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論理的思考の技法〈2〉三段論法と誤謬
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153:１３２人目の素数さん
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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157:１３２人目の素数さん
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158:１３２人目の素数さん
12/06/01 21:13:51.30
398 名無し生涯学習 sage 2012/05/19(土) 07:53:33.61
ジョーは酒場で論理学の教授と知り合った。
「論理学ってのはどういったもんですか？」
「やって見せましょうか。お宅には芝刈機があります？」
「ありますよ」
「ということは、広い庭があるわけですね？」
「その通り！うちには広い庭があります」
「ということは、一戸建てですね？」
「その通り！一戸建てです」
「ということは、ご家族がいますね？」
「その通り！妻と２人の子供がいます」
「ということは、あなたはホモではないですね？」
「その通り！ホモじゃありません」
「つまりこれが論理学ですよ」
「なるほど！」
深く感心したジョーは、翌日友人のスティーブに言った。
「論理学を教えてやろう。君の家には芝刈機があるか？」
「いや。ないよ」
「ということは、君はホモだな！！」
159:１３２人目の素数さん
12/06/01 21:55:24.54
不覚にもワロタ
160:１３２人目の素数さん
12/06/01 22:25:26.28
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161:１３２人目の素数さん
12/06/02 00:03:55.86
9 名無しのオプ sage 2011/06/22(水) 00:54:20.50 ID:5HGVLTrZ
”「博士は眼鏡をいじった。「こう言いたいのかね」博士は迫った。
「本物の帽子屋がロンドンで盗みを働いていると」”
10 名無しのオプ 2011/06/22(水) 03:21:05.38 ID:ivdj3XDZ
>>9
・博士の話している相手は目上の人間ではない。
・こう言いたいのかね、の表現から博士が会話相手は自説を断言することを避けたことがわかる。
→推理：従って会話相手が伝えたかったことは、
「突飛な話」あるいは「博士の名誉に差し障る話」あるいは「自分自身が不利になる話」のいずれか。
・ロンドンで盗みを働いている、の表現から、犯罪は突発的なものではなく連続して起きている。
・本物の帽子屋が～、の表現が暗に意味する「本物でない帽子屋」
→推理：帽子屋が犯罪を起こす小説等があり、それになぞられた事件が起きている？
18 名無しのオプ 2011/07/10(日) 08:45:43.16 ID:cQnGTeBY
”ハーフォードを出発する前、タナーはルース荘の応接間で見つけた写真に記されていた名前の写真師に手紙を出して、
サー・ウィリアム、オースチン、コスグローブの三人の写真の焼増しを注文しておいた。”
21 名無しのオプ sage 2011/07/10(日) 15:45:34.44 ID:tde/In6A
>>18 まず分かることはタナーは写真師と面識はない、ということ
（ルース荘で写真を見つけて初めて名を知った）。
にもかかわらず、写真の焼き増しを依頼できるということは、タナーには何らかの権限がある
（おそらく捜査関係者）。
ハーフォードを出発したタナーの目的地に写真師がいるのかどうかは分からない。
目的地に写真師がいるのだとすれば、かなり遠方（依頼の手紙の方が早く着くことを想定しているのだから）。
そうでない（ハーフォードから目的地へ出掛けて帰る間に焼き増しが出来上がるように依頼した、などの）
場合も考えられるから、目的地については何とも言えない。
ただ、後者の場合、目的地での調査には必ずしも写真は必要ではないことになる。
162:１３２人目の素数さん
12/06/02 00:12:06.23
24 10 2011/07/11(月) 00:05:22.59 ID:tRxAZDqU
>>21
・手紙を送ってる所から、写真師はハーフォードにはいない。
手紙ならどこからでも(目的地からでも)送れるので、
わざわざ出発前に手紙を出したということは、
目的地に写真師がいる蓋然性が高い。
写真を撮る場合、近くの写真師に頼むはずなので写真師はルース荘の近くにいる。
したがって、タナーの目的地はルース荘であると考えられる。
→推理
見るだけなら目的地の応接室にあるというのに、
わざわざ焼き増しを必要とする理由は聞きこみに使うためと考えられる。
25 10 2011/07/11(月) 00:07:30.72 ID:tRxAZDqU
>>21（つづき）
・ハーフォードの名の都市は、アメリカのカンザスに存在する。
しかし、サーの称号からルース荘のある国はイギリスであることがわかる。
タナーが探偵であれ、捜査員であれ海外に調査に出かけるとは考えにくい。
したがって文中のハーフォードは、
イギリスの都市ハートフォードの書き間違いである可能性が高い。
163:１３２人目の素数さん
12/06/02 02:11:54.53
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12/06/02 20:34:28.56
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166:１３２人目の素数さん
12/06/04 17:40:09.82
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171:１３２人目の素数さん
12/06/13 12:02:11.37
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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172:１３２人目の素数さん
12/06/13 20:39:05.70
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173:１３２人目の素数さん
12/06/23 20:10:51.50
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174:１３２人目の素数さん
12/07/01 20:18:01.52
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175:１３２人目の素数さん
