12/02/11 20:07:42.84
その反例って選択公理使わなかったっけ？
24:１３２人目の素数さん
12/02/11 22:53:04.25
☆位相空間(X,O)に対して、Oから生成されるσ-代数をBor(O)と記す。
Bor(O)の元をXのボレル集合という。
☆開集合の可算個の共通部分で表される集合をG[δ]集合、閉集合の可算個の合併で
表される集合をF[δ]集合とよぶ。G[δ]集合とF[δ]集合はボレル集合である。
25:１３２人目の素数さん
12/02/12 02:21:24.46
Fにはδではなくσがお似合いですね
26:１３２人目の素数さん
12/02/12 08:07:00.95
★★★下記の本スレへ誘導のほどお願いします★★★
ルベーグ積分や測度論のスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
27:１３２人目の素数さん
12/02/12 08:09:44.40
このスレの目的は>>1の通り。
それ以外の、測度論一般の話は本スレでやれ、すれちだ。
28:１３２人目の素数さん
12/02/12 21:02:30.08
>>24
訂正
フランス人の集合はF[σ]集合
29:１３２人目の素数さん
12/02/13 22:24:45.02
☆位相空間(X,O)の部分集合D⊂XがXで稠密とは、任意の空集合と異なる開集合M∈O
に対して、D∩Mが空でないこととする。
部分集合Y⊂XがXで疎であるとは、任意の空集合と異なる開集合N∈Oで、Y∩N=φとなる
ものが存在することとする。
部分集合Y⊂Xがやせた集合とは、Y=∪Y[n]、但しn∈ω、Y[n]はXの疎な部分集合、
と表せるときにいう。
定理（ベールのカテゴリ定理）
Xを局所コンパクトまたは完備距離づけ可能な位相空間とするとき、Xの任意の空集合
ではない開集合はやせた集合ではない。
系
カントール空間2^ωの任意の空でない開集合はやせた集合ではない。特に2^ω自身は
2^ωでやせた集合ではない。
30:１３２人目の素数さん
12/02/14 01:59:26.56
きゃｑん
31:１３２人目の素数さん
12/02/14 22:13:56.95
☆Sを任意の集合とするとき、I⊂Ｐ(S)がS上のσ-イデアルであるとは
(1)S∈/I
(2)各x∈Sに対して、{x}∈I
(3)X∈I、Y⊂XならばY∈I
(4)X[n]∈I、n∈ωならば、∪X[n]∈I
系
M={X⊂2^ω:Xはやせた集合}とすると、Mは2^ω上のσ-イデアルである。
☆I⊂Ｐ(S)をS上のσ-イデアルとするとき、J⊂IがIを生成するとは、
I={Y∈P(S)：あるZ∈Jに対してY⊂Z}
位相空間(X,O)において、σ-イデアルI⊂P(X)がボレル集合に台をもつとは、
Xのボレル集合からなるJ⊂IでIを生成するものが存在することをいう。
命題
Mはボレル集合に台をもつ2^ω上のσ-イデアルである。
32:１３２人目の素数さん
12/02/15 02:27:56.09
確か選択公理を入れると、
ルベーク可測でないR^nの部分集合の存在が言えると読んだが。
33:１３２人目の素数さん
12/02/16 20:53:31.92
☆B⊂P(S)がσ-代数のとき、B上の非負関数μがB上の測度とは、μが次の３条件を
満たすことをいう。
(0)μ(φ)=0
(1)μ(S)=1
(2)A[n]がBの互いに素な部分集合列ならば、μ(∪[n∈ω]A[n])=Σ[n∈ω]μ(A[n])
☆μがσ-代数B⊂P(S)上の測度のとき、X⊂Sが零集合であるとはμ(Y)=0、X⊂Yとなる
Y∈Bが存在することである。
系
N={X⊂2^ω:Xは零集合}とするとNは2^ω上のボレル集合に台をもつσ-イデアルである。
34:１３２人目の素数さん
12/02/17 07:11:50.97
>>33
>>26-27を嫁。すれちだ。
35:１３２人目の素数さん
12/02/17 21:39:18.66
定理
連続体仮説を仮定する。関数f:[0,1]x[0,1]->[0,1]で、積分∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dxdyと
∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dydxは存在するが、それらが等しくならないものがとれる。
注意：この定理は連続体仮説を否定すると真偽は定まらない。
定理
ZFCのモデルMで、すべてのMでの関数f:[0,1]x[0,1]->[0,1]に対して、Mで
∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dxdyと∫[0,1]∫[0,1]f(x,y)dydxが存在するときにはMで等しくなるもの
がとれる。
36:１３２人目の素数さん
12/02/17 21:41:34.88
連続体仮説は選択公理を導く。
37:１３２人目の素数さん
12/02/18 04:27:07.60
そんで>>22と>>23の話はどうなった？
>>35と>>36のやりとりはそれを受けてのことだと思うが。
38:１３２人目の素数さん
12/02/18 23:53:56.97
☆普通のやつ
定理
(X[1],M[1],μ[1])、(X[2],M[2],μ[2])を測度空間とし、その直積測度空間を(Y,N,σ)とする。
1)E∈Nならば
a)Eのx断面集合E[x]∈M[2]、μ[1]-a,e,xに対して、Eのy断面集合E[y]∈M[1]、μ[2]-a,e,y
に対して、である。
b)μ[2](E[x])はM[1]-可測関数、μ[1](E[y])はM[2]-可測関数である。
c)∫[X[1]]μ[2](E[x])dμ[1]=∫[X[2]]μ[1](E[y])dμ[2]=μ(E)
2)f(z)=f(x,y)がN-可測でf(z)>=0,σ-a.e.zに対して、とする。
a)f(x,y)はyの関数としてM[2]-可測、μ[1]-a,e,xに対して、
f(x,y)はxの関数としてM[1]-可測、μ[2]-a,e,yに対して、である。
b)∫[X[2]]f(x,y)dμ[2]はxの関数としてM[1]-可測、
∫[X[1]]f(x,y)dμ[1]はyの関数としてM[2]-可測である。
c)∫[X[1]](∫[X[2]]f(x,y)dμ[2])dμ[1]=∫[X[2]](∫[X[1]]f(x,y)dμ[1])dμ[2]=∫[Y]f(z)dσ
（注意）2)でfの正値性の仮定をはずすとfがY上可積分の仮定が必要
39:１３２人目の素数さん
12/02/19 22:40:38.46
以下、1様の測度と積分論
40:１３２人目の素数さん
12/02/19 22:45:38.43
だからデルタ測度なんだって。
R^n上のすべての部分集合が可測となるし、L^1(R^n)は完備である。
41:１３２人目の素数さん
12/02/19 22:53:04.25
>>40
心と体へ
42:１３２人目の素数さん
12/02/19 23:28:39.56
カントール集合は、全不連結かつ完全
43:１３２人目の素数さん
12/02/20 00:07:53.40
全不連結と完全の定義を述べよ
44:１３２人目の素数さん
12/02/24 07:07:00.33
デルタ測度は完全無欠だな
45:１３２人目の素数さん
12/03/10 18:51:46.21
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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46:１３２人目の素数さん
12/03/14 02:30:10.34
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12/03/17 00:17:38.68
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55:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 11:35:42.49
猫
56:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 15:09:57.43
猫
57:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
12/03/17 18:00:00.60
猫
58:１３２人目の素数さん
12/03/18 06:37:21.22
どきんちゃんのガロア積分
59:１３２人目の素数さん
12/03/18 07:09:21.48
L^1(X) の dual は L^∞(X) だが、 L^∞(X) の dual は (特別な場合を除いて)
何で L^1(X) に戻らないのか？
60:１３２人目の素数さん
