13/05/19 02:50:22.50 2fcKR6l/!
ええっ? すいません。"対して"は論理記号でどのようにかけるのでしょうか?
「∀x(x∈A→f(x)∈B)」でしょうか?
A=φならx∈Aは常に偽なので, (x∈A→f(x)∈B)は常に真ですよね。
従って, A=φの時は「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真ですか?
272:１３２人目の素数さん
13/05/19 02:50:29.82
∀x∈A(P(x))は∀x(x∈A⇒P(x))の略記だからA=φのときは自動的に真
273:１３２人目の素数さん
13/05/30 11:53:58.52
濃度がアレフ1の集合の具体例って何かあるんでしょうか
(「具体例」の意味が曖昧ですみませんが
「自然数の集合」とか「実数の集合」みたいな感じで)
274:１３２人目の素数さん
13/05/30 15:09:07.14
有理数全体の集合Qの部分集合で部分順序として整列集合となっているもの全体について順序同型なもの同士を同一視したもの｡
275:１３２人目の素数さん
13/05/31 20:33:46.65
>>267
IDにmathが出るまで馬鹿乙
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
276:273
13/05/31 23:10:13.34
>>274
ありがとうございます
ところで、こういう例や証明が載っている文献ってあるんでしょうか
277:１３２人目の素数さん
13/06/01 10:15:33.21
からかわれてることに気付きなさい
278:１３２人目の素数さん
13/06/01 10:46:01.39
証明論的意味論ってなんですか？
279:１３２人目の素数さん
13/06/01 14:41:28.13
自明だよねえ
280:１３２人目の素数さん
13/10/08 14:54:00.97
あげ
281:１３２人目の素数さん
13/10/22 16:46:35.92
>>273
可算順序数全部の集合(まんまや)
282:１３２人目の素数さん
13/11/01 17:13:48.32
現在、田中一之『ゲーデルに挑む』などを読んで不完全性定理の勉強をしております。
そこで質問なのですが、体系Pの記号列をゲーデル数化すれば、
体系Pの論理式や証明は全て1つの自然数に対応するのに、それにも関わらず
自然数から自然数への関数(再帰的関数)に対応する、体系Pの述語とは何なのでしょうか？
ここのところが分からず、再帰的関数の例や表現定理がすんなり入ってきません。
283:１３２人目の素数さん
13/11/01 21:09:14.85
「体系P」で何を指してるのか良く分からない
あと「対応」でどういう対応を指しているのかも不明瞭
特に再帰的関数に述語が対応すると述べている後ろの方の「対応」
284:１３２人目の素数さん
13/11/02 01:13:59.08
>>282
3～4行目が何を言いたいのか全然分からない。
285:１３２人目の素数さん
13/11/02 10:28:11.66
282です。言葉足らずで申し訳ありません。
体系Ｐというのは、ゲーデルが不完全性定理の原論文で用いているもので、
おおよそペアノの公理と1階述語論理を合わせてできる形式体系です。
（ほかに、内包公理や外苑性公理がある）
ゲーデルは、体系Ｐの原子記号に自然数を割り当て、その後素数のベキ乗を用いて
体系Ｐの有限列（論理式）、体系Ｐの有限列の有限列（証明図）に自然数を割り当てます。
すると、そのあとに、ゲーデルは、「原子記号や原子記号の列の間の関係Ｒが与えられると、
これにたいして、自然数の間の関係Ｒ’がとれる」と述べています。
（Ｒは原子記号を変数に、Ｒ’は自然数を変数にもつ）
この部分の意味がわかりません。
一体、この関係Ｒとは具体的にどのようなものなのかがわからないのです。
まだまだうまく言えてない部分があると思いますが、どうぞよろしくお願いいたします
286:１３２人目の素数さん
13/11/02 10:53:02.21
285です。訂正です。
関係Rの変数は原子記号ではなく、原子記号または原子記号の有限列でした。
287:１３２人目の素数さん
13/11/02 11:28:12.03
たとえば○○という式は△△という式のxにaを代入したものである、というのは２つの記号列の関係だよね。
またある式の列がある式の証明になっている、というのは「記号列の列」と「記号列」との関係になっている。
まだまだ例は挙げられると思うけど、布団の中で書いているのでここまで。
288:１３２人目の素数さん
13/11/02 11:47:50.31
英語版なので多少言葉使いが変わってるかもしれませんが、
ゲーデルはまずすべての論理式に自然数が割り当てられることを説明しました。
それは、体系Ｐで使われる記号に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って論理式に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って証明過程を数列と考え証明されるすべての論理式に自然数を割り当てました。
これで体系Ｐから出てくる論理式すべてに自然数が割り当てられました。
次にゲーデルは公理とか変数とか論理式という
人が考えている概念を自然数を変数にもつ述語でつくれないかと考えています。
例えばＲ(Ａ)で「論理式Ａは公理である」というようなものです。
しかし論理式Ａは記号列であって自然数を変数にもつ述語に代入できません。
そこで、先ほどの論理式と自然数の割り当てをΦとおくと、
論理式Ａとそれに割り当てられた自然数ｎについてΦ(Ａ)＝ｎと書けます。
このとき以下の２つが同値になるようにしようといっているんです。
１）Ｒ’(x_1，…，x_n) が自然数x_1，…，x_nについて成り立つ
２）x_1＝Φ(Ａ_1) のとき、Ｒ(Ａ_1，…，Ａ_n) が論理式Ａ_1，…，Ａ_nについて成り立つ
で最終的に「証明可能」なんかも述語として定義していくのです。
（実際にはその定義の前に原始再帰の説明が張り込んでいます。
ゲーデル論文で１、・・・４６（くらい）まで
列挙されているものがＲ’となります。）
289:１３２人目の素数さん
13/11/02 12:39:30.71
とはいえオントロジーや記述論理など
件のRやAを直接扱う機構は存在しています、
290:１３２人目の素数さん
13/11/02 12:50:30.78
287さんと288さん、回答ありがとうございます。
ということは、287さんが挙げた例の「代入したものである」、「証明になっている」や、
288さんが挙げた例の「論理式である」以外にも、
形式体系Pの、記号列と記号列の関係であればいいのでしょうか？
例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？
288さんの解説の部分におけるゲーデル論文で、少し分からない点があります。
288さんは最後に、「ゲーデル論文で列挙されているのが関係R´」と述べられています。
ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？
291:１３２人目の素数さん
13/11/02 13:22:22.76
関係を関数と思うこともできるけど、わざわざそう思う必要はない
「xとyを7で割った余りは等しい」とか「x+5はyより大きい」をxとyの関数と思っているの？
292:１３２人目の素数さん
13/11/02 13:56:32.30
内包公理や外延性公理があるのに一階なのかよ、というのはおいといて、
その部分は多分記号列とそのゲーデル数を同一視することで、
記号列の性質を自然数の性質と同一視しよう、と言ってるんじゃないの
293:288
13/11/02 16:34:50.23
>>290
>例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
>「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？
そうです。
私が読む限りは、単に論理式Aと論理式Bの間の関係を表す述語を考えるときに、
論理式のまま扱えないからそのゲーデル数を論理式と思って使いましょう
といっている程度の話だと思います。
>ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
>自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？
関数と述語は違います。１から４６は述語を作っています。
関数は単なる値でしかないので、succ(0)みたいな数値と変わらないです。
succ(0)＞0のように「真偽が決まる」ようになったものが述語です。
294:１３２人目の素数さん
13/11/02 17:24:33.74
291さん、292さん、293さん回答ありがとうございます。
関係Rについて、ずいぶん理解が進んだと思います！
ですが、今まで、関数、関係、述語などを混同していました。
基礎からもう少し考えてみようと思います。
またよろしくお願いいたします。
(すぐまた質問してしまうかも・・・)
295:１３２人目の素数さん
13/11/05 17:34:30.90
294です。
田中一之『ゲーデルに挑む』での再帰的関数のところに関する質問です。
ゲーデル論文において、1から46の関数を列挙するとき、
例えば13番目では、「Neg(x)は、xの《否定》」とあります。
※ただし、《》はメタ数学的概念の算術的表現です。(本書p57より)
これは、「関数Neg()に自然数xを代入してできる関数値Neg(x)は、
自然数xに対応する形式体系Pの記号列Aの否定￢Aに対応する自然数」
との解釈でよいのでしょうか？
なにぶん下手な文章ですが、お時間あれば回答お願いいたします。
296:１３２人目の素数さん
13/11/05 21:54:58.79
それで良いと思います
297:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:45:50.21
296さん回答ありがとうございます。
はじめは、見知らぬ用語がたくさん出てきて困惑したのですが、
このスレのおかげで少しずつ理解が進んできたように思います。
また、よろしくお願いいたします。
298:１３２人目の素数さん
13/11/16 13:30:16.38
述語論理の完全性定理の証明を追っているのですがどうもわからないことが
あります。
というのは、∃x.P(x)が現れると、∃x.P(x)→P(c/x) を追加して．．．
というのはいつも出てくるのですが、∀x.P(x)の場合の考慮があまり表面に
出てこないのはなぜなのでしょうか？
特に、∀x∃y.P(x,y) のような場合にどうするんだろうというのが気になる
のですが。
どなたか教えていただけないでしょうか？
299:１３２人目の素数さん
13/11/16 18:33:22.21
∀x∃y.P(x,y)は￢∃x.￢∃y.P(x,y)と同じだから後者を考えれば良い
300:１３２人目の素数さん
13/11/16 20:10:58.33
>>299
後者を考えれば良い、とはどういうことなのですか？後者とは？
301:１３２人目の素数さん
13/11/16 21:15:00.68
>>300
AはBと同じだから後者を考えれば良い、と言ったとする
後者とはBのこと
Bを考えれば良いと言っている
302:１３２人目の素数さん
13/11/16 21:31:00.46
>>301
￢∃x.￢∃y.P(x,y) を考えれば良いということなのですね？
それが分からないという質問だったのですが。どう考えればよいのでしょうか？
∃y...をどう考えればよいかは分かるのですが、￢∃x...をどう考えればよいのか分かりません。
∃yと￢∃xは、随分違いますよね
303:１３２人目の素数さん
13/11/17 13:49:33.15
専門家じゃないんであくまで俺の理解の範囲で、なんだが・・・
完全性定理（モデル存在定理）を示すためにΓを拡大してるわけで
最終的にモデルを構築することが目的
∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a)
304:１３２人目の素数さん
13/11/17 13:56:45.66
途中で送信してもうた
∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になるような対象 a が必要
Γ∪{∃xψ(x)} が無矛盾っていうのは、単に、「Γと∃xψ(x)を仮定して矛盾がみちびかれることは無いよ」って意味だから
これだけでは、構造を入れたときに ∃xψ(x) が真になる保証はない
なので、実際に ψ(a) になる,っていう文をいれとかなきゃならない、ってことなんじゃないかな
∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う
305:１３２人目の素数さん
13/11/17 19:04:57.40
>>304
コメントありがとうございます。
>∃xψ(x) という形の文が真に なるためには、具体的に ψ(a) が真になる
ような対象 a が必要
これは了解
>∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う
対象は無いということはなくて、少なくともさっき∃xψ(x)のところで入れた
aはあるわけですよね。すると、∀xφ(x)が出てきたときには、φ(a)とすると
いうような考慮が必要だと思うのです。
ただ対象が有限のうちはこのようにやっていけばよいでしょうが，
∀x∃yφ(x,y)のようなのが現れたときは、対象が一気に無限になることもあり
得るでしょうが、そのときはどう考えるのでしょうか？
とにかくそういうふうに、∃のときより∀の時の方が難しそうなのですが、
∀の時のことがあまり説明されていないのがよく理解できないのです。
どこか考え違いしているのでしょうが
306:１３２人目の素数さん
13/11/17 19:35:49.84
∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
（つまり P = 対象領域とする）だけじゃなかったっけ
307:１３２人目の素数さん
13/11/17 20:36:50.77
>>306
>∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
>単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
そういってしまえばそうなのですが、それが∀x∃y.Q(x,y)の形のときには
悩ましくないですか？任意の要素xのそれぞれに対して、Q(x,y)となるyを
作らないといけなくなって、そうやって作ったy達すべてに対して，また
Q(y,z)となるzを作って．．．というふうにずっと続きませんか
308:１３２人目の素数さん
13/11/17 21:23:14.72
それを1,2,3,・・・・・・と任意の自然数回繰り返したものを集めると
それが閉じているということが証明の一つのポイントだったような
309:１３２人目の素数さん
13/11/17 21:47:52.10
Γの極大無矛盾な拡大をΓ+として、(￢(A ∈ B) を A /∈ B と書く)
｛∃xφ(x) ∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が真｝ すなわち ｛∃xφ(x) /∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が偽｝・・・☆
が成り立つように構造が入っている、とすると
∀xφ(x)∈Γ+ ⇔ ￢∀xφ(x) /∈ Γ+ (Γ+は極大無矛盾)
⇔∃x￢φ(x) /∈ Γ+ (書き直しただけ)
⇔∃x￢φ(x)は偽 （☆）
⇔￢∃x￢φ(x)は真
⇔∀xφ(x)は真 (書き直しただけ)
なので、☆が成り立つ理論を作ってうまく構造を入れてやれば
∀が頭に付く文についてもＯＫになるので
∃が頭に付く文だけ付け加えることを考えればいいんじゃないのかな
うーん、もっとちゃんと勉強しないとダメだな俺
310:１３２人目の素数さん
13/11/17 22:58:11.68
∀x∃y.Q(x,y) に関してだけど
Q(y,z)って何？引数の順序には意味があるんだから位置変えちゃだめでしょ
任意の 閉項a に対して ∃ｙQ(a, y) がなりたって、
ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい
既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ
311:１３２人目の素数さん
13/11/17 23:37:38.50
>>310
もちろん引数の順序を変えているのではないです。
∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？
>ある 閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい
>既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ
だからそうは思えないんです
312:１３２人目の素数さん
13/11/18 00:14:18.42
>>311
＞∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？
意味不明
313:１３２人目の素数さん
13/11/18 00:28:58.81
>>312
あれ？伝わりませんか？
Q(a,b) とすれば、このbも、∀x∃y.Q(x,y) における∀xのカバー範囲に入るので、
先のaと同様にQ(b,c)としなければいけなくなり、そうすると、その次は、
cについても同様に．．．という意味だったのですが
314:TTT
13/11/18 07:48:47.35
なんか迷走してるね具体例考えるといいよ
たぶん疑問に思ってるのは
言語が定数記号aしか持たないとき、
∀x∃y.Q(x,y) に対してxにaを代入したとき
∃y.Q(a,y) となるので、これが成り立つような定数を新たに言語に投入して
∃y.Q(a,b) としてみた
そしてあたらしく言語に投入したbを
∀x∃y.Q(x,y) のxに代入したらまた
∃y.Q(b,y) のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばいという主張だと思う
これはモデル側では一階述語論理のタブロー法の決定不能性の原因になる
でも構文論ではまったく問題ない
なぜなら∀x∃y.Q(x,y)という形の命題があった場合は
q(x)=y という論理的同値な関数をつくることができるので、
新しくqを投入した言語が保存拡大となり問題なくなる
結局∃ではじまる命題だけ考えればよい
なぜ∃の考慮が必要なのかというと、
例えば言語に定数記号がaとbしかなかった場合、
考察対象の理論から証明もその否定も証明できない命題Aがあるとする
このとき (x=a∧A)∨(x=b∧￢A) を B(x) とおく
すると B(a)∨B(b) が証明可能になる（恒真命題になってる）
よって
∃xB(x)∨∃xB(x)
∃xB(x)
といった証明ができる
けれども B(a)、B(b) などは証明できない
そうすると定義上∃xB(x)は真にならない
よって証明できるが真にはならない、つまり完全性が満たせない
315:１３２人目の素数さん
13/11/18 08:48:35.27
>>314
コメントありがとうございます。
>たぶん疑問に思ってるのは
そのとおりです。
コメントを読んで少し分かってきました。
でもまだわからないことも多いです。
>でも構文論ではまったく問題ない
ここは正確な表現ではないんでしょう？ここはモデルを作ろうとして
いる所ですから
>結局∃ではじまる命題だけ考えればよい
これは随分飛躍しているように感じます
>q(x)=y という論理的同値な関数
これはスコーレム関数のことですね
ここの処理こそキモではないかと感じます
>なぜ∃の考慮が必要なのかというと
∃の考慮が必要な理由はすぐわかります。ここの説明は複雑すぎませんか？
結局、やっぱり、∀については結構考慮しないといけないのですよね。
なぜふつう、TTTさんのコメントのようなことを書いていないのでしょうか？
316:１３２人目の素数さん
13/11/18 09:34:42.46
>そしてあたらしく言語に投入したbを
>∀x∃y.Q(x,y) のxに代入したらまた
>∃y.Q(b,y) のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばい
いや、それは、投入すればいいだけの話じゃないの？
というか、そういう風に順々に拡大していってるはずだけど
317:１３２人目の素数さん
13/11/18 22:45:14.73
ハゲタカ外資ファンドに食い尽くされる商業施設
運営会社責任者は虚偽説明
商業施設トリアス久山 外資ファンドを取り巻く失望と疑念
URLﾘﾝｸ(www.data-max.co.jp)
318:１３２人目の素数さん
13/11/21 00:20:46.72
>>298
∀x.P(x)の場合は、述語論理の公理に
∀x.P(x) → P(a)
があるから改めて何かする必要はない。
319:１３２人目の素数さん
13/11/23 00:14:00.59
>>318
答えになっとらんと思うぞ
320:１３２人目の素数さん
13/11/27 22:36:06.15
いやいや >>318 の答が正確かつ簡潔だと思います。
欲しい性質は
（１） ∃x.A(x)がΓの要素ならば、あるaに対してA(a)がΓの要素。
（２） ∀x.B(x)がΓの要素ならば、どんなbに対してもB(b)がΓの要素。
の二つで、（１）は自動的には成り立たないから定数をじゃんじゃん無限個追加するんです。
（２）は述語論理の公理から自動的に成り立つ（Γが極大無矛盾なら）ということ。
ついでに言うと、ヘンキン定数を用いたこの証明は理解するのが難しい
ということでしょうね。
定数を増やさない証明手法の方が優れているかと。
321:１３２人目の素数さん
13/11/27 23:11:08.94
背景について
19世紀末に、イギリスの電気技師ヘビサイドはある特定の微分方程式を他公式方程式に変換してとく非常に実用的な計算方法を発見した。
しかし彼の方法は理論的厳密さにかけていたので当初はあまり評価されなかった。
その後ブロムヴィッチによりヘビサイドの方法は18-19世紀初頭にてすでにオイラーやラプラスにより発見されていた積分変換およびその逆変換による解法と結び付けられ、数学的に厳密に定式化された。
現在では彼らが定義した積分変換はラプラス変換と呼ばれ、電気工学、機械工学、制御工学など工学の広範で広く活用されている。
322:１３２人目の素数さん
13/11/27 23:12:54.70
工学の真髄は数学的に思考にやどるってやってて思うね
逆に数学科の方々は数学をどう思ってるんですか
323:１３２人目の素数さん
13/11/27 23:14:22.09
非公式方程式��
多項式方程式○
失礼
324:１３２人目の素数さん
13/11/27 23:33:18.48
いや駄目だと思う。
B(x)=∃y.C(x,y)として∀x∃y.C(x,y) の場合を考える。
（２）を適用すると、
∀x∃y.C(x,y)がΓの要素ならば、どんなxに対しても∃y.C(x,y)がΓの要素
となる。
これに対して（１）を適用すると、
どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素
となるよね。
しかしこの「どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素となる」
なんていう表現は駄目だよね。dがxに依存するというのが見えにくいよね
325:１３２人目の素数さん
13/11/28 12:43:10.12
>>324
変数と定数をごっちゃにしてないか？
326:１３２人目の素数さん
13/11/28 13:41:26.38
>>325
「どんなb」というのも変なのでxにしておいた。
とにかく、∀x.B(x) なんていうんじゃなく、∀x∃y.C(x,y) の場合にどうするかを
具体的に示してやらないといけないんじゃないか？
∀の場合は簡単という答の中になんでスコーレム関数のことが出てこないの？
327:１３２人目の素数さん
13/11/28 20:37:15.72
>>326
完全性定理の証明にヘンキン定数じゃなくてスコーレム関数を使うの？
328:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/28 21:23:19.73
馬鹿板撲滅の実行にノッペラ蕎麦じゃなくてテイノウ菌愚が出るの？
ケケケ狸
329:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/28 21:32:17.94
馬鹿板崩壊の救済にフクメン出前じゃなくてノータリン禁愚で決まり？
コココ狸
330:１３２人目の素数さん
13/11/28 23:09:14.39
<><301
消えろ！！低能！！
331:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/29 08:20:29.11
狸
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332:１３２人目の素数さん
13/11/29 09:58:25.24
>>327
両方使う
333:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/29 13:05:28.04
サヨカ。馬鹿蕎麦も低脳菌愚も、両方必要なのか。なるほど。
ケケケ狸
334:１３２人目の素数さん
13/11/29 18:44:38.95
君らそもそも数学できるのか？
335:１３２人目の素数さん
13/11/29 20:49:57.96
できたらこんなもんやってないだろ
336:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/29 20:57:01.58
そういう事やわナ。
狸
337:１３２人目の素数さん
13/11/29 22:44:22.69
>>332
その両方使う証明方法が載っている文献を教えてくれませんか。
（ヘンキン定数しか使わない証明およびヘンキン定数すら使わない証明しか知らないので）
338:１３２人目の素数さん
13/12/05 00:13:48.96
「1づつ引いていけばいずれ0に到達すること」というのをペアノの公理系に付け加えれば
ωなどを含まない標準的自然数の集合が定義できるんじゃないかと思うのですが、
これってどこか間違ってますか？教えてください。
339:１３２人目の素数さん
13/12/05 02:09:14.59
それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます
あと、超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
まず「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」をωなどに言及しないで
直接的に論理式で表現しないといけないですが、
実際やってみると案外難しいのが分かると思います。
340:１３２人目の素数さん
13/12/05 09:22:59.64
>>339
コメントありがとうございます。
>それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます
私が言ってるのは、逆方向の帰納法ですね
>超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
そう言いたいのですが
>実際やってみると案外難しい
再帰的に定義すれば簡単に定義できると思うのですが、
しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、多分不完全性定理を含む
多くのことが崩壊するでしょうから、どこがどう間違っているのか分らないの
です。再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
341:１３２人目の素数さん
13/12/05 09:57:33.33
書いてみなされ
342:１３２人目の素数さん
13/12/05 10:22:25.20
Prolog風に書くとすれば、
Nat(x) :- x=0.