12/07/23 07:47:03.95
倫理的でないから不倫。ならば論理的でないのは？
176:１３２人目の素数さん
12/07/24 14:01:42.90
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177:１３２人目の素数さん
12/08/11 15:35:14.76
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178:１３２人目の素数さん
12/08/11 16:21:28.15
キチガイは何とかならないんかね。
179:１３２人目の素数さん
12/08/11 16:54:14.76
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180:１３２人目の素数さん
12/08/27 16:48:20.57
選択公理を用いると証明できるバナッハ＝タルスキーの定理は
「3次元以上の『全ての』次元においても成り立つ」のに
「2次元ユークリッド平面においては成り立たない」のはなぜですか
2次元の場合でも「円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の
正方形を作ることが出来るのである」とWikipediaにありますが円を分割して
２つの円にすることはできないみたいですね
181:１３２人目の素数さん
12/10/01 01:05:35.66
どうも、「ＥＵＲＭＳ（∋ M_SHIRAISHI氏 ）の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
ＥＵＲＭＳの言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。
ＥＵＲＭＳの主張する「論理大改革」は、恐らく、世界を席巻することとなろう。
182:１３２人目の素数さん
12/10/07 17:36:34.22
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183:１３２人目の素数さん
12/10/07 18:02:41.64
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184:１３２人目の素数さん
12/10/21 15:54:07.04
>>158
横で聞いていた、とある客が論理学者につっこみを入れた
「全然論理的じゃないな」
「ほう、どこがかね？」
「例えば家が芝刈り機の業者なら芝刈り機があっても広い庭はない」
「芝刈り機がある、とは、芝刈り機を所有する、という意味だ」
「としても、広い庭があるが共同所有のアパート住まいの場合もある」
「広い庭がある、というのも、当人が所有する、という意味だ」
「としても、家は親の遺産で、すでに死去してる場合もある。
生きていたとしても、親では、本人がホモセクシュアルでない
という根拠にはならない」
「・・・」
「さらにいえば、ホモセクシュアルだから子供がいないとはいえない。
単に子孫を残る必要のためだけに女性と交わる場合があるからだ。
したがって、芝刈り機があり広い庭がある一戸建てに住んでいて
さらに妻と子供がいるからといってホモセクシュアルでないとは
いえないわけだ。なぜならそれぞれの推論が全く論理的でないからだ。」
「あなたは一体・・・」
「君がなりすまそうとした論理学の教授だよ」
185:１３２人目の素数さん
12/10/21 16:37:30.65
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
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186:１３２人目の素数さん
12/10/21 16:39:06.56
ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・） ブヒ、 俺、もらい子だったんだ。ブヒ。
しー し─Ｊ
187:１３２人目の素数さん
12/10/21 16:58:50.09
>>184
企業は一応仕入れた売り物の財産権を保持して
在庫として所有しているところも多いような。
私的所有物として持っている、と言いたかったんだろうけど。
こういうあるかないか微妙な可能性を考えるのって
論理学の特徴というより数学の特徴だよね。
つまり論理とはどういうものであるかというよりも、
研究の主題がどれだけ厳密な推論を許すかの違いだと思う。
188:１３２人目の素数さん
12/10/22 08:23:28.86
コピペにマジレス
カコイイ
189:１３２人目の素数さん
12/10/22 08:36:11.61
158はコピペだけど184はコピペじゃなくて
ちょっと的が外れたレスだと判断しました
190:３３３人目の描 ◆ghclfYsc82
12/10/22 20:36:15.10
描
>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>
191:詩織御令嬢様
12/11/27 03:24:31.06
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192:令嬢
12/12/15 18:20:02.78
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
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193:１３２人目の素数さん
13/01/05 17:24:07.27
合理主義を極めると世の中こう見える(´∵)っ感情自己責任論
194:あのこうちやんは始皇帝だった
13/01/05 18:57:10.24
６０代の、無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
195:１３２人目の素数さん
13/01/05 20:21:29.88
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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196:１３２人目の素数さん
13/01/29 20:14:43.40
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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197:１３２人目の素数さん：
13/02/09 07:38:09.03
宜しくお願い致します。
一階関係記号と一階関数記号の例を探してるのですが
どのうよな例がありますでしょうか?
198:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/02/09 09:59:14.59
ワシかてそう願ってるがな。
ケケケ狢
>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>
199:１３２人目の素数さん
13/02/09 18:08:20.05
>>197
ペアノ算術とか実閉体の例に出て来るものを書けば良いんじゃない？
200:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/02/09 18:54:24.15
ワシかてそう願ってるがな。
ケケケ狢
>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>
201:１３２人目の素数さん
13/02/09 20:14:43.17
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202:１３２人目の素数さん
13/02/11 18:53:19.05
Y=3.87/4.83
@=nY=ZY
"You to KIRISE Equation."
sometimes is unreal simulations.
Unreal has a not Dream.
203:あのこうちやんは始皇帝だった
13/02/11 19:11:47.94
＞＞２０２
２０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
204:１３２人目の素数さん
13/02/12 01:28:47.40
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
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205:１３２人目の素数さん
13/02/14 20:21:04.87
マンコ
206:１３２人目の素数さん
13/02/14 20:23:22.34
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207:１３２人目の素数さん
13/02/14 23:39:22.15
第二不完全性定理によると
「１＝０は証明できない」ことは証明できない
となるらしいが、どうもよくわからん。「１≠０」は公理から簡単に出る気がするのだが・・・
208:１３２人目の素数さん
13/02/15 02:33:33.24
K(新記号)=3.87/4.83
@=nK=ZK
"KIRISE Invariable."
1=0.801242236024845
TWO arithmetic operations.
"Fade in/out"
209:１３２人目の素数さん
13/02/15 09:01:32.77
φが証明できることと
not φが証明できないことは別のことだよ
210:１３２人目の素数さん
13/02/15 17:33:20.99
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211:１３２人目の素数さん
13/02/16 01:38:49.18
>>209
そこら辺のことがわかりやすく書かれている本なんかない？
「ゲーデルに挑む」を読んで大体理解したつもりになったんだけど、もやもやして仕方がないorz
212:１３２人目の素数さん
13/02/16 08:16:29.03
いや>>207の疑問が出て来る時点で
大体理解しているとは言いにくいし「ゲーデルに挑む」の
論文本編をちゃんと読めているとも言えない気がする
今度こそわかるゲーデル不完全性定理 (KS理工学専門書)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
とかが分かりやすいと聞くけど持ってないから良く知らん
213:１３２人目の素数さん
13/02/19 00:00:41.13
>>207
数学セミナー20121年11月号に
「ゲーデルの第２不完全性定理はわからない」江田勝哉
というのがあるよ。
214:１３２人目の素数さん
13/02/20 01:05:38.67
>>213
今日読んだ。俺の疑問は解決しなかったが、なかなか面白かった。
215:１３２人目の素数さん
13/02/20 08:05:54.40
「数学」の「数学基礎論」の書評読んだが
数学の細分野化はついに数理論理内部でも
全分野を把握できないくらいに進んだんだなあ、と思った
216:１３２人目の素数さん
13/05/18 18:51:49.80
【論理力テスト】次の文章は正しいようで実は論理的に間違っています。どこがどうおかしいか貴方は説明できますか→「何度学校を変わってもいじめられるのは、いじめられる側に原因がある証拠だ」…答えは「感情自己責任論」で検索
217:１３２人目の素数さん
13/05/30 12:26:44.93
論理的に間違ってるわけではないよ
後件が真になるような仮説を前件に持ってくれば真になる
要するに総合命題
218:１３２人目の素数さん
13/06/13 17:22:28.59
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219:あのこうちやんは始皇帝だった
13/06/13 19:22:46.11
>>218
