13/12/19 10:25:50.96
言うのとやるのは大違いなんだよな。
パーサー書くしかないのか・・・
ああ、メンドクセ・・
401:１３２人目の素数さん
13/12/20 08:59:09.79
例えばΓにaが含まれればΓトaとΓトa/ Γトaxという規則があるとします。
このときaがトに含まれているときΓトa/Γ,bトaを証明しなさいと言う問題があったとするじゃないですか。
するとΓトa/Γトax/Γトaxx/・・・
と永遠に続くだけで証明できませんよね。
むしろΓ,bにaが含まれているから始めの規則によってΓ,bトaが成り立つじゃないですか。
でも/を使わずに導いたのに/をつかってΓトa/Γ,bトaとして良い理由がわかりません。
402:１３２人目の素数さん
13/12/20 09:48:14.28
何言ってんだ。藪から棒に。
403:１３２人目の素数さん
13/12/20 09:52:30.19
質問なんですけど・・・
404:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:03:26.19
>>401
ごめんな。トは|-のことか？1行目の後半意味わからん。aがトに含まれている、も意味分からん
405:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:07:24.87
aがトに含まれているは aがΓに含まれてるの間違いで
Γトa/ Γトaxのいみは
Γトa
＿＿＿＿＿
Γトax
の横書きです。
406:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:09:45.96
axって？
407:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:12:22.84
aのあとにxを続けたものです。
408:１３２人目の素数さん
13/12/21 06:55:15.09
左卜全
409:１３２人目の素数さん
13/12/21 07:57:21.45
やめてケレ、やめてケレ
410:１３２人目の素数さん
13/12/21 18:51:26.98
定義がわからないのでまったくの想像ですが、もしかして
証明しなさい、と言われていることは
「Γ|-a から Γ,b |-a を規則で導け」
ではなくて
「Γ|-a が成り立つならば Γ,b |-a も成り立つことを示せ」
なのでしょうか？？
いずれにしても、問題を出した >>401 さんがちゃんと定義を書いてくれないと
誰も正確には答えられないと思います。
411:１３２人目の素数さん
13/12/21 22:12:21.13
シークェント計算か何かのことを言っており、
(1) Γが式の集合で a∈Γ であるなら Γ|-a、
(2) Γ|-a であるならば Γ|-a, x
が成り立っているときに Γ|-a であるなら Γ,b |- a
であることを示したいのなら(1)のみを使って示せば良い。
シークェント計算でシークェントの間にある横線は、
それを使って示すとか使わないで示すという話じゃなくて
(2)の「であるならば」の略記に近いものだと思う。
あと他の人も言ってるけど教科書などに書かれていることを
そのままきちんと人に伝えることができるようになった方がいいと思う。
>>401だとかなりエスパーして推測しないと意味が分からない。
412:１３２人目の素数さん
13/12/23 10:38:13.78
糞論
413:１３２人目の素数さん
13/12/23 13:13:16.74
ゴミ・ジャップ
414:１３２人目の素数さん
13/12/23 13:29:27.52
トンスル飲んで消えろ
415:１３２人目の素数さん
13/12/23 17:19:01.30
揚げ
416:１３２人目の素数さん
13/12/24 00:04:14.96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
417:１３２人目の素数さん
13/12/24 00:20:03.15
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
418:１３２人目の素数さん
13/12/24 09:13:59.34
SKの定理を演繹定理なしで演繹してとくのはテクニックとかありますか？
419:１３２人目の素数さん
13/12/24 10:06:31.21
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ψ
420:１３２人目の素数さん
13/12/24 15:00:53.93
来年は国債を空売りし大暴落の年。
大戦争へと突入
421:１３２人目の素数さん
13/12/24 22:16:34.37
演繹定理の証明は良く分析すると
式変形を実際に書き出せるようになってるから
援用すれば良いんじゃないかと思うけどね
422:１３２人目の素数さん
13/12/25 15:54:58.12
ShoenfieldのMathematical LogicのP23の問題なのでが
k項真理関数Hが真理関数H_1,..,H_kによって定義可能であるのはHが定義
H(a_1,...,a_n)=・・・
を持つ時である。ただし右辺はH_1..,H_k、a_1...,a_nとカンマ、括弧で作られる。
Hd,nはHd,n(a_1,...,a_n)=T iff 少なくとも一つのiに対しa_i =Tによって定義されそしてHc,nを
Hc,n(a_1,...,a_n) =T iff すべてのiに対してa_i=T
とおくことによって定義される真理関数としよう。
すべての真理関数がH￢とHd,nとHc,nによって定義可能であることを示せ。
(H￢(T)=F、H￢(F)=T)
初歩的な問題ですがわかる方おりましたらよろしくお願いします。
意味はわかるのですが、どう書けばいいのか表記法の点でわからないのです。
423:１３２人目の素数さん
13/12/26 01:34:27.60
Shoenfieldって内容は割と良いけど表記法が割と古いよね
KleeneとかChurchと現代の本の間くらいの雰囲気
Monkはもう少しだけ現代に近いのかな
424:１３２人目の素数さん
13/12/26 01:52:21.57
>>422
「命題論理のどんな論理式も，
￢, ∧, ∨
の三つの論理記号だけで表現できる」
という事実があります。
（１）この事実の証明を何らかの教科書で勉強する。
（２）その証明をShoenfieldの表記法に直す。
で完了です。
425:１３２人目の素数さん
13/12/26 02:20:06.89
>>423
ついでに、あの体系が独特．
ヒルベルト流の一種と言えるが．
426:１３２人目の素数さん
13/12/26 02:39:12.43
公理の数を少なくするか推論規則を少なくするか、
大抵はどっちかだけどShoenfieldはちょうど間みたいな感じだよね
まあ演繹定理証明して完全性定理示したら後はどの体系でも大差ないが
427:１３２人目の素数さん
13/12/27 09:05:56.53
（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）
がどうしても解けません。
どうやってやるのか教えてください。
428:１３２人目の素数さん
13/12/27 13:09:33.22
自己解決しました。
429:１３２人目の素数さん
13/12/27 13:20:33.04
とおもったら解決してませんでした。
430:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:47:13.74
やっぱり自己解決しました。
431:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:49:03.93
とおもったら解決してませんでした。
432:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:50:26.59
いや解決しました。
むしろこんなに簡単なのに
３時間以上考えても解けなかったのが不思議なくらいです。
433:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:56:37.32
やっぱり解決してませんでした。
434:１３２人目の素数さん
13/12/27 18:23:44.56
>>431,433は偽者です。
完全に解決しました。
435:１３２人目の素数さん
13/12/28 09:31:29.34
やっぱり解決してませんでした。
お願いします。
436:１３２人目の素数さん
13/12/28 10:57:33.51
├_HM の定義を明示してくれないと答えようがありません。
勉強を始めたばかりの人は自分の読んでいる本の記述が絶対に見えるかもしれませんが、
論理学の業界では本によってテクニカルタームの定義が異なることが多いんです。
437:１３２人目の素数さん
13/12/28 11:08:47.92
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→b)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。
438:１３２人目の素数さん
13/12/28 11:10:58.84
[訂正]
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→ｃ)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)略
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。
439:１３２人目の素数さん
13/12/28 13:20:53.64
難しくないですか？
みんなやってますか？
440:１３２人目の素数さん
13/12/28 15:04:02.79
├_HM は →, ∨, ∧ だけの直観主義論理のようですね。
質問者は >>418 と同じ人かな？
>>421 の人が言っていることと同じですが、
まずは自然演繹で証明を書いて、
そこから「演繹定理の証明の分析」を使って
ヒルベルト流の証明を作るのが正解と思う。
441:１３２人目の素数さん
13/12/28 16:02:04.02
直感主義じゃないんですけど・・・
とりあえず、答え分かったら書いておいてください。
442:１３２人目の素数さん
13/12/28 19:15:12.46
直感（直観）主義じゃない、なら何なのでしょう？
あなたの読んでいる本ではこの論理のことを何と呼んでいるのでしょう？
├_HM の H は Heyting ?
M は？
443:１３２人目の素数さん
13/12/28 19:24:57.61
M は Minimal logic の M かな？
つまり記号 ⊥ はあるけれどもこれに特別な意味
（「矛盾からは何でも出る」という ⊥→φ ）
を持たせない、というやつ．
444:１３２人目の素数さん
13/12/28 21:19:54.29
相手する必要なし
445:１３２人目の素数さん
13/12/28 21:23:01.78
>>441
なのこの態度は
446:１３２人目の素数さん
13/12/28 21:35:36.84
>難しくないですか？
>みんなやってますか？
447:１３２人目の素数さん
13/12/29 09:54:58.66
>>442
予想だけどヒルベルトミニマルではないのかな。
443の云うとおり爆発律が成り立つことを仮定して無いので
直感主義では無いですな。
まあこの問題の性質上パズル的要素が強いんで
IQが低い奴はいくらやっても解けないということですな。
448:１３２人目の素数さん
13/12/29 10:23:15.11
本人登場
449:１３２人目の素数さん
13/12/30 10:14:04.69
>>427の問題を解いてみたけど諦めた人いる？
450:１３２人目の素数さん
13/12/31 10:11:53.35
a∨b→φ∨（ψ∧χ）
最後こんな形になりそうなんだけど
a,bが無いから解けないんですよね。
451:１３２人目の素数さん
14/01/01 02:09:43.36
>>427
できたよ
45行あるけど見たい？
452:１３２人目の素数さん
14/01/01 11:54:45.49
>>451
できてないのみえみえだから要らんわ（～～）
453:１３２人目の素数さん
14/01/01 13:15:39.04
>>451
15行目と30行目を書いてくれたらあとは自力で行間を埋めます。
454:427
14/01/01 14:16:44.26
自己解決しました。
ヒントはメール欄です。
455:１３２人目の素数さん
14/01/01 15:44:26.08
hmで二重否定使うなよw
いま出先だから後で貼るね
456:１３２人目の素数さん
14/01/01 19:52:40.59
1 (A→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C)) (DE)
2 A→(A∨(B∧C)) (DI)
3 (B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C)) MP,1,2
4 B→(A∨(B∧C)) †
5 (A∨B)→(A∨(B∧C)) MP,3,4
6 A∨B ‡
7 A∨(B∧C) MP,5,6
あとは（†）と（‡）の証明
（‡）は簡単
1 (A∨B)∧(A∨C) (Pres.)
