13/05/18 10:23:24.18
>>225
つづき
５次方程式の場合、根をa1,a2,a3,a4,a5、係数をA1,A2,A3,A4,A5として
V1=A1a1+A2a2+A3a3+A4a4+A5a5
となる
係数は根の置換で異なる値をとるように定めるから、根a1,a2,a3,a4,a5の置換の数５！＝１２０の異なる値になる （係数は有理数とする）
そこで、f(x)=(x-V1)(x-V2)・・・(x-V120)=0 という１２０次の方程式を考えることができる
この１２０次の方程式を解くことと、元の５次方程式を解くことは同じ（片方が解ければもう一方も解ける）
１２０次の方程式を考えることは、問題を難しくしているように見えるかも知れないが、そうでもない
つまり、１２０次の方程式を考えることは、問題の全体像、問題の構造が見えるようにしたという利点がある
１２０次の方程式、これは原論文にあるように、その係数は有理数になる
（理由：その係数は、V1,V2・・・V120の基本対称式。根a1,a2,a3,a4,a5の置換に対して、V1,V2・・・V120が入れ替わるだけなので、基本対称式は根a1,a2,a3,a4,a5の置換に対して不変。だから、有理数。）
有理数係数の１２０次の方程式f(x)=0に対して、補助方程式の根を添加して、数体を拡大してf(x)=0を因数分解する
それをガロアは考えたのだろう
f(x)=0を因数分解して、次数が下がった方程式をf1(x)=0として、同じことを繰り返して、最後に１次にまで下げると解けたとなる。下がる次数には制限があって、１２０の約数でなければならない（この話は教科書にあるだろう）
ガロアが理論を作ったときには、群論や体論は未完成だった。だから、このようなガロア分解式Vとそれから構成される１２０次の方程式とその因数分解を、体論の代わりに使った・・
そして、f1(x)=0に対する方程式の群を考えると、その群は５次の置換群の部分群になっている（正確には正規部分群となっている）
代数的解法とは、べき根添加による解法・・
そうやって、２０才のガロアは自分の方程式論を構築して行ったのだろう・・