無職のクソガキども！ 大変なコトになるな！
憲法改正だ！ ９６条を改正してから、９条を改正する。 そして、何条を改正するか？
１８条だ！ そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
220:１３２人目の素数さん
13/06/13 19:29:27.39
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221:１３２人目の素数さん
13/06/19 17:47:17.09
>>216
もちろん、「人間」であることが原因の一つなのは当然
同様に「学校に行く」も原因だがな
222:１３２人目の素数さん
13/07/09 NY:AN:NY.AN
不完全性定理は原始再帰関数ではないけれど、計算可能関数に入るの？
それとも計算できない証明できないけど真ということになるの？
または全く関係ないの？
223:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
いや、不完全性定理はそもそも関数じゃないんで……
何を聞きたいのか分からない。
φ(x):ゲーデル数xの（自然数論の）論理式の、Nにおける真理値
とするときφ(x)は計算可能なの？
とか聞かないと。因みにこれは計算可能ではありません。
224:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
閉論理式としないといかんしxがゲーデル数じゃないときの値も決めとかないとダメか
まあいいや
225:１３２人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN
解析数論や幾何学的群論の有効性について数理論理学ではどのような研究があるの？
226:１３２人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN
不完全性定理は閉論理式じゃないの？
227:１３２人目の素数さん
13/07/12 NY:AN:NY.AN
>>224もよくわかってないな。
228:１３２人目の素数さん
13/07/14 NY:AN:NY.AN
質問なんですけど
∃x（Ax→Bx）が成り立つとするじゃないですか
∃xAx→∃xBxはありですか？
229:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN
Aとしてx≠0
Bとしてx≠x
が反例
230:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN
？？？
としての部分の日本語の意味がよくわからないのでもう少しわかりやすく答えてもらえると助かるのですが
231:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN
∃x（x≠0→x≠x）は成り立つ
（0≠0→0≠0だから）
しかし∃x(x≠0)→∃x(x≠x)は成り立たない
232:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN
なるほど
わかりました。ありがとうございます
233:１３２人目の素数さん
13/07/16 NY:AN:NY.AN
まずは∃xAx→∃xBxは∃xAx→∃yByと等価だということを理解した方がいいね。
束縛範囲が違えば同じ記号でも意味が違ってくるから。
234:１３２人目の素数さん
13/07/17 NY:AN:NY.AN
>>233
それとは違う話じゃない？
235:１３２人目の素数さん
13/07/17 NY:AN:NY.AN
>>233
聞きたかったのはそれでした！！
うまく疑問が言葉に表せなかったので遠回しな聞き方になってしまいました
236:１３２人目の素数さん
13/07/19 NY:AN:NY.AN
>>228
∃x（Ax→Bx）は￢∃x（￢Ax→Bx）を含意しない
237:１３２人目の素数さん
13/07/30 NY:AN:NY.AN
声優スレにこんなことが書いてあった
【彼氏できた】って”言わない”のと
【彼氏いない】って”言う”のは全く別の意味だからな
238:１３２人目の素数さん
13/07/31 NY:AN:NY.AN
>>228
∃x（Ax→Bx）が∀x（Ax→Bx）だったらいえるけどな
239:１３２人目の素数さん
13/08/07 NY:AN:NY.AN
数学基礎論を学ぶにはどこの大学がいいのだろう
240:１３２人目の素数さん
13/08/07 NY:AN:NY.AN
文系の私でも大学で論理学を学べますかね？
論理学で単位を取ってみたいです。
241:１３２人目の素数さん
13/08/09 NY:AN:NY.AN
論理学なんてamazonや公立図書館で入手できる本を自習してわからない所を著者に聞けば勉強できます
242:１３２人目の素数さん
13/08/11 NY:AN:NY.AN
本も買わずに著者に聞くとか……
243:１３２人目の素数さん
13/08/11 NY:AN:NY.AN
俺やったこと無いから分らないけど
著者にメールしたらほとんどの場合分らないところ教えてくれるの？
244:１３２人目の素数さん
13/08/11 NY:AN:NY.AN
むかし国文学の大先生に手紙で問い合わせをしたら先生の著作に付箋を沢山つけて
送ってくださったことがある。
245:１３２人目の素数さん