Nat(x) :- x=y+1, Nat(y).
343:339
13/12/05 20:45:18.86
自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？
これは案外不自由なもので、まずこれを知らないと、
そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。
ここでやらないといけないのは与えられた数から1ずつ引いていくプログラムじゃなくて
「"いずれ"0に到達できる」ということを表現した形式的な論理式です。
342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
「有限回の操作後いずれ0になる」の意味なんて明らかだ、というのは
「標準的自然数」の定義なんて明らかだ、誰でも知ってるから敢えて書く必要ない、
というのと似たようなことです。
＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
仰るとおりです。「案外難しい」というか、実際やってみるとできません。
不完全性定理周りでは「明らかに」できそうなことが実はできないことがわかる、
というようなことは良くあります。だから不完全性定理の証明では、
自明臭いことを延々と実際に書いて確かめたりします。
344:１３２人目の素数さん
13/12/05 21:11:47.12
数学基礎論の勉強を始めたいのですが、どういう本がオススメですか？
345:１３２人目の素数さん
13/12/05 21:39:26.22
今復刊されてる「数学基礎論講義」はかなり良いよ
346:１３２人目の素数さん
13/12/05 21:45:43.03
>>343
>自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？
一応分っているつもりです。
>そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。
まずは、あの0,1,2,3,...のことだという理解でよいのではないですか？
>342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
と書いた方がよかったかもしれません。
<==>ですから、これでωはNatの集合から排除できると思います。
そしてこの式は、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思うのですが。
「"いずれ"0に到達できる」ということをメタレベルで表現しているのではありませんが、その必要はないですよね？
>＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
>仰るとおりです。
上のように少し補正しましたが、どこで間違っているのかまだ分かりません。
347:１３２人目の素数さん
13/12/05 21:48:43.27
>>345
ありがとうございます
348:１３２人目の素数さん
13/12/05 22:11:58.44
Natって自然数じゃなくて整数なんだ
349:１３２人目の素数さん
13/12/05 22:24:31.28
>>348 ?
350:１３２人目の素数さん
13/12/05 22:37:20.58
整数には0もあるし前者もある。
351:１３２人目の素数さん
13/12/05 22:42:17.53
>>346
Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
ということしか言っていませんから、
これでは順序型としてω＋Z・Q
みたいな、ωの後にZと順序同型のブロックがずっと続くような構造を排除できていませんし、
実際超準モデルは順序集合としてはそういう構造になります。
URLﾘﾝｸ(www.math.uchicago.edu)
352:１３２人目の素数さん
13/12/05 23:19:22.76
>>351
>Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
>ということしか言っていませんから、
いいえ、それに加えて、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思いますが。
というのは、お分りと思いますが、上記の中の「yもNatである」の部分に対しても
Nat(y) <==> y=0 ∨∃z.(y=z+1 ∧ Nat(z))
が適用されて、さらにそのうちの「zもNatである」の部分に対しても・・・
となりますから。
ですから、0に到達しないωはここのNatには入らないと思うのです。
(ご紹介のスライドは後で勉強してみます）
353:１３２人目の素数さん
13/12/05 23:57:13.38
整数に対して
Int(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Int(y))
をみたすIntという性質を考えても、
整数に対して1を引き続けるといずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、
というような結論はでないから、少なくともペアノ算術の他の公理を使うこと無しに
Natの定義だけで352みたいな結論は出て来ない。
あと、超準モデルは
{0、1, 2, 3, …… …… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
みたいな構造をしていて整列集合じゃないから、
全ての標準自然数より大きいような最小の元 ω は存在しない
ωの後にZと順序同型のブロックが続くというのは、
{ω}のあとにブロックが続くという意味じゃなくて
{0、1, 2, 3, …… }（最大元はない）の後に続くという意味だからね
354:１３２人目の素数さん
13/12/06 08:56:17.89
>>353
後半部は分るのですが、
>いずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、というような結論はでないから
がまだ分りません。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
をちょっとベタに展開してみますと、例えば
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
Nat(-1) <==> Nat(-2) <==> Nat(-3) <==> 永遠に続く
Nat(w) <==> Nat(w-1) <==> Nat(w-2) <==> 永遠に続く
となります。
ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
真としてもよいし、偽としてもよいのですが、真にするとしても
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
でいう真とは明らかに区別できます。
なので、標準的自然数を定義することはできるのではないかと相変わらず思うのです。
355:１３２人目の素数さん
13/12/06 09:11:54.50
負数について考える必要はないと思いますが、みなさん「整数．．．」とおっしゃるので
入れておきました
356:１３２人目の素数さん
13/12/06 09:44:58.04
カルケドン定数つき単項述語論理なら定義できたと思う
S除去で→を削って食って手法
357:１３２人目の素数さん
13/12/06 11:54:53.12
>>356
へー。なにか読めるものありますか？
358:１３２人目の素数さん
13/12/06 12:14:09.08
整数どころか複素数でも成り立つのに。
359:１３２人目の素数さん
13/12/06 15:15:34.66
ギュープラタンのホロノミー原理とか中間次数開裂問題とかが有名
まぁギュルタンとかソロベイとかが今はやってると思う
まとまった本はないのでQ理論とか入子算術体系PL2_ωをあたるといいと思う
360:１３２人目の素数さん
13/12/06 17:21:08.98
デタラメを書いてるかも知れない、と思わせる文体。
361:１３２人目の素数さん
13/12/06 18:08:23.30
実数の理論内部では自然数は定義できないとかの話をふと思い出した。
362:１３２人目の素数さん
13/12/06 19:44:08.88
＞ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
そうです。
＞明らかに区別できます。
>>343で述べたように、その「明らか」が実は明らかどころか間違っています。
「意味論semantics」と「構文論syntax」の違い、とか
メタ理論と対象の理論（地の理論）の違いとか、そういう話は聞いたことありますか？
標準的自然数の定義はメタ理論的には可能と言ってよいですが、
対象理論のなかではできないのです。
＞しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、
＞多分不完全性定理を含む多くのことが崩壊するでしょう
これは正しいのですが、こっちの「定義」は対象理論の中での定義でなければなりません。
つまりペアノ算術の論理式で定義するという意味です。この意味での定義は不可能です。
363:１３２人目の素数さん
13/12/06 21:57:09.81
というか
＞真としてもよいし、偽としてもよいのですが
ってどういうことよ
真か偽かは好き勝手に選ぶようなものじゃないよ
364:１３２人目の素数さん
13/12/06 22:56:42.86
x^2-y^2=s ｓが素数の時(√s<x<(s+1)/2)の範囲において第一象限で格子点を通らない
(x+iy)^2=s-2ixy
{ √[x^2+y^2]*e^(i*arctan(y/x)) }^2 = √[s^2+4(xy)^2]*e^(i*-arctan(2xy/s))
√[x^2+y^2]=√[s^2+4(xy)^2] x^2-y^2=s
e^(i*2*arctan(y/x))=e^(i*-arctan(2xy/s))
2*arctan(y/x)=2Aπ+φ
-arctan(2xy/s)=2Bπ+φ
2*arctan(y/x)+arctan(2xy/s)=(A+B)π
Sに整数を代入し上記の指揮を満たす整数ｘと整数ｙが(√s<x<(s+1)/2)と(0<y<(s-1)/2)に存在しない時Ｓは素数
365:１３２人目の素数さん
13/12/06 22:58:58.00
∧,,∧
r( ´ｎ
.／ � > ,／ ∧,,∧
数学人だあーーーーっ � ＞ ～'oー､_) � r( ｎ)
.＞ � `/ �_
逃げろーーーーーーっ！ .＞ ～'し -一┘
.＞ ∧,,∧
／∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨＼ ( ´・ω)
～､/ っっ
� ∧,,∧ └ー-､ぅ
� � � � � � 〉､´・ω・))
∧ ,,∧ > ＼/´
�__ｎ (´・ω・｀) � ～'�-一┘
� � ∧,, ∧ﾉ � � c' っ
c('・ω・｀)っ ～(_,'ーo'
366:１３２人目の素数さん
13/12/07 10:44:17.76
わっ でも逃げずにやってきましたｗ
>>362
標準的自然数を定義できると主張したいのでなく
私の論法のどこが間違いかを知りたかったのです。
私のあの定義は対象レベルの定義のつもりです。
（そもそも対象とメタの区別というのも分かりにくいですね）
>>363
真とも偽とも決まらないと言えばよかったでしょうか
例えば、a = (a => 真) の場合なら、aは真と決まりますが、
a = (a ∧ 真) の場合は、aの真偽は決まりませんね
367:１３２人目の素数さん
13/12/07 13:18:08.87
>366
「充足する」という意味？
368:１３２人目の素数さん
13/12/07 13:35:56.47
普通は、N(x)である、という性質を定義するのに
N(y)という性質を使ったら定義にならないよね。
大抵well-definedにならないのだけど、帰納的定義の場合は
特別にそういうことができる。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
ではマトモな定義になっていないということ。
369:１３２人目の素数さん
13/12/07 14:01:42.07
特別に？ マトモな？
370:１３２人目の素数さん
13/12/07 14:41:42.89
たとえば
Ｇが群であるとは、
「乗法・で閉じたGの任意の部分集合 H が群になっていること」
と定義したりしたら、これ自体は正しい命題ではあるけど全然定義になってないでしょ。
～～は群である、ということ自体を定義の中で使ってるから。
帰納的定義というのはその種の特殊なことをやっている。
>>340で「逆向きの帰納法」と言ってるけどそんなものはない。
整列集合とか整礎的半順序では
大きくなる方向と小さくなる方向は本質的に非対称で、
帰納法は逆向きには成立しない。
371:１３２人目の素数さん
13/12/07 15:16:54.26
>>370
言ってる気持ちは勿論よく分かってます。自己定義は定義にならないとか。
だけど、Natの定義はそうではないですし、マトモでないとしても、
どうマトモでないかがわからないというのが今の場面なので
372:１３２人目の素数さん
13/12/07 15:20:10.35
Natの定義がそうでないというあなたの脳内感覚を数学にしてみて
373:１３２人目の素数さん
13/12/07 15:48:37.11
見ればわかるでしょ？
左辺はNat(x)で右辺はNat(y)
群の例の場合は，左辺も右辺もまったく同じ「群」
374:１３２人目の素数さん
13/12/07 15:53:26.35
ちょっと間違ったけど、群の例は、
Nay(x) = Nat(x) や Nat(x) = Nat(x-1) のようなもの
375:１３２人目の素数さん
13/12/07 16:15:28.64
＞どうマトモでないかがわからない
帰納的定義がwell-definedであるというのは
自明じゃなくてちゃんと証明しないといけない命題。
Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
この証明はやってみると全然できない。