2 (A∨B)∧(A∨C)→(A∨B) (CE)
3 A∨B MP,2,1
457:１３２人目の素数さん
14/01/01 19:58:43.89
（†）からはいたちごっこ
1 (B→(A∨C)→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C))) (Ax.S)
2 B→(A∨C)→(A∨(B∧C)) *
3 (B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C))) MP,1,2
4 B→(A∨C) **
5 B→(A∨(B∧C)) MP,3,4
次に（*）と（**）を導出する
ってやってるけど、自分の出した課題が2chに乗ってたら授業妨害だよねｗ
同業者としての倫理観としてここまでで、質問は受け付けるよ
458:１３２人目の素数さん
14/01/02 09:34:56.95
こういう問題で盛り上がっていると，論理学って単なる計算問題と思われそうで寂しい．
459:427
14/01/02 09:39:35.19
>>456
ありがとございます。
参考にします。
460:１３２人目の素数さん
14/01/02 16:51:10.82
>>458
こういう計算がスラスラできる者通しの会話だと思うと発言に厚みが生じる。
461:１３２人目の素数さん
14/01/02 16:56:48.49
アイデアはこれ→>>440なんだよね
計算問題だと思われるのはさすがに嫌だけど
こういうのを簡単に構成できるような人じゃないと
論理学に向いてないよね
462:１３２人目の素数さん
14/01/02 17:57:19.64
どっちかというとこういうごちゃごちゃした計算は
寧ろ数学の他の分野には良くあるけどロジックには
少ないというイメージだけどな
あとこういう計算をすらすらできることとロジックの能力は
必ずしも関連しないと思う
前原昭二が講義するときも、この種の計算はノート見ながら板書してたらしいし
463:１３２人目の素数さん
14/01/02 20:08:06.30
>>462
計算なんてつっかえつっかえでいいからね
それを板書でやられたらノートを取ってる側は困る
駄目なのは計算もせずに高いレベルの事をしようとする輩
464:１３２人目の素数さん
14/01/02 22:05:58.57
いま新版Kunen読んでるけど、第一章が
ほとんど知ってることを長々と繰り返すからダルい
まあ、後で大事になるのを見越して
冪集合の公理と置換公理がどういう風に使われるのか
割と緻密に分析してたりもするから面白いけどね
一方でKoenigの補題とかはどの入門書にも載ってるから
証明省略されたりしてる
465:１３２人目の素数さん
14/01/04 00:19:53.87
いきなりすごく下がっているけどなぜ？
466:１３２人目の素数さん
14/01/04 00:34:43.28
共終数で挫折したね
それ以来集合論には触れていない
467:１３２人目の素数さん
14/01/04 00:37:13.95
あれは使ってるうちに慣れてくしかないと思うよ
468:１３２人目の素数さん
14/01/04 02:53:19.26
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラミングが好きであるとともに、得意であることは含まれますか。
469:１３２人目の素数さん
14/01/04 03:07:08.77
プログラマーに含まれる人が持っている特性は、数学者に含まれる人が持っている特性と違いがあるような気もします。
プログラマーが持っている雰囲気は、数学者が持っている雰囲気と違いがある気がします。
数学者は学者であるとします。すると、プログラマーは技術者であるとか、実験を補助、支援する職員という気もします。
470:１３２人目の素数さん
14/01/04 03:30:46.85
数学基礎論・数理論理学を研究することの範囲に、記号の集まりを論理操作することが含まれるとの主観的な印象を持っています。
また、仮に特定の手段によって記号の集まりを論理操作に基づいた文で電子計算機に入力して実行していくことがプログラマーの仕事や作業だとしたら、
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラマーやプログラマーに近い人が持っている特性と似ていると思いました。
記号の集まりが並んでいいる、数学基礎論・数理論理学の本から受ける印象は、プログラマーが電子計算機に入力して実行する文から受ける印象と似ていると思いました。
他方、そのプログラマーでないと、その文を電子計算機に入力して実行し、それを実現できないことがあるとのエピソードも見聞します。
そうすると、プログラマーのプログラミングには、技術者や、実験を補助、支援する職員が持っている特性を超えた、学者の要素が存在する場合もある気がします。
プログラマーは学者であるのでしょうか。数学者は学者であるのでしょうか。
数学者もプログラミングをして電子計算機を利用することもあるそうです。ただ、そうだからといって、数学者はプログラマーであるとの文を記述してみましたが、
その文から受ける印象は、その文には誤りが含まれているとの印象です。
471:１３２人目の素数さん
14/01/04 06:54:29.26
仕事の内容その他の職務に属する作業や行動の観点から見てみて、学者とプログラマーとは、違いがあると思います。
もっとも、両者は同じ部分もあると思います。
プログラマーに類似した特性を持っていない学者が、プログラマーに類似した特性を持っているが前者の学者が持っている特性を持っていない学者や、プログラマーを、
技術者や、実験を補助、支援する職員と、同じように取り扱うのは、どこか間違っていると思いました。
以下の本を読んだとき、わたしは、プログラマーの作業や仕事を具体的に実行できる者を、とても尊敬しました。
人は自分ができることだけを評価するものである。この文を読めば、誰もがそのとおりであると思うかもしれません。ただ、わたしは、本当にそう思いました。
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本] クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)
みなさまはどのように思いますか。
472:１３２人目の素数さん
14/01/04 11:04:32.24
数学者とは、
たとえば以前に挙げられた（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）といった
具体的な計算が単に出来るだけではなくて，
このような計算を一段高い所から論じて
メタな立場での未知の性質を明らかにする人でしょう．
プログラマーの定義が，単にプログラムが書ける人だととすると
それは「単に計算が出来る人」と同じで学者とは言えないと思います．
473:１３２人目の素数さん
14/01/04 13:04:02.46
なるほどでした。簡潔かつ明確で、平明かつ少しでも具体的な例を含む、品のある解答を示していただき、ありがとうございました。そのほかの皆さんの解答がありましたら、お教えください。
474:473人目の素数さん
14/01/04 20:04:38.12
>>472
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本] クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)は駄本としか思えません
世界を支配しているのは希望を持続し続けようと必死にもがいているあなたや私の七転八倒だと思いますよ
もし数理論理学なりプログラミングスキルなりがその七転八倒の戦場になっているにしても
戦場自身あるいは戦場の部分的あれこれが世界を支配したりはできません
たぶんね（～～）
475:１３２人目の素数さん
14/01/04 20:14:13.65
age
476:１３２人目の素数さん
14/01/07 01:29:26.82
下がってるね
477:427
14/01/07 09:15:05.47
>>440
ありがとうございます。
その方法でやったら簡単に解けました。
逆に矢印系の問題はその方法のほうが難しいことが分りました。
自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
横線の横に定理名を書いて省略するのってありですか？
478:１３２人目の素数さん
14/01/10 21:22:50.20
今年モデル論やる授業ないかな
479:１３２人目の素数さん
14/01/11 00:10:16.53
＞自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
推論規則の書き間違いかな？
480:１３２人目の素数さん
14/02/06 01:44:08.42
完全性定理を、「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」のように
簡潔な表現で表すとどうなるか教えてください。
481:１３２人目の素数さん
14/02/08 08:38:06.40
恒真な論理式全体の集合はRE。
（注意：REは Recursively Enumerable だが、CE (Computably Enumerable)と呼ぶ人も多い）
482:１３２人目の素数さん
14/02/08 09:10:08.73
いやいやおかしいだろそれ
483:１３２人目の素数さん
14/02/08 11:59:24.31
まず正確に言うと「一階述語論理の恒真な論理式のゲーデル数を集めた集合がRE」。
完全性定理が示しているのは次の二つの論理式集合が一致する、という事実。
（１）恒真な論理式を全部集めた集合。
（２）論理体系（自然演繹とかシーケント計算LKとか）で導出できる論理式を全部集めた集合。
このうち（１）はパッと見REではない（恒真の定義は「すべての解釈で真」なので）。
しかし（２）の条件は「それを結論とする証明図が存在する」なので、これはRE。
484:１３２人目の素数さん
14/02/08 13:44:54.58
それだけでは「完全性定理」とは言えない
485:１３２人目の素数さん
14/02/08 19:15:51.59
論理式全体の集合もREですから
486:481, 483
14/02/08 20:05:24.28
>>484
はい、これだけでは完全性定理とは言えないですね。
「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」に匹敵する簡潔な表現を完全性定理に対して試みたものです。
>>485
論理式全体はREどころかRecursive（計算可能）です。
ここでのポイントは
「恒真な論理式【だけ】を全部集めた集合」はパッと見REでないのに、
「論理体系で導出できる論理式【だけ】を全部集めた集合」は明らかにREである、
という点です。
487:１３２人目の素数さん
14/02/08 21:12:35.63
あと出しカッコ悪い
488:480
14/02/10 07:34:14.81
「一階述語論理（を表す記号）は完全（決定可能）」と言うことはできないのですか
489:１３２人目の素数さん
14/02/10 17:53:40.16
判定するアルゴリズムは無い。
490:１３２人目の素数さん
14/02/10 22:53:11.48
>> 488
たぶんここで使っている「完全（決定可能）」とは、
判定アルゴリズムがある、という意味の決定可能ではなく、
どんな閉論理式もそれ自身がその否定が証明できる、という意味の決定可能だと推測します。
しかしいずれも意味としても、
一階述語論理で恒真な（証明可能な）閉論理式全体は「決定可能」ではありません。
491:１３２人目の素数さん
14/02/10 22:57:40.41
【訂正】
>>490
誤>> ...それ自身がその否定が証明できる、...
正>> ...それ自身かその否定が証明できる、...
