and thus is by orders of magnitude smaller than M24.
On the other hand, according to a recent observation by Eguchi, Ooguri and Tachikawa, the elliptic genus of K3 surfaces seems to contain a mysterious footprint of an action of the entire group M24:
If one decomposes the elliptic genus into irreducible characters of the N=4 superconformal algebra, which is natural in view of superconformal field theories (SCFTs) associated to K3,
then the coefficients of the so-called non-BPS characters coincide with the dimensions of representations of M24.
In joint work with Dr. Anne Taormina, first results of which are presented in
Anne Taormina, Katrin Wendland, The overarching finite symmetry group of Kummer surfaces in the Mathieu group M24; JHEP 1308:152 (2013); arXiv:1107.3834 [hep-th]
we develop techniques which eventually should overcome the above-mentioned "order of magnitude problem":
For Kummer surfaces which carry the Kahler class that is induced by their underlying complex torus, we find methods that improve the classical techniques due to Mukai and Kondo,
and we give a construction that allows us to combine the finite symplectic symmetry groups of several Kummer surfaces to a larger group.
Thereby, we generate the so-called overarching finite symmetry group of Kummer surfaces, a group of order 40320, thus already mitigating the "order of magnitude problem".
URLﾘﾝｸ(www.maths.dur.ac.uk)
Mathieu Moonshine
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 07:36:37.31
>>372
これも、面白かった
URLﾘﾝｸ(www2.odn.ne.jp)
数理物理への誘い７―最新の動向をめぐって 河東泰之 編
抜粋
第２話 数理物理学（繰り込み群）的視点からみたペレルマン理論 （伊東恵一）
3 シグマ模型とその仲間たち
3.1 スピン模型たちとその連続極限
3.2 発散項と繰り込み
3.3 繰り込み群方程式
4 Perelman 理論と物理学
4.1 統計力学
4.2 宇宙論
4.3 最近の流れ
5 まとめ
参考文献
第３話 リッチフローと4次元異種微分構造 （石田政司）
2 4次元トポロジー，微分構造，リッチフロー
2.1 4 次元微分ポアンカレ予想
2.2 異種微分構造（エキゾチックな微分構造）
2.3 ドナルドソン不変量とサイバーグ‐ウイッテン不変量
3 サイバーグ‐ウイッテン方程式と微分幾何学的不等式
3.1 モノポール類
3.2 微分幾何学的不等式
4 ペレルマン不変量と異種微分構造
4.1 $\cal F$-汎関数，ペレルマン不変量，山辺不変量
4.2 ペレルマン不変量の評価
4.3 微分構造とペレルマン不変量の変化
5 異種微分構造と正規化リッチフローの非特異解
5.1 正規化リッチフローから誘導される曲率の評価
5.2 非特異解の存在に対する障害
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 08:45:21.12
こんなのがあった
URLﾘﾝｸ(ocw.u-tokyo.ac.jp)
学術俯瞰講義 数学を創る第12回 形の見分け方と数学の視点 坪井俊 東京大学20100114
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 09:50:30.46
>>384
４次元球は難しいみたい
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Exotic sphere
From Wikipedia, the free encyclopedia
4-dimensional exotic spheres and Gluck twists
In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere. The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture",
and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.
Some candidates for exotic 4-spheres are given by Gluck twists (Gluck 1962). These are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1.
The result is always homeomorphic to S4. But in most cases it is unknown whether or not the result is diffeomorphic to S4. (If the 2-sphere is unknotted,
or given by spinning a knot in the 3-sphere, then the Gluck twist is known to be diffeomorphic to S4, but there are plenty of other ways to knot a 2-sphere in S4.)
Akbulut (2009) showed that a certain family of candidates for 4-dimensional exotic spheres constructed by Cappell and Shaneson are in fact standard.
387:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 10:03:47.40
関連
URLﾘﾝｸ(plus.maths.org)
Submitted by mf344 on January 12, 2011
Exotic spheres, or why 4-dimensional space is a crazy place
by Richard Elwes
抜粋
The weird world of four dimensions
So, is the smooth Poincare conjecture true? Most mathematicians lean towards the view that it is probably false, and that 4-dimensional exotic spheres are likely to exist.
