12/01/03 08:10:20.08
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直観主義論理でも {x | ￢ x ∈ x} の存在から
矛盾を導くことはできます。
要は、φから矛盾を導くことができることから
￢φ を導くのは直観主義論理でもアリ
なことがミソです。
やってみましょう。
R = {x | ￢ x ∈ x} とおく。 すなわち、
(*) x ∈ R ⇔ ￢ x ∈ x
である。 特に、x = R の場合を考えると、
(**) R ∈ R ⇔ ￢ R ∈ R
まず、R ∈ R と仮定すると (**) より ￢ R ∈ R が得られ、
仮定と矛盾する。 R ∈ R を仮定して矛盾が導かれたので、
￢ R ∈ R が成り立つ。
これに (**) を適用すると、R ∈ R が得られる。
R ∈ R と ￢ R ∈ R がともに成り立つので、矛盾する。