492:１３２人目の素数さん
14/02/11 15:05:22.34
なんでこの赤い丸で囲んだところのように定義するのか分かりません
493:１３２人目の素数さん
14/02/11 15:06:09.75
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
P_nでn番目の素数です
494:１３２人目の素数さん
14/02/11 19:06:01.87
>493
お前は質問を論理的に説明する方法を勉強しろ。
質問を理解するために必要な情報が全然足りない。
495:１３２人目の素数さん
14/02/11 19:56:45.20
>>494
別にお前は答えなくていいよ
補足すると
ゲーデルの不完全性定理について
IsformSeq(x)は 「xは基本論理式から組み上げた論理式の列」
len(x)は「列xの長さ」
x・yは列xと列yを連結させた列
496:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:00:02.73
まあどうせこんなとこで聞いても答えは出ないだろうけど
497:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:00:03.23
論理式の構成列 n の最後の項が x とする
（無駄な項を省いて）構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる（理由は後述する）ことがわかるので
初めから len(n)≦len(x)^2 を満たす n を選んでおく
また、無駄を省いたことで、構成列 n には x の一部である論理式しか現れないとしてよい
n ＝ [P1]^m1×…×[Plen(n)]^mlen(n) ≦ [P1]^x×…×[Plen(n)]^x ≦ { [Plen(x)^2]^x }^len(x)^2 ＝ [Plen(x)^2]^xlen(x)^2
構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる理由：
構成列 n を元にして論理式 x を構成するツリーをつくる（ツリーの根に当たるのが x である）
このツリーには x の一部である論理式しか現れない
ツリーを遡るほど論理式は短くなるので、ツリーの高さは len(x) 以下
ツリーの葉（最も基本的な論理式）の個数も len(x) 以下
したがって、このツリーに現れる論理式の個数は len(x)×len(x) 以下である
逆にこのようなツリーを元にして x の構成列 n’がつくれる
498:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:46:15.87
>>497
ありがとなす！
あと申し訳ないんだけど、len(n)のn番目の要素をxとすると、その要素は一つだからlen(x)って1になると思うんだけど…
よくわからない
499:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:58:13.01
nは 論理式が len(n)個並んだ列
xは 記号が len(x)個並んだ（論理式と呼ばれるタイプの）列
500:１３２人目の素数さん
14/02/12 10:46:17.36
喪毎ら、何を呆けたこと議論すてんだ。こんバカタレが。ｗ
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp) にある、エムシラ御大の本を読んでみろ、目から鱗だぞ。
501:１３２人目の素数さん
14/02/12 11:37:07.47
はいはい。自分の巣にお帰り。
502:１３２人目の素数さん
14/02/12 17:15:05.61
御大は、生きてるうちから、伝説の人。
503:１３２人目の素数さん
14/02/14 05:03:23.40
どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論のほうが、全面的に、正しいようだな。
例えば、【対偶律】は、従来は (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
504:Mujina2
14/02/14 08:27:38.70
>>503
おいおい（～～）
505:１３２人目の素数さん
14/02/14 16:12:20.82
前原昭二 第2不完全性定理の内容的解釈
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
上のpdfでは第2不完全性定理を例にとり、論理式の表す「内容」が真偽でも証明可能性でも捉えられないことを指摘しています。
すなわち…
（形式的体系が無矛盾という仮定の下で）
「xは1=2の証明のゲーデル数ではない」を形式化した論理式P(x)と、論理式x=xは、ともに恒等的に真な命題関数を表すが「内容」は異なる。
第2不完全性定理によると∀x(P(x)⇔x=x)は証明できない。
この事実を手掛かりに
A⇔Bが証明できるとき論理式AとBの「内容」を同一視する
と試みても、A⇔Bが証明できるかどうか（AとBが同じ「内容」かどうか）は形式的体系に依存することになり、不適切である。
第2不完全性定理は、「1=2は証明できない」という「内容」を表す論理式のうちの一つが証明できない、と主張するに過ぎない。
「内容」そのものが証明できないことを示すのが理想であり、そのためには、
原始帰納的述語を全称量化した「1=2は証明できない」という「内容」を、どんな種類の論理式と関連付けるべきかが課題である。
と、筆者は締めくくっています。
この問題の（部分的にでも）解決を試みた文献がもしありましたら、お教えください。
506:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:08:27.73
第二不完全性とか言わなくても
A→AとA→(A∧A)と[(A→B)→A]→Aはどれも真だけど意味が違う訳で。
Loebのderivability conditions（可導性条件、導出可能性条件）が
最初に文献に出て来たのがいつかは分からないけど、
少なくともHilbert Bernaysには既に出て来るし、
最近の教科書には大抵載っている。
ロッサーの可証性述語の「自分より小さなゲーデル数の証明と矛盾しない」、
みたいな余計な条件によってバイパスされて"無矛盾性"が出て来ないための条件だけど、
これで或る程度用は足りてるんじゃないかな。
前原先生はたぶんこれもあまり知らなかったんじゃないかな、と思う。
真偽値とかと違う意味での命題の内包的意味とは何か、というのは
数学よりも哲学よりの話になってくると思う。論理学の話であるのは確かだけど。
507:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:33:46.84
フェルマーの最終定理の証明はスキームの圏などを扱うから
その証明がZFCに収まらないかもしれない、とかいうのは
典型的なロジックに対する無知だよね。
508:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:39:49.28
ACを使うから云々みたいなのも当時見た
509:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:48:45.71
ここにいる人達は圏論的論理学はどう思ってんの？
510:１３２人目の素数さん
14/02/14 20:42:22.43
>>506
回答ありがとうございます。
その三つの可導性条件を、「証明できる」という内容を表す論理式が持つべき条件、と見なせばいいわけですね。
かなりスッキリしました。
511:１３２人目の素数さん
14/02/14 20:47:07.63
>>505
そんなに深く考えないでも、命題の真偽値とその意味内容とは別物だという事は
当たり前の事じゃないの?それらが同じだとすれば、命題には2種類の意味しか
ないという事になっちゃうと思うが?
512:506
14/02/14 23:24:44.22
まあ一見当然なんだけどそこを敢えて
命題の外延的意味、Bedeutung, meaningはその真理値だとみなした事が
Fregeの偉かった所だったりする。
まあそれ以後の言語哲学では命題の（内包的）意味Sinn, senseを理解するというのは
その命題がどういうときに正しくてどういうときに
間違っているかを理解することだ、とかそういうことも言われるけどね。
どっちかというと論理学と言うか言語哲学に近いか
513:１３２人目の素数さん
14/02/14 23:29:10.18
>>509
圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
圏論の入門書に期待してる
まあAwodeyも持ってるんだけど読む時間が無い
いつかはSheaves in ～読みたいなあ、とは思う
514:１３２人目の素数さん
14/02/15 11:09:00.62
>>508
まあ、命題の「意味」と言ったら命題そのもの（内包的意味）の事であって、
真理値は文字通り、命題の「（真偽についての）値」に過ぎない、
というのが普通の言葉使いであることは、じいちゃんばあちゃんに聞けばわかる。
それを「（外延的）意味」と言ったりするから、余計な哲学的問題を作って
しまうのじゃないかね？
年俸20億円というのは、田中将大という人間そのものじゃなく、その属性値の
一つに過ぎないよね。
515:１３２人目の素数さん
14/02/15 11:11:21.36
>>508じゃなく>>512だった
516:506
14/02/15 13:30:57.47
もう数学の話じゃないからこのレスまでにするけど、
「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的なsense（日本語では意義と訳す）は違うけど
述語論理の教科書に出て来る普通のTarski的な意味論を考えたら
その解釈は同じになる。意味論的に同じだということは、その意味は同じだと言っていることになる。
そもそも外延的意味と内包的意義では外延的な意味の方が数学的には扱いやすく、
Fregeがこういう区別を持ちこんで外延的意味の方を主に扱ったから
現代的な記号論理学が発達した訳で、その結果として数理論理学が発達した訳で、
外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。
517:１３２人目の素数さん
14/02/15 14:57:47.01
>>516
オレもこれでやめるが
>外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。
ちょっと誤解があると思う．オレが言ったのは
「外延的な意味」という言葉使いが不適切だ、という事だった。
それから、「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的にもほぼ同じsenseの
ようにも思う。少なくとも、「内閣総理大臣」と「安倍晋三」程の内包的意味の
違いはないね。
518:１３２人目の素数さん
14/02/15 15:34:15.97
>圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
だれが書いてるの?
519:１３２人目の素数さん
14/02/16 04:37:50.91
圏論（category theory ）なんて、トンだお笑い草だ。ｗ
520:１３２人目の素数さん
14/02/16 08:25:18.12
>>519
どんなとこが?
521:１３２人目の素数さん
14/02/16 08:58:27.97
>>513
詳細希望
522:１３２人目の素数さん
14/02/16 10:24:04.38
>>520
material implication の上に構築された理論など「根無し草」ってことさ。
Goedelの、いわゆる“不完全性定理”とて同じ。ｗ
523:１３２人目の素数さん
14/02/16 10:50:22.31
>material implication の上に構築された理論
もう少し詳しく。
それに、それが圏論の本質的特徴なのか？
そして不完全性定理が根なし草とも思わないんだが。
524:１３２人目の素数さん
14/02/16 21:41:55.33
>>523
＞不完全性定理が根なし草とも思わないんだが
その“証明”の冒頭で、P&(P⊃Q)⊃Q であるとして、B_Russell の material implication
を平然として使っている。
525:↑
14/02/16 21:46:48.11
P&(P⊃Q)⊃Q は、P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミスです。御免なさい。
526:１３２人目の素数さん
14/02/19 22:09:32.65
こういう勘違いしてる奴って多いよなw
527:１３２人目の素数さん
14/02/20 08:27:55.61
>>526
勘違いしてんのはおまえのほうだ。ｗｗｗｗ
528:１３２人目の素数さん
14/02/20 09:52:03.94
どういう勘違いの話をしてるんだ？
529:１３２人目の素数さん
14/02/20 09:53:13.98
material implication の paradox
530:１３２人目の素数さん
14/02/20 18:50:13.77
不完全性定理の証明の中でP&(P⊃Q)⊃Qが使われていたら、どうまずいのだ？
そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。
531:１３２人目の素数さん
14/02/21 06:23:44.03
>>530
＞そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。
おまえ、アホちゃうか？ (^o^)
例えば、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に
、P&(P⊃Q)⊃Qが 使われている例があったらあげてみろ。
532:１３２人目の素数さん
14/02/21 15:06:40.98
、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に、P&(P⊃Q)⊃Qが 使われている例が
一つでもあったらあげてみろ。ｗ
533:１３２人目の素数さん
14/02/21 15:57:32.36
>>531
大雑把にP&(P⊃Q)⊃Q等と言っているけど、
PとQに何か条件を課さなくていいのかい？
534:１３２人目の素数さん