実は理論が無矛盾である限り決して証明できないのだが、
これは不完全性定理などから分かることで、
矛盾してしまう以上できない、という説明しかないんじゃないかな。
{x: not x ∈ x} はなぜ集合でないか、が根本的には
ラッセルの逆理が生じて矛盾するから、としか説明できないのと同じ。
クラスみたいに大きなモノの集まりは累積的集合になれない、
とかいうのは後付けの理屈でしか無い。
376:１３２人目の素数さん
13/12/07 16:18:58.74
>>373
見てわかるのは君の脳内でだけだから数学にして
377:１３２人目の素数さん
13/12/07 18:14:56.35
>>375
それで、私のNatの定義がどうマトモでないかへの答えは、
ここのどこに書かれていますか？
マトモかどうかは分らないというのが答えなのでしょうか？
それから
>Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
>この証明はやってみると全然できない。
まさかそんなことないでしょ？
378:１３２人目の素数さん
13/12/07 19:39:22.13
＞Natの定義がどうマトモでないか
これから定義するべきNat自身を使って
Natを定義しているところ。
整礎関係に対する帰納的定義の場合は、これがきちんと唯一のものを定めているということの
証明が、集合論の教科書にちゃんと書いてあります。
ペアノ算術の場合の、帰納的な関数や述語の定義ができるということの証明は
一階算術の表現能力があまりないのでβ関数とか中国剰余定理とかを
使ってかなりテクニカルな証明をします。たぶんあなたは読んだことないと思います。
>>373
xが群であることをGrp(x)と書くことにすると
>>370に書いたのは
Grp(x) :⇔ ∀y⊆x Grp(y)
ですよ。
「左辺はGrp(x)、右辺はGrp(y)だからちゃんと定義になってます。
見れば分かるでしょ？」とか言われても、
「はぁ？意味不明……」と思いませんか。
Nat(x)の場合との違いが私には分かりません。
それから、私は「逆向きの帰納法」が何を意味するのか分からなくて
私にとっては明らかでも何でもないから
まずあなたが、それが何なのか説明して下さい。
与えられた数から1ずつ引き続けるプログラムなんか
出されても何の説明にもなってません。
379:１３２人目の素数さん
13/12/07 19:49:02.91
>>366で対象レベルの定義と言ってるし、
不完全性定理と矛盾するのが分からないとも言っているんだから、
一階算術のなかで定義しないといけないんだよ。
仮にwell-definedである保証がないことに眼をつぶって
算術にNatという無定義述語と
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加えても、
超準モデル
{0、1, 2, 3, …… …… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
のうち、最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。
>>354で言っている「明らかに区別できます。」はメタレベルでの話で、
メタで区別できても対象レベルのなかで論理式で区別できないと意味が無い。
でもそういう区別をできる論理式は決して作れない。
380:１３２人目の素数さん
13/12/07 20:45:41.83
>>378
>＞Natの定義がどうマトモでないか
>これから定義するべきNat自身を使って
>Natを定義しているところ。
ということは、帰納的定義はマトモでないと言っているのですね。
しかしこれは、その直後で
>整礎関係に対する帰納的定義の場合は、
というように、帰納的定義は認めているようなのと矛盾するのではないですか？
唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分りますが、
Nat自身を使ってNatを定義すること自体はOKですよね。
381:１３２人目の素数さん
13/12/07 20:55:33.49
>>379
>最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
>wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。
それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？
382:１３２人目の素数さん
13/12/07 20:57:37.76
二階の論理でも使うの？
383:１３２人目の素数さん
13/12/07 20:58:43.81
モデルに言及する時点でメタになるということかな？
384:１３２人目の素数さん
13/12/07 21:08:54.70
メタなんていうより二階って言った方が明確だろ
385:１３２人目の素数さん
13/12/07 21:45:45.14
＞唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分ります
今の場合はほぼそういうことなのでそういう風に解釈してくれれば良い。
＞それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？
二階算術ならその方法なら良いよ。そして不完全性とも矛盾しない。
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y)) だとその内容を表現できてない。
Natがモデル全部の中の変な部分集合になってる可能性が残る。
一階の算術であれば、そういうことは表現できない。
最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。
386:１３２人目の素数さん
13/12/07 23:04:06.17
>>385
ようやく少し話が合ってきた感じかな
途中「Nを使ってNを定義することはできない」なんてナイーブなことを言う人が
出てきたので困ったと思ったのですが。
>最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。
なんでも出発はそれくらいの一次近似から始まるんじゃないですか
387:385
13/12/07 23:21:45.92
いやナイーブなのはあれで定義になってると思って
>>373みたいな意味不明なこと書いてるアンタですがな
こっちが、定義になってないけど
「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加える」 という意味に好意的に解釈してるのに
ナイーブな奴には分からん高等な定義をしてるんだぜ、みたいなのやめれ
＞「Nを使ってNを定義することはできない」
定義にならない、とかマトモじゃない、というのは「定義することは出来ない」ではなくて
「定義が指すものが存在して唯一に決まる保証が無い」ということ。最初からそう言っている。
388:１３２人目の素数さん
13/12/07 23:34:26.28
当人以外はわかって見てあげているからまあええんじゃね
389:１３２人目の素数さん
13/12/07 23:35:46.47
「私以上にナイーブな」という意味でしたｗ
>「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
>という公理を加える」 という意味
ここはもともとそういう意味で言いましたよ。そしてナイーブな定義のつもりでした。
それに高等なことは好きじゃないんですｗ
>最初からそう言っている。
そうでしたか。そうは聞こえなかったものですから。あるいは他の人だったかもしれません。
390:１３２人目の素数さん
13/12/07 23:42:20.71
しかし、ちょっとアレな人でも頑張って長く話せば数学の会話は成立するもんだね
391:１３２人目の素数さん
13/12/07 23:44:21.59
数学なんてやってないでしょ・・・
392:１３２人目の素数さん
13/12/07 23:45:25.46
まあ確かに
でも標準モデルは定義できるのか定義できないのかどっちなんだって
算術の超準モデルのこと勉強したら気にはなるよね
393:１３２人目の素数さん
13/12/18 10:43:09.38
M→_p N_1, M→_ηp N_2 ⇒N_1→_ηp L ,N_2→_p L を満たすLが存在することを証明してください。
ちなみに→_ηpと→_pのチャーチ・ロッサー性は満たすことを仮定してよいです。
お願いします。
394:１３２人目の素数さん
13/12/18 10:45:20.05
（S_λ）_CLを計算してから
（S_λ）_CL x
を計算したいんですけど、
計算が複雑すぎて途中でわからなくなります。
計算したことのある人ありますか？
できたら計算お願いします。
あるいは他の方法でできたよというひともお願いします。
395:１３２人目の素数さん
13/12/18 16:57:31.12
何大学の何先生の何という教科書を使った何という名前の講義のレポート問題か、
ちゃんと明らかにした方が答を教えてもらえると思うよ。
396:393
13/12/18 18:16:18.17
>>393は自力で解けました。
>>394は解けません、
計算機とかないですか？
397:１３２人目の素数さん
13/12/18 18:21:24.47
>>395
エスパーうざいよ。
全部外れだしｗｗｗ
398:１３２人目の素数さん
13/12/18 23:06:07.50
S_λと書いたら当然それだけで意味は通じるものと思ってるんだよね
399:１３２人目の素数さん
13/12/19 09:55:43.25
>>394
λxλyλz.xz(yz) を標準的な方法でＳとＫだけのコンビネーターに変換して，
その後ろに x を付けてリダクションせよ，ということかな？
複雑にはなるけれども単なる計算問題なので、
定義を理解して括弧の付き方に注意して慎重に進めればできると思いますが。
400:１３２人目の素数さん
13/12/19 10:25:50.96
言うのとやるのは大違いなんだよな。
パーサー書くしかないのか・・・
ああ、メンドクセ・・
401:１３２人目の素数さん
13/12/20 08:59:09.79
例えばΓにaが含まれればΓトaとΓトa/ Γトaxという規則があるとします。
このときaがトに含まれているときΓトa/Γ,bトaを証明しなさいと言う問題があったとするじゃないですか。
するとΓトa/Γトax/Γトaxx/・・・
と永遠に続くだけで証明できませんよね。
むしろΓ,bにaが含まれているから始めの規則によってΓ,bトaが成り立つじゃないですか。
でも/を使わずに導いたのに/をつかってΓトa/Γ,bトaとして良い理由がわかりません。
402:１３２人目の素数さん
13/12/20 09:48:14.28
何言ってんだ。藪から棒に。
403:１３２人目の素数さん
13/12/20 09:52:30.19
質問なんですけど・・・
404:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:03:26.19
>>401
ごめんな。トは|-のことか？1行目の後半意味わからん。aがトに含まれている、も意味分からん
405:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:07:24.87
aがトに含まれているは aがΓに含まれてるの間違いで
Γトa/ Γトaxのいみは
Γトa
＿＿＿＿＿
Γトax
の横書きです。
406:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:09:45.96
axって？
407:１３２人目の素数さん
13/12/20 10:12:22.84
aのあとにxを続けたものです。
408:１３２人目の素数さん
13/12/21 06:55:15.09
左卜全
409:１３２人目の素数さん
13/12/21 07:57:21.45
やめてケレ、やめてケレ
410:１３２人目の素数さん
13/12/21 18:51:26.98
定義がわからないのでまったくの想像ですが、もしかして
証明しなさい、と言われていることは
「Γ|-a から Γ,b |-a を規則で導け」
ではなくて
「Γ|-a が成り立つならば Γ,b |-a も成り立つことを示せ」
なのでしょうか？？
いずれにしても、問題を出した >>401 さんがちゃんと定義を書いてくれないと
誰も正確には答えられないと思います。
411:１３２人目の素数さん
13/12/21 22:12:21.13
シークェント計算か何かのことを言っており、
(1) Γが式の集合で a∈Γ であるなら Γ|-a、
(2) Γ|-a であるならば Γ|-a, x
が成り立っているときに Γ|-a であるなら Γ,b |- a
であることを示したいのなら(1)のみを使って示せば良い。
シークェント計算でシークェントの間にある横線は、
それを使って示すとか使わないで示すという話じゃなくて
(2)の「であるならば」の略記に近いものだと思う。
あと他の人も言ってるけど教科書などに書かれていることを
そのままきちんと人に伝えることができるようになった方がいいと思う。
>>401だとかなりエスパーして推測しないと意味が分からない。
412:１３２人目の素数さん
13/12/23 10:38:13.78
糞論
413:１３２人目の素数さん
13/12/23 13:13:16.74
ゴミ・ジャップ
414:１３２人目の素数さん
13/12/23 13:29:27.52
トンスル飲んで消えろ
415:１３２人目の素数さん
13/12/23 17:19:01.30
揚げ
416:１３２人目の素数さん
13/12/24 00:04:14.96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
417:１３２人目の素数さん
13/12/24 00:20:03.15
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
418:１３２人目の素数さん
13/12/24 09:13:59.34
SKの定理を演繹定理なしで演繹してとくのはテクニックとかありますか？
419:１３２人目の素数さん
13/12/24 10:06:31.21