The reason is that 4-dimensional space is already known to be a very weird place, where all sorts of surprising things happen.
A prime example is the discovery in 1983 of a completely new type of shape in 4-dimensions, one which is completely unsmoothable.
As discussed above, a square is not a smooth shape because of its sharp corners. But it can be smoothed. That is to say, it is topologically identical to a shape which is smooth, namely the circle.
In 1983, however, Simon Donaldson discovered a new class of 4-dimensional manifolds which are unsmoothable: they are so full of essential kinks and sharp edges that there is no way of ironing them all out.
Beyond this, it is not only spheres which come in exotic versions. It is now known that 4-dimensional space itself (or R4) comes in a variety of flavours.
There is the usual flat space, but alongside it are the exotic R4s. Each of these is topologically identical to ordinary space, but not differentially so. Amazingly, as Clifford Taubes showed in 1987,
there are actually infinitely many of these alternative realities. In this respect, the fourth dimension really is an infinitely stranger place than every other domain: for all other dimensions n,
there is only ever one version of Rn. Perhaps after all, the fourth dimension is the right mathematical setting for the weird worlds of science fiction writers' imaginations.
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 10:30:41.09
>>379
補足
P5,6辺りのお金の貸し借りの例えとか
代数の不定元の導入の例えとか
工夫が見られる
389:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/09 22:28:44.77
こんなのが
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
Ikuro's Home Page
６４８．２つのポアンカレ予想（その１） (13/06/06)
６４９．２つのポアンカレ予想（その２） (13/06/06)
６５０．２つのポアンカレ予想（その３） (13/06/06)
６５１．２つのポアンカレ予想（その４） (13/06/06)
390:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/10 19:57:26.77
これ買った
面白かった
受験生その他のために
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
学年ビリのギャルが1年で偏差値を40上げて慶應大学に現役合格した話 [単行本（ソフトカバー）]坪田信貴 (著) 発売日： 2013/12/26
内容紹介
一人の教師との出会いが、金髪ギャルとその家族の運命を変えた―
投稿サイトSTORYS.JPで60万人が感動した、笑いと涙の実話を全面書き下ろしで、完全版として書籍化。
子どもや部下を伸ばしたい親御さんや管理職に役立つノウハウも満載。
「ダメな人間なんて、いないんです。ただ、ダメな指導者が、いるだけなんです」
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〈主な登場人物〉
【さやかちゃん】偏差値30のギャル。天然ボケ回答連発も、へらず口が得意。校則違反はするが正義感は強い。
【坪田先生(僕)】心理学等を使って、多くの生徒の短期間での偏差値上昇(20~40上昇)を請け負うカリスマ塾講師。
【ああちゃん】悲しい子ども時代の経験から、熱い子育て論を持つお母さん。一風変わった子育て法に世間の風当たりは強い
内容（「BOOK」データベースより）
一人の教師との出会いが、金髪ギャルとその家族の運命を変えた―投稿サイトSTORYS.JPで60万人が感動した、笑いと涙の実話を全面書き下ろしで、完全版として書籍化。子どもや部下を伸ばしたい親御さんや管理職に役立つノウハウも満載。
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/10 22:25:31.40
この記事面白いね
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2013-05-19 エキゾチックな球面 ryamada2013-05-19
■[微分幾何][トポロジー][四元数][クオータニオン][R][onion]多次元球のいろいろな張り合わせ
多次元視覚のことをやっている(こちら)
そうすると、視覚で取った情報から各点の微分に関する情報を取り出して、それによって対象を理解しようか、という話になる
じゃあ、ということで多様体上の微分のことが気になるのだが、そこには「球は球でも微分の状態が違うことがある」という話題がある
エキゾチックな球面という話である(こちら)
多次元球面ならどんなものでもエキゾチックな球面があるかというとそうでもないらしい
歴史的に最初に登場した７次元球面の話でこれをなぞってみることにする(７次元のエキゾチック球面)
今、四元数の性質から、q(x),q(y)のハミルトニアン積q(x)q(y)もやはり四元数でそのノルムが１だから
上半分の(x,y)と下半分の(x,y’)(ただしy’はハミルトニアン積(q(x)q(y)の４成分の係数が作る長さ４のベクトルとする)が１対１対応付けできる
(その貼りあわせも素直な対応関係だから微分可能で、そうすると、微分の仕方の違う球面ができる、という話)
Rでやってみよう。Rには四元数・八元数をハンドリングするonionパッケージがある(ハミルトニアン積の関数がどれだか分らなかったのであまりメリットを得ていないのだが…)
適当に回転させてその軌道が貼り合わせによって変わることをみる
392:１３２人目の素数さん
14/03/11 02:09:30.13
「学年ビリのギャルが1年で偏差値を40上げてSGAを読んだ話」はないのかな
393:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/11 08:24:31.99
SGAを読むには、数学偏差値８８必要だからね・・
その話はないね
ただし、「１年で偏差値が６０から８０近くまで上がり東大へ行った子」の話はP295>390
「偏差値が４０ぐらいから医学部へ行ったある男子」の話はP297
にある
394:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 05:48:59.01
>>391
補足
下記がよくまとまっている
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
External links
Exotic sphere home page on the home page of Andrew Ranicki. Assorted source material relating to exotic spheres. URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Exotic spheres
An exotic sphere is an n-dimensional differentiable manifold which is homeomorphic but not diffeomorphic to the standard n-sphere Sn.