14/02/21 19:30:26.07
P&(P⊃Q)⊃Qは形式的定理の 一般形（PとQに何も条件を課さない）としては 実質含意のパラドックス的状況を含むけど、
不完全性定理等の 具体的な定理 の証明のために、この形式的定理を 実際に使う場面では 実質含意のパラドックス的状況は含まない。
もちろん、メタレベルの証明でも含まない。
実際に数学の証明を行うときはPとQには必ず内容の関連があるのだから。
535:１３２人目の素数さん
14/02/21 19:50:44.27
どうなん？ >531
536:１３２人目の素数さん
14/02/21 21:02:46.97
P&(P⊃Q)⊃Q は P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミス。 P⊃Q は ～PvQ と同義とするのが
実質的内含(material implication) で、この解釈は、古代ギリシアの昔から論議を
呼んできた難問中の難問！
537:１３２人目の素数さん
14/02/22 10:53:53.04
>古代ギリシアの昔から論議を
そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
つまり単なる哲学パズルなんだよな
538:１３２人目の素数さん
14/02/22 23:21:39.74
それ数学の話じゃないから
539:１３２人目の素数さん
14/02/23 07:38:11.39
>>537
>>538
バカモン！ ＼(-o-)／
Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
そして、それらの根っこには、material implication の困難が在るのだ。
540:Mujina2
14/02/23 11:02:21.36
>>539
>Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
って『基づいて』じゃねーだろ どんなDQN向け入門書一冊で書き込みしてるんだよ（～～）
541:１３２人目の素数さん
14/02/23 11:29:04.51
エムシラちゃんは隔離スレがあるんだからそちらだけで書くようにね
542:１３２人目の素数さん
14/02/23 11:55:26.92
>>540
"On Formally Undecidable Propositions of of Principia Mathematica And Related Systems"
by Kurt Goedel
543:１３２人目の素数さん
14/02/23 12:11:36.87
>>538
＞それ数学の話じゃないから
何ばボケちょるか（爆笑
メタ数学の話をしてんだぞ。
544:１３２人目の素数さん
14/02/23 12:19:19.45
>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな
いいや違(tsuga)う。
545:１３２人目の素数さん
14/02/23 14:42:52.38
また、ハゲがなんか騒いでるな
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
ゲーデルの不完全性定理に、実質含意の問題など関係ない
対角化補題の証明も知らん文系出身のハゲに
不完全性定理が理解できるわけないだろｗ
＞私は、学生時代、経済学や、マネジメント・サイエンス、電算機etcを専攻し、
＞物理を専攻したのではないのですが、物理は高校のときから得意でした。
546:１３２人目の素数さん
14/02/23 19:02:06.32
P⊃Q ⇔ ～PvQ
としてなんか問題あるんだっけ？
547:１３２人目の素数さん
14/02/23 19:44:15.05
問題ないよ。
material implication が変だ、というのは
数学での言葉遣いと数学以外での言葉遣いを混同して混乱しているだけだよ。
自分勝手な言葉を創造することは自由だけど、他人には通じないよね。
548:１３２人目の素数さん
14/02/23 22:25:34.59
>>547 etc,
コチ向かば
ソチが呆けてる
春の日だまり
詠み火と知らず 圖
549:Ｍ_ＳＨＩＲＡＩＳＨＩ
14/02/24 08:38:35.42
"material implication" とは B_Russell の“造語”であって、古代ギリシアには概念は在ったが
ことばは無かった。(^o^)
古代ギリシアでは、フィロンというメガラ派の学者が唱えて大論争となったことが
今に知られている。
550:Mujina2
14/02/24 11:29:26.17
誰だ？呼ぶなよ（～～）ってか御大ようこそ
ご本人っすね？やーちょっととくしたきぶん
今EudoxosとMelissusやってるんすけど
なんか推奨文献とかうpして戴けませんか？
勝手なリクですんません<(__)>
551:１３２人目の素数さん
14/02/24 23:10:22.15
>>550
コチ向かば
ソチも呆けちょる
春の日だまり
詠み人知らず 圖
552:１３２人目の素数さん
14/02/25 02:16:15.29
圓
553:M_SHIRAISHI
14/02/25 05:36:46.16
辞書をＡから順に覚えるは愚の骨頂！
勝海舟は同じ辞書を２度までも直筆して覚えたのだ。
約１００年前の日本人にできたことが現代ないしは
未来の日本人にできないわけがあろうか！？！
おなじまま食って何処(toko)つがう！
世界に冠たる★日本食★をだ！！！
554:１３２人目の素数さん
14/02/25 11:13:11.12
ベルトランの逆説に関しての議論で、M.Shiraishi氏が自爆したようなこと
を書いているヤシがいるけど、そいつって、マツシン並みの間抜けだよな（ｗ
M.Shiraishi氏は、「ベルトランの逆説に関しての従来の通説は間違いである
ことに気づいた」と言い出し、「この逆説は、確率の従来の定義が間違って
いたことによるものだ」として、議論を決着させている。
自爆どころか、２０世紀の確率論の基礎を覆す、凄い発見というべきだろう。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
555:Mujina2
14/02/25 13:21:54.70
>>551
圖 ？ 圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
Gcc1εってことか？よーわからんzzz（～～）
556:１３２人目の素数さん
14/02/25 18:41:08.78
>>555
悩む無かれ。万事、楽しむべし。
557:１３２人目の素数さん
14/02/25 21:02:50.16
入力ミスしたっす。(^o^)
悩む勿れ。万事、楽しむべし。クイズを解くは楽し。
558:１３２人目の素数さん
14/02/25 21:20:03.34
>>555 --->>557
＞圖 ？ 圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
＞Gcc1εってことか？よーわからんzzz（～～）
ﾜﾛﾀYo
559:１３２人目の素数さん
14/02/26 11:19:52.77
>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな
いいや違(tsuga)う。 断じて違う！ Thus truly truly We tell YOU !
560:Mujina2
14/02/26 16:36:47.37
流れがよめんではないかShIt
誰かクイ圖とパ圖ルを混同してるだろ
日本語では別物だからな
それから つがうどがいっでるしど（５５９）
ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
あれ？わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな
561:１３２人目の素数さん
14/02/27 00:33:49.09
ZFCで理論Tに対して普通の集合のモデルMが存在したら
CON(T)が言えるのに、Tに対して特定のクラスモデル（整礎集合WFとか構成的集合Lとか）が
存在してもCON(T)が言えないのはどうしてですか？
健全性定理の証明のどこに引っ掛かるのか分からず悩んでいます。
562:M_SHIRAISHI
14/02/27 13:21:51.87
＞ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
＞あれ？わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな
"Kurt Goedel Collected Works" Volume I Oxford University Press
pp.144～194
563:Mujina2
14/02/27 21:10:10.71
>>562
あ すまねす
そりより５６１さの話おもしろそだがらながれそっじえもっでぐね（～～）
564:M_SHIRAISHI
14/03/01 05:40:56.32
SeiSei_DouDou to Jitstu_Mei wo nanorei Kon Бакамон！
565:M_SHIRAISHI
14/03/01 05:51:48.53
２１世紀を夢見れる人々は幸せである。新世紀は彼らのものである。
反対に、２０世紀に囚われているひとは惨めである。惨敗に次ぐ惨敗が待っている。
566:１３２人目の素数さん
14/03/01 10:37:15.27
>>
三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU
567:１３２人目の素数さん
14/03/01 10:42:43.24
もう一度！
三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU
568:１３２人目の素数さん
14/03/01 11:17:27.87
>>561
「CON(T)が言える」ってどういうことなのかを
追求（定義？）する必要があるんじゃない？
569:561
14/03/01 15:50:50.33
ごめんなさい、教科書を先に読み進めたら
H(κ) |= Γであるとき、H(κ)が集合であることが言えたときと
言えない（クラスであることしか分かってない)ときに
CON(Γ)がどういう意味で帰結したと言えるのかに違いがある、
的な話がきちんと説明されてました。ほぼ>>561の答えそのものですね。
先に自分で疑問を持っていろいろ考えて調べたりしたのは無駄じゃなかったですけど。
そもそもCONがメタレベルの言明か、集合としてコードされた
論理式に対応する集合論内のオブジェクトなのか、違いがあるわけですね。
570:１３２人目の素数さん
14/03/01 16:05:38.60
上の方で、RobinsonのQで第二不完全性定理が示せる、という
お話がありましたけど、Qより弱いRでも第二不完全性定理は示せますか？
ご存知の方教えてください。
571:1
14/03/01 17:00:55.16
昔>>1のテンプレを書いたものですけど、今思えば
>素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として
って専門外の人には分かりやすいしヒルベルトの心中に限って言えば
割と正しいかもしれませんが、実際は数学史的には偏った見方ですね。
「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
の方が良い気がしてきました。
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
>このとき、カントールにはパラドックスという意識はなく、 肯定的にうけとめ集合論最大の発見とさえ書いている。
Cantorは、内包公理が矛盾したとき、理論の破綻と考えるのではなく、
内包公理の否定が導けたと言っていて、実はかなり現代的な理解をしている訳です。
尤も与えられた公理と推論規則の集まりが矛盾した時に、どれを間違っているとみなすか、
という問題はありますし、Quineみたいに
「どれか一つを選ぶ基準なんて全く無いよ」と明言する論理学者も居ますが。
URLﾘﾝｸ(www.academia.edu) も参照。
URLﾘﾝｸ(taurus.ics.nara-wu.ac.jp)
の「パラドックス史観」の話も参照。
確かに不完全性定理が否定的な残念でガッカリな結果とだけ思われるのに
繋がるとしたら大変困ったことです。ゲーデル自身もロジシャンも、
不完全性定理を最初に勉強した時は「こんな上手い良い定理が成り立つのか！」
と思った人が多いはずです。
572:Mujina2
14/03/02 07:34:15.41
>>564
おりがまつがっでだ ふんどにすまね
>>561
自己解決されたようで よかった 今後の書き込みにも期待してます
>>571(1?)
thx テンプレへの言及がg.j. 先走りかもしれませんが次スレの『テンプレrel1.01』を
めぐってここで暫く討論してみればどうでしょうか鉄気味のほうへ脱線したらそれはそのときまた
改めて対処できると思います
>>570
できれば『強・弱』の５７０さんなりの理解をkwsk（～～）
質問に質問で返すのが お約束ですので
573:１３２人目の素数さん
14/03/02 08:23:39.80
572 ：Mujina2：2014/03/02(日) 07:34:15.41
>>564
＞ おりがまつがっでだ ふんどにすまね
おはん、言ってることとやってることとが矛盾しているのに
気がついていないのか？
574:Mujina2
14/03/02 08:39:19.84
>>573
確かに（～～）
まあ半分気づいてるんだが2chだとついなあ たぶん人格が破綻しかけてるんだ
笑って許してとは言わんが 生ぬるくスルーしてくんねーかな
575:１３２人目の素数さん
14/03/07 03:38:50.58
公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？
576:１３２人目の素数さん
14/03/07 03:48:11.67
算術の体系に矛盾が見つかったとして
2+3=5は成り立たなくなる、あるいは無意味になると思う？
極端な話と、それと同じことだ
577:１３２人目の素数さん
14/03/07 03:49:06.31
× 極端な話と、それと同じことだ
○ 極端な話、それと同じことだ
578:１３２人目の素数さん
14/03/07 10:08:24.41
基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok?