13/08/17 NY:AN:NY.AN
論理学だけ学んでもあまり面白くないと思う
人工的な定義ばかりだし
246:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
大学の今期のテスト問題だったのですが、解答もなく結局分からずじまいでした。
どなたか解説お願いします。
第一不完全性定理関連の問題です。
247:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN
Basicは
∀x￢( suc(x) = zero )
∀x∀y(( suc(x) = suc(y) ) → ( x = y ))
∀x( x + zero = x )
∀x∀y( x + suc(y) = suc(x + y) )
∀x(x × zero = zero )
∀x∀y (x × suc(y) = (x × y) + x )
∀x￢( x < zero )
∀x∀y(( x < suc(y) ) ⇔ (( x < y ) ∨ ( x = y )))
∀x∀y((( x < y ) ∨ ( x = y )) ∨ ( y < x ))
上の9つの論理式からなる集合で、suc(x)= x + 1と解釈します。
標準モデルとはBasicの標準ストラクチャーと同義のようです。
また、計算可能という言葉については
「自然数全体の集合Nの部分集合Sが計算可能であるとはSに属するか否かを判定するアルゴリズムが存在することである。」
と習っています。
他に不十分な説明がありましたら教えてください…
248:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN
(4')→(4)なので(1),(2),(3),(4')をみたすΓは(4)も満たします。
(4'')についてはBasicの公理である9個の式のそれぞれが
そもそも恒真であるかどうか考えてみると良いでしょう。
(4''')については排中律がヒントになります。
いずれにせよ、Basic以外のΓを考える必要は出て来ない問題です。
249:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN
>>248
ありがとうございます。
糸口が見つかりました。
250:１３２人目の素数さん
13/09/05 00:29:14.95
Set Theory: an Introduction to the World of Large Cardinals
URLﾘﾝｸ(scandinavianlogic.org)
251:１３２人目の素数さん
13/09/14 23:19:10.85
圏論とスペンサーブラウンの関係って？
252:１３２人目の素数さん
13/09/15 18:41:06.86
あったなー なつい
253:１３２人目の素数さん
13/09/23 16:45:54.76
ゲーデルの不完全性定理と完全性定理を
組み合わせると、発狂する。
いや、別に矛盾はしないがね。
「矛盾の証明が存在する」という命題が
真となるモデルがある、というだけのことだが。
これだけでもナイーブな奴を発狂させるには十分だ。
実際には「矛盾の証明が存在する」という命題が
文字通りに表現されていないということになる。
で、その場合、文字通りの表現とは何だ、と考えると
・・・やっぱり発狂する。やはり無限は恐ろしいｗ
254:１３２人目の素数さん
13/09/23 23:44:06.13
ゲーデルの完全性定理は完備性定理とかの別の名前の方が良かった気がする。
いまだに混乱するわ。
255:１３２人目の素数さん
13/09/24 00:49:04.56
逆に不完全性定理の方を不完備性定理と訳した本なら昔あった
256:１３２人目の素数さん
13/09/30 23:38:17.69
>「矛盾の証明が存在する」という命題
どんな無矛盾な体系Aにも、「体系Aが矛盾していることがAにおいて証明可能で
ある」という命題を真とするモデルが必ず存在する
257:考える人
13/10/03 23:31:03.32
では解説しましょう。
完全性定理とは、
|= φ ←→ |- φ
第一不完全性定理とは、
Ｎ |= φ ← PA |- φ （右向きの矢印が成り立たない）
という状況をあらわしている。
258:緩募
13/10/03 23:39:20.84
すみません、以下のようなものを探しているのですが存在するんでしょうか？
・atomlessとseparativeのうち
片方が成り立って片方が成り立たないようなブール代数
・完備ブール代数に埋め込めないようなブール代数
259:１３２人目の素数さん
13/10/04 21:27:10.26
>>246
いずれの場合もそのようなΓは存在しない。
（理由）(4')は(3)と矛盾。(4'')は(4)と等価。(4''')も(4)と等価。
ではないかな？
260:１３２人目の素数さん
13/10/04 23:26:24.32
>>258
Comodo理論のΣバウンドとかエレフィスブール硬度が有名
ツァリスの結果でググってみ
261:１３２人目の素数さん
13/10/05 06:02:32.48
また例の人か
262:１３２人目の素数さん
13/10/05 15:34:27.92
フェルマーの最終定理を崩すスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(archeology板)
263:１３２人目の素数さん