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ψ
420:１３２人目の素数さん
13/12/24 15:00:53.93
来年は国債を空売りし大暴落の年。
大戦争へと突入
421:１３２人目の素数さん
13/12/24 22:16:34.37
演繹定理の証明は良く分析すると
式変形を実際に書き出せるようになってるから
援用すれば良いんじゃないかと思うけどね
422:１３２人目の素数さん
13/12/25 15:54:58.12
ShoenfieldのMathematical LogicのP23の問題なのでが
k項真理関数Hが真理関数H_1,..,H_kによって定義可能であるのはHが定義
H(a_1,...,a_n)=・・・
を持つ時である。ただし右辺はH_1..,H_k、a_1...,a_nとカンマ、括弧で作られる。
Hd,nはHd,n(a_1,...,a_n)=T iff 少なくとも一つのiに対しa_i =Tによって定義されそしてHc,nを
Hc,n(a_1,...,a_n) =T iff すべてのiに対してa_i=T
とおくことによって定義される真理関数としよう。
すべての真理関数がH￢とHd,nとHc,nによって定義可能であることを示せ。
(H￢(T)=F、H￢(F)=T)
初歩的な問題ですがわかる方おりましたらよろしくお願いします。
意味はわかるのですが、どう書けばいいのか表記法の点でわからないのです。
423:１３２人目の素数さん
13/12/26 01:34:27.60
Shoenfieldって内容は割と良いけど表記法が割と古いよね
KleeneとかChurchと現代の本の間くらいの雰囲気
Monkはもう少しだけ現代に近いのかな
424:１３２人目の素数さん
13/12/26 01:52:21.57
>>422
「命題論理のどんな論理式も，
￢, ∧, ∨
の三つの論理記号だけで表現できる」
という事実があります。
（１）この事実の証明を何らかの教科書で勉強する。
（２）その証明をShoenfieldの表記法に直す。
で完了です。
425:１３２人目の素数さん
13/12/26 02:20:06.89
>>423
ついでに、あの体系が独特．
ヒルベルト流の一種と言えるが．
426:１３２人目の素数さん
13/12/26 02:39:12.43
公理の数を少なくするか推論規則を少なくするか、
大抵はどっちかだけどShoenfieldはちょうど間みたいな感じだよね
まあ演繹定理証明して完全性定理示したら後はどの体系でも大差ないが
427:１３２人目の素数さん
13/12/27 09:05:56.53
（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）
がどうしても解けません。
どうやってやるのか教えてください。
428:１３２人目の素数さん
13/12/27 13:09:33.22
自己解決しました。
429:１３２人目の素数さん
13/12/27 13:20:33.04
とおもったら解決してませんでした。
430:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:47:13.74
やっぱり自己解決しました。
431:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:49:03.93
とおもったら解決してませんでした。
432:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:50:26.59
いや解決しました。
むしろこんなに簡単なのに
３時間以上考えても解けなかったのが不思議なくらいです。
433:１３２人目の素数さん
13/12/27 17:56:37.32
やっぱり解決してませんでした。
434:１３２人目の素数さん
13/12/27 18:23:44.56
>>431,433は偽者です。
完全に解決しました。
435:１３２人目の素数さん
13/12/28 09:31:29.34
やっぱり解決してませんでした。
お願いします。
436:１３２人目の素数さん
13/12/28 10:57:33.51
├_HM の定義を明示してくれないと答えようがありません。
勉強を始めたばかりの人は自分の読んでいる本の記述が絶対に見えるかもしれませんが、
論理学の業界では本によってテクニカルタームの定義が異なることが多いんです。
437:１３２人目の素数さん
13/12/28 11:08:47.92
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→b)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。
438:１３２人目の素数さん
13/12/28 11:10:58.84
[訂正]
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→ｃ)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)略
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。
439:１３２人目の素数さん
13/12/28 13:20:53.64
難しくないですか？
みんなやってますか？
440:１３２人目の素数さん
13/12/28 15:04:02.79
├_HM は →, ∨, ∧ だけの直観主義論理のようですね。
質問者は >>418 と同じ人かな？
>>421 の人が言っていることと同じですが、
まずは自然演繹で証明を書いて、
そこから「演繹定理の証明の分析」を使って
ヒルベルト流の証明を作るのが正解と思う。
441:１３２人目の素数さん
13/12/28 16:02:04.02
直感主義じゃないんですけど・・・
とりあえず、答え分かったら書いておいてください。
442:１３２人目の素数さん
13/12/28 19:15:12.46
直感（直観）主義じゃない、なら何なのでしょう？
あなたの読んでいる本ではこの論理のことを何と呼んでいるのでしょう？
├_HM の H は Heyting ?
M は？
443:１３２人目の素数さん
13/12/28 19:24:57.61
M は Minimal logic の M かな？
つまり記号 ⊥ はあるけれどもこれに特別な意味
（「矛盾からは何でも出る」という ⊥→φ ）
を持たせない、というやつ．
444:１３２人目の素数さん
13/12/28 21:19:54.29
相手する必要なし
445:１３２人目の素数さん
13/12/28 21:23:01.78
>>441
なのこの態度は
446:１３２人目の素数さん
13/12/28 21:35:36.84
>難しくないですか？
>みんなやってますか？
447:１３２人目の素数さん
13/12/29 09:54:58.66
>>442
予想だけどヒルベルトミニマルではないのかな。
443の云うとおり爆発律が成り立つことを仮定して無いので
直感主義では無いですな。
まあこの問題の性質上パズル的要素が強いんで
IQが低い奴はいくらやっても解けないということですな。
448:１３２人目の素数さん
13/12/29 10:23:15.11
本人登場
449:１３２人目の素数さん
13/12/30 10:14:04.69
>>427の問題を解いてみたけど諦めた人いる？
450:１３２人目の素数さん
13/12/31 10:11:53.35
a∨b→φ∨（ψ∧χ）
最後こんな形になりそうなんだけど
a,bが無いから解けないんですよね。
451:１３２人目の素数さん
14/01/01 02:09:43.36
>>427
できたよ
45行あるけど見たい？
452:１３２人目の素数さん
14/01/01 11:54:45.49
>>451
できてないのみえみえだから要らんわ（～～）
453:１３２人目の素数さん
14/01/01 13:15:39.04
>>451
15行目と30行目を書いてくれたらあとは自力で行間を埋めます。
454:427
14/01/01 14:16:44.26
自己解決しました。
ヒントはメール欄です。
455:１３２人目の素数さん
14/01/01 15:44:26.08
hmで二重否定使うなよw
いま出先だから後で貼るね
456:１３２人目の素数さん
14/01/01 19:52:40.59
1 (A→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C)) (DE)
2 A→(A∨(B∧C)) (DI)
3 (B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C)) MP,1,2
4 B→(A∨(B∧C)) †
5 (A∨B)→(A∨(B∧C)) MP,3,4
6 A∨B ‡
7 A∨(B∧C) MP,5,6
あとは（†）と（‡）の証明
（‡）は簡単
1 (A∨B)∧(A∨C) (Pres.)
2 (A∨B)∧(A∨C)→(A∨B) (CE)
3 A∨B MP,2,1
457:１３２人目の素数さん
14/01/01 19:58:43.89
（†）からはいたちごっこ
1 (B→(A∨C)→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C))) (Ax.S)
2 B→(A∨C)→(A∨(B∧C)) *
3 (B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C))) MP,1,2
4 B→(A∨C) **
5 B→(A∨(B∧C)) MP,3,4
次に（*）と（**）を導出する
ってやってるけど、自分の出した課題が2chに乗ってたら授業妨害だよねｗ
同業者としての倫理観としてここまでで、質問は受け付けるよ
458:１３２人目の素数さん
14/01/02 09:34:56.95
こういう問題で盛り上がっていると，論理学って単なる計算問題と思われそうで寂しい．
459:427
14/01/02 09:39:35.19
>>456
ありがとございます。
参考にします。
460:１３２人目の素数さん
14/01/02 16:51:10.82
>>458
こういう計算がスラスラできる者通しの会話だと思うと発言に厚みが生じる。
461:１３２人目の素数さん
14/01/02 16:56:48.49
アイデアはこれ→>>440なんだよね
計算問題だと思われるのはさすがに嫌だけど
こういうのを簡単に構成できるような人じゃないと
論理学に向いてないよね
462:１３２人目の素数さん
14/01/02 17:57:19.64
どっちかというとこういうごちゃごちゃした計算は
寧ろ数学の他の分野には良くあるけどロジックには
少ないというイメージだけどな
あとこういう計算をすらすらできることとロジックの能力は
必ずしも関連しないと思う
前原昭二が講義するときも、この種の計算はノート見ながら板書してたらしいし
463:１３２人目の素数さん
14/01/02 20:08:06.30
>>462
計算なんてつっかえつっかえでいいからね
それを板書でやられたらノートを取ってる側は困る
駄目なのは計算もせずに高いレベルの事をしようとする輩
464:１３２人目の素数さん
14/01/02 22:05:58.57
いま新版Kunen読んでるけど、第一章が
ほとんど知ってることを長々と繰り返すからダルい
まあ、後で大事になるのを見越して
冪集合の公理と置換公理がどういう風に使われるのか
割と緻密に分析してたりもするから面白いけどね
一方でKoenigの補題とかはどの入門書にも載ってるから
証明省略されたりしてる
465:１３２人目の素数さん
14/01/04 00:19:53.87
いきなりすごく下がっているけどなぜ？
466:１３２人目の素数さん
14/01/04 00:34:43.28
共終数で挫折したね
それ以来集合論には触れていない
467:１３２人目の素数さん
14/01/04 00:37:13.95
あれは使ってるうちに慣れてくしかないと思うよ
468:１３２人目の素数さん
14/01/04 02:53:19.26
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラミングが好きであるとともに、得意であることは含まれますか。
469:１３２人目の素数さん
14/01/04 03:07:08.77
プログラマーに含まれる人が持っている特性は、数学者に含まれる人が持っている特性と違いがあるような気もします。
プログラマーが持っている雰囲気は、数学者が持っている雰囲気と違いがある気がします。
数学者は学者であるとします。すると、プログラマーは技術者であるとか、実験を補助、支援する職員という気もします。
470:１３２人目の素数さん
14/01/04 03:30:46.85
数学基礎論・数理論理学を研究することの範囲に、記号の集まりを論理操作することが含まれるとの主観的な印象を持っています。
また、仮に特定の手段によって記号の集まりを論理操作に基づいた文で電子計算機に入力して実行していくことがプログラマーの仕事や作業だとしたら、
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラマーやプログラマーに近い人が持っている特性と似ていると思いました。
記号の集まりが並んでいいる、数学基礎論・数理論理学の本から受ける印象は、プログラマーが電子計算機に入力して実行する文から受ける印象と似ていると思いました。
他方、そのプログラマーでないと、その文を電子計算機に入力して実行し、それを実現できないことがあるとのエピソードも見聞します。
そうすると、プログラマーのプログラミングには、技術者や、実験を補助、支援する職員が持っている特性を超えた、学者の要素が存在する場合もある気がします。
プログラマーは学者であるのでしょうか。数学者は学者であるのでしょうか。
数学者もプログラミングをして電子計算機を利用することもあるそうです。ただ、そうだからといって、数学者はプログラマーであるとの文を記述してみましたが、
その文から受ける印象は、その文には誤りが含まれているとの印象です。
471:１３２人目の素数さん
14/01/04 06:54:29.26
仕事の内容その他の職務に属する作業や行動の観点から見てみて、学者とプログラマーとは、違いがあると思います。