579:１３２人目の素数さん
14/03/07 14:49:51.84
ネット版のホストみたいなの発見。
イケメンなら稼げるんだろうけど。
話が上手けりゃ稼げるかな。
誰かレポ頼む。
メンガでググると出てくる。
580:１３２人目の素数さん
14/03/07 20:23:45.72
基礎論を特別視したがる人もいるけど、
整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく
基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。
つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。
581:１３２人目の素数さん
14/03/07 21:48:26.96
>>576
もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる？
チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう？
その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな
論理がつぶれても、現実に２コのものと３コのものを合わせると５コになるという
経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか？
その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。
集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが
必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは？
582:１３２人目の素数さん
14/03/07 22:30:47.60
算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。
どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。
583:１３２人目の素数さん
14/03/07 22:43:36.27
その変える先の公理が存在するかを問題にしている
公理が底をついてしまうこともあるのでは？
584:１３２人目の素数さん
14/03/07 23:06:04.61
仮に矛盾しても、爆発(A∧￢A)→Bを認めなければ大した問題じゃない
もしも算術が矛盾するようなら、
古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね
585:１３２人目の素数さん
14/03/07 23:25:29.73
そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用
586:１３２人目の素数さん
14/03/08 13:40:47.93
矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする
出る定理は無限だから問題ない
強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない
587:１３２人目の素数さん
14/03/08 13:44:51.42
公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う
588:１３２人目の素数さん
14/03/08 16:14:43.23
＞公理が底をついてしまうこともあるのでは？
いや、ないでしょｊｋ
589:予言者
14/03/13 12:28:57.43
中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。
尚、余はソ連邦（ＣＣＣＰ）の崩壊を、その遥（はる）か昔に予言せり。
論理的必然性が在るのだ。
590:Mujina2
14/03/13 20:49:50.98
>>589
ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか？
預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう（～～）
591:１３２人目の素数さん
14/03/14 15:35:08.47
CCCP；Союз Советских 以下省略。
592:１３２人目の素数さん
14/03/14 15:59:51.20
ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと
かさっぱり和漢中田べ
593:１３２人目の素数さん
14/03/14 16:08:10.30
コチ向かば
ソチが呆けちょる
春の日だまり
詠み人知らず 圖
594:１３２人目の素数さん
14/03/14 16:34:11.55
さっさと半分売れよ北方領土
595:M_SHIRAISHI
14/03/14 20:07:58.53
自然数は０から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。
596:１３２人目の素数さん
14/03/14 20:25:09.22
単なる命名に、論理もクソも無い。
0以上の整数でも、1以上の整数でも、
好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。
他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。
私は、0以上の「自然数」が好きだが、
それに「論理的根拠」を付けてくるような
馬鹿は嫌い。
597:１３２人目の素数さん
14/03/14 22:57:02.89
あえるって何？料理の方法的なアレですか？
>>596
名前欄に注意
598:１３２人目の素数さん
14/03/15 00:02:02.54
ソユーズ
599:１３２人目の素数さん
14/03/15 02:26:34.96
ж
600:M_SHIRAISHI
14/03/15 05:47:43.22
>>595
>>596
きみの居る所を、仮に地下一階（＝－１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？
一階か？ No! ０階や。 その上の階が一階（first floor）や。
以下、同様。
>>597
御免！ 入力ミスしてた。ｗ ご指摘、ありがとう！
「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m
# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
601:M_SHIRAISHI
14/03/15 06:11:10.90
>>595
>>596
きみの居る所を、仮に地下一階（＝－１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？
一階か？ No! ０階や。 その上の階が一階（first floor）や。
その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。
# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
602:１３２人目の素数さん
14/03/15 06:29:33.82
>>601
＞その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。
その上の上の階が二階（second floor）。 以下、同様。
603:M_SHIRAISHI
14/03/15 07:16:52.92
>>575
＞公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？
浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、
偽になってしまうとは限らない。
604:１３２人目の素数さん
14/03/15 07:40:20.66
浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。
605:１３２人目の素数さん
14/03/15 07:46:33.21
確率は？
606:１３２人目の素数さん
14/03/15 07:50:45.13
統計をとってみなｗ
607:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:10:11.64
>>603
数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。
608:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:37:21.79
>>607
どういうこと？
609:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:40:19.26
>>575
Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは
Γ - φn から￢φnが証明できるということ。
どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、
φnを証明に使っていない定理は生き残る。
φnを証明に使っていた定理は、
他の公理から証明できれば使い続けられる。
そうでない場合は切り捨てないといけない。
どの公理もどうしても捨てられない場合、
最後の選択肢として公理系は全部残したまま、
論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。
610:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:02:31.97
>>608
ナマの事実（有限の記号操作）
前提・仮定（公理や推論規則）
証明されたこと（定理）
結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。
611:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:15:19.51
>>610って、例えば
「位数が素数の有限群は巡回群である」
という定理は生の事実でない群論の公理を使うから
真実ではない、と言ってるのに近くない？
哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。
612:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:24:00.58
>>611
数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。
というか、そういう議論から自由な存在だ。
613:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:49:06.14
>>611
「位数が素数の有限群は巡回群である」という主張を
群論の公理が仮定されていない場所で使うのか？
614:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:51:23.21
別に「定理～～はこの世における絶対的真理だ」が
数学の命題だなんて言ってる訳じゃないよ。
それに>>610でも数学の定理は真理や真実じゃない、みたいなこと言ってるやん。
真理かどうかはどうでも良いと言えば良いけど、個人的には
「素数は無限に存在する」という定理などが、他の科学的な事実の主張に比べて
ad hocだとは全然考えない
615:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:54:47.83
>>613
群論の公理は証明不要の自明の真理というよりも、ほとんど
これこれのものを群と呼びましょう、という定義だから
そもそもそれなしに群に関する主張はできない。
またそれを使ったからって、公理の正しさに依存するad hocな真理だ、
というのは無茶だと思う。
616:１３２人目の素数さん
14/03/15 13:38:06.02
>>615
前半は全くその通りだけど、公理の「正しさ」って何だ？
617:１３２人目の素数さん
14/03/15 13:41:56.98
真理だということは正しいということかと思う
数学の哲学上のかなり極端な立場でもない限り
なんで「位数が素数の有限群は巡回群である」
「素数は無限に存在する」がad hocなのか分からんと言ってるだけ
618:１３２人目の素数さん
14/03/15 14:05:14.83
そもそも「自然数全体の集合」ですら何か共通の信念を持つことに依存してないでしょ。
その実在を信じない人がレアかどうか、ってのは関係ないよね。
何かを真実と信じることはあっても、その信念を「論拠にして」数学的な結論を導いたりはしないんだからさ。
619:１３２人目の素数さん
14/03/15 15:24:29.88
>>607 ---- >>618
結局、M.Shiraishi氏（つーか、ＥＵＲＭＳ）の言う、”論階”の差に帰着するなぁ～。
真実や事実は「０階の真理」。 論理学を除く諸科学の法則（真理）は「１階の真理」。
但し、数学的帰納法の原理とか相対性原理 etc. は「２階の真理」。
論理法則は、すべて、「２階の真理」。
620:↑
14/03/15 15:30:20.19
「３階の真理」もあっでよう！（ｗ
621:１３２人目の素数さん
14/03/15 15:32:34.85
>>619
そういう分類自体を絶対視してね？
そういうのは受け入れ難いんだよ。
その時その時の議論に応じて前提条件を変える。
変えていいんだ、ってのが「アドホック」の意味。
622:１３２人目の素数さん
14/03/15 17:20:24.06
>>618
標準自然数の真理述語の一意性はかなり微妙
それは背景の集合論に依存して真理述語1、真理述語2……
と同格の複数のものが考えられる、という立場もあり得るけど
あまり明確に主張してる人は聞いたこと無いなあ
623:１３２人目の素数さん
14/03/15 17:27:06.22
>>610
ナマの事実（有限の記号操作）って何のこと？
wikiに載ってたけど、そこに書いているような意味なの？
624:１３２人目の素数さん
14/03/15 18:15:42.64
「証明」とは何か？ 何であるべきか？？？
625:１３２人目の素数さん
14/03/15 18:35:54.64
>>623
別に大した意味じゃない。
「式 1 + x の変数ｘに4を代入したものと、式 y + 4 の変数yに1を代入したものは同一の式である」
って程度の個別に直接確認できるような事実のことだね。
626:１３２人目の素数さん
14/03/16 01:13:25.32
URLﾘﾝｸ(pc.watch.impress.co.jp)
頭ロボ君大学入試でTarski-Saidenbergの定理使うとかまじヤバいｗｗｗ
l'Hopitalならまだしも、「Tarskiの量化子除去を行うことにより～～」とか
入試答案に書かれたら東大や京大の教授でも顔を顰めるだろうなｗ
627:M_SHIRAISHI
14/03/16 05:41:24.94
>>607
>>615
>>621
適切な日本語が在りながら、ラテン語由来の英語（ad hoc）を、わざとらしく使って、
ソチ等は優越感にひたりたいのか、こん馬鹿たれが！
これを「“下衆”の勘ぐり」と言うならば、受けて立つ。
先ず、実名とE-mail address を書け！
以下、“ad hoc””なる用語は「使用禁止処分」とし、代わって「その場かぎの」」 or「 一時凌ぎの」を用いる。
Follow US！
## これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚悟せよ！
628:１３２人目の素数さん
14/03/16 07:32:50.19
隔離スレに帰れよw
629:１３２人目の素数さん
14/03/16 08:39:53.40
>>625,610
そういうナマの事実と、 「前提・仮定（公理や推論規則）」および「証明されたこと（定理）」
だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ？
630:１３２人目の素数さん
14/03/16 09:46:36.23
>>629
ん？数学を作る人間の直観のことでも言ってんの？
表に出てくるのはその３つだけで十分。
631:１３２人目の素数さん
14/03/16 10:33:53.37
>>630
×表に出てくるのはその３つだけ
○その３つに帰着できる
な
632:１３２人目の素数さん
14/03/16 10:38:45.34
こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが
両者で違って議論になってないというパターン
現代の数学は基本的に形式化できる
→数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ！みたいな
633:１３２人目の素数さん
14/03/16 11:25:48.21
Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed
problem ?