The articles on exotic spheres on the Wikipedia and the Manifold Atlas Project.
On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, by J.Milnor, Ann. of Math. (2) 64, 399--405 (1956) URLﾘﾝｸ(www.maths.ed.ac.uk)
Hedrick Lectures on Differential Topology by J. Milnor (1965)
略
The structure set by A.Ranicki, Chapter 13 of Algebraic and Geometric Surgery, Oxford (2002)
Exotic spheres and curvature by M.Joachim and D.J.Wraith, Bull. A.M.S. 45, 595--616 (2008)
A minimal Brieskorn 5-sphere in the Gromoll-Meyer sphere and its applications. by C.Duran and T.Puttmann, Michigan Math. J. 56, 419--451 (2008)
On the work of Michel Kervaire in surgery and knot theory by A.Ranicki, Slides of lecture given at Kervaire memorial symposium, Geneva, 10-12 February, 2009.
Addendum Exotic spheres and the Kervaire invariant (8 May 2009)
An introduction to exotic spheres and singularities by A.Ranicki, Slides of lecture given in Edinburgh, 4 May 2012
Dusa McDuff and Jack Milnor (Somewhere in Scotland, 2011)
395:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 06:19:29.87
>>394
これもよくまとまっている
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 09:04:14.20
>>391
数学者の野口 廣さんと野口 宏さん は同じ方なんですね
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
野口廣】の人気Q&Aランキング
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1位 数学者の野口さんについて
数学というより国語力の問題なのかもしれませんが、 数学者の野口 廣さんと野口 広さんと野口 宏さん は同じ方なんですか? トポロジーとか、昔だと位相空間とかいう本を 書かれていた方です。
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 09:37:36.70
>>390
本の方が絶対面白い
URLﾘﾝｸ(storys.jp)
学年でビリだったギャルが、1年で偏差値を40あげて日本でトップの私立大学、慶應大学に現役で合格した話
398:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 10:47:13.65
>>397 この話も面白いね
URLﾘﾝｸ(storys.jp)
【パート3】伊達政宗をいたちせいしゅうと読み、定期テストで0点を取っていた美少女が（略）
２つの後悔
そんな僕が、これまでの講師人生で後悔している事が２つある。一つが、Y君に対して言ってしまった一言。
「君さ、カンニングをしても、大学には合格しないんだ。だから、ちゃんとカンニングせずに受けよう」
この子は、高３スタート時の偏差値が３０前後の子だった。そして、基礎の学習をずーっと行って、１２月頃にやっと過去問を受けた。すると、一回目の過去問でいきなり８０％をとったのだ。
Y君は、「ちょ、ちょっと待って！カンニングなんかしていない」と一瞬驚きながら主張したけど、途中から黙ってしまった。
それから、２回３回と過去問の結果を持ってきたのだけれど、どんどん点数が伸びて行った。僕は、塾内の教務会議にかけて、「彼がカンニングしている現場を押さえるしかない」と主張した。