もっとも、両者は同じ部分もあると思います。
プログラマーに類似した特性を持っていない学者が、プログラマーに類似した特性を持っているが前者の学者が持っている特性を持っていない学者や、プログラマーを、
技術者や、実験を補助、支援する職員と、同じように取り扱うのは、どこか間違っていると思いました。
以下の本を読んだとき、わたしは、プログラマーの作業や仕事を具体的に実行できる者を、とても尊敬しました。
人は自分ができることだけを評価するものである。この文を読めば、誰もがそのとおりであると思うかもしれません。ただ、わたしは、本当にそう思いました。
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本] クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)
みなさまはどのように思いますか。
472:１３２人目の素数さん
14/01/04 11:04:32.24
数学者とは、
たとえば以前に挙げられた（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）といった
具体的な計算が単に出来るだけではなくて，
このような計算を一段高い所から論じて
メタな立場での未知の性質を明らかにする人でしょう．
プログラマーの定義が，単にプログラムが書ける人だととすると
それは「単に計算が出来る人」と同じで学者とは言えないと思います．
473:１３２人目の素数さん
14/01/04 13:04:02.46
なるほどでした。簡潔かつ明確で、平明かつ少しでも具体的な例を含む、品のある解答を示していただき、ありがとうございました。そのほかの皆さんの解答がありましたら、お教えください。
474:473人目の素数さん
14/01/04 20:04:38.12
>>472
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本] クリストファー・スタイナー (著), 永峯 涼 (翻訳)は駄本としか思えません
世界を支配しているのは希望を持続し続けようと必死にもがいているあなたや私の七転八倒だと思いますよ
もし数理論理学なりプログラミングスキルなりがその七転八倒の戦場になっているにしても
戦場自身あるいは戦場の部分的あれこれが世界を支配したりはできません
たぶんね（～～）
475:１３２人目の素数さん
14/01/04 20:14:13.65
age
476:１３２人目の素数さん
14/01/07 01:29:26.82
下がってるね
477:427
14/01/07 09:15:05.47
>>440
ありがとうございます。
その方法でやったら簡単に解けました。
逆に矢印系の問題はその方法のほうが難しいことが分りました。
自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
横線の横に定理名を書いて省略するのってありですか？
478:１３２人目の素数さん
14/01/10 21:22:50.20
今年モデル論やる授業ないかな
479:１３２人目の素数さん
14/01/11 00:10:16.53
＞自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
推論規則の書き間違いかな？
480:１３２人目の素数さん
14/02/06 01:44:08.42
完全性定理を、「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」のように
簡潔な表現で表すとどうなるか教えてください。
481:１３２人目の素数さん
14/02/08 08:38:06.40
恒真な論理式全体の集合はRE。
（注意：REは Recursively Enumerable だが、CE (Computably Enumerable)と呼ぶ人も多い）
482:１３２人目の素数さん
14/02/08 09:10:08.73
いやいやおかしいだろそれ
483:１３２人目の素数さん
14/02/08 11:59:24.31
まず正確に言うと「一階述語論理の恒真な論理式のゲーデル数を集めた集合がRE」。
完全性定理が示しているのは次の二つの論理式集合が一致する、という事実。
（１）恒真な論理式を全部集めた集合。
（２）論理体系（自然演繹とかシーケント計算LKとか）で導出できる論理式を全部集めた集合。
このうち（１）はパッと見REではない（恒真の定義は「すべての解釈で真」なので）。
しかし（２）の条件は「それを結論とする証明図が存在する」なので、これはRE。
484:１３２人目の素数さん
14/02/08 13:44:54.58
それだけでは「完全性定理」とは言えない
485:１３２人目の素数さん
14/02/08 19:15:51.59
論理式全体の集合もREですから
486:481, 483
14/02/08 20:05:24.28
>>484
はい、これだけでは完全性定理とは言えないですね。
「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」に匹敵する簡潔な表現を完全性定理に対して試みたものです。
>>485
論理式全体はREどころかRecursive（計算可能）です。
ここでのポイントは
「恒真な論理式【だけ】を全部集めた集合」はパッと見REでないのに、
「論理体系で導出できる論理式【だけ】を全部集めた集合」は明らかにREである、
という点です。
487:１３２人目の素数さん
14/02/08 21:12:35.63
あと出しカッコ悪い
488:480
14/02/10 07:34:14.81
「一階述語論理（を表す記号）は完全（決定可能）」と言うことはできないのですか
489:１３２人目の素数さん
14/02/10 17:53:40.16
判定するアルゴリズムは無い。
490:１３２人目の素数さん
14/02/10 22:53:11.48
>> 488
たぶんここで使っている「完全（決定可能）」とは、
判定アルゴリズムがある、という意味の決定可能ではなく、
どんな閉論理式もそれ自身がその否定が証明できる、という意味の決定可能だと推測します。
しかしいずれも意味としても、
一階述語論理で恒真な（証明可能な）閉論理式全体は「決定可能」ではありません。
491:１３２人目の素数さん
14/02/10 22:57:40.41
【訂正】
>>490
誤>> ...それ自身がその否定が証明できる、...
正>> ...それ自身かその否定が証明できる、...
492:１３２人目の素数さん
14/02/11 15:05:22.34
なんでこの赤い丸で囲んだところのように定義するのか分かりません
493:１３２人目の素数さん
14/02/11 15:06:09.75
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
P_nでn番目の素数です
494:１３２人目の素数さん
14/02/11 19:06:01.87
>493
お前は質問を論理的に説明する方法を勉強しろ。
質問を理解するために必要な情報が全然足りない。
495:１３２人目の素数さん
14/02/11 19:56:45.20
>>494
別にお前は答えなくていいよ
補足すると
ゲーデルの不完全性定理について
IsformSeq(x)は 「xは基本論理式から組み上げた論理式の列」
len(x)は「列xの長さ」
x・yは列xと列yを連結させた列
496:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:00:02.73
まあどうせこんなとこで聞いても答えは出ないだろうけど
497:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:00:03.23
論理式の構成列 n の最後の項が x とする
（無駄な項を省いて）構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる（理由は後述する）ことがわかるので
初めから len(n)≦len(x)^2 を満たす n を選んでおく
また、無駄を省いたことで、構成列 n には x の一部である論理式しか現れないとしてよい
n ＝ [P1]^m1×…×[Plen(n)]^mlen(n) ≦ [P1]^x×…×[Plen(n)]^x ≦ { [Plen(x)^2]^x }^len(x)^2 ＝ [Plen(x)^2]^xlen(x)^2
構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる理由：
構成列 n を元にして論理式 x を構成するツリーをつくる（ツリーの根に当たるのが x である）
このツリーには x の一部である論理式しか現れない
ツリーを遡るほど論理式は短くなるので、ツリーの高さは len(x) 以下
ツリーの葉（最も基本的な論理式）の個数も len(x) 以下
したがって、このツリーに現れる論理式の個数は len(x)×len(x) 以下である
逆にこのようなツリーを元にして x の構成列 n’がつくれる
498:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:46:15.87
>>497
ありがとなす！
あと申し訳ないんだけど、len(n)のn番目の要素をxとすると、その要素は一つだからlen(x)って1になると思うんだけど…
よくわからない
499:１３２人目の素数さん
14/02/11 20:58:13.01
nは 論理式が len(n)個並んだ列
xは 記号が len(x)個並んだ（論理式と呼ばれるタイプの）列
500:１３２人目の素数さん
14/02/12 10:46:17.36
喪毎ら、何を呆けたこと議論すてんだ。こんバカタレが。ｗ
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp) にある、エムシラ御大の本を読んでみろ、目から鱗だぞ。
501:１３２人目の素数さん
14/02/12 11:37:07.47
はいはい。自分の巣にお帰り。
502:１３２人目の素数さん
14/02/12 17:15:05.61
御大は、生きてるうちから、伝説の人。
503:１３２人目の素数さん
14/02/14 05:03:23.40
どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論のほうが、全面的に、正しいようだな。
例えば、【対偶律】は、従来は (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
504:Mujina2
14/02/14 08:27:38.70
>>503
おいおい（～～）
505:１３２人目の素数さん
14/02/14 16:12:20.82
前原昭二 第2不完全性定理の内容的解釈
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
上のpdfでは第2不完全性定理を例にとり、論理式の表す「内容」が真偽でも証明可能性でも捉えられないことを指摘しています。
すなわち…
（形式的体系が無矛盾という仮定の下で）
「xは1=2の証明のゲーデル数ではない」を形式化した論理式P(x)と、論理式x=xは、ともに恒等的に真な命題関数を表すが「内容」は異なる。
第2不完全性定理によると∀x(P(x)⇔x=x)は証明できない。
この事実を手掛かりに
A⇔Bが証明できるとき論理式AとBの「内容」を同一視する
と試みても、A⇔Bが証明できるかどうか（AとBが同じ「内容」かどうか）は形式的体系に依存することになり、不適切である。
第2不完全性定理は、「1=2は証明できない」という「内容」を表す論理式のうちの一つが証明できない、と主張するに過ぎない。
「内容」そのものが証明できないことを示すのが理想であり、そのためには、
原始帰納的述語を全称量化した「1=2は証明できない」という「内容」を、どんな種類の論理式と関連付けるべきかが課題である。
と、筆者は締めくくっています。
この問題の（部分的にでも）解決を試みた文献がもしありましたら、お教えください。
506:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:08:27.73
第二不完全性とか言わなくても
A→AとA→(A∧A)と[(A→B)→A]→Aはどれも真だけど意味が違う訳で。
Loebのderivability conditions（可導性条件、導出可能性条件）が
最初に文献に出て来たのがいつかは分からないけど、
少なくともHilbert Bernaysには既に出て来るし、
最近の教科書には大抵載っている。
ロッサーの可証性述語の「自分より小さなゲーデル数の証明と矛盾しない」、
みたいな余計な条件によってバイパスされて"無矛盾性"が出て来ないための条件だけど、
これで或る程度用は足りてるんじゃないかな。
前原先生はたぶんこれもあまり知らなかったんじゃないかな、と思う。
真偽値とかと違う意味での命題の内包的意味とは何か、というのは
数学よりも哲学よりの話になってくると思う。論理学の話であるのは確かだけど。
507:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:33:46.84
フェルマーの最終定理の証明はスキームの圏などを扱うから
その証明がZFCに収まらないかもしれない、とかいうのは
典型的なロジックに対する無知だよね。
508:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:39:49.28
ACを使うから云々みたいなのも当時見た
509:１３２人目の素数さん
14/02/14 19:48:45.71
ここにいる人達は圏論的論理学はどう思ってんの？
510:１３２人目の素数さん
14/02/14 20:42:22.43
>>506
回答ありがとうございます。
その三つの可導性条件を、「証明できる」という内容を表す論理式が持つべき条件、と見なせばいいわけですね。
かなりスッキリしました。
511:１３２人目の素数さん
14/02/14 20:47:07.63
>>505
そんなに深く考えないでも、命題の真偽値とその意味内容とは別物だという事は
当たり前の事じゃないの?それらが同じだとすれば、命題には2種類の意味しか
ないという事になっちゃうと思うが?