634:１３２人目の素数さん
14/03/16 13:17:43.94
>>632
別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。
635:１３２人目の素数さん
14/03/16 19:42:58.06
>>633
いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか？
？
636:１３２人目の素数さん
14/03/16 21:35:12.15
エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。
瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。
間違っているのはどっち？
637:１３２人目の素数さん
14/03/16 22:41:09.37
島々が海に浮かんでるなんて初めて知った
内海だから海流に流されないで済んでるんだね
638:１３２人目の素数さん
14/03/16 22:48:03.55
風が光ってる
波が光ってる
夢が光ってる
琥珀色に
風が呼んでいる
波が呼んでいる
夢が呼んでいる
エーゲ海
639:１３２人目の素数さん
14/03/16 22:56:57.29
ad hoc を日本語にするの難しいわ～
640:１３２人目の素数さん
14/03/17 23:00:49.30
>>635
完全性定理の証明に（弱い形での）選択公理が必要になること、
可算理論の場合でも少なくとも算術は必要になること。
641:１３２人目の素数さん
14/03/18 00:00:27.49
完全性定理は集合論の定理です。
642:１３２人目の素数さん
14/03/19 08:42:45.52
それは算術級数定理が関数論の定理だと言うようなものだ
643:１３２人目の素数さん
14/03/19 09:43:00.90
教えてください．
ゲーデルの不完全性定理などの場合は，その意義は一般にも理解し易い
（本当に理解できているかは別として）のですが，
ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性は，なにを意味していると理解すればよいの
でしょうか？「形式体系というものは，．．．なものだ」という意味を
もっているに違いないと思うのですが．
644:１３２人目の素数さん
14/03/19 19:19:25.63
>>635
言語Lの記号が整列されていれば選択公理要らないですよ。
我々が扱う具体的な理論（Peano算術とかZFCとか代数閉体の理論ACFとか）は
全部記号は整列可能ですよね？
何かを示すのに算術が必要だからill-posed problemだとか言い出したら
数学の大半の問題ははill-posedになると思うんですが。
645:１３２人目の素数さん
14/03/19 21:07:54.53
>>642
慣習的なことを言ってるの？
関数論の定理だと言って別に何か困ることないでしょう。
>>644
ill-posedなんじゃなく、必要な前提を明らかにしたうえで「～論の定理です」と言えばいいだけでしょ？
646:１３２人目の素数さん
14/03/19 22:43:52.26
>>643
一般にも理解し易い意味なんて別にないから気にしないで！
647:644
14/03/19 22:55:27.08
ごめん>>640へのレスのつもりだった
完全性定理はill-posedか
→意味が分からない
→選択公理が要ったり、少なくとも算術を必要とする
という文脈で、算術が言ったってill-posedだとは言えないだろう、
というつもりのレスでした。
648:１３２人目の素数さん
14/03/19 22:58:56.64
>>646
世の中とは全くつながりがないということ？
そんなこともないでしょ？
649:１３２人目の素数さん
14/03/19 23:01:05.18
ええ…？
ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？
650:１３２人目の素数さん
14/03/19 23:10:19.41
不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
651:１３２人目の素数さん
14/03/19 23:36:48.61
>>645
本当はXではなくてもXと呼ぶことはある。
慣習は守らなきゃ。
甘納豆は甘い納豆ではないし、
焼きソバは蕎麦ではない。
わんこソバは犬ではない
652:１３２人目の素数さん
14/03/20 13:34:11.47
>>649
>ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？
もちろんそうです．
「世の中とのつながり」というと，少し通俗的な感じがして，違いますが，
>>650
>不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
誤解（解釈のし過ぎなど）が多いのは知っていますが，
定理をそのまま理解したり，その証明を追うだけで留めておけば
誤解は避けられるでしょうが，それでは，明らかにその意味を
理解したことにはならないわけで．
いろんな意味で一般化が必要ですよね．
653:１３２人目の素数さん
14/03/20 20:11:28.79
いや「世の中とのつながり」ってのはあなた自身が言った言葉だよ。
そうです。 違いますが。
とか言われても意味が分からない。
定理をそのまま理解したのでは、
明らかにその意味を理解したことにはならない
と言うのも意味分からない。
654:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:24:55.79
653さん
定理をそのまま理解するというのは，定理が真であることが分ること，
その証明が追えてかつ自分で再現もできること，定理を適切に適用できること，
というようなことを指していました．
通常はこういう理解で満足するのでしょうが，考えてみると，こういう理解は，
いってみれば，無矛盾であればよしとする理解，機械でもできる理解，定理の
内部に閉じた理解，受動的な理解ではないかと思います．
そうではない理解，特に定理の外部との関係においての理解というものが
あり得て，むしろそういう理解をしたいと思っています．
これは数学なら数学の内部に閉じこもっている人たちには，何をいっているか
分ってもらいにくいと思いますが．
655:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:31:25.16
数学の他分野ならともかく、よりにもよって集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
656:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:41:58.17
>集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
いやいや独立性の定理なら，その定理の内部に閉じない理解でよいのです．
>しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
そういう期待はまったくないんです．だから「世の中とのつながり」というと，
だいたいがそういうふうに誤解されるだろうなと思っていたのですが．
657:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:44:18.93
当然具体例はあるのだろう。
「○○の定理は△△という形で世の中と繋がっている」
みたいな。
なんかあげてみてよ。
658:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:49:41.83
「世の中とのつながり」というのが不適切な表現だったというのは良いとして、
じゃあどういう意味だったのかが不明
あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。
その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
と言い出すと得てして中途半端なことになる。
659:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:53:16.08
不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
それと同じようなことがZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性定理についても
できないのかな？ということでした．
660:１３２人目の素数さん
14/03/20 21:57:19.09
>>659
そんじゃレーヴェンハイムでいいから、その「有意味な形」ってのを教えてよ。
661:１３２人目の素数さん
14/03/20 22:03:20.94
>>658
>あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
>というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
>ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。
>その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
>と言い出すと得てして中途半端なことになる。
通常の意味で定理が理解できるとかできないとか（どうもそれが相当
難しいと思っているようですが），そういう話をしているのじゃないんですよ．
662:１３２人目の素数さん
14/03/20 22:04:58.95
>>659
あと有名どころで、完全性定理とバナ・タルもよろしく
663:１３２人目の素数さん
14/03/21 03:57:21.62
悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
「集合」という、カントールやツェルメロの時代には明確に把握されていると
思われていた概念が、どこまで行ってもかなり基本的な部分で
不明確な概念であることを示した、とまでは大雑把に言えるけど形式体系一般がどうという話じゃない。
それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
というだけじゃないのかな。それを
「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
664:１３２人目の素数さん
14/03/21 11:05:50.29
>>663
>悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
>「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
そうなのですか？そうなら残念です．
>こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
そういえば，不完全性定理は，独立な命題を一つ二つ具体的に構成していますが，
「独立な命題がなぜ生じるのか」については何も言えていませんよね？
>それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
たとえばどんな意味でしょうか？（それはまさに定理外部の意味だと思うのですが）
>単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
>というだけじゃないのかな。それを
通常のレーヴェンハイムの定理の表現では，むしろ一般の人は興味をもちにくい
と思います．
下は本題でないし，こういう場では結構起きがちな口論？なので
敢えていちいち気にしないことにしているのですが，
>「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
「内部に閉じている人」はたしかに（結構沢山）存在していて
そういう人たちには分かってもらいにくいのは事実ですよね．
>定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
>なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
「高度な」とは一言も言っていないです．高度か低級かなんてことには
関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんです．
だけど，外部もありますよ，と言ってるだけです．
665:１３２人目の素数さん
14/03/21 11:16:55.80
単に自分好みの解釈を求めているだけだから。
待ってるのに来てくれないから。
666:１３２人目の素数さん
14/03/21 11:31:31.37
＞高度か低級かなんてことには関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんで
>>654の
「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？
667:１３２人目の素数さん
14/03/21 11:43:25.89
>>666
>「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？
何なの？ってどういう質問ですか？
まさかここでも，「機械でもできる」や「受動的な」を負の意味（批難の意味）に
とらえているのではないでしょうね？そうではないんですよ．
668:１３２人目の素数さん
14/03/21 12:07:18.14
避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
669:１３２人目の素数さん
14/03/21 12:18:06.23
>>668
>避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
>君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
ここにも現れているように，
結局，あなたは，「難しいことが理解できること」ことが自慢の人の
内部的な人なんでしょうね．
先にも言いましたが，こんな口論みたいなやりとりは私はもう止めますね
670:１３２人目の素数さん
14/03/21 13:24:10.47
数学の内部で、他の定理や例や他の数学の分野との関わりにおける
意味と言うのは数学やる人も当然大事だと思っている。
「数学内部に閉じこもっている人」は証明をそのまま追うだけだから
機械でもできる受動的な理解に留まっていて
こういう理解の仕方はあまりしないだろう、とか言われても、
普通の数学者はそうではないので、何を言っているんだ？ということになる。
