13/05/25 11:26:14.99
>>226
>係数は根の置換で異なる値をとるように定めるから、根a1,a2,a3,a4,a5の置換の数５！＝１２０の異なる値になる （係数は有理数とする）
>そこで、f(x)=(x-V1)(x-V2)・・・(x-V120)=0 という１２０次の方程式を考えることができる
>１２０次の方程式、これは原論文にあるように、その係数は有理数になる
>（理由：その係数は、V1,V2・・・V120の基本対称式。根a1,a2,a3,a4,a5の置換に対して、V1,V2・・・V120が入れ替わるだけなので、基本対称式は根a1,a2,a3,a4,a5の置換に対して不変。だから、有理数。）
>有理数係数の１２０次の方程式f(x)=0に対して、補助方程式の根を添加して、数体を拡大してf(x)=0を因数分解する
>それをガロアは考えたのだろう
補足
f(x)=c1x+c2x^1+c3x~3・・・c120x^120 係数c1, c2, c3・・・c120 は有理数
有理数体に、なんらかの補助方程式の根を添加して、１２０次のf(x)を因数分解して、最後１次式まで因数分解すれば、方程式は解ける
元の方程式は５次に対し、f(x)は１２０次
一見問題を複雑にしたように見える
だが、実はそうではない
１２０次にすることで、根の置換がすべて見えるようになる
元の５次では見えなかったものを見えるようにした。そのために１２０次が必要だった
１２０は、対称群 S5の位数。つまり、対称群 S5の情報がすべてf(x)の１２０次に現れているとみることもできる。ガロアの当時体論は未完成。ガロアは１２０次のf(x)を体論の代用に使ったと思う
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称群
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
「置換群」の語義には揺らぎがあり、
対称群の部分群を総称する場合と
対称群そのものを指す場合とがある。