合格発表日、Y君は塾に来て、まっさきに僕の机の前に来た。
「先生、俺さ、最初に過去問やった時にめっちゃ手応えがあって、超嬉しかった。で、先生が採点してくれた時に呼ばれて、先生が険しい顔してるから、悪かったのか と思ったら、８０％ってのが見えてさ
もうまじで、先生のおかげだと思って。こんなに伸びるとは思わなかったって、本当に叫びたくて、先生いつも励ましてくれてたしさ、すごく説明も適確だし、俺の苦手な事とかも把握して、全部調整してくれたし、親が批判してきた時もかばってくれて
なのに、その一番一緒に喜んでくれると思ってた人が、カンニングっていったんだぜ？ まじで衝撃だったんだけど」
「もっといい点数を次にとったら認めてくれるかなって、だから頑張った。そしたらますます疑われた。絶対合格して、先生に合格通知叩き付けて、謝ってもらおうって決めたんだ。だから謝って！」
僕は、真摯に謝りました。涙が出ました。
「ありがとう。俺さ、結局、先生のおかげで、誰もが無理っていってたのに受かったの。でもさ、最後の最後に、自分が自分でやった事、疑ってどうすんの？先生もまだまだ甘いね！」そうやって、Y君は大きな笑顔を見せてくれました。
僕にとって、講師生活１年目の最後で、本当に生徒から教えてもらった瞬間でした。生徒の事を信じなくて教育って言えるのかって。
399:１３２人目の素数さん
14/03/16 11:16:50.99
金ないのに
なんで慶応なのかね？
400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 11:24:11.60
金はあるみたい
１．中高一貫の女子校に行かせたんだし
２．父親は脱サラで事業を始めて、最初苦労したけど軌道に乗れば大丈夫
３．両親の仲が悪く、母親は金がないが、慶応合格したら父親が金（学資と東京の生活費など）を出したらしい
４．さらに、今回の話にはないが、ばつぐんに出来れば、奨学金という手もあるだろうし・・
401:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/16 11:26:13.31
>>398
>「ありがとう。俺さ、結局、先生のおかげで、誰もが無理っていってたのに受かったの。でもさ、最後の最後に、自分が自分でやった事、疑ってどうすんの？先生もまだまだ甘いね！」そうやって、Y君は大きな笑顔を見せてくれました。
>僕にとって、講師生活１年目の最後で、本当に生徒から教えてもらった瞬間でした。生徒の事を信じなくて教育って言えるのかって。
人間って潜在能力あるんだな・・
402:１３２人目の素数さん
14/03/16 12:47:35.15
>>390
坪田信貴さんという人の経歴どこかに出てきてたっけ？
どこの大学を出たんだろう？
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/21 06:49:25.99
>>402
詳しい経歴はないですね
URLﾘﾝｸ(profile.ameba.jp)
青藍義塾 塾長 坪田信貴のプロフィール｜Ameba (アメーバ)
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/21 07:00:34.20
>>386
しばらく、Exotic sphere 4次元微分ポアンカレ予想にはまっていた
>The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "Man and machine thinking about the smooth 4-dimensional Poincare conjecture", Quantum Topology 1 (2): 171?208, arXiv:0906.5177
面白かった
Freedmanは、マイクロソフトに移っていたんだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
で、コンピュータパワーで、結び目理論で計算したらしい
5.3 Results
Computing the two-variable polynomial for K2 took approximately 4 weeks on a
dual core AMD Opteron 285 with 32 gb of RAM. At this point, we haven’t been
able to do the calculation for K3 . With the current version of the program, after
about two weeks the program runs out of memory and aborts.