なんか、自分が分かって貰えないのは、レスを返す人が
「数学の内部に閉じこもっている」からだ、と思ってるみたいだけど、
自分のレスが分かりにくかったり実態に即していなかったり、という可能性は考えないの？
小平邦彦が書いていることだけど、或る定理を理解するには
その定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある。
>>643で書いてある独立命題についても、
重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
>>669は「形式体系とはこういうものだ」という一般論を求めているようなので
それじゃ満足しないだろうけどね。
671:１３２人目の素数さん
14/03/21 14:13:54.70
>>670
最初の３つのパラグラフはもともと同意です．
それに，これと同じことは私の方からだって言いたいかもしれない．
どちらにしても，私にとっては本題ではないです．こんなことはどうでもよいです．
>或る定理を理解するにはその定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある
「ことがある」ではなく，ほぼつねにそうでしょうね．
ただし，「証明をきちんと理解する」が，証明を（写経するように）追うことで
できるのでは必ずしもない（私の経験ではそれはむしろ下手なやりかた）とは
思います．
> >>643で書いてある独立命題についても、
>重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
>このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
これは貴重なコメントです．ちょっと考えてみます．
「定理の内容よりも、強制という証明手法が重要」？
>それじゃ満足しないだろうけどね
そんなことないですよ．
672:１３２人目の素数さん
14/03/21 14:54:03.41
これだけレスの応酬があって、「一般人が興味を持ちやすい説明」というものを頑なに例示しないのは何故だ
673:１３２人目の素数さん
14/03/21 16:33:53.87
理由は明白だ。自分でも理解できていないからだよ。
674:１３２人目の素数さん
14/03/21 18:27:07.75
「機械”でも”できる」を負の意味に捉えないでくれって言われても、ニュートラルな表現ではないからねえ。
「一般人が興味を持ちやすい説明」ってのは必ずしも自分の言葉じゃなくてもいいんだよねー。
○○の定理についてこのサイトではこんな説明がされてて、有意義で分かりやすいと感じた、でもいいし。
それすら示してくれないのは残念だね。
675:１３２人目の素数さん
14/03/21 19:16:37.13
言うとすれば自分の言葉で言うしかないようなものですが，
お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
それに，独立性命題についてなど，まだ見えない部分もありますので．
なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．
676:１３２人目の素数さん
14/03/21 19:20:13.53
>>675
独立性命題の説明じゃなくて、
＞不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
＞一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
これら↑について例示してほしいのだけど
＞お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
ここには「数学の内部に閉じこもっている人たち」しかいないから？ｗ
677:１３２人目の素数さん
14/03/21 19:36:59.84
> なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
>「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．
曖昧な言い換えを繰り返してもどこにも到達しないよ。
自分ば言いたいことを、一般人にも理解できる言葉や具体例で説明することから
始めるのが良いでしょう。
678:１３２人目の素数さん
14/03/21 19:53:31.47
>>675
適切な場所ではない、だって？
自分が質問するのは構わないが、同じ主題で自分が答えるのは適切でない、と？
679:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:32:45.07
>>676
>これら↑について例示してほしいのだけど
そんなに興味がおありなら，yes/noくらいでなら答えられます．
>>678
なにも変ではないと思いますが．
私が質問しているときも，答えられる範囲で答えてくれることを
期待しているだけです．
ほら，つまらない口論の場になってるでしょ
680:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:36:13.01
完全に喧嘩腰
もういいわ
681:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:37:56.99
>>679
いや、非常に興味があるし、もしかしたら自分の見識を広められるのかもしれないので、
yes/noくらいでとおっしゃらずに
ぜ ひ 教 え て く だ さ い！
682:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:39:07.04
結局、口論がしたかっただけなのかもな、この人は。
683:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:52:36.51
とんだアルゼンチン野郎だ！
684:１３２人目の素数さん
14/03/21 21:29:37.63
目標：数学基礎論の諸定理に隠された意義を明らかにする
方法：基礎論・論理学スレでヒアリング
成果：数学の内部に閉じこもった者たちの無理解に阻まれ、当初の目的は達成できず。
評価：設定した目標は達成できなかったが、つまらない口論を避けるためにはやむを得なかった。
部外者を排除しようとする数学者の動機の存在を確認できた。
685:１３２人目の素数さん
14/03/21 22:10:02.37
こういう人は、他人から理解されないとその分だけ自身の正しさを確信していくから、この結果に満足してると思うよ。
686:１３２人目の素数さん
14/03/22 07:18:29.90
おのれのつまらないプライドを守るためには、
おのれの殻に閉じ込もり、
「おれを理解しない奴らが馬鹿」というおまじないを唱え続けるのが
ベストです。
矮小なプライドを守る代償として人生を失うことになりますが。
687:１３２人目の素数さん
14/03/22 08:43:15.94
プライドなのか飯の種なのか。
例示が無いのは持ち駒を潰されることを避けるためだろう。
688:１３２人目の素数さん
14/03/22 09:12:07.75
その程度じゃ飯を食ってけんよ
689:１３２人目の素数さん
14/03/23 06:19:07.35
オカズってことじゃないの？
690:１３２人目の素数さん
14/03/23 10:35:52.38
村上陽一郎とかそういう人だっけ？
691:１３２人目の素数さん
14/03/23 21:48:50.85
せこい人間だったな
しょーもない
692:１３２人目の素数さん
14/03/23 22:01:24.35
なんでここで村上陽一郎が出て来るのか分からん
693:１３２人目の素数さん
14/03/23 22:04:56.85
南部陽一郎
694:１３２人目の素数さん
14/03/23 22:56:15.66
ゴールドストン
695:１３２人目の素数さん
14/03/28 02:11:44.26
質問です。
数理論理学で修士号を取るためには、専門の数理論理学以外の数学の基礎知識はどこまで必要ですか？
696:１３２人目の素数さん
14/03/28 22:03:11.19
「数理論理学修士」（正確には「修士（数理論理学）」かな？）というものは、
現在の日本ではたぶん存在しない。
あるのは、理学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（理学）」とか、
工学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（工学）」とか、
文学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（文学）」とか、
、、、他同様。
数理論理学以外の知識として何をどれだけ要求するかは、先生に依存する。
697:１３２人目の素数さん
14/03/29 00:01:20.71
>>696
馬鹿かこいつ
微分幾何学修士も群論修士もないわ
698:１３２人目の素数さん
14/03/29 22:09:26.31
しかも質問には答えてねえし
699:１３２人目の素数さん
14/03/29 22:13:26.65
>>695はたぶんこいつ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
700:１３２人目の素数さん
14/03/30 03:09:20.17
一番最後で答えてると思うが
701:１３２人目の素数さん
14/03/30 08:19:29.07
>>695
修士論文を書ける専門能力以外に、必要な学力とは：
（１）大学院入試に合格する学力。
（２）大学院修了に必要な授業単位を取得できる学力。
だと思いますが。
702:１３２人目の素数さん
14/03/30 08:50:16.42
学費を払う経済力は？
703:１３２人目の素数さん
14/03/30 23:12:32.06
>>701
このご時世、(1)も(2)もほぼゼロだがな
704:名無しさん＠大阪商業大学
14/04/02 01:11:45.25
Jean van Heijenoortってどのくらい有名ですか？
705:１３２人目の素数さん
14/04/11 23:45:27.90
メタ数学って結局数学なの？数学じゃないの?
706:１３２人目の素数さん
14/04/11 23:53:08.22
数理論理学では、「理論」とか「モデル」とか、
「数学」のおもちゃのミニチュア模型みたいなものを作って
その性質を調べるようなことを良くします。
その際に研究対象のミニチュア模型を調べる時に使う普通の数学のことを、
研究対象となる「数学」と区別してメタ数学と言います。
つまりメタ数学は普通の数学です。
707:１３２人目の素数さん
14/04/11 23:55:42.45
>>706
調べる対象が「数学」なだけで、実体は普通の数学だと言うの？
推論規則は同じだよね？
公理は明示されてないようだけど、算術の公理一式ってこと？
708:１３２人目の素数さん
14/04/12 00:00:16.64
それは場合によって違う。
証明論とかは普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかだと集合論を仮定したり、連続体仮説を仮定すると
どういうことが言えるかを調べたりとかまでする。
いずれにせよ、最近ではメタ数学は有限の立場じゃないといけないのかどうかとか、
メタ数学で排中律を使って良いのかどうかとか、そういう問題意識はあまり流行らない。
709:１３２人目の素数さん
14/04/12 00:05:46.30
「証明論とかのメタ数学は普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかのメタ数学だと集合論を仮定したり、」ってことね
流行らないと書いたけど、そういう研究はそういう研究でちゃんと研究されてるみたい。
ただし数学科というよりも哲学科や情報科学科とかのロジシャンが研究してることが多いけど。
710:１３２人目の素数さん
14/04/12 00:08:12.71
>>708
よくわかりました。
「○○を仮定すると～」は数学的でわかるけど、「△△でなければならない」なんてのは
一体何の議論？って感じで馴染めない。
711:１３２人目の素数さん
14/04/12 00:26:12.15
あーでも証明論はよくわからないな。
実際の数学の証明に応用することがあるんなら、どんな仮定が入ってるのかが問題な気がする。
712:１３２人目の素数さん
14/04/12 00:47:23.56
>>711
実際の証明に応用される証明論の結果なんてあるの？
原理的には公理に推論規則を淡々と適用してくだけなんだし。
7+5=3*4を示すのに算術なんていらないのと同じ。
713:１３２人目の素数さん
14/04/12 08:00:26.43
前原昭二『記号論理入門 新装版』は入門として良い本ですか？
714:１３２人目の素数さん
14/04/12 12:28:21.98
>>711
wikipediaに”不変条件”って項がある。
そこに書いてる、「MUパズルでMU を作ることができないことを示す方法」が有効だってことは認める？
715:１３２人目の素数さん
14/04/12 23:06:42.01
>>714
こういうのは一番わからないな。
有効か無効かで答えれば「無効」。
716:１３２人目の素数さん
14/04/13 18:55:41.80
>>715
算術の命題をMUシステムのメタな言明に翻訳したら「MUパズルでMU を作ることができない」となります。
あくまで算術の応用であり、その適否は各人が自由に判断してください。
と言ったら満足するの？
717:１３２人目の素数さん
14/04/13 19:14:39.82
あんたが何を主張してるのか意味不明だな。
証明論が実際に数学の証明に役立つ、という主張をしたいなら
MUパズルなんかではなく数学の具体例を出す必要がある。
証明論がおもしろいからやってるだけだ、文句あるか！？
というのであれば誰も文句はない。
718:１３２人目の素数さん
14/04/13 19:20:29.26
>>717
安価つけろや
719:１３２人目の素数さん
14/04/13 20:36:31.86
誰も証明論が実際に数学の証明に役立つなんて言ってないようだけど。
720:１３２人目の素数さん
14/04/13 20:55:04.36
発端の>>711がそもそも不明確なレスだからなあ
とりあえずMUパズルは直接関係無い気はするけど
721:１３２人目の素数さん
14/04/13 21:17:54.08
wikipediaにあるMUパズルに書いてる考え方ってどういう位置づけなの？
実際の証明論とはかけはなれたことなのか、それとも典型的で簡単な例と捉えるべきなのか。
722:１３２人目の素数さん
14/04/13 21:44:11.80
論理学も数学もあまり知らない