12/04/03 21:26:50.09
sage
61:１３２人目の素数さん
12/04/17 22:05:25.49
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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62:１３２人目の素数さん
12/04/18 13:20:40.38
>>61
誰か、コイツを「書き込み禁止」にしてくれ！！！！！
63:１３２人目の素数さん
12/04/18 16:11:22.08
ゼロ集合は全ての部分集合が可測。
64:１３２人目の素数さん
12/04/18 16:42:18.56
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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65:１３２人目の素数さん
12/04/21 08:24:52.23
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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66:１３２人目の素数さん
12/04/22 18:46:41.76
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67:１３２人目の素数さん
12/04/28 17:16:52.40
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68:１３２人目の素数さん
12/05/10 00:16:23.18
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69:１３２人目の素数さん
12/05/19 21:06:42.40
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70:１３２人目の素数さん
12/05/21 20:47:39.57
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71:１３２人目の素数さん
12/05/26 21:36:11.99
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72:１３２人目の素数さん
12/05/28 07:06:44.79
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73:１３２人目の素数さん
12/06/03 15:23:26.62
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74:１３２人目の素数さん
12/06/06 22:17:08.36
hosu
75:１３２人目の素数さん
12/06/06 22:20:18.08
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12/06/10 18:21:01.56
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77:１３２人目の素数さん
12/06/14 23:45:42.76
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| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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78:１３２人目の素数さん
12/06/24 22:12:54.19
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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79:１３２人目の素数さん
12/07/22 16:28:24.18
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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80:１３２人目の素数さん
12/08/15 09:16:27.22
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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81:１３２人目の素数さん
12/10/07 14:34:13.97
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ馬と鹿ばかりね
| ` -'＼ ｰ' 人
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82:１３２人目の素数さん
12/10/07 14:42:44.96
駄スレではあるが、猫（本物）の書き込みが2012年3月17日頃まで
あったことを示すスレになってくれている。
4月以降は見ないな。まだ生きているという話は聞いた。
83:１３２人目の素数さん
12/10/09 21:38:29.54
バカ乙
84:１３２人目の素数さん
12/10/14 02:04:37.10
確率論にとってリーマン積分は「無用の長物」だ。
85:１３２人目の素数さん
12/10/22 20:30:43.95
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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86:詩織御令嬢様
12/11/27 03:22:24.46
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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87:令嬢
12/12/15 18:15:50.14
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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88:１３２人目の素数さん
13/01/12 22:47:57.87
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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89:１３２人目の素数さん
13/02/03 17:42:20.93
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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90:１３２人目の素数さん
13/04/16 14:19:29.79
ｽﾚﾘﾝｸ(philo板:281番)
91:１３２人目の素数さん
13/05/23 00:11:42.62
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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92:１３２人目の素数さん
14/04/04 10:07:50.17
閑話休題
93:１３２人目の素数さん
14/04/24 19:09:16.90
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／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ |
| ` -'＼ ｰ' 人 私は死なないわよ。
| /(l ＿＿／ ヽ、 でも最近一寸太ったかしら。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 Windows ver.10 で
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ 元の痩せた姿にしてよね。
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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