と書いてあって、計算は完了しなかったと
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/21 07:08:13.82
>>404
>abort
URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
アボート 【 abort 】
中止(する)、中断(する)、打ち切る、打ち切り、などの意味を持つ英単語。
実行中のプログラムに異常が発生した際などに、OSやユーザが強制的に処理を打ち切って終了すること。強制終了。
また、通信中に異常が生じて正常な通信を続行するのが不可能になった場合に、接続を強制的に打ち切ること。強制切断。
（引用おわり）
>dual core AMD Opteron 285 with 32 gb of RAM
いまならスパコン使うとかすれば、the calculation for K3 は完了させられると思うのだが・・
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/21 08:02:45.22
>>405
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン球面←→R2 (無限遠点を一点追加)
なので、同じことを５次元リーマン球面(S4)←→R4 (無限遠点を一点追加)
だから、R4にエキゾチックなものが存在するなら、S4にもと思ったけれど
そう単純ではないみたい
それなら、S7にエキゾチックなものが存在するなら、R7にもエキゾチックなものが存在しなければならないわけで、そうはなっていない
Exotic sphere 4次元微分ポアンカレ予想というのは、我々が日常住んでいる空間R3＋時間T1の世界の理解を深める上で結構重要なのではないかと
そう思えてきました （以前は些末な問題かなと思っていたけれど）
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/21 20:17:25.11
今年のノーベル物理学賞は、これで決まりかな
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
とね日記
昨夜の発表の感想： 宇宙誕生時の「重力波」観測 米チームが世界初
2014年03月18日 12時55分17秒 | 物理学、数学
URLﾘﾝｸ(planck.exblog.jp)
2014年 03月 18日
原始の重力波 その２ （大栗博司のブログ）
408:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:51:22.08
royalty free music
you can use it for free. and
you can put it your own video
and monetize on youtube
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/21 23:02:44.49
>>407
NHKでは、佐藤 勝彦がノーベル賞候補みたくよいしょしているが、下記を読むとちょっと甘いように思う
うまくアピールしないと厳しいだろう
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inflation (cosmology)
Early inflationary models
Inflation was proposed in January 1980, by Alan Guth as a mechanism for resolving these problems.[41][42]
At the same time, Starobinsky argued that quantum corrections to gravity would replace the initial singularity of the universe with an exponentially expanding deSitter phase.[43]
In October 1980, Demosthenes Kazanas suggested that exponential expansion could eliminate the particle horizon and perhaps solve the horizon problem,[44]
while Sato suggested that an exponential expansion could eliminate domain walls (another kind of exotic relic).[45]
In 1981 Einhorn and Sato[46] published a model similar to Guth's and showed that it would resolve the puzzle of the magnetic monopole abundance in Grand Unified Theories.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
佐藤 勝彦（さとう かつひこ、1945年8月30日 - ）は、日本の宇宙物理学者。専門は、宇宙論。インフレーション宇宙論の提唱者として知られる。
1981年にアラン・ハーヴェイ・グースとほぼ同時期に、インフレーション宇宙論を提唱した。
この理論の最初の論文投稿者は佐藤であるが[4][5]、グースは1980年1月に佐藤と同様のインフレーションモデルをスタンフォード大学のセミナーで発表している[6]。
また、Alexei Starobinskyも1979年に同様のモデルについてのアイデアを示し[7]、1980年に論文を発表している[8]。なお、“インフレーション”という言葉を最初に用いたのはグースである[5]。
(注：佐藤の論文は、”Recieved 1980 September 9;in original form 1980 February 21”、Alan Guthは”Recieved 11 August 1980”)
410:１３２人目の素数さん
14/03/21 23:28:09.47
砂糖勝彦がインフレの提唱者って言ってるの日本人だけだがや
大栗も一生懸命アピールしてるけど日本語ブログでｗｗｗ
ノーベルは砂糖は間違ってもない残念
411:１３２人目の素数さん
14/03/22 02:17:23.53
あほやなあ
インフレは幾通りもの派生があるんやで～
観測事実に一番合うやつがもらうに決まっとろうが
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/22 20:30:20.83
>>410
うーん、うまくアピールしないと、危ないだろうね
論文の投稿は、かなり早かったし、そこをアピールするしかない、いろいろな日本人が・・
>>411
>観測事実に一番合うやつがもらうに決まっとろうが
うん
独創性＋ブレークスルーが重視される気がする
”観測事実に一番合う”が、些末なチューニング（ブレークスルーの後のだれでもやれる仕事）と見なされると、最初の提唱者が受賞だろう
田中耕一さんのノーベル賞が、そうだった
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ノーベル賞受賞について
現在、生命科学分野で広く利用されている「MALDI-TOF MS」は、田中らの発表とほぼ同時期にドイツ人化学者 (Hillenkamp、Karas) により発表された方法である。