一般の人向けの大雑把な説明としては良いんじゃない？
スマリヤンのゲーデル関係のパズル本とかにも
似たようなもっと複雑なパズルが結構載ってるから
典型的で簡単な例と考えても良いんじゃないかと思う。
良く知らんけど。
723:１３２人目の素数さん
14/04/13 23:01:15.24
出題します。
「落ちる」「受かる」を互いの否定命題とする。
このとき、次の２つの命題は互いに否定命題であるか？
Ｐ「Twitterばっかやってたら落ちる。」
Ｑ「Twitterばっかやってても受かる人は受かる。」
724:１３２人目の素数さん
14/04/13 23:03:52.47
馬鹿は落ちる
725:１３２人目の素数さん
14/04/13 23:35:25.79
>>722
MUパズルのとこの説明は非常に簡便だけど、これが何かの証明になっているかと聞かれたらNOだよな。
本格的な証明論の内容はよく知らんけどｗ
726:１３２人目の素数さん
14/04/14 04:57:35.58
そもそも何のつもりMUパズルなんか持ちだしたのかわからん。
持ちだした本人には何らかの意図があったはずなんだが。
727:１３２人目の素数さん
14/04/14 12:10:18.91
>>726
>>722の言う通りに典型的で簡単な例として出したんじゃない？
728:１３２人目の素数さん
14/04/14 12:44:26.40
>>727
何の例なんだ？
数理論理学や証明論との関係が見えないのだが。
729:１３２人目の素数さん
14/04/14 13:05:07.30
証明論の例だろ
730:１３２人目の素数さん
14/04/14 13:25:22.21
>>729
証明論について根本的な誤解をしてるようだね。
入門書でも読めばいいんじゃねーの。
731:１３２人目の素数さん
14/04/14 14:37:52.38
>>730
俺の持ってる入門書ではMUパズルと同じような議論してるぞ。
証明図のdegreeとかrankとか。
どう根本的な誤解なんだよ？
732:１３２人目の素数さん
14/04/14 20:21:27.10
このパズルみたいな簡単な不変量じゃないし
厳密にいえば不変量でもないけど、
subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
単調に増加していくということだから、似た空気ではあるよね。
逆に順序数の単調減少な量を定義するというのもよくあるテクニック。
ただ証明論についてあまり詳しくないから
「同じような議論」とまで言えるかどうかは分からんけど。
733:１３２人目の素数さん
14/04/14 20:28:28.51
>>732
> subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
> 単調に増加していくということだから
cut除去ではcut論理式の複雑さを減らしていくことで
cut除去プロセスの停止性を保証するのでは？？
734:１３２人目の素数さん
14/04/14 20:45:54.28
根本的に誤解してるポイントが何なのか明らかにしてよ>>730
735:１３２人目の素数さん
14/04/14 23:12:15.51
結局は算術、そして結局は帰納法。
そこまで言っちゃえば「同じような議論」。
>>730の意図はわからないけど。
発端の>>711と>>715と合わせて全体の意図がよくわからない。
736:１３２人目の素数さん
14/04/15 09:37:55.37
>>735
> そこまで言っちゃえば「同じような議論」。
そうなんだよな。そこまで言っちゃえば、数学も証明論もMUパズルも全部一緒。
737:１３２人目の素数さん
14/04/15 23:28:15.17
Pour-El=Kripkeの定理って驚愕の定理みたいに書いてあることあるけど、
扱ってるのが本質的に可算で無原子的なブール代数であることを考えると
ブール代数として同型になるというのは
当時から良く知られていた事実のはずでどこが驚きどころなのか分からん
どっちかというとどういうときに成り立たないかの方が数学的には興味ある内容だと思う
738:科学史・科学哲学
14/04/19 05:12:52.35
非常にばかばかしい質問かもしれませんが、お答えください。
数学基礎論・数理論理学で博士号を取るためには、数学基礎論・数理論理学以外の数学をどの程度知る必要があるのでしょうか？
たとえば経済学ならば、経済史で博士号を取ろうと思えば理論経済学の知識は(むろん必要ではありますが)それほど深くは要求されません。
数学基礎論・数理論理学もそのような特殊な分野でしょうか？
数学基礎論・数理論理学で博士号を取る場合に必要とされる他分野の知識は、
修士なみ
学士なみ
学部教養なみ
学部入試なみ
これのどれくらいにあたるかおしえてください。
739:１３２人目の素数さん
14/04/19 08:23:03.34
扱っている内容によるし分野による。
たとえば証明論や非古典論理とかをやるなら現代数学より
計算機科学とかの知識の方が役に立つかもしれません。
数学史を研究するときに現代数学の知識が要らないのとは違って
厚生経済学を学ぶのにマクロ経済学の知識があまり要らない
（のかどうか知りませんが）というような感じに近いと思います。
740:１３２人目の素数さん
14/04/19 09:18:48.60
証明論も非古典も数学使うよ
計算機の側がそれらを道具として使うだけで
どっちも学部程度の数学知らないと研究できない
（見かけは数学を使ってないように見えるだろうけど
741:１３２人目の素数さん
14/04/19 13:16:38.26
学部程度の数学っていうか、帰納法だけでやっていけるような、、、、
742:１３２人目の素数さん
14/04/19 13:18:17.50
応用数学だけどね
743:１３２人目の素数さん
14/04/19 14:37:40.00
基本的には数理論理も数学なので
他の数学の分野と大きく違うということは無いとは思う
まあ非古典論理の研究とかは数学的に高度なことをしたから
良い研究と言う訳でもないとは思うけど
744:１３２人目の素数さん
14/04/19 14:55:27.21
一般教養レベルの数学は最低限必要ですね。
微積分、関数論、線型代数、集合、位相。
これくらいは常識レベルとしてください。
数学基礎論や数理論理学を専攻するのであれば
実数論とかガロア理論も知っておく必要があるし、
また、測度論についても知っておく必要があるでしょう。
上記以外については研究動機やテーマによりますので
指導教官に相談してください。
745:１３２人目の素数さん
14/04/19 22:56:34.78
実数論って微積分の一部じゃないの
746:科学史・科学哲学
14/04/19 23:01:08.05
>>744 「一般教養レベル」とは学部2年修了レベルですか？
747:１３２人目の素数さん
14/04/19 23:56:22.24
ちょっとでも余計なことは意地でもしたくないみたいだな
748:科学史・科学哲学
14/04/20 01:05:37.88
>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。
749:１３２人目の素数さん
14/04/20 01:09:39.71
なら師事する先生に尋ねるしかないな
750:１３２人目の素数さん
14/04/20 07:17:58.39
研究に向いてないと思う
数学基礎論・数理論理学やるのに
学部程度の数学やりたくないとか話にならないから
哲学系の林さんも幾何学なんかまで知ってるから
751:１３２人目の素数さん
14/04/20 07:29:25.17
式遊びでもやってろ。
752:科学史・科学哲学
14/04/20 08:11:40.35
>>750
>数学基礎論・数理論理学やるのに
>学部程度の数学やりたくないとか話にならないから
なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？
たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
それと同じようなこと。いらないことはしたくない、早く本丸に取りかかりたいということ。
753:１３２人目の素数さん
14/04/20 08:53:11.52
こんなところで油売ってないで
さっさと本丸にとりかかってください。
754:１３２人目の素数さん
14/04/20 08:58:27.67
その必要最低限の範囲ってやつが事前に確定できると思ってんのか？
755:１３２人目の素数さん
14/04/20 09:04:58.18
ゆとりなんだろう（笑）
756:１３２人目の素数さん
14/04/20 09:16:16.70
＞>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。
違うな。お前は数学基礎論・数理論理学をやりたいのではない。
「博士号」という称号が欲しいだけなのだ。
数学が好きで好きでしょうがない人間でなければ、
博士号まで息が持たない。
お前には無理だよ。
757:１３２人目の素数さん
14/04/20 09:27:36.92
>>756
それは
数学基礎論・数理論理学が数学に含まれることを前提としてるね。
多分>>752の認識は違うんだろう。
758:１３２人目の素数さん
14/04/20 10:44:10.03
なんで>>752が経済史を例に出すのか分からんけど
数理論理というのがあくまで数学の一分野であって
16世紀数学史とかそういう歴史の研究とは全然違うというのは分かってる？
数学史をやりたいならここじゃなくて数学史やってる人のところで聞いた方が良いよ
759:１３２人目の素数さん
14/04/20 10:50:19.25
それどころか一種の応用数学。
数学のあらゆる分野が必要になる可能性あり。
760:１３２人目の素数さん
14/04/20 15:26:35.58
必要になったら勉強するという態度でも何とかなると思うけど、
勉強する範囲を限定するのはムリだろ。
特に数学基礎論・数理論理学なんて適用範囲広いんだし。
761:１３２人目の素数さん
14/04/20 15:36:06.74
必要になったらその都度勉強します
というスタンスの人は>>738みたいなことを書かないもんな
762:１３２人目の素数さん
14/04/20 22:35:32.06
>>752
> なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？
> たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
> それと同じようなこと。
全然違う。
今でも日本だけが数学基礎論って時代遅れで哲学っぽい（裏を返せば数学っぽくない）呼び方をしてるが
世界中での常識的な呼び方としてのMathematical Logicつまり数理論理学は
論理学で現れる諸概念を研究の題材としてるだけで道具立ても手法も
代数学や幾何学などの通常の数学とほとんど何も変わらない。
それらの道具を適用する対象が違うだけ。
だから現代において数理論理学で良い仕事をしようとすれば現代数学のさまざまな道具を身に着けておくのが不可欠。
時代遅れの哲厨くずれな人間が基礎論屋を気取って棲息する余地なんてのは現代の高度に技術化され抽象化された
数理論理学には残ってないんだよ。
日本から数理論理学で良い仕事が出ない理由は相も変わらず「数学基礎論」なんて哲厨な名前を有難がってるから。
海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
日本だけだよ、「基礎論」とか"Foundations"って言葉を今でも素人ファンじゃなくてプロの数理論理学屋が有難がって使うのは。
763:１３２人目の素数さん
14/04/20 23:12:17.02
大したロジックだね
764:１３２人目の素数さん
14/04/20 23:22:19.40
「数学基礎論」という字面に哲学臭さなんてあるか？
教養課程の科目名みたいだとは思うけど
765:１３２人目の素数さん
14/04/20 23:54:36.44
>>762
素人ファンはどうすりゃいいんだよ？
766:１３２人目の素数さん
14/04/21 00:12:08.42
おかしいと分かっていても一度普及した呼び方は変え難いんだよね
適切な呼び方を新しく考えだしても相手に通じなければ意味がないし、
逆に変な呼び方であっても相手に通じるのであれば問題ない
昔の化学では「質量作用の法則」という奇妙な訳語があったのを覚えてる人もいるだろう
マスゲームを「質量ゲーム」と訳すようなもんだ
今ではまともな訳語に直ってるけどね
767:１３２人目の素数さん
14/04/21 00:18:46.01
完全性定理と不完全性定理では「完全」の意味は異なるが呼び方を使い分けようとは誰もしてない
768:１３２人目の素数さん
14/04/21 01:33:09.02
完備性定理ぐらいにして欲しいよね。
769:１３２人目の素数さん
14/04/21 07:38:54.20
＞海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
Kunenがつい最近出してたけど……
770:１３２人目の素数さん
14/04/22 08:45:24.79
岩波文庫の「不完全性定理」って今、
書店で手に入れることできますか？
771:１３２人目の素数さん
14/04/22 17:14:02.61
絶版にはなってないから、売ってるところでは売ってるだろ
だが、そもそも岩波なので最初から入荷してないトコロもおおいし
取り寄せもへたすりゃ断られるかもよ
おとなしく amazon で買ったほうがいい
772:１３２人目の素数さん
14/04/24 19:16:42.98
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, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| ` -'＼ ｰ' 人 私は死なないわよ。
| /(l ＿＿／ ヽ、 でも最近一寸太ったかしら。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 Windows ver.10 で
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ 元の痩せた姿にしてよね。
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773:１３２人目の素数さん
14/04/26 16:29:47.71
普通の数学での主張を述語論理での主張に書き換える場合
pのときqとなる
に対応するのは
p |- q
|- p→q
の何れが適当なのでしょう？
774:１３２人目の素数さん
14/04/26 17:18:50.62
普通に数学を使うときに使う論理は自然演繹に最も近いから
どっちもでも良いんじゃないの。
そういう使い分け自体を意識しないと思う。