13/10/05 19:49:36.40
>>256
これまた誤解しやすい命題
264:１３２人目の素数さん
13/10/05 20:22:32.30
>どんな無矛盾な体系Aにも、「体系Aが矛盾していることがAにおいて証明可能で
>ある」という命題を真とするモデルが必ず存在する
Con(A) → ∃M( M |= [A |- [A |- φ∧￢φ]] )
論理式のが読みやすい＾＾
265:１３２人目の素数さん
13/10/14 23:27:56.40
論理学がさっぱりわかりません。
なにがわからないのかつきつめていった結果、
「無矛盾である」という言葉の意味が分かっていないことを認識しました。
これじゃ不完全性定理を理解するところまで進めませんね。
266:１３２人目の素数さん
13/10/15 20:33:09.38
>>265
直観主義的なアレ？
267:あのこうちやんは始皇帝だった
13/10/15 20:44:30.67
>>266
コイツ、２０代の、無職の、女性恐怖症の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
無職のクソガキども！ 大変なコトになるな！
憲法改正だ！ ９６条を改正してから、９条を改正する。 そして、何条を改正するか？
１８条だ！ そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死にゆく、クソガキどもに、大伴家持の詩を贈ってやろう！
海行かば 水浸く屍 山行かば 草むす屍 大君の 辺にこそ死なめ かえりみはせじ！
268:１３２人目の素数さん
13/10/15 20:59:37.80
コイツ
269:265
13/10/15 21:15:27.80
なんか変なの呼んじゃった？
だれか「公理系が無矛盾である」の意味を教えてくれー
270:１３２人目の素数さん
13/10/15 21:34:43.44
無矛盾とは、φと￢φの両方が証明可能になるようなφが無いことだよ
だいたいどんな教科書にも書いてあると思うけど
271:265
13/10/15 22:01:56.78
>>270
範囲がわからないんですよ。
存在するとかしないとかって、考える範囲を決めておかなきゃ意味がはっきりしないじゃないですか。
２乗して-1になる数があるかって問いと一緒だと思うんですが、
いったいどういう範囲で考えてるのか、わけがわからなくなっちゃう。
272:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:04:35.95
>>271
君、定義をきちんと追わずに勘で理解しようとするタイプ？
273:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:13:45.08
定義を追わないどころかステートメントも読まないタイプとみた
274:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:20:25.73
φはその公理系の「言語」で書かれた論理式のどれかだよ
だいたいどんな教科書にも書いてあると思うけど
275:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:27:30.62
つまり
Ａ＝Ｂと￢Ａ＝Ｂが両方証明されたらおかしいだろう
とはいえ、これは古典論理の場合のみ
パラコンスタント論理では両方証明できるのに矛盾しているとはいわない
他のみエリアツィヒンの補題とかカイラル三重奏みたいな現代論理の応用では
非分岐世界を連脱結合することで全図式を得ようとしているから
矛盾そのものは不要になってくる・・・ケラスの流体構成とかもそうだしね
276:１３２人目の素数さん
13/10/15 23:07:47.08
>>272,273.274
定義もステートメントも読んでるんですが？
> 公理系の「言語」で書かれた論理式
の範囲が明確にわからないって話ですよ。
277:１３２人目の素数さん
13/10/15 23:15:14.95
初学者のために言っておくと>>275は無視してよいからね
278:１３２人目の素数さん
13/10/15 23:26:50.55
すんません。>>265＝>>276です。
>>275の3行目以降は意味不明でした。なので自動的に無視。
教科書では、まずatomic論理式から始まる￢と∨と∃の組み合わせによる構成が書かれています。
というか、それしか書いていないという印象です。
279:１３２人目の素数さん
13/10/16 00:34:01.78
それについては曖昧なままで我慢していてくれ。
280:１３２人目の素数さん
13/10/16 01:16:41.74
>278
規則に従って生成できる論理式全ての集合が言語の範囲だけど……どの辺りが明確に判らない？
281:１３２人目の素数さん
13/10/16 01:24:41.18
>>278
ちゃんとかいてあるじゃん
そこにかいてある手順で構成した記号列だけがその言語における論理式
自由変数を含まない論理式の集合が、公理、または理論
公理から推論規則を適用して、○○という論理式がえられたら、それはその公理で証明可能ってこと
「○○」と、「￢○○」の両方とも、公理から推論で得られるとき、その理論は「矛盾している」
矛盾していないとき、「無矛盾」
282:１３２人目の素数さん
13/10/16 01:27:40.55
（念のため補足）