MALDI-TOF MS は、低分子化合物をマトリックスとして用いる点が田中らの方法と異なるが、より高感度にタンパク質を解析することができる。
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/29 05:50:52.37
来週は4月に突入
新年度がはじまる
今週末は桜が開花するところも多いだろう
新しくこのスレに来る人もいるんだろうな
ガロア理論の話は、過去ログにある
人それぞれのガロア理論の理解の仕方があって良いと思うんだよね
「切り口」という言葉がよく使われる。複雑な対象については、「切り口」を意図的に変えて複数の「切り口」で見る。これを意識して行う
（参考） URLﾘﾝｸ(diamond.jp) 「ものの見方」を変える8つの切り口 【第7回】 2012年1月17日 川村透 [川村透事務所代表・「ものの見方」コンサルタント]
ガロア理論も同じ
「切り口」を意識的に変えて複数の「切り口」で見る。これを意図して行うのが良いと思うよ
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/29 07:03:52.95
坪井俊先生>>371>>385
URLﾘﾝｸ(kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp)
ここから
URLﾘﾝｸ(faculty.ms.u-tokyo.ac.jp)
Encounter with Mathematics
URLﾘﾝｸ(www.math.chuo-u.ac.jp)
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/03/30 23:22:13.27
K3曲面って面白いね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
K3曲面は、複素トーラスとともに 2次元のカラビ・ヤウ多様体である。ほとんどの複素K3曲面は代数的ではない。このことは、K3曲面を多項式により定義される曲面として射影空間へ埋め込むことができないことを意味する。
Andre Weil (1958) は、これらに 3人の代数幾何学者の名前、エルンスト・クンマー(Ernst Kummer)、エーリッヒ・ケーラー（英語版）(Erich Kahler)、小平邦彦(Kunihiko Kodaira)にちなむと同時に、
（当時は未踏の山であった）カシミールの山であるK2にちなみK3曲面と名付けた。
“ Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des varietes kahleriennes dites K3, ainsi nommees en l'honneur de Kummer, Kahler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire ”
?Andre Weil (1958, p.546)の「K3曲面」という名前の理由について引用
定義
K3曲面を特徴づけることに使うことのできる多くの同値な性質がある。
完備で滑らかな自明な標準バンドルを持つ曲面は、K3曲面と複素トーラス（もしくはアーベル多様体）であるので、K3曲面を定義するために複素トーラスを場外する条件を入れることができる。曲面が単純連結であるという条件が良く使われる。
定義にはいくつかの変形があり、射影曲面に限定したり、デュヴァル特異点（英語版）(Du Val singularities)[1]を持つことを許す定義もある。
弦双対性との関係
K3曲面は、弦双対性（英語版）のほとんどの箇所に現れ、重要なツールを提供する。弦のコンパクト化（英語版）に対して、K3曲面は、自明な空間ではないが、詳細な性質のほぼ全部を解明できる空間である。
タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E8×E8 ヘテロ弦、Spin(32)/Z2 ヘテロ弦、及び M-理論は、K3曲面上のコンパクト化により関連付けらることができる。
例えば、K3曲面上へコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4-トーラス上へコンパクト化されたヘテロ弦に等価である。Aspinwall (1996)
416:１３２人目の素数さん
14/03/31 07:53:41.01
下手すると重力波に関してはグースさんにノーベル賞
を与えるかどうか不明？
417:１３２人目の素数さん
14/04/01 00:02:14.03
>>404
たしかフィールズ受賞者で初めて民間で働いた人だと思う
MSRはMSからあれやこれや指図されるのが少なくてかなりいい環境らしい
Tex作った人もここにいたはず
418:１３２人目の素数さん
14/04/01 23:20:27.33
ガロア理論は数学ガール→代数と数論の基礎→代数方程式とガロア理論で勉強したけどこのスレのオススメは何だろ
419:１３２人目の素数さん
14/04/02 12:32:16.65
頂
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/04 20:55:08.96
>>416
個人見解だが、ノーベル物理学賞３人として、宇宙のインフレーション理論関連の賞として、その中には入りそう
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/04 21:32:16.38
>>417
>Tex作った人もここにいたはず
クヌースさんね
だが、MSRの話は書かれていないし（他でも読んだことも聞いたこともないし）
だれかと勘違いだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ドナルド・エルビン・クヌース[1]（Donald Ervin Knuth, 1938年1月10日 -）は数学者、計算機科学者。スタンフォード大学名誉教授[2]。
クヌースによるアルゴリズムに関する著作 The Art of Computer Programming のシリーズはプログラミングに携わるものの間ではあまりにも有名[3]。
アルゴリズム解析と呼ばれる分野を開拓し、計算理論の発展に多大な貢献をしている。その過程で漸近記法で計算量を表すことを一般化させた。
理論計算機科学への貢献とは別に、コンピュータによる組版システム TeX とフォント設計システム METAFONT の開発者でもあり、Computer Modern という書体ファミリも開発した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 英語版
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/04 21:41:21.44
>>417
>MSR
具体的な個人名が記されていないね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
The research division of Microsoft was created in 1991 and employs computer scientists, physicists, engineers, and mathematicians, including Turing Award winners, Fields Medal winners, MacArthur Fellows, and Dijkstra Prize winners.
These 1,100 scientists and engineers collaborate with academic, government, and industry researchers to advance the state of the art of computing, and solve difficult world problems through technological innovation.
えーと日本語版には少しあるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マイクロソフトリサーチ（Microsoft Research、MSR）は、計算機科学に関するさまざまな研究を行う機関。リチャード・ラシッド博士がマイクロソフトに入社する条件として、同研究所の設立と、その独立性を約束させ、1991年9月に設立された。
名称からもわかるようにマイクロソフトの関連機関ではあるが、完全に独立した研究機関であり、そこで行われる研究内容については、たとえマイクロソフト本社の首脳陣であっても一切の口出しは出来ないことになっている。
世界でも最も有力な研究機関の一つである。
現在、チューリング賞受賞者のアントニー・ホーア、
フィールズ賞受賞者のマイケル・フリードマン、
ウルフ賞受賞者のLaszlo Lovasz、
MacArthur Fellowship受賞者のJim Blinn（ジム・ブリン）、
Dijkstra Prize受賞者のレスリー・ランポートらをはじめ、著名な物理学・計算機科学・数学の専門家たちが数多く参加している。
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/04 21:43:45.81
>>418
その人の立場と年齢で違うと思うけど
ただ、”ガロア理論は数学ガール→代数と数論の基礎→代数方程式とガロア理論で勉強した”から推察すると、大学生と見た
個人的には、物理と数学の境界が面白いと思うけど
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/05 08:31:39.68
検索ヒット
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
The Banff International Research Station (BIRS) for Mathematical Innovation and Discovery was established in 2003.[1]
It provides an independent research institute for the mathematical sciences in North America, a counterpart to the Mathematical Research Institute of Oberwolfach in Europe.[2]
The research station, commonly known by its acronym, "BIRS", hosts over 2000 international scientists each year to undertake research collaboration in the mathematical sciences.[3]
URLﾘﾝｸ(www.birs.ca)
Reports from Workshops in 2013
URLﾘﾝｸ(www.birs.ca)
13w5032: Applications of Iwasawa Algebras
Mar 03 - Mar 08
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
14/04/05 20:08:16.22
>>391
7次元は結構特殊なんだ・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Seven-dimensional space
In physics and mathematics, a sequence of n numbers can also be understood as a location in n-dimensional space. When n = 7,
the set of all such locations is called 7-dimensional Euclidean space. Seven-dimensional elliptical and hyperbolic spaces are also studied, with constant positive and negative curvature.
Abstract seven-dimensional space occurs frequently in mathematics, and is a perfectly legitimate construct.
Whether or not the real universe in which we live is somehow seven-dimensional (or indeed higher) is a topic that is debated and explored in several branches of physics, including astrophysics and particle physics, but it does not matter for mathematics.
Formally, seven-dimensional Euclidean space is generated by considering all real 7-tuples as 7-vectors in this space. As such it has the properties of all Euclidian spaces, so it is linear, has a metric and a full set of vector operations.
In particular the dot product between two 7-vectors is readily defined, and can be used to calculate the metric. 7 × 7 matrices can be used to describe transformations such as rotations which keep the origin fixed.
A distinctive property is that a cross product can be defined only in three or seven dimensions (see seven-dimensional cross product). This is due to the existence of quaternions and octonions.