512:506
14/02/14 23:24:44.22
まあ一見当然なんだけどそこを敢えて
命題の外延的意味、Bedeutung, meaningはその真理値だとみなした事が
Fregeの偉かった所だったりする。
まあそれ以後の言語哲学では命題の（内包的）意味Sinn, senseを理解するというのは
その命題がどういうときに正しくてどういうときに
間違っているかを理解することだ、とかそういうことも言われるけどね。
どっちかというと論理学と言うか言語哲学に近いか
513:１３２人目の素数さん
14/02/14 23:29:10.18
>>509
圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
圏論の入門書に期待してる
まあAwodeyも持ってるんだけど読む時間が無い
いつかはSheaves in ～読みたいなあ、とは思う
514:１３２人目の素数さん
14/02/15 11:09:00.62
>>508
まあ、命題の「意味」と言ったら命題そのもの（内包的意味）の事であって、
真理値は文字通り、命題の「（真偽についての）値」に過ぎない、
というのが普通の言葉使いであることは、じいちゃんばあちゃんに聞けばわかる。
それを「（外延的）意味」と言ったりするから、余計な哲学的問題を作って
しまうのじゃないかね？
年俸20億円というのは、田中将大という人間そのものじゃなく、その属性値の
一つに過ぎないよね。
515:１３２人目の素数さん
14/02/15 11:11:21.36
>>508じゃなく>>512だった
516:506
14/02/15 13:30:57.47
もう数学の話じゃないからこのレスまでにするけど、
「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的なsense（日本語では意義と訳す）は違うけど
述語論理の教科書に出て来る普通のTarski的な意味論を考えたら
その解釈は同じになる。意味論的に同じだということは、その意味は同じだと言っていることになる。
そもそも外延的意味と内包的意義では外延的な意味の方が数学的には扱いやすく、
Fregeがこういう区別を持ちこんで外延的意味の方を主に扱ったから
現代的な記号論理学が発達した訳で、その結果として数理論理学が発達した訳で、
外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。
517:１３２人目の素数さん
14/02/15 14:57:47.01
>>516
オレもこれでやめるが
>外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。
ちょっと誤解があると思う．オレが言ったのは
「外延的な意味」という言葉使いが不適切だ、という事だった。
それから、「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的にもほぼ同じsenseの
ようにも思う。少なくとも、「内閣総理大臣」と「安倍晋三」程の内包的意味の
違いはないね。
518:１３２人目の素数さん
14/02/15 15:34:15.97
>圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
だれが書いてるの?
519:１３２人目の素数さん
14/02/16 04:37:50.91
圏論（category theory ）なんて、トンだお笑い草だ。ｗ
520:１３２人目の素数さん
14/02/16 08:25:18.12
>>519
どんなとこが?
521:１３２人目の素数さん
14/02/16 08:58:27.97
>>513
詳細希望
522:１３２人目の素数さん
14/02/16 10:24:04.38
>>520
material implication の上に構築された理論など「根無し草」ってことさ。
Goedelの、いわゆる“不完全性定理”とて同じ。ｗ
523:１３２人目の素数さん
14/02/16 10:50:22.31
>material implication の上に構築された理論
もう少し詳しく。
それに、それが圏論の本質的特徴なのか？
そして不完全性定理が根なし草とも思わないんだが。
524:１３２人目の素数さん
14/02/16 21:41:55.33
>>523
＞不完全性定理が根なし草とも思わないんだが
その“証明”の冒頭で、P&(P⊃Q)⊃Q であるとして、B_Russell の material implication
を平然として使っている。
525:↑
14/02/16 21:46:48.11
P&(P⊃Q)⊃Q は、P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミスです。御免なさい。
526:１３２人目の素数さん
14/02/19 22:09:32.65
こういう勘違いしてる奴って多いよなw
527:１３２人目の素数さん
14/02/20 08:27:55.61
>>526
勘違いしてんのはおまえのほうだ。ｗｗｗｗ
528:１３２人目の素数さん
14/02/20 09:52:03.94
どういう勘違いの話をしてるんだ？
529:１３２人目の素数さん
14/02/20 09:53:13.98
material implication の paradox
530:１３２人目の素数さん
14/02/20 18:50:13.77
不完全性定理の証明の中でP&(P⊃Q)⊃Qが使われていたら、どうまずいのだ？
そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。
531:１３２人目の素数さん
14/02/21 06:23:44.03
>>530
＞そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。
おまえ、アホちゃうか？ (^o^)
例えば、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に
、P&(P⊃Q)⊃Qが 使われている例があったらあげてみろ。
532:１３２人目の素数さん
14/02/21 15:06:40.98
、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に、P&(P⊃Q)⊃Qが 使われている例が
一つでもあったらあげてみろ。ｗ
533:１３２人目の素数さん
14/02/21 15:57:32.36
>>531
大雑把にP&(P⊃Q)⊃Q等と言っているけど、
PとQに何か条件を課さなくていいのかい？
534:１３２人目の素数さん
14/02/21 19:30:26.07
P&(P⊃Q)⊃Qは形式的定理の 一般形（PとQに何も条件を課さない）としては 実質含意のパラドックス的状況を含むけど、
不完全性定理等の 具体的な定理 の証明のために、この形式的定理を 実際に使う場面では 実質含意のパラドックス的状況は含まない。
もちろん、メタレベルの証明でも含まない。
実際に数学の証明を行うときはPとQには必ず内容の関連があるのだから。
535:１３２人目の素数さん
14/02/21 19:50:44.27
どうなん？ >531
536:１３２人目の素数さん
14/02/21 21:02:46.97
P&(P⊃Q)⊃Q は P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミス。 P⊃Q は ～PvQ と同義とするのが
実質的内含(material implication) で、この解釈は、古代ギリシアの昔から論議を
呼んできた難問中の難問！
537:１３２人目の素数さん
14/02/22 10:53:53.04
>古代ギリシアの昔から論議を
そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
つまり単なる哲学パズルなんだよな
538:１３２人目の素数さん
14/02/22 23:21:39.74
それ数学の話じゃないから
539:１３２人目の素数さん
14/02/23 07:38:11.39
>>537
>>538
バカモン！ ＼(-o-)／
Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
そして、それらの根っこには、material implication の困難が在るのだ。
540:Mujina2
14/02/23 11:02:21.36
>>539
>Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
って『基づいて』じゃねーだろ どんなDQN向け入門書一冊で書き込みしてるんだよ（～～）
541:１３２人目の素数さん
14/02/23 11:29:04.51
エムシラちゃんは隔離スレがあるんだからそちらだけで書くようにね
542:１３２人目の素数さん
14/02/23 11:55:26.92
>>540
"On Formally Undecidable Propositions of of Principia Mathematica And Related Systems"
by Kurt Goedel
543:１３２人目の素数さん
14/02/23 12:11:36.87
>>538
＞それ数学の話じゃないから
何ばボケちょるか（爆笑
メタ数学の話をしてんだぞ。
544:１３２人目の素数さん
14/02/23 12:19:19.45
>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな
いいや違(tsuga)う。
545:１３２人目の素数さん
14/02/23 14:42:52.38
また、ハゲがなんか騒いでるな
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
ゲーデルの不完全性定理に、実質含意の問題など関係ない
対角化補題の証明も知らん文系出身のハゲに
不完全性定理が理解できるわけないだろｗ
＞私は、学生時代、経済学や、マネジメント・サイエンス、電算機etcを専攻し、
＞物理を専攻したのではないのですが、物理は高校のときから得意でした。
546:１３２人目の素数さん
14/02/23 19:02:06.32
P⊃Q ⇔ ～PvQ
としてなんか問題あるんだっけ？
547:１３２人目の素数さん
14/02/23 19:44:15.05
問題ないよ。
material implication が変だ、というのは
数学での言葉遣いと数学以外での言葉遣いを混同して混乱しているだけだよ。
自分勝手な言葉を創造することは自由だけど、他人には通じないよね。
548:１３２人目の素数さん
14/02/23 22:25:34.59
>>547 etc,
コチ向かば
ソチが呆けてる
春の日だまり
詠み火と知らず 圖
549:Ｍ_ＳＨＩＲＡＩＳＨＩ
14/02/24 08:38:35.42
"material implication" とは B_Russell の“造語”であって、古代ギリシアには概念は在ったが
ことばは無かった。(^o^)
古代ギリシアでは、フィロンというメガラ派の学者が唱えて大論争となったことが
今に知られている。
550:Mujina2
14/02/24 11:29:26.17
誰だ？呼ぶなよ（～～）ってか御大ようこそ
ご本人っすね？やーちょっととくしたきぶん
今EudoxosとMelissusやってるんすけど
なんか推奨文献とかうpして戴けませんか？
勝手なリクですんません<(__)>
551:１３２人目の素数さん
14/02/24 23:10:22.15
>>550
コチ向かば
ソチも呆けちょる
春の日だまり
詠み人知らず 圖
552:１３２人目の素数さん
14/02/25 02:16:15.29
圓
553:M_SHIRAISHI
14/02/25 05:36:46.16
辞書をＡから順に覚えるは愚の骨頂！
勝海舟は同じ辞書を２度までも直筆して覚えたのだ。
約１００年前の日本人にできたことが現代ないしは
未来の日本人にできないわけがあろうか！？！
おなじまま食って何処(toko)つがう！
世界に冠たる★日本食★をだ！！！
554:１３２人目の素数さん
14/02/25 11:13:11.12
ベルトランの逆説に関しての議論で、M.Shiraishi氏が自爆したようなこと
を書いているヤシがいるけど、そいつって、マツシン並みの間抜けだよな（ｗ
M.Shiraishi氏は、「ベルトランの逆説に関しての従来の通説は間違いである
ことに気づいた」と言い出し、「この逆説は、確率の従来の定義が間違って
いたことによるものだ」として、議論を決着させている。
自爆どころか、２０世紀の確率論の基礎を覆す、凄い発見というべきだろう。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
555:Mujina2
14/02/25 13:21:54.70
>>551
圖 ？ 圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
Gcc1εってことか？よーわからんzzz（～～）
556:１３２人目の素数さん
14/02/25 18:41:08.78
>>555
悩む無かれ。万事、楽しむべし。
557:１３２人目の素数さん
14/02/25 21:02:50.16
入力ミスしたっす。(^o^)
悩む勿れ。万事、楽しむべし。クイズを解くは楽し。
558:１３２人目の素数さん
14/02/25 21:20:03.34
>>555 --->>557
＞圖 ？ 圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
＞Gcc1εってことか？よーわからんzzz（～～）
ﾜﾛﾀYo
559:１３２人目の素数さん
14/02/26 11:19:52.77
>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな
いいや違(tsuga)う。 断じて違う！ Thus truly truly We tell YOU !