矛盾する文が存在しないとき、「無矛盾」
矛盾する文が一つでも存在したら、「その理論は矛盾する」
283:１３２人目の素数さん
13/10/16 06:41:57.23
>>280
論理式全ての集合が限定されてない点です
>>281
公理から推論で得られないかどうか確定するんですか？
>>282
存在する、存在しない、という対象の存在範囲が明確でないのでは？
284:１３２人目の素数さん
13/10/16 08:42:30.69
>>283
>>280についてのレスがよくわからない
通常与えられた文字列が論理式かどうかが機械的に判定できる体系を扱うものだからね。
285:１３２人目の素数さん
13/10/16 10:03:03.59
「証明体系」と「言語」と「論理式」がどういう関係になってるか混乱してるってことでしょう
まず「言語」ってのは
記号の集まり、◎や★でも何でも良いけど
普通は ∧ ∨ ￢ Ｒ ｆ ｘ （ ）などを使う
このＲとかｆは好きな数だけ入れれば良い
これらの記号をでたらめにつなぎ合わせると無数の記号列ができる
∧￢￢Ｒｆ とか ∨）￢ とか長さはいくらでも良い
そしてその中から論理式ってのを認定して選びだす
それが本に書いてある論理式のルールね
例えばＡとＢが論理式ならＡ∧Ｂも論理式とか
ちなみに当たり前だけど論理式に入ってる記号は言語にあるものだけね
そして今度は証明体系Ｈっていう公理と推論規則を定義する
推論規則ってのは例えばＡ∧ＢならばＡという論理式がＨで証明できますよってな形のもの
んで公理ってのは推論規則があっても一番はじめの論理式がＨになくちゃはじまらないから
何個か適当な論理式いれときますってこと
でＨから証明可能なのは何個か入れた公理と、それからを推論規則で出せるものね
このときＨを変な風に設定してみる
例えば当たり前だけど、公理にＲと￢Ｒを入れちゃうとＲも￢Ｒも証明できますってことになる
これを矛盾って定義しようってなってる、こうならないなら無矛盾なんだよ
ではなんでＲと￢Ｒが両方とも入ると無矛盾なのかっていうと
Ｒには「素数は無限個ある」とかを入れようとして論理体系ってのは作られることが多いからなんだ
「素数は無限個ある」と「素数は有限個である」が同時に証明できるＨは使い物にならないでしょ？
もちろんそういう体系も作り出せて矛盾許容論理ってよばれてる
286:１３２人目の素数さん
13/10/16 12:38:36.85
>>283
>論理式全ての集合が限定されてない点です
あらかじめ決めた構成法で得られる形に、なっているか、なっていないかは
記号列の形を見れば、機械的に判定できるよ。別の言い方だと「アルゴリズムが存在する」
もちろん、「カッコの省略」とか「可読性のための置き換え」を復元して判定するんだよ
それが「帰納的に定義するっ」てこと
その本にも書いてあるとおもうけど・・・
287:１３２人目の素数さん
13/10/16 12:55:36.23
>存在する、存在しない、という対象の存在範囲が明確でないのでは？
何度もいうようだけど、「範囲」は明確
公理から推論規則を適用して得られる命題（定理）全体を、いま仮に「定理集合」と呼ぶことにすると
この「定理集合」に中に、○○と￢○○という『形』のものが存在するかどうかを判定する
だから、まず、この「定理集合」を構成していく様を頭の中でイメージすることから始めてはどうかな？
288:１３２人目の素数さん
13/10/16 13:08:21.83
もちろん、逆に
ある命題をぱっと提出されて、「これはこの理論の定理？」と聞かれた場合に
判定できるかどうかは別問題
何しろ定理集合は無限にあるから、一つ一定理集合の元と比べていくやりかたなら
当然、「いつおわるかわかんない」
ただし、「証明できる」か、「証明できない」かのどちらかは成り立っている
と考えるのが普通の立場（直観論理の人ならみとめないでしょうね）
>公理から推論で得られないかどうか確定するんですか？
に対する答えは、「決まっているという立場をとる」じゃないかな
もちろん、実際に証明を構成してみせるアルゴリズムがあるかどうか、は別の話し
289:１３２人目の素数さん
13/10/16 13:54:07.81
念のためにいっておくと
「この理論からはAは証明できない」と「この理論からは￢Aが証明できる」は
全く別な言明なので、混同しないように
ただし、理論が「無矛盾」かつ「完全」なら、両者は同じ意味になる
290:１３２人目の素数さん
13/10/16 15:05:12.15
>>288
初学者に対する答えとしてはアラが目立つ。
ズルいけど「実はややこしいこと」はサラッと述べるのが最善。
291:１３２人目の素数さん
13/10/16 20:17:23.53
>>290
やって見せてくれないか
292:283
13/10/16 21:02:10.72
みなさんレスどうもです。
>>285
おっしゃっていることは全部クリアです
>>284,286
与えられた記号列についての判定ができることはクリアです
>>287
その「定理集合」の存在証明が欲しいです
>>288,289
おっしゃっていることは全部クリアです
与えられた記号列が論理式になっているかや、与えられた証明が本当に証明になっているか、
の判定が機械的にできる点は理解しているつもりです。
問題は「無矛盾」もそのようにクリアに理解できるか、ですね。
293:１３２人目の素数さん
13/10/16 21:34:35.42
まず、与えられた公理系が矛盾しているか無矛盾かは
（一般には）機械的に判定できないよ。
まずその点で、ある文字列が論理式かどうかや、
或る証明が正しいかどうかの判定（これらは機械的にできる）とは決定的に違う。
機械的に判定できないけど普通は、人間の判断の
必ずしも及ばないところでどちらかに定まっていると考える。
それから、定理全体の集まりとか論理式全体の集まりの存在証明が欲しいということだが、
当然のことながら、メタ数学だろうがただの数学だろうが
無からは何も証明できない。何かを証明するには、何か証明不要の前提が要る。
無限のモノの集合の存在を言うにはそれなりの前提を無条件に認めることが必要になる。
294:１３２人目の素数さん
13/10/16 21:57:41.64
有権の立場
295:１３２人目の素数さん
13/10/16 21:58:33.77
有限です＞＜
296:283
13/10/16 22:15:18.40
>>293
最初の4行はわかります。
中段の2行についてですが、あまり関わりたくない部分です。ちょっと哲学ぽくて。
そういう議論がなくても数学はできるでしょ。
後段ですが、「それなりの前提を認めることが必要」とのことですが、前提があるってことは、
それが成り立つ場合と成り立たない場合の両方を考えられる、でいいですか？
297:１３２人目の素数さん
13/10/16 22:26:29.25
どうぞ勝手に考えてください
298:１３２人目の素数さん
13/10/16 22:46:28.29
>>296
> 前提があるってことは、それが成り立つ場合と成り立たない場合の両方を考えられる
論理的でなかなか結構ｗ
そりゃもちろん両方考えられるさ。
前者では議論できることが後者では議論できなくなるってだけだよ。
299:１３２人目の素数さん
13/10/16 22:48:10.82
言っちゃなんだが、論理式全体の集合が確定していない気がするとかいうのも
同じくらい哲学っぽい話だよ。
300:283
13/10/16 23:10:10.85
>>299
ちょっと言い直させてもらいたいんですが、
気がする／しない、とか思う／思わないといった議論を避けたいんです。
>>287さんが、「範囲は明確だ。定理集合だ」と言うんで、その存在を認めるための
根拠を求めてるだけです。
301:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:20:49.91
堂々巡りじゃん、ルイスキャロルのあれじゃないんだから
はいもうこの話おしまい
302:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:21:56.25
論理式の集合といった場合に、
実際に論理式をすべて列挙してないのにそんなことが言えるのかという疑問だろうか。
「論理式全体の集合」ってのはイメージしやすいようにするための言葉くらいに思ったほうがよい。
実際は「論理式とは～～」という定義があって、
「記号列が論理式の定義をみたす場合は、～～～」といったように言い換えられる話だから。
303:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:35:29.05
数学では、たとえば
「自然数 n に対して、それが偶数なら 2 で割る、奇数なら 3 倍して 1 を足す、
という操作を繰り返す。このとき有限回の操作で 1 になる
自然数 n の集合を M （⊂ N）とする」
みたいな無限集合の定義は普通に出て来るけど、
>>283はそもそもそういう無限集合の存在を認めない人？
304:283
13/10/16 23:47:48.45
>>301
堂々巡りって、根拠が出てくれば終わる話なんですよ。
>>303
数学での無限集合は認める認めないとかいう議論の対象じゃないですよ。
ここでの話とは無関係だと思いますが。
305:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:55:56.00
「論理式全ての集合」というのは認める認めないという議論の対象なの？何で？
306:１３２人目の素数さん
13/10/17 01:08:19.69
>>305=303？
認める認めないという議論の対象というか、公理等のルールで認めているわけではなく、
かといって存在証明があるでもないから、
307:１３２人目の素数さん
13/10/17 02:01:45.81
>>306
まあ、確かにそうだな
至極その通りだけど、俺は数学やるのに困ってない。
308:１３２人目の素数さん
13/10/17 02:10:10.19
>304
論理式全ての集合は、自然数全ての集合と同じぐらいの確かさだよ。
ゲーデル数調べるよろし。
309:１３２人目の素数さん
13/10/17 05:53:35.77
まあメタ数学でどの程度集合の言葉を使ってもよいかは
人によって考えが違うけど、公理系の無矛盾性を定義するのに
無限集合の存在は必須ではないし、
「論理式」というのも範囲が充分明確に定まっていると考える人が殆どだと思う
例えば、ある性質 P が
(1)原子論理式に対して成り立つ
(2)長さ n の論理式で成り立てば長さ n + 1 の論理式に対しても成り立つ
を満たせば当然全ての論理式に対して成り立つし、誰もがそれを認めるわけだが、
こういう一見明らかな性質だって、よくよく考えると
公理等のルールで認めているわけではなく、かといって証明があるでもない。