560:Mujina2
14/02/26 16:36:47.37
流れがよめんではないかShIt
誰かクイ圖とパ圖ルを混同してるだろ
日本語では別物だからな
それから つがうどがいっでるしど（５５９）
ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
あれ？わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな
561:１３２人目の素数さん
14/02/27 00:33:49.09
ZFCで理論Tに対して普通の集合のモデルMが存在したら
CON(T)が言えるのに、Tに対して特定のクラスモデル（整礎集合WFとか構成的集合Lとか）が
存在してもCON(T)が言えないのはどうしてですか？
健全性定理の証明のどこに引っ掛かるのか分からず悩んでいます。
562:M_SHIRAISHI
14/02/27 13:21:51.87
＞ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
＞あれ？わしレスの相手まつがえでるがも つがっでだらすまねな
"Kurt Goedel Collected Works" Volume I Oxford University Press
pp.144～194
563:Mujina2
14/02/27 21:10:10.71
>>562
あ すまねす
そりより５６１さの話おもしろそだがらながれそっじえもっでぐね（～～）
564:M_SHIRAISHI
14/03/01 05:40:56.32
SeiSei_DouDou to Jitstu_Mei wo nanorei Kon Бакамон！
565:M_SHIRAISHI
14/03/01 05:51:48.53
２１世紀を夢見れる人々は幸せである。新世紀は彼らのものである。
反対に、２０世紀に囚われているひとは惨めである。惨敗に次ぐ惨敗が待っている。
566:１３２人目の素数さん
14/03/01 10:37:15.27
>>
三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU
567:１３２人目の素数さん
14/03/01 10:42:43.24
もう一度！
三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU
568:１３２人目の素数さん
14/03/01 11:17:27.87
>>561
「CON(T)が言える」ってどういうことなのかを
追求（定義？）する必要があるんじゃない？
569:561
14/03/01 15:50:50.33
ごめんなさい、教科書を先に読み進めたら
H(κ) |= Γであるとき、H(κ)が集合であることが言えたときと
言えない（クラスであることしか分かってない)ときに
CON(Γ)がどういう意味で帰結したと言えるのかに違いがある、
的な話がきちんと説明されてました。ほぼ>>561の答えそのものですね。
先に自分で疑問を持っていろいろ考えて調べたりしたのは無駄じゃなかったですけど。
そもそもCONがメタレベルの言明か、集合としてコードされた
論理式に対応する集合論内のオブジェクトなのか、違いがあるわけですね。
570:１３２人目の素数さん
14/03/01 16:05:38.60
上の方で、RobinsonのQで第二不完全性定理が示せる、という
お話がありましたけど、Qより弱いRでも第二不完全性定理は示せますか？
ご存知の方教えてください。
571:1
14/03/01 17:00:55.16
昔>>1のテンプレを書いたものですけど、今思えば
>素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として
って専門外の人には分かりやすいしヒルベルトの心中に限って言えば
割と正しいかもしれませんが、実際は数学史的には偏った見方ですね。
「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
の方が良い気がしてきました。
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
>このとき、カントールにはパラドックスという意識はなく、 肯定的にうけとめ集合論最大の発見とさえ書いている。
Cantorは、内包公理が矛盾したとき、理論の破綻と考えるのではなく、
内包公理の否定が導けたと言っていて、実はかなり現代的な理解をしている訳です。
尤も与えられた公理と推論規則の集まりが矛盾した時に、どれを間違っているとみなすか、
という問題はありますし、Quineみたいに
「どれか一つを選ぶ基準なんて全く無いよ」と明言する論理学者も居ますが。
URLﾘﾝｸ(www.academia.edu) も参照。
URLﾘﾝｸ(taurus.ics.nara-wu.ac.jp)
の「パラドックス史観」の話も参照。
確かに不完全性定理が否定的な残念でガッカリな結果とだけ思われるのに
繋がるとしたら大変困ったことです。ゲーデル自身もロジシャンも、
不完全性定理を最初に勉強した時は「こんな上手い良い定理が成り立つのか！」
と思った人が多いはずです。
572:Mujina2
14/03/02 07:34:15.41
>>564
おりがまつがっでだ ふんどにすまね
>>561
自己解決されたようで よかった 今後の書き込みにも期待してます
>>571(1?)
thx テンプレへの言及がg.j. 先走りかもしれませんが次スレの『テンプレrel1.01』を
めぐってここで暫く討論してみればどうでしょうか鉄気味のほうへ脱線したらそれはそのときまた
改めて対処できると思います
>>570
できれば『強・弱』の５７０さんなりの理解をkwsk（～～）
質問に質問で返すのが お約束ですので
573:１３２人目の素数さん
14/03/02 08:23:39.80
572 ：Mujina2：2014/03/02(日) 07:34:15.41
>>564
＞ おりがまつがっでだ ふんどにすまね
おはん、言ってることとやってることとが矛盾しているのに
気がついていないのか？
574:Mujina2
14/03/02 08:39:19.84
>>573
確かに（～～）
まあ半分気づいてるんだが2chだとついなあ たぶん人格が破綻しかけてるんだ
笑って許してとは言わんが 生ぬるくスルーしてくんねーかな
575:１３２人目の素数さん
14/03/07 03:38:50.58
公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？
576:１３２人目の素数さん
14/03/07 03:48:11.67
算術の体系に矛盾が見つかったとして
2+3=5は成り立たなくなる、あるいは無意味になると思う？
極端な話と、それと同じことだ
577:１３２人目の素数さん
14/03/07 03:49:06.31
× 極端な話と、それと同じことだ
○ 極端な話、それと同じことだ
578:１３２人目の素数さん
14/03/07 10:08:24.41
基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok?
579:１３２人目の素数さん
14/03/07 14:49:51.84
ネット版のホストみたいなの発見。
イケメンなら稼げるんだろうけど。
話が上手けりゃ稼げるかな。
誰かレポ頼む。
メンガでググると出てくる。
580:１３２人目の素数さん
14/03/07 20:23:45.72
基礎論を特別視したがる人もいるけど、
整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく
基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。
つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。
581:１３２人目の素数さん
14/03/07 21:48:26.96
>>576
もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる？
チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう？
その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな
論理がつぶれても、現実に２コのものと３コのものを合わせると５コになるという
経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか？
その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。
集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが
必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは？
582:１３２人目の素数さん
14/03/07 22:30:47.60
算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。
どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。
583:１３２人目の素数さん
14/03/07 22:43:36.27
その変える先の公理が存在するかを問題にしている
公理が底をついてしまうこともあるのでは？
584:１３２人目の素数さん
14/03/07 23:06:04.61
仮に矛盾しても、爆発(A∧￢A)→Bを認めなければ大した問題じゃない
もしも算術が矛盾するようなら、
古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね
585:１３２人目の素数さん
14/03/07 23:25:29.73
そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用
586:１３２人目の素数さん
14/03/08 13:40:47.93
矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする
出る定理は無限だから問題ない
強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない
587:１３２人目の素数さん
14/03/08 13:44:51.42
公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う
588:１３２人目の素数さん
14/03/08 16:14:43.23
＞公理が底をついてしまうこともあるのでは？
いや、ないでしょｊｋ
589:予言者
14/03/13 12:28:57.43
中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。
尚、余はソ連邦（ＣＣＣＰ）の崩壊を、その遥（はる）か昔に予言せり。
論理的必然性が在るのだ。
590:Mujina2
14/03/13 20:49:50.98
>>589
ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか？
預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう（～～）
591:１３２人目の素数さん
14/03/14 15:35:08.47
CCCP；Союз Советских 以下省略。
592:１３２人目の素数さん
14/03/14 15:59:51.20
ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと
かさっぱり和漢中田べ
593:１３２人目の素数さん
14/03/14 16:08:10.30
コチ向かば
ソチが呆けちょる
春の日だまり
詠み人知らず 圖
594:１３２人目の素数さん
14/03/14 16:34:11.55
さっさと半分売れよ北方領土
595:M_SHIRAISHI
14/03/14 20:07:58.53
自然数は０から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。
596:１３２人目の素数さん
14/03/14 20:25:09.22
単なる命名に、論理もクソも無い。
0以上の整数でも、1以上の整数でも、
好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。
他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。
私は、0以上の「自然数」が好きだが、
それに「論理的根拠」を付けてくるような
馬鹿は嫌い。
597:１３２人目の素数さん
14/03/14 22:57:02.89
あえるって何？料理の方法的なアレですか？
>>596
名前欄に注意
598:１３２人目の素数さん
14/03/15 00:02:02.54
ソユーズ
599:１３２人目の素数さん
14/03/15 02:26:34.96
ж
600:M_SHIRAISHI
14/03/15 05:47:43.22
>>595
>>596
きみの居る所を、仮に地下一階（＝－１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？
一階か？ No! ０階や。 その上の階が一階（first floor）や。
以下、同様。
>>597
御免！ 入力ミスしてた。ｗ ご指摘、ありがとう！
「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m
# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
601:M_SHIRAISHI
14/03/15 06:11:10.90
>>595
>>596
きみの居る所を、仮に地下一階（＝－１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？
一階か？ No! ０階や。 その上の階が一階（first floor）や。
その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。
# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
602:１３２人目の素数さん
14/03/15 06:29:33.82
>>601
＞その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。
その上の上の階が二階（second floor）。 以下、同様。
603:M_SHIRAISHI
14/03/15 07:16:52.92
>>575
＞公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？
浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、
偽になってしまうとは限らない。
604:１３２人目の素数さん
14/03/15 07:40:20.66
浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。
605:１３２人目の素数さん
14/03/15 07:46:33.21
確率は？
606:１３２人目の素数さん
14/03/15 07:50:45.13
統計をとってみなｗ
607:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:10:11.64
>>603
数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。
608:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:37:21.79
>>607
どういうこと？
609:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:40:19.26
>>575
Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは
Γ - φn から￢φnが証明できるということ。
どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、
φnを証明に使っていない定理は生き残る。
φnを証明に使っていた定理は、
他の公理から証明できれば使い続けられる。
そうでない場合は切り捨てないといけない。
どの公理もどうしても捨てられない場合、
最後の選択肢として公理系は全部残したまま、
論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。
610:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:02:31.97
>>608
ナマの事実（有限の記号操作）
前提・仮定（公理や推論規則）
証明されたこと（定理）
結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。
611:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:15:19.51
>>610って、例えば
「位数が素数の有限群は巡回群である」
という定理は生の事実でない群論の公理を使うから
真実ではない、と言ってるのに近くない？
哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。
612:１３２人目の素数さん
14/03/15 11:24:00.58
>>611
数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。
というか、そういう議論から自